EXAME ESPECIAL - CÁLCULO 1 - 2016/2 - PROF. JÚLIO CÉSAR DO ESPÍRITO SANTO

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EXAME ESPECIAL DE CA´LCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL I - MTM122 - 9XT
Prof. Ju´lio Ce´sar do Esp´ırito Santo
Universidade Federal de Ouro Preto
7 de Abril de 2017
Aluno: ———————————————————————————————————————-
(0) Obtenha o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es. (a) x3(x2 − 1)(2x+ 1)8 ≤ 0 (b) 3x+ 2
2x− 7 ≥ 0.
(1) Determine o domı´nio das func¸o˜es (a) y =
√
x− 2
3
√
4− x (b) y =
4
√
x
x+ 3
(2) Trac¸e o gra´fico das seguintes func¸o˜es.
(a)y = |x− 1|+ |2x+ 1| (b)y = |x|3 − 5x2 + 6|x| (c)y =
∣∣∣x2 − 4|x|+ 3∣∣∣
(3) Calcule os limites a seguir. Na˜o use a regra de L’Hospital.
(a) lim
x→ 1
5
x
√
1
x
− 5
√
1
5
1
5
√
1
x
− 5
x
√
x
(b) lim
h→0
(3 + h)−2 − 3−2
h
(c) lim
t→0
2− 3√8− t
t
(d) lim
x→1
(1− x)2 + sen2(1− x)
x2 − 2x+ 1 (e) limx→0
cosh(x)− 1
x2
(f) lim
x→0
ex−1 − 1
x− 1
(4) Verifique que se f(x) = ln(x+
√
1 + x2), enta˜o f(x) = argsenh(x), para todo x ∈ R.
(5) Desenhe o gra´fico da func¸a˜o acima e de sua inversa.
(6) Desenhe o gra´fico das func¸o˜es abaixo.
(a) f(x) = 2 +
1
x− 3 . (b) f(x) = 1− (x+ 2)
2.
(c) f(x) = cos(2x) (d) f(x) =
1
2
arccos(x)
(7) Seja Df(x) dada pelo limite Df(x) = limh→0
f(x+h)−f(x)
h
. Se f(x) = cos(x), calcule Df(x).
(8) Derive e simplifique.
(1) y = 3x ln x (2) y = sec(1 + x2) (3) y = (1− x−1)−1 (4) y = 1/ 3
√
x+
√
x
(5) y = 3x. (6) y =
√
sen
√
x (7) y = log5(1 + 2x) (8) y = (cosx)
x
(9) y = ln senx− 1
2
sen2x (10) y =
(x2 + 1)4
(2x+ 1)3(3x− 1)5 (11) y = xarctg(4x) (12) y = e
cos x + cos(ex)
(13) y = 2x
√
x2 + 1 (14) y =
ex
1 + x2
(15) y = esen(2θ) (16) y = e−t(t2 − 2t+ 2)
(9)
(1)
∫ x
0
3u2du (2)
∫ 1
0
2t(t2 − 1)3dt (3)
∫ pi/4
0
6 sec2(x)
√
tg(x) dx (4)
∫
cosx sec(senx)tg(senx)dx
(5)
∫
ex sec2(ex) dx (6)
∫ ee
e
ln(lnx)
x lnx
dx (7)
∫ ee
1
sen(lnx)
x
dx (8)
∫ 2pi
0
2a2 cos2 θ dθ
(9)
∫
cos3 x dx (10)
∫
xe−xdx (11)
∫
x sen(x)dx (12)
∫
1
x2
√
x2 + 4
dx
(13)
∫
lnx dx (14)
∫
exsenx dx (15)
∫
1
∗(1 + x2)2 dx (16)
∫
sec3θ dθ
(17)
∫
2x+ 4
x3 − 2x2 dx (18)
∫ √
t2 − 1dt (19)
∫ √
t2 + 1dt (20)
∫ √
1− t2dt
1