4ª LISTA - INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR - 2017/1 - DEMAT - UFOP

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
Departamento de Matema´tica
4a Lista de Exerc´ıcios de Int. a Alg. Linear
OBS: Sempre considere operac¸o˜es usuais nos exerc´ıcios em que a operac¸a˜o na˜o esta´ definida.
1. Verifique quais conjuntos abaixo sa˜o espac¸os vetoriais com as operac¸o˜se de adic¸a˜o e mul-
tiplicac¸a˜o por escalar nele definidas:
(a) R3, com as operac¸o˜es (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2) = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) e k�(x, y, z) =
(0, 0, 0)
(b) V = {(x, 2x, 3x);x ∈ R} com as operac¸o˜es usuais;
(c) V = {(x, x2) : x ∈ R} com as seguintes operac¸o˜es
(x1, x
2
1)⊕ (x2, x22) = (x1 + x2, (x1 + x2)2) e α� (x, x2) = (αx, α2x2)
(d) {(x, y) : x, y > 0} com as operac¸o˜es
(x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1x2, y1y2) e α� (x, y) = (xα, yα)
Resp.: a) Na˜o e´ espac¸o vetorial, falha o quarto axioma da multiplicac¸a˜o por escalar.
b) e´ espac¸o vetorial. c) e´ espac¸o vetorial. d) e´ espac¸o vetorial.
2. (a) No R2 considere os vetores u = (1, 1), v = (3,−2) e (3,−2). Resolva a equac¸a˜o
x+ u
2
+
v + x
3
= w
na varia´vel x
(b) Resolva o sistema de equac¸o˜es vetoriais
x+ y + z = u
2x− y + z = w
x+ y − 2z = w
nas inco´gnitas x, y, z ∈ R2.
Resp.: x = (16/9,−1), (−1/9, 1), z = (−2/3, 1).
3. Verifique se W = {(x, y);x ≥ 0} e´ um subespac¸o de R2. Resp.: Na˜o.
4. Verifique se W =
{(
a b
c d
)
; c = a+ b e d = 0
}
e´ um subespac¸o de M2(R).
Resp.: E´ subespac¸o.
5. Verifique que o conjunto soluc¸a˜o de um sistema homogeˆneo AX = 0, em que A e´ uma
matriz m × n, X e´ uma matriz n × 1 e 0 e´ a matriz nula de ordem m × 1 e´ subespac¸o
vetorial de Rn. Este e´ dito subespac¸o soluc¸a˜o do sistema.
6. Seja Mn(R) o espac¸o das matrizes quadradas n × n com entradas reais e S = {A ∈
Mn(R)|A = At} (conjunto das matrizes sime´tricas). S e´ um subespac¸o de Mn(R)?
7. Quais dos seguintes conjuntos W abaixo sa˜o sub-espac¸os de R3?
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3; x e´ um nu´mero inteiro}
1
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3; ax+ by + cz = 0, com a, b, c ∈ R}
Resp.: (a) na˜o e´ (b) e´.
8. Seja V um espac¸o vetorial e W1,W2 ⊂ V dois subespac¸os.
(a) Mostre que W1 ∩W2 e´ um subespac¸o vetorial de V
(b) W1 ∪W2 e´ um subespac¸o vetorial de V ?
(c) Seja V um espac¸o vetorial e U,W ⊂ V dois subespac¸os vetoriais de V . Mostre que o
conjunto U +W = {u+ w : u ∈ U e w ∈W} e´ um subespac¸o vetorial de V .
9. (a) Considere o espac¸o vetorial V = {(x, x2) : x ∈ R} com as operac¸o˜es
(x1, x
2
1)⊕ (x2, x22) = (x1 + x2, (x1 + x2)2) e α� (x, x2) = (αx, α2x2)
Verifique se W = {(x, x2) : x ≥ 0} e´ um subespac¸o de V .
(b) V = {(x, y) : x, y > 0} com as operac¸o˜es
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1x2, y1y2) e α(x, y) = (x
α, yα).
Verifique se W = {(x, x) : x > 0} e´ um subespac¸o de V .
10. No espac¸o M3×2(R) verifique se existem t1 e t2 reias tais que A = t1B + t2C, em que
A =
 1 10 0
0 0
 , B =
 0 12 1
1 1
 , C =
 1 21 0
0 −1

11. No espac¸o vetorial P3(R) sejam dados os vetores f(t) = t3−1, g(t) = t2+t−1 e h(t) = t+2.
(a) Existe k ∈ R de maneira que f(t) + kg(t) = h(t)?
(b) Existem k1, k2 ∈ R tais que f(t) = k1g(t) + h2h(t)?
12. Considere no espac¸o P2 os vetores p1 = t2 − 2t + 1, p2 = t + 2, p3 = 2t2 − t. Escreva
p = 5t2 − 5t+ 7 como combinac¸a˜o linear de p1, p2, p3.
13. Determine os subespac¸o˜es de R3 gerados pelos seguintes conjuntos
(a) A = {2,−1, 3}
(b) A = {(−1, 3, 2), (2,−2, 1)}
(c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}
(d) A = {(1, 2,−1), (−1, 1, 0), (0, 0, 2), (−2, 1, 0)}
Resp.: a) {(x, y, z) : x = −2y, z = −3y} b) {(x, y, z) : 7x + 5y − 4z = 0} c) {(x, y, z) :
x+ y − z = 0} d) R3
14. Deˆ um conjunto de geradores para cada um dos seguintes sub-espac¸os de R3:
(a) U = {(x, y, z) : x− 2y = 0};
(b) V = {(x, y, z) : x+ z = 0 e x− 2y = 0};
(c) W = U ∩ V
(d) Z = {(x, y, z);x+ 2y − 3z = 0}
Resp.: (a) {(2, 1, 0), (0, 0, 1)} (b) {(2, 1,−2)} (c) {(2, 1,−2)}
2
15. Considere os vetores de R3: (−1, 0, 1) e (3, 4,−2). Determinar um sistema de equac¸o˜es
homogeˆneas para o qual o espac¸o soluc¸a˜o seja exatamente o sub-espac¸o gerado por esses
vetores.
16. Verifique se os conjuntos de vetores abaixo sa˜o L.I. ou L.D.:
(a) Em R2 o conjunto S = {(1, 2)}. R.: L.I.
(b) Em R2 o conjunto S = {(1, 2), (−2, 4)} R.: L.I.
(c) Em R2 o conjunto S = {(1, 3), (8, 24)}R.: L.D.
(d) Em R3 o conjunto S = {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)} R.: L.D.
(e) Em R3 o conjunto S = {(1,−2, 3), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (3,−1, 2)} R.: L.D.
(f) Em P2(R) o conjunto S = {1− x+ 2x2, 2− x− x2, 1 + 2x− 3x2}
(g) Em R4 o conjunto S = {(2, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 1), (−1, 2, 0,−1)}
(h) Em M2×3(R) o conjunto S = {A,B,C}, em que
A =
( −1 2 1
3 −2 4
)
,
(
0 −1 2
−2 1 0
)
, C =
( −1 0 5
−1 0 3
)
17. Determine o valor de k para que seja L.I. o conjunto:
{(−1, 0, 2), (1, 1, 1), (k,−2, 0)}
RESP.: k 6= −3
18. Verifique que o conjunto {(1,−1), (2, 1), (−1, 0)} e´ L.D. Escreva cada elemento desse con-
junto como combinac¸a˜o linear dos outros dois.
19. Mostre que se u, v sa˜o vetores L.I. enta˜o u+ v, u− v tambe´m e´ L.I.
20. Mostre que se u, v e w sa˜o L.I., enta˜o u+ v, u+ w e v + w tambe´m sa˜o L.I.
21. Escreva um vetor gene´rico (x, y) ∈ R2 como combinac¸a˜o linear de v1 = (2,−1) e v2 =
(−3, 2).
22. Determinar m e n (nu´meros reais) para que os conjuntos de vetores do R3 dados abaixo
sejam L.D.
(a) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1,m, 2)}. Resp.: m = 0
(b) {(6, 2, n), (3,m+ n,m− 1)}. Resp.: m = −1 e n = 2.
(c) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, 2,m)}. Resp.: na˜o existe m.
3