Solução de exercícios da seção 1.3 - Stewart

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SEÇÃO 1.3 NOVAS FUNÇÕES A PARTIR DE CONHECIDAS  1
 1. y = −1/x: Comece com o gráfico de y = 1/x e reflita-o em 
torno do eixo x.
yy
 2. y = 2 − cos x: Comece com o gráfico de y = cos x, reflita-o 
em torno do eixo x e, em seguida, desloque 2 unidades para 
cima.
 3. y = tg 2x: Comece com o gráfico de y = tg x e comprima-o 
horizontalmente por um fator de 2.
tg
tg
 4. 3 2 := +y x Comece com o gráfico de 3=y x e desloque-o 
2 unidades para a esquerda.
 5. y = cos(x/2): Comece com o gráfico de y = cos x e expanda-o 
horizontalmente por um fator de 2.
 6. y = x2 + 2x + 3 = (x2 + 2x + 1) + 2 = (x + 1)2 + 2: Come-
ce com o gráfico de y = x2, desloque-o uma unidade para a 
esquerda e, em seguida, desloque 2 unidades para cima.
 7. 1
3
= -y x : Comece com o gráfico de y = 1/x e desloque-o 
 3 unidades para a direita. 
 8. y = −2 sen p x: Comece com o gráfico de y = sen x, compri-
ma-o horizontalmente por um fator de p, expanda-o vertical-
mente por um fator de 2, e então reflita em torno do o eixo x.
y = sen x
1.3 SOLUÇÕES
2  SEÇÃO 1.3 NOVAS FUNÇÕES A PARTIR DE CONHECIDAS
 9. ( )13 6 sen p= -y x : Comece com o gráfico de y = sen x, 
desloque-o 6
p unidades para a direita e, em seguida, compri-
ma verticalmente por um fator de 3.
sen x sen
sen
 10. 12
1
= + +y x : Comece com o gráfico de y = 1/x, desloque-o 
1 unidade para a esquerda e, em seguida, 2 unidades para cima.
 11. y = 1 + 2x − x2 = − x2 + 2x + 1 = − (x2 − 2x + 1) + 1 + 1 
= − (x − 1)2 + 2: Comece com o gráfico de y = x2, desloque-
-o 1 unidade para a direita, reflita em torno do eixo x e, em 
seguida, desloque 2 unidades para cima.
 12. 1
2
4 3= + -y x : Comece com o gráfico de =y x , deslo-
que-o 4 unidades para a direita comprimindo verticalmente por 
um fator de 2 e, em seguida, desloque 3 unidades para baixo. 
 13. 2 1= - +y x : Comece com o gráfico de =y x , reflita-o 
em torno do eixo x, desloque 1 unidade para a esquerda e, em 
seguida, 2 unidades para cima.
 14. y = (x − 1)3 + 2: Comece com o gráfico de y = x3, desloque-
-o 1 unidade para a esquerda e, em seguida, 2 unidades para 
cima.
SEÇÃO 1.3 NOVAS FUNÇÕES A PARTIR DE CONHECIDAS  3
 15. y = ½½x½ − 1½: Comece com o gráfico de y = ½x½, desloque-o 
1 unidade para baixo e, em seguida, reflita a parte do gráfico de 
x = −1 a x = 1 em torno do eixo x.
 16. y = ½cos x½: Comece com o gráfico de y = cos x e reflita as 
partes do gráfico que se encontram abaixo do eixo x em torno 
do eixo x.
 17. 
( )
( )
( )
2
2 2
2
( ) 1, [1, ); ( ) , .
( ) ( ) ( ( )) ( ) 1,
{ ( ) [1, )} ( , 1] [1, ).
( )( ) ( ( )) 1
 1 1, [1, ).
( )( ) ( ( )) 1 1 1,
{ [1, ) 1 1} [
f x x D g x x D
f g x f g x f x x
D x g x
g f x g f x g x
x x D
f f x f f x f x x
D x x
= - = ¥ = =
= = = -
= Î Î ¥ = -¥ - È ¥
= = -
= - = - = ¥
= = - = - -
= Î ¥ - ³ =





2 2 2 4
2, ).
( )( ) ( ( )) ( ) ( ) , .g g x g g x g x x x D
¥
= = = = = 
 18. 
{ }
{ }
{ }
2
3 3
3
3
3
3
( ) 1/ , { 0}; ( ) 2 , .
( ) ( ) ( ( )) ( 2 ) 1/( 2 ),
2 0} { 0 .
( )( ) ( ( )) (1/ ) 1/ 2/ ,
0 .
1
( )( ) ( ( )) (1/ ) ,
1/
0 .
( )( ) ( ( )) ( 2 )
( 2
f x x D x x g x x x D
f g x f g x f x x x x
D x x x x x
g f x g f x g x x x
D x x
f f x f f x f x x
x
D x x
g g x g g x g x x
x
= = ¹ = + =
= = + = +
= + ¹ = ¹
= = = +
= ¹
= = = =
= ¹
= = +
= +





3 3
9 7 5 3
) 2( 2 )
6 12 10 4 , .
x x x
x x x x x D
+ +
= + + + + = 
 19. 
1
1
1 1
( ) , { 1}; ( ) ,
1 1
{ 1}.
1 1
( ) ( ) 1
1 1
2 1
,
1 2
x
f x D x x g x
x x
D x x
x x
f g x f
x x
x
x
-
-
-= = ¹ =- +
= ¹ -
æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø+ +
æ ö- - -÷ç= =÷ç ÷÷çè ø+

 
{ 1}
1 1/( 1) 1 2
( )( ) ,
1 1/( 1) 1
{ 0, 1}.
1 1 1
( )( ) ,
1 1/( 1) 1 2
{ 1, 2}.
1 ( 1) / ( 1) 1 1
( )( ) ,
1 ( 1) / ( 1) 1
{ 0, –1}.
D x x
x x
g f x g
x x x
D x x
x
f f x f
x x x
D x x
x x x
g g x g
x x x x
D x x
= ¹ -
æ ö - - -÷ç= = =÷ç ÷÷çè ø- - +
= ¹
æ ö -÷ç= = =÷ç ÷÷çè ø- - - -
= ¹
æ ö- - + -÷ç= = = -÷ç ÷÷çè ø+ - + +
= ¹



 20. 
( )
( )
2
2
( ) 1, ( , 1] [1, );
( ) 1 , ( , 1].
( )( ) ( ( )) 1
1 1 .
f x x D
g x x D
f g x f g x f x
x x
= - = -¥ - È ¥
= - = -¥ -
= = -
= - - = -

 Para encontrar o domínio de (f  g) (x), devemos en-
contrar os valores de x que estão no domínio de g tal 
que g (x) esteja no domínio de f. Em símbolos, temos 
{ }( , 1] 1 ( , 1] [1, ) .D x x= Î -¥ - Î -¥ - È ¥
 Primeiro, concentramo-nos na exigência de que
 1 ( , 1] [1, )x- Î -¥ - È ¥ . Como 1 0,- ³x 1 - x
não está em (−¥, −1]. Se 1 está em [1, ),x- ¥ então 
temos que ter 1 1 1 1 0.- ³  - ³  £x x x Combinan-
do as restrições x £ 0 e x Î (−¥, 1], obtemos D = (–¥, 0].
 
( )2 2
2
( )( ) ( ( )) 1 1 1,
{ ( , 1] [1, ) 1 ( , 1]}.
g f x g f x g x x
D x x
= = - = - -
= Î -¥ - È ¥ - Î -¥

 
 Agora 2 2 21 1 1 1 2x x x- £  - £  £  
 2 2 2x x³  - £ £ . Combinando essa restrição
 com x Î (−¥, –1] È [1, ¥), obtemos 
 
( )
( )
}
2
2
2 2
2
2, 1 1, 2 .
( )( ) ( ( )) 1
1 1 2,
{ ( , 1] [1, )
1 ( , 1] [1, ) .
D
f f x f f x f x
x x
D x
x
é ù é ù= - - Èê ú ê úë û ë û
= = -
= - - = -
= Î -¥ - È ¥
- Î -¥ - È ¥

 Agora 2 2 21 1 1 1 2x x x- £  - £  £ 
 2 2 2x x³  - £ £ . Combinando essa restrição 
com x Î (−¥, –1] È [1, ¥), obtemos 
 
( )
( )
, 2 2, .
( )( ) ( ( )) 1 1 1 ,
D
g g x g g x g x x
ù é= -¥ - È ¥ú êû ë
= = - = - -
 { }( , 1] 1 ( , 1] .D x x= Î -¥ - Î -¥ Agora
4  SEÇÃO 1.3 NOVAS FUNÇÕES A PARTIR DE CONHECIDAS
 1 1 1 1 0- £  - £  ³x x x Combinando essa
 restrição com x Î (−¥, –1], obtemos D = [0, 1].
 21. 
( )
( )
( )
( )
{ } [ ]
3
3
1/63
1/93
( ) , ; ( ) 1 , [0, ).
( )( ) ( ( )) 1 1 ,
[0, ). ( )( ) ( ( )) 1 ,
[0, ).
( )( ) ( ( )) , .
( )( ) ( ( )) 1 1 1 ,
0 1 0 0, 1.
f x x D g x x D
f g x f g x f x x
D g f x g f x g x x
D
f f x f f x f x x D
g g x g g x g x x
D x x
= = = - = ¥
= = - = -
= ¥ = = = -
= ¥
= = = =
= = - = - -
= ³ - ³ =



 

 22. { }
{ }
{ }
1
2
2
3
1
2
2
( ) , ; ( ) ,
2 1 2
{ 2}.
( )( ) ( ( ))
/ ( 2) 2
2 2 / ( 2) 1
3 4
, 2, .
3 2
( )( ) ( ( ))
2 ( 2) / (2 1)
2 1 ( 2) / (2 1) 2
2
, 0,
3
(
x x
f x D x x g x
x x
D x x
f g x f g x
x x x
f
x x x
x
D x x
x
g f x g f x
x x x
g
x x x
x
D x x
x
+= = ¹ - =+ -
= ¹
=
æ ö - +÷ç= =÷ç ÷÷çè ø- - +
-= = ¹-
=
æ ö+ + +÷ç= =÷ç ÷÷çè ø+ + + -
- -= = ¹ -


{ }
{ }
51
2 4
)( ) ( ( ))
2 ( 2) / (2 1) 2
2 1 2( 2) / (2 1) 1
5 4
, , .
4 5
( )( ) ( ( ))
/ ( 2)
2 / ( 2) 2
, 2, 4 .
4
f f x f f x
x x x
f
x x x
x
D x x
x
g g x g g x
x x x
g
x x x
x
D x x
x
=
æ ö+ + + +÷ç= =÷ç ÷÷çè ø+ + + +
+= = ¹ - -+
=
æ ö -÷ç= =÷ç ÷÷çè ø- - -
= = ¹-


 23. 
{ }
2
2 2
2
1/4
( ) 1 , (0, ); ( ) 4 , .
( )( ) ( ( )) ( 4 ) 1 4 ,
4 0 ( , 0) (4, ).
1 1 4
( )( ) ( ( )) ,
(0, ).
1 1
( )( ) ( ( )) ,
1 /
(0, ).
( )( ) ( (
f x x D g x x x D
f g x f g x f x x x x
D x x x
g f x g f x g
xx x
D
f f x f f x f x
x x
D
g g x g g
= = ¥ = - =
= = - = -
= - > = -¥ È ¥
æ ö÷ç= = = -÷ç ÷ç ÷è ø
= ¥
æ ö÷ç= = = =÷ç ÷ç ÷è ø
= ¥
=




 2
2 2 2
4 3 2
)) ( 4 )
( 4 ) 4( 4 )
8 12 16 , 
x g x x
x x x x
x x x x D
= -
= - - -
= - + + = 
 24. 
( )
( )( ) ( ( ( ))) ( ( 1))1 1 1
= = -
= - = - -
 f g h x f g h x f g x
f x x
 25. 
( )
2
32 2 3
( )( ) ( ( ( ))) ( ( 2))
2 1 / ( 2)
= = +
æ ö÷ç= + = +÷ç ÷çè ø
 f g h x f g h x f g x
f x x
 26. ( )( )
( ) 4
( )( ) ( ( ( )))
5 ( 5) 1
= =
= - = - +
 f g h x f g h x f g x
f x x
 27. ( )( )3
3 3
3 3
( )( ) ( ( ( )))
1 1
= =
æ ö÷ç ÷ç= =÷ç ÷÷ç - -è ø
 f g h x f g h x f g x
x x
f
x x
 28. Sejam g(x) = x − 9 e f (x) = x5. Então 
(f  g) (x) = (x − 9)5 = F (x).
 29. Sejam g(t) = pt e f (t) = tg t. Então 
(f  g) (t) = tg pt = u(t).
 30. (a) P = (a, g (a)) e Q = (g (a), g (a)) porque Q tem a mesma 
coordenada y que P e está na reta y = x.
 (b) A coordenada x de Q é g (a); esta também é a coordenada x 
de R.
 A coordenada y de R é, portanto, f (coordenada x), isto é, 
f (g (a)). 
Portanto, R = (g (a), f (g (a))).
 (c) As coordenadas de S são (a, f (g (a))) ou, de maneira equiva-
lente, (a, h (a)).
 (d) 
 31. Precisamos marcar os pontos somente para o primeiro quadrante 
uma vez que podemos ver que f é uma função ímpar, e sabemos 
que f  f é uma função ímpar e, portanto, simétrica com respeito à 
origem.
x 0 0,5 1 1,5 2
f (x) 0 1 1,5 1,4 0
f (f (x)) 0 1,5 1,4 1,5 0
0 0,5 1 1,5 x