Lista1MAT1462017I

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
1a Lista - MAT 146 - Ca´lculo I 2017/I
1) Determine o conjunto soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es:
(a) |3x− 7| = x + 2
(b) |x− 5| = |3x− 1|
(c) x4 − 5x2 + 4 = 0
(d) x3 − 6x2 + 11x− 6 = 0
(e) |x2 − 3| = 13
(f) |x|2 − 5|x|+ 6 = 0
(g) |x + 3|+ |x + 2| = 4
(h) |x + 3| = 2x− 5
2) Encontre o conjunto soluc¸a˜o de cada uma das seguintes inequac¸o˜es:
(a) |2x− 5| < 1
(b) |3x + 5| ≤ |2x + 1|
(c) |x− 2| ≥ |4x + 1|
(d) x2 ≤ 4
(e) 3 < 5x ≤ 2x + 11
(f) 2x ≥ 3x2 − 16
(g) 0 <
x− 1
2x− 1 < 2
(h)
2
x
− 4 < 3
x
− 8
(i)
5
3− x ≥ 2
(j)
x + 2
x− 1 ≤
x
x + 4
(k)
x
3
− x + 1
2
<
1− x
4
(l) (x− 1)(2x− 3) ≥ 0
(m) (x− 2)(−2x− 4)(x− 4) ≤ 0
(n)
3x
x + 1
+
5
2
≤ 7
2x + 2
(o)
5
2x
− 1
2
≥ 7
x
(p) −6 ≤ x2 − 5x < 6
(q) (x2 + 2x− 3)(3x2 − 4x + 8) < 0
(r)
x− 1
x + 2
>
2x + 1
x + 1
(s)
1
x− 1 −
1
2x + 1
> −3
(t) |x2 − x| > 2
(u) |x + 2| − |x− 3| > x
3) Simplifique as expresso˜es:
(a)
x2 − 2x
x2 − x− 2
(b)
(5 + x)2 − 25
x
(c)
x3 − 8
x4 − 16
(d)
x2 − 3x
x2 − 9
(e)
2x2 + 11x− 21
x3 + 2x2 + 4x
· x
3 − 8
x2 + 5x− 14
(f)
x3 + 1
x2 − x− 2 ÷
x2 − x + 1
x2 − 4x + 4
4) Sejam f1, f2, f3, f4, f5, f6 func¸o˜es definidas por f1(x) =
1
x
, f2(x) = x, f3(x) =
3
x + 2
,
f4(x) = |2x − 4| − |3x − 9|, f5(x) =
√
2x2 − 5x− 3 e f6(x) = x + 3. Determine os valores de x
tais que
1
(a) f1(x) < f2(x) < f3(x)
(b) f4(x) < −3
(c) f5(x) > f6(x)
5) Sejam f, g func¸o˜es dadas por f(x) =
√
4− x2 e g(x) = √x2 − 3x. Determine:
(a) domı´nio de f ;
(b) domı´nio de g;
(c) domı´nio de f + g, f − g e f.g;
(d) domı´nio de
f
g
;
(e) (f.g)(x);
(f)
(
f
g
)
(x).
6) Dada a func¸a˜o f(x) = 2x2 − 3, determine:
(a) f(−5);
(b) f(0);
(c) f(
√
3).
7) Simplifique a expressa˜o
f(1 + h)− f(1)
h
, h 6= 0, para cada uma das seguintes func¸o˜es
(a) f(x) = x2 + x
(b) f(x) = 3x + 5
(c) f(x) = x3
(d) f(x) =
√
x + 2
(e) f(x) =
1
x
(f) f(x) =
1
3
x2
8) Seja a func¸a˜o quadra´tica definida por f(x) = mx2 + 2x + 1, m 6= 0. Determine m para que a func¸a˜o
admita um valor ma´ximo em x = 1.
9) Uma das dimenso˜es de um piso retangular e´ 4 m e sua a´rea e´ menor que 132 m2, sendo x a outra
dimensa˜o do piso
(a) Determine uma inequac¸a˜o que x deve satisfazer.
(b) Resolva a inequac¸a˜o obtida.
10) A` medida que a altitude de uma nave espacial aumenta, o peso do austronauta diminui ate´ atingir um
estado em que na˜o se pode discernir se esta´-se num campo de gravidade zero ou em queda livre. O
peso de um astronauta de 60 Kg, a uma altitude de x Km acima do n´ınel do mar, e´ dado por
P (x) = 60
(
6400
6400 + x
)2
.
A que altitude o peso do astronauta sera´ inferior a 2 Kg ?
11) Um fabricante de latas deseja fabricar uma lata em forma de cilindro circular reto com 20 cm de altura
e 3000 cm3 de capacidade. Determine o raio interior r.
12) Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o. Deˆ uma interpretac¸a˜o geome´trica para o quociente f(x)− f(a)
x− a ,
x ∈ (a, b].
13) Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo, com cada transformac¸a˜o solicitada, sendo f(x) =
√
x.
2
(a) f(x) + 1;
(b) f(x + 1);
(c) f(2x)
(d) −1
2
f(x);
(e) f(|x|);
(f) |f(x)|.
14) Dadas as func¸o˜es f e g, determine as compostas f ◦ g e g ◦ f e seus respectivos domı´nios.
(a) f(x) = 3x e g(x) = 3x + 2;
(b) f(x) = x + 2 e g(x) = 4x2 − 1;
(c) f(x) =
√
x e g(x) = 3x2 + 2;
(d) f(x) = x2 − 2 e g(x) = √x;
(e) f(x) = 3x2 + 2 e g(x) =
√
x− 4.
15) Dadas as func¸o˜es
f(x) =
{
x2 + 2, se x ≤ 1
4− x2, se x > 1 e g(x) = 2− 3x,
determine as leis que definem f ◦ g e g ◦ f.
16) Considere as func¸o˜es
f(x) =

−2x− 1, se x ≤ 0
x2 − 3, se 0 < x ≤ 3
x, e x > 3
e g(x) =
√
1− x.
(a) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de f ;
(b) determine g ◦ f e seu respectivo domı´nio.
17) Determine o domı´nio das seguintes func¸o˜es
(a) f(x) =
√−bx, b ∈ R
(b) f(x) = ln
(x
a
)
, a ∈ R+
(c) f(x) = ln(1 + ex)
(d) f(x) =
√
3− x
(e) f(x) =
√
6 + x− x2
(f) f(x) =
√
x2 − 1
x− 2
(g) f(x) =
x + 1
x2 − 7
(h) f(x) =
1
x2 − 6x + 5 +
1
x + 4
(i) f(x) =
√
x− 2√
x + 2
(j) f(x) =
√|2x− 1| − 4
(k) f(x) =
5x− 7
x2 − 4x− 5
(l) f(x) = 6
√
x2 + 3x− 4
(m) f(x) = 3
√
x2 + 3x− 4
(n) f(x) = ln(x2 + x− 2)
(o) f(x) =
√|3 + x| − |4− x|
(p) f(x) =
1
1−√x
(q) f(x) =
√
x
x2 − 1
(r) f(x) =
√
1
x + 1
− 2
x− 3
(s) f(x) =
√
1− x2 +√x2 − 1
18) Estude a variac¸a˜o de sinal (f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) = 0) das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = −3x + 9
(b) f(x) = 5x− 3
(c) f(x) = x2 − 5x + 6
(d) f(x) = −x2 + 4x
(e) f(x) =
x2 − 3x− 4
x− 2
(f) f(x) = (x2 − 2x− 3)(−x2 − 3x + 4)
(g) f(x) =
x2 − 5x + 6
x2 − 16
3
(h) f(x) =
x2 − x + 12
x3 + x2 − 14x + 6
(i) f(x) = x2 − 2x + 1
(j) f(x) = (2x− 3)(x + 1)(x− 2)
(k) f(x) =
x(2x− 1)
x + 1
(l) f(x) = 2− 1
x
− x
19) Considere f uma func¸a˜o dada por f(x) =
(x− 3)(x + 4)
(x + 2)(x2 + 4x− 5) . Determine:
(a) domı´nio de f ;
(b) f(0);
(c) valores de x tais que f(x) = 0;
(d) o sinal da func¸a˜o f.
20) Usando func¸o˜es elementares conhecidas, escreva a func¸a˜o dada como composic¸a˜o de n func¸o˜es.
(a) f(x) = 1 +
√
1 + x (n = 2)
(b) f(x) = sen2(2x + 1) (n = 3)
(c) f(x) = cos
(
1
x2 + 1
)
(n = 3)
(d) f(x) = − 2
(|t|+ 1)2 (n = 5)
21) Com base no domı´nio e no sinal das func¸o˜es abaixo relacionadas, associe cada uma delas ao seu
respectivo gra´fico:
(a) p(x) = x2 − 4
(b) g(x) =
√
(x2 − 4)2
(c) h(x) =
1
x2 − 4
(d) k(x) =
√
x2 − 4
(e) f(x) =
1√
x2 − 4
(f) r(x) =
√
x2 − 2√x2 + 2
4
I
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
II
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
III
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
IV
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
V
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
VI
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
0
22) Obter a equac¸a˜o da reta que satisfaz as condic¸o˜es indicadas:
(a) passa por (3, 5) e coeficiente angular m = −2;
(b) passa pelos pontos (1, 6) e (2, 6);
(c) passa pelos pontos (1, 6) e (1,−3);
(d) passa pelos pontos (1, 2) e (4, 4);
(e) passa pelo ponto (−2, 1) e tem coeficiente linear b = 4;
(f) passa pelo ponto (1, 6) e e´ paralela ao eixo x;
(g) passa pelo ponto (5, 3) e e´ perpendicular a y = 2x− 7;
(h) passa por (−4, 3) e e´ paralela a` reta determinada por (−2, 2) e (1, 0).
23) Encontre o ponto de intersec¸a˜o de cada um dos seguintes pares de retas:
(a) 2x + 2y = 2 e y = x + 1
(b) 2x− 3y = 7 e 6y = −14 + 4x
(c) x− y = −3 e 2x + 3y = 4
(d) x + y = 5 e x− y = 1
24) Verdadeiro ou falso, justifique:
(a) Se x < y, enta˜o −5x < −5y.
5
(b) Se x2 ≤ 16, enta˜o x ≤ 4.
(c) Se x2 ≤ 16, enta˜o x ≤ −4.
(d) Se x2 ≥ 16, enta˜o x ≤ −4.
(e) Se x 6= 0, y 6= 0 e x < y, enta˜o 1
x
>
1
y
.
(f) Se x < y, enta˜o x2 < y2.
(g) Se 0 < x < y, enta˜o x2 < y2.
(h) Se x < 1, enta˜o x3 < x.
25) Seja f uma func¸a˜o definida por
f(x) =
{ |x|
x
, se x 6= 0
1, se x = 0
.
Calcule:
(a) f(−4);
(b) f(4);
(c) f(x2);
(d) f(−x2);
(e) f(0);
(f) f(f(2));
(g) f(a− 1);
(h) f(f(x)).
26) Determine as ra´ızes reais das seguintes equac¸o˜es:
(a) x2 − 3x + 2 = 0
(b) x2 − 25 = 0
(c) x3 + 4x2 + 4x = 0
(d) 4x4 − x2 = 0
(e) x3 − x2 + x− 1 = 0
27) Simplifique as expresso˜es:
(a) (1 + cosx)(1− cosx)
(b)
1 + cotg2 x
sec2 x
(c)
cosx− 1
secx− 1
(d)
sen2 2x
(1 + cos 2x)2
+ 1(e) cos2 2x− sen2 x
(f) tg x− cossecx(1− 2 cos2 x) secx
28) Fac¸a a divisa˜o do polinoˆmio p(x) pelo polinoˆmio q(x), nos seguintes casos.
(a) p(x) = x2 − 4x + 4 e q(x) = x− 2
(b) p(x) = 10x2 − 43x + 40 e q(x) = 2x− 5
(c) p(x) = 12x3 − 19x2 + 15x− 3 e q(x) = 2x2 − x + 2
(d) 6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x− 5 e q(x) = 2x2 − 4x + 5
6