ListaEx1cydara

Prévia do material em texto

Exercícios de Álgebra Linear I - 2014/1
Lista 1
Professora Cydara
Dica sobre Matrizes:
No livro Álgebra Linear de Boldrini-, cap 1, tem exemplos contextualizados que justi…cam as
operações de adição e de multiplicação. Bem como (pag 13) de interpretações das potências de uma
matriz contextualizada.
1) (do livro do Élon, adaptado) No espaço vetorial M2�3; considere as matrizes
A =
�
1 �1 2
3 2 �1
�
B =
�
2 3 0
�2 �3 1
�
C =
� �4 �8 4
12 13 1
�
:
i) Calcule a matriz 3A� 2B + C:
ii) Veri…que se existem números reais não nulos �; � tais que �A+ �B + C é uma matriz com a
primeira coluna toda nula.
2) Em aula foram dados vários conjuntos e operações e foi sugerido que Você comprovasse que eles
são de fato espaços vetoriais. Neste exercício, ampliamos esta lista de exemplos de EV, apresentando
novos conjuntos onde estão de…nidas operações de adição e multiplicação por escalar, …cando a Você
a tarefa de comprovar que estes conjuntos são EV.
a) O conjunto P3 dos polinômios de grau menor ou igual a 3; sendo a adição e a multiplicação
por escalar as usuais para polinômios
b) Fixado n 2 N, o conjunto Pn dos polinômios de grau menor ou igual a n; sendo a adição e a
multiplicação por escalar as usuais para polinômios
c) Vimos em aula que o conjunto de pares ordenados que são soluções da equação 2x+3y=0 é
um espaço vetorial, sendo a adição e a multiplicação por escalar as usuais para pares ordenados,
começando por mostrar que a soma de soluções é ainda solução e que a multiplicação de uma solução
por um escalar é ainda solução.
Generalize este resultado para soluções de QUALQUER equação da forma ax+by=0 onde a; b
são números reais previamente …xados (como o foram os coe…cientes 2 e 3)
d) i) Mostre que, no entanto, o conjunto de pares ordenados que são soluções da equação 2x+3y=4
não tem chances de ser um espaço vetorial com a adição e a multiplicação por escalar usuais para
pares ordenados, explicando esta ideia.
ii) Generalize este resultado para QUALQUER equação da forma ax+by=c onde a; b; c são
números reais previamente …xados com c satisfazendo ainda a condição c 6= 0:
e) O traço de uma matriz quadrada 2� 2 é de…nido por
Tr
��
a b
c d
��
= a+ d:
Exemplo de matriz 2� 2 de traço nulo é a matriz nula
�
0 0
0 0
�
:
i) De exemplo de uma matriz 2� 2 não nula de traço nulo.
1
ii) Comprove que a soma de duas matrizes 2� 2 QUAISQUER de traço nulo ainda é uma matriz
de traço nulo
iii) Comprove que a multiplicação de uma matriz 2�2 QUALQUER de traço nulo por um número
real QUALQUER ainda é uma matriz 2� 2 de traço nulo
iv) Comprove que o conjunto N2�2 de todas as matrizes 2 � 2 de traço nulo, com as operações
usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar é um espaço vetorial
2) Se modi…carmos o item d) do Exercício 1 trocando N2�2 pelo conjunto D2�2 de todas as
matrizes de determinante nulo, ainda teremos um espaço vetorial? Não basta responder sim ou não,
tem que justi…car sua resposta.
3) Relembre os seguintes resultados mencionados em aula, justi…cando detalhadamente a a…r-
mação:
a) O produto de matrizes é uma operação emM2�2; mas com esta operação e mais a multiplicação
por escalar usual, M2�2 não é um espaço vetorial.
b) Com o produto usual de polinômios e a multiplicação por escalar usual para polinômios, o
conjunto Pn dos polinômios de grau menor ou igual a n não tem chances de ser um espaço vetorial:
c) O produto usual de polinômios é uma operação no conjunto P de TODOS os polinômios com
coe…cientes reais. No entanto, com esta operação P e mais a multiplicação por escalar usual, P não
é um espaço vetorial.
d) (do livro do Lay, adaptado) Considere o conjunto H formado por todos os pares ordenados da
forma (3s; 2 + 5s) onde s é algum número real, isto é: H = f(3s; 2 + 5s) j s 2 Rg
i) Dê exemplo de um par ordenado pertencente a H e de um par ordenado não perten-
cente a H:
ii) Decida se o par ordenado (3,5) pertence a H; justi…cando sua resposta.
iii) Mostre que H não tem chances de ser um espaço vetorial com a adição e a multipli-
cação por escalar usuais para pares ordenados, justi…cando sua resposta.
iv) Considere agora o conjunto U formado por todos os pares ordenados da forma (3s; 5s)
onde s é algum número real, isto é: U = f(3s; 5s) j s 2 Rg : Mostre que U é um espaço vetorial com
a adição e a multiplicação por escalar usuais para pares ordenados, e re‡ita sobre a diferença que
existe entre os conjuntos H e U; a ponto de um ser espaço vetorial e o outro não ser.
4) (do livro do Élon, adaptado) No espaço vetorial R3; dados os vetores
u = (1; 2; 3); v = (3; 2; 0); w = (2; 0; 0);
i) mostre que existem números reais �; �; 
 tais que �u+ �v + 
w = (1; 1; 1): (Dizemos por isso
que u; v; w geram o vetor (1; 1; 1) ).
ii) Será que u; v; w geram QUALQUER vetor do R3? Justi…que detalhadamente sua resposta.
2