aula 15

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Universidade de Brasília – UnB 
Faculdade UnB Gama – FGA 
Métodos Numéricos para Engenharia 
Prof. Ricardo Fragelli 
 
 
 
AULA 15 
Ajuste de Curvas pelo Método dos Quadrados Mínimos 
 
 
 
1. Ajuste de Curvas 
 
Antes de qualquer coisa, vamos fazer um teste psicológico bastante conhecido: O teste de Rorschach. 
Vamos mostrar três imagens abstratas e você diz a primeira coisa que vier a sua cabeça. Vamos lá! 
 
 
 
Figura 1 – Teste de Rorschach. 
 
 
 
 
Figura 2 – Teste de Rorschach. 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Teste de Fragelli. 
 
 
Você provavelmente deve ter imaginado um morcego, uma mariposa, uma borboleta ou uma máscara 
nas figuras 1 e 2, mas, se você possui alguma intimidade com a matemática, deve ter visto uma 
parábola na figura 3. Esse teste é des-conhecido como teste de Fragelli! 
 
Além de ter visto uma parábola, deve ter percebido que a mesma passa pela origem do sistema de 
eixos, ou seja, uma função do tipo ݕ = �ݔଶ , onde � é uma constante real positiva. Surge então o 
desafio: qual o valor de � que melhor se ajusta aos pontos da figura 3? 
 
Somente a título de curiosidade, na figura 2 eu visualizei um feiticeiro com dois guardiões em forma de 
unicórnio! 
 
Mesmo tendo certeza de que você voltou na figura 2 para conferir os unicórnios, vou pedir para voltar 
na figura 3 e imaginar várias parábolas com concavidades diferentes. Que tal testar isso no Matlab? 
 
Para isso, baixe o arquivo parabola.m e parabola.jpg, disponíveis no Moodle, e salve-os na mesma 
pasta. O script desenvolvido carrega uma imagem, a coloca como fundo de um objeto “figure”, define 
uma área para plotagem exatamente ajustada com relação à imagem e faz um gráfico com fundo 
transparente por cima dessa imagem (figura 4). 
 
 
Figura 4 – Fazendo um gráfico por cima da imagem. 
 
O objetivo dessa primeira atividade é fazer várias parábolas com concavidades diferentes de modo a 
obter uma curva bem ajustada com relação aos pontos da imagem (veja na figura 5). 
 
 
Figura 5 – Ajuste da curva. 
 
Faça o mesmo para as outras imagens (parabola2.jpg, parabola3.jpg, parabola4.jpg, parabola5.jpg 
e parabola6.jpg) que estão disponíveis no Moodle. A figura 6 mostra dois exemplos de imagens e 
suas respectivas parábolas bem ajustadas. 
 
 
Figura 6 – Ajuste da curva. 
 
 
2. Método dos Quadrados Mínimos 
 
Já observamos que é possível encontrar uma curva para que se ajuste a pontos dados, mas, como 
encontrar a melhor delas? 
 
Uma possibilidade é diminuir a diferença entre os valores dados ݕଵ, ݕଶ … ݕ� tabelados e os valores da 
função escolhida �ሺݔሻ. Ou seja, desejamos diminuir os valores de ݕଵ − �ሺݔଵሻ, ݕଶ − �ሺݔଶሻ, … , ݕ� −�ሺݔ�ሻ , chamados de resíduos. Contudo, podem haver compensações com resíduos positivos e 
negativos e, para que isso não aconteça, geralmente é utilizado o quadrado dos resíduos. Outra 
alternativa seria utilizar os resíduos em valor absoluto, contudo, o quadrado é mais utilizado pela 
facilidade em se encontrar os pontos críticos. 
 
Para estudar o método dos quadrados mínimos, vamos iniciar com um problema mais simples: Qual a 
reta do tipo fሺxሻ = ax que melhor se ajusta a um grupo de n pontos? 
 
O somatório dos quadrados dos resíduos é dado por: 
 � = ሺݕଵ − �ݔଵሻଶ + ሺݕଶ − �ݔଶሻଶ + ⋯ + ሺݕ� − �ݔ�ሻଶ 
 
Note que para cada valor de �, temos um valor diferente de �, ou seja, � é uma função de �. Desse 
modo, para encontrar o valor de � para que �ሺ�ሻ tenha o menor possível, temos que encontrar o ponto 
crítico: 
 ���� = −2ሺݕଵ − �ݔଵሻݔଵ − 2ሺݕଶ − �ݔଶሻݔଶ − ⋯ − 2ሺݕ� − �ݔ�ሻݔ� = 0 
 ሺݕଵ − �ݔଵሻݔଵ + ሺݕଶ − �ݔଶሻݔଶ + ⋯ + ሺݕ� − �ݔ�ሻݔ� = 0 
 ሺݕଵݔଵ − �ݔଵଶሻ + ሺݕଶ − �ݔଶଶሻ + ⋯ + ሺݕ� − �ݔ�ଶሻ = 0 
 �ሺݔଵଶ + ݔଶଶ + ⋯ + ݔ�ଶሻ = ݕଵݔଵ + ݕଶݔଶ + ⋯ + ݕ�ݔ� 
 � = ݕଵݔଵ + ݕଶݔଶ + ⋯ + ݕ�ݔ�ݔଵଶ + ݔଶଶ + ⋯ + ݔ�ଶ 
 
 
Abra o arquivo mmq.m (Método dos Mínimos Quadrados, disponível no Moodle) e o modifique para 
que ele gere o gráfico de dispersão dos pontos informados pelo usuário e desenhe a melhor reta que 
se ajuste aos dados (figura 7). 
 
 
Figura 7 – Reta que melhor se ajusta com base no método dos quadrados mínimos. 
 
Um forte abraço e até a próxima!