aula 08

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Universidade de Brasília – UnB 
Faculdade UnB Gama – FGA 
Métodos Numéricos para Engenharia 
Prof. Ricardo Fragelli 
 
 
 
AULA 08 
Fatoração LU para Sistemas Lineares 
 
 
 
1. Fatoração LU 
 
Na aula 7 descobrimos como resolver sistemas lineares por meio da Eliminação de Gauss e um 
dos problemas motivadores para encontrar um método mais eficiente que a Regra de Cramer foi o 
de determinar as forças atuantes nas barras de uma treliça (figura 1). 
 
 
Figura 1 – Treliça bidimensional submetida a esforços externos. 
 
O resultado é um sistema linear que pode ser escrito em forma matricial: 
 
 
 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 YA 0 
 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 FAB 0 
 0 0 0 0,707 1 0 0 0 0 0 0 0 FAF 0 
 0 -1 0 -0,707 0 0 0 0 0 0 0 0 FBF 50 
 0 0 -1 -0,707 0 0 0,707 1 0 0 0 0 FBC 0 
 0 0 0 0,707 0 1 0,707 0 0 0 0 0 FFC = 0 
 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 0 0 FFD 0 
 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 FFE 100 
 0 0 0 0 0 0 -0,707 0 -1 0 0 0 FCD 0 
 0 0 0 0 0 0 -0,707 0 0 -1 0 0 FDE 50 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 XE 0 
 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 YE 0 
 
 
Note que o vetor após a igualdade é formado pelas forças externas atuantes, ou seja, se 
tivéssemos que resolver a mesma treliça para outras combinações de forças externas, teríamos 
que refazer todo processo de eliminação de Gauss toda vez. Existe uma forma de fazer a 
eliminação de Gauss apenas uma vez e encontrar a solução com facilidade para uma nova 
combinação de forças externas, chama-se Fatoração LU. 
 
Para iniciarmos o entendimento do método, vamos relembrar a resolução de um sistema linear que 
fizemos na aula 7: 
 { [ ] [ ] [ ] [ ] 
 
Vamos transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz triangular superior (já notou que 
superior em inglês se diz Upper? Então, uma matriz triangular superior seria uma matriz U?) 
 [ ] 
 
Como 2 é o pivô da primeira etapa, teríamos dois multiplicadores para as linhas 2 e 3: e . Desse modo, teríamos e : 
 [ ] [ ] 
 
Na etapa dois, teríamos apenas um multiplicador: . Fazendo : 
 [ ሺ ሻሺ ሻ ] [ ] 
 
Agora vamos refazer o processo de eliminação, contudo, sem perder de vista a matriz original: 
 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 
 
Ou seja, 
 [ ] [ ] [ ] 
 
Note que foi possível escrever a matriz de coeficientes como um produto de duas matrizes, 
sendo uma matriz triangular inferior ( = Lower) e outra superior ( = Upper). A figura 2 mostra 
uma execução no Matlab de como o produto resulta realmente na matriz original . 
 
 
Figura 2 – Fatoração LU. 
Agora, se a equação original pode ser escrita como ሺ ሻ , que equivale a ሺ ሻ , 
então temos que resolver o seguinte problema: 
 
onde 
 
 
Voltando ao nosso problema, temos primeiramente que encontrar o vetor : 
 [ ] [ ] [ ] 
 
Fazendo a solução do sistema, temos que: 
 [ ] 
 
Desse modo, resta-nos resolver o seguinte sistema: 
 [ ] [ ] [ ] 
 
Que resulta em 
 [ ] 
 
Parece um pouco complexo, mas, na verdade é bastante simples! Note que se desejássemos 
resolver um novo sistema que mantivesse a mesma matriz de coeficientes, como o seguinte: 
 { 
 
bastaria resolver dois sistemas triangulares com base nas mesmas matrizes L e U que calculamos 
anteriormente, o que seria muito fácil! 
 [ ] [ ] 
e 
 [ ] 
 
 
A matriz U é a mesma matriz gerada pelo algoritmo que fizemos na aula anterior pela eliminação 
gaussiana e a matriz L é uma matriz formada pelos multiplicadores utilizados pelo processo de 
eliminação. No nosso exemplo: 
 [ ] [ ] 
 
Para uma matriz , basta salvar os multiplicadores utilizados em cada etapa para construir a 
matriz L: 
 
 
 [ 
 ] 
 
 
 
 
Faça um programa que gere as matrizes L e U para uma matriz quadrada A. 
 
Um forte abraço e até a próxima!