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Exercícios de Álgebra Linear I - 2014/1
Lista 2
(subespaço, combinação linear)
Professora Cydara
1. Quais dos seguintes subconjuntos do Rn são subespaços vetoriais? Justi…que sua resposta.
[Sugestão: Se você tiver di…culdde em abstrair o espaço Rn; comece raciocinando com o R2 ou R3 e
depois tente veri…car se o seu raciocínio e conclusão podem ser generalizados para o Rn]
( ) U = f(x1; :::; xn) 2 Rn j x1 = ::: = xng
( ) U = f(x1; :::; xn) 2 Rn j x21 = ::: = x2ng
( ) U = f(x1; :::; xn) 2 Rn j x1 = 1g
( ) U = f(x1; :::; xn) 2 Rn j x1 = 0g
2. É o subconjunto U = fiy 2 C j y 2 Rg de C um subespaço vetorial de C ? Justi…que sua
resposta.
3. Prove que são subespaços vetoriais do espaço Mn�n das matrizes quadradas de ordem n� n
i) o subconjunto das matrizes diagonais;
ii) o subconjunto das matrizes triangulares superiores.
A seguir, apresente um subconjunto in…nito de Mn�n que não é um subespaço vetorial
4. i) Sejam V um espaço vetorial e U;W dois subespaços de V: Mostre que o conjunto intersecção
U \W é também um subespaço de V:
ii) Sejam V um espaço vetorial e U;W dois subespaços de V: Decida se o conjunto união U [W
é ou não um subespaço de V:
iii) Faça uso de (i) para mostrar que o conjunto solução de um sistema de equações lineares a n
incógnitas é um subespaço vetorial de Rn (ou de Mn�1 se …zermos uso da notação matricial - aqui
você terá que fazer uso das propriedades das operações com matrizes).
iv) O que acontece se consideramos um sistema linear não homogêneo? Em outras palavras, é um
sistema de equações não todas lineares a n incógnitas um subespaço vetorial de Rn? Para explicar
seu raciocínio, sugere-se que você considere, por exemplo, o sistema8<:
2x+ 4y + z = 1
x+ y + 2z = 1
x+ 3y � z = 0
5. (Do livro do Lay, adaptado): Decida se os subconjuntos abaixo são subespaço do espaço vetorial
P dos polinômios:
i) f a+X2 j a 2 R g
ii) f aX2 j a 2 R g
iii) f p(X) j termo independente de p é igual a zerog
iv) fa3x3 � 3x2 + a1x1 + a0g
6. Escrever u = (2; 3) como combinação linear dos vetores v1 = (�2; 4); v2 = (�1;�1): Escrever
um vetor genérico do R2 como combinação linear de v1 e v2:
7. Veri…car que o exercício anterior não é válido se trocarmos v1 e v2 por w1 = (�3; 4=5);
w2 = (�60; 16):
1
8. No Exercício anterior foi pedido para veri…car que u = (2; 3) não é combinação linear de
w1 = (�3; 4=5); w2 = (�60; 16):
a) Dê exemplo de um vetor do R2 que é combinação linear de w1 e w2:
b) Descreva analiticamente o conjunto S de TODOS os vetores do R2 que são combinações lineares
de w1 e w2: Interprete S geométricamente.
9. (Do livro do Élon, adaptado) Dados os vetores
u = (1; 2; 3); v = (3; 2; 1); w = (�3; 2; 7)
em R3; decida se existem números reais � e � tais que w = �u + �v. Em caso a…rmativo, quantas
soluções admite este problema?
10. (do livro do PROMAT) Quais dos seguintes vetores
a) (0; 2; 2; 2) b) (1; 4; 5; 2) c) (0; 0; 0; 0) d) (0; 3; 1; 5)
são combinações lineares de u = (0; 0; 2;�2) e v = (0; 1; 3;�1)? Justi…que sua resposta. [Ressalta-
mos que, em alguns casos, sua justi…cativa pode ser bem curta, por exemplo, no item (b)]
11. (do livro do PROMAT, adaptado) i) Mostre que os polinômios
a) 2 + 5x b) � x+ 2x2 c) 3 + 3x+ 5x2
podem ser expressos como combinação linear de
p(x) = 2 + x+ 4x2 q(x) = 1� x+ 3x2 t(x) = 3 + 2x+ 5x2:
ii) No espaço vetorial V = P3 dos polinômos de grau menor ou igual a 3; veri…que se o vetor
u = 2 + x2 � x3 é combinação linear dos vetores v1 = 1 + x2; v2 = x� 2x2; v3 = 3x3:
12. (Do livro do Élon, adaptado) Dados os vetores
u = (1; 1); v = (1; 2); w = (2; 1)
emR2; encontre duas combinações lineares distintas dos vetores u; v e w: Em outras palavras, encontre
números reais � 6= �0 ou � 6= �0 ou 
 6= 
0 tais que
�u+ �v + 
w = �0u+ �0v + 
0w:
13. Veri…que que toda matriz de M2�3 é combinação linear das matrizes v1; :::; v6 dadas por
v1 =
�
1 0 0
0 0 0
�
; v2 =
�
1 1 0
0 0 0
�
; v3 =
�
1 1 1
0 0 0
�
v4 =
�
1 1 1
1 0 0
�
; v2 =
�
1 1 1
1 1 0
�
; v3 =
�
1 1 1
1 1 1
�
:
14. Mostre que a reta vertical passando pela origem (isto é, o eixo y) representa também um
subespaço vetorial do R2
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