EDO Solução em Series

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1 
 
 
 
Ministério da Educação 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL 
DO PARANÁ 
Câmpus Londrina 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
 
 
 
Regina Sayuri Kainuma Yamada 
 
 
2 
 
Soluções em Séries de Equações Diferenciais 
 
Introdução: Aproximação Polinomial de Taylor 
 
É provável que a melhor ferramenta para aproximar numericamente uma 
função 
( )f x
perto de um ponto particular 
0x
 seja o polinômio de Taylor. A expressão 
para o polinômio de Taylor de grau n centrado em 
0x
, aproximando uma função 
( )f x
 
possuindo n derivadas em 
0x
, é dada por: 
 
( )
2 30 0 0
0 0 0 0 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ... ( )
2! 3! !
n
n
n
f x f x f x
p x f x f x x x x x x x x x
n
 
         
 
ou simplesmente: 
 
( )
0
0
0
( )
( ) ( )
!
in
i
n
i
f x
p x x x
i
 
 (1) 
 
Esse polinômio combina o valor de 
( )f x
 e os valores de suas derivadas, até a 
ordem do polinômio, no ponto c: 
 
0 0
0 0
0 0
( ) ( )
0 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
 .
 .
 .
( ) ( )
n
n
n
n n
n
p x f x
p x f x
p x f x
p x f x

 
 

 
Por exemplo, os primeiros quatro polinômios de Taylor para xe , expandidos em 
torno de 
0 0x 
, são: 
 
3 
 
1
2
2
2 3
3
( ) 1
( ) 1
( ) 1
2
( ) 1
2 6
op x
p x x
x
p x x
x x
p x x

 
  
   
 (2) 
 
Sua eficácia na aproximação da função exponencial é demonstrada no gráfico: 
 
 
 
 
O polinômio de Taylor de grau n difere do polinômio do próximo grau inferior 
apenas na adição de um único termo: 
 
( )
0
1 0
( )
( ) ( ) ( )
!
n
n
n n
f x
p x p x x x
n
  
 
4 
 
de modo que uma listagem como (2) é clara redundância; pode-se ler 
( )op x
, 
1( )p x
 e 
2( )p x
a partir da fórmula para 
3( )p x
. De fato, se 
( )f x
 for infinitamente diferenciável, 
( )np x
é apenas a soma parcial de ordem 
( 1)n
 da série de Taylor 
 
( )
0
0
0
( )
( )
!
n
n
n
f x
x x
n



 (3) 
 
NOTA: 
 
   
   
 
 
 
 
 
 
2 30 0 0 0
0 0 0 0 0
0 ! 1! 2! 3!
n
n
n
f x f x f x f x
f x x x f x x x x x x x
n


  
         
 
é chamada de série de Taylor da função 
f
 em 
0x
. 
 
Caso especial: Fazendo 
0 0x 
 a série de Taylor se torna 
 
   
 
     2 3
0
0 0 0 0
0
! 1! 2! 3!
n
n
n
f f f f
f x x f x x x
n


  
     
 
e é chamado de série de Maclaurin. 
 
 
Exemplo 01: Determinar o polinômio de Taylor de grau 4 da função 
( ) cos( )f x x
no 
ponto 
0 0x 
. 
Solução: Temos que 
   
   
   
   
       4 4
cos 0 1
0 0
cos 0 1
0 0
cos 0 1
f x x f
f x senx f
f x x f
f x senx f
f x x f
  
    
     
   
  
 
Logo, 
   
         4 2 42 3 4
4
0 0 0 0
0 1
1! 2! 3! 4! 2 24
f f f f x x
p x f x x x x
  
       
 
R: 2 4
4 ( ) 1
2 24
x x
p x   
 
 
5 
 
Para relacionar esse esquema de aproximação com nosso tema (a resolução de 
equações diferenciais), alteramos nosso ponto de vista; consideramos uma equação 
diferencial não como uma “condição a ser satisfeita”, mas como uma prescrição para 
construir os polinômios de Taylor para suas soluções. Além de oferecer um método 
muito geral para calcular soluções precisas aproximadas para a equação perto de 
qualquer ponto de “partida” em particular, essa interpretação também oferece idéias 
para o papel das condições iniciais. 
 
 
 
SOLUÇÕES EM SÉRIES DE POTÊNCIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
As equações diferenciais discutidas até o momento possuíam em geral soluções 
( )y x
 que poderiam ser escritas em termos de funções elementares, como polinômios, 
exponenciais, senos e cossenos. Porém, surgem muitas equações importantes cujas 
as soluções não podem ser expressas dessa forma. Entretanto, a aproximação de 
Taylor sugere outra possibilidade de solução em forma de uma série de potências. 
 
Definição 01: Uma série de potências é uma série da forma 
2 3
0 1 2 3
0
n n
n n
n
a x a a x a x a x a x


      
 (1) 
onde 
x
 é uma variável e 
na s
 são constantes chamadas de coeficientes da série. 
 
Uma série de potências centrada em 
0x x
 é uma série da forma 
         
2 3
0 0 1 0 2 0 3 0 0
0
n n
n n
n
a x x a a x x a x x a x x a x x


           
 (2) 
 
Nas equações (1) e (2) adotamos a convenção que 
 
0
0 1x x 
 mesmo quando 
0x x
. 
Note também que se 
0x x
 todos os termos são 0 para 
1n 
, e assim a série de 
potência (2) sempre converge quando 
0x x
. 
 
 
 
 
6 
 
Convergência e Divergência 
Teorema 01: Para uma dada série de potências 
 0
0
n
n
n
a x x



 existem apenas três 
possibilidades: 
i) A série converge apenas quando 
0x x
. 
ii) A série converge para todo 
x
. 
iii) Existe um número positivo R tal que a série converge se 
0x x R 
 e diverge se 
0x x R 
. 
 
O número R é chamado raio de convergência da série. Por convenção, o raio 
da convergência do item (i) é 
0R 
 e do (ii) é 
R  
. 
A totalidade dos números para os quais uma série de potências é convergente 
chama-se intervalo de convergência. 
No caso (i) o intervalo consiste em apenas um único ponto 
a
. No caso (ii) o intervalo 
é 
 , 
. Agora, no caso (iii) a desigualdade 
0x x R 
 pode ser reescrita como 
0 0x R x x R   
. Quando 
x
 é um extremo do intervalo, ou seja, quando 
0x x R 
, 
pode ocorrer convergência ou divergência, dependendo da natureza da série. Então, 
no caso (iii) existem quatro possibilidades para o intervalo de convergência: 
       0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , , ,x R x R x R x R x R x R x R x R       
 
No intervalo considerado, a série deverá ser convergente. 
A convergência de uma série de potências pode frequentemente ser determinada pelo 
teste da razão: 
 
Teste da razão 
i) Se 
1lim 1n
n
n
u
L
u


 
, então a série 
1
n
n
u



 é absolutamente convergente (e portanto 
convergente). 
ii) Se 
1lim 1n
n
n
u
L
u


 
 ou 
1lim n
n
n
u
u


 
, então a série 
1
n
n
u



 é divergente. 
Se 
1L 
, nenhuma conclusão quanto a convergência pode ser tirada do teste. 
 
No estudo da obtenção de uma solução em série de potências, vamos nos 
concentrar na equação diferencial ordinária de 2ª ordem: 
7 
 
2
2 1 02
( ) ( ) ( ) 0
d y dy
a x a x a x y
dx dx
  
 (3) 
 
que tem coeficientes variáveis, ainda que a idéia geral, pode ser usada para equações 
diferenciais de qualquer ordem. Queremos obter pelo menos uma solução 
( )y x
, na 
forma de uma série de potências como: 
 
0
0
( ) ( )nn
n
y x a x x


 
 (4) 
onde 
0x
 é o ponto em torno do qual queremos achar a solução. 
Ainda, se a função 
( )y y x
pode ser desenvolvida em série de Taylor nasvizinhanças de um ponto 
0x
 do intervalo em que a equação é definida, a solução a ser 
determinada assumirá a forma: 
( )
2 30 0 0 0
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
1! 2! 3! !
n
ny x y x y x y xy y x y x x x x x x x x x
n
  
           K
 
 
onde 
0( )y x
 e os coeficientes 
( )
0 0 0 0( ), ( ), ( ),..., ( )
ny x y x y x y x  
 se determina por n 
condições iniciais, e os demais, por derivação sucessiva da equação diferencial dada. 
 
 
Exemplo 02: Resolva o problema de valor inicial 
   0, 0 1, 0 1y xy y y y      
 
Solução: Pelo série de Taylor na vizinhanças 
0 0x 
 a solução é dada por 
(4)
2 3 4(0) (0) (0) (0)(0)
1! 2! 3! 4!
y y y y
y y x x x x
  
     K
 
Sabemos que 
   0 1, 0 1y y 
. Da equação diferencial obteremos 
       
     
             4 4 4
0 0 0 0 1 0 1
2 0 2 0 2 0 2
2 3 0 3 0 3 2 6 0 6
y xy y y y y y
y y xy y y xy y y y
y y y xy y xy y y y
               
                      
                    
 
8 
 
(4) 2 3 4
2 3 4(0) (0) (0) (0) 2 6(0) 1
1! 2! 3! 4! 2 6 24
y y y y x x x
y y x x x x x
  
           K K
 
R: 2 3 4
1
2 3 8
x x x
y x     
 
 
 
Podemos reescrever a equação diferencial na forma padrão: 
 
2
2
( ) ( ) 0
d y dy
P x Q x y
dx dx
  
 (5) 
 
onde 
1
2
( )
( )
( )
a x
P x
a x

 e 
0
2
( )
( )
( )
a x
Q x
a x

. 
 
Percebe-se que 
( )P x
e 
( )Q x
 são funções racionais, portanto não é possível 
escrever a série de Taylor de uma função racional em torno dos pontos 
0x
 que são 
raízes do denominador. 
O nosso interesse básico com relação às séries como método de resolução de 
equações diferenciais diz respeito à possibilidade de uma função ser escrita como 
série de potências, especificamente uma série de Taylor, em torno de um ponto 
0x
. 
Nem sempre isso é possível, como, por exemplo, se 
0x
 for uma raiz, ou zero, do 
denominador de uma função racional como: 
 
 2 2
( )
1
x
f x
x



 
Não é possível escrever a série de Taylor dessa função em torno do ponto 
0 1x 
, já 
que este ponto é raiz do denominador. Neste caso, dizemos que a função não é 
analítica neste ponto, e o ponto 
0x x
 é chamado ponto singular. Para todos os 
outros valores de 
0x
, denominamos pontos ordinários e a série de Taylor existe, e a 
função nestes pontos é analítica. 
 
 
 
9 
 
Definição 02: Função Analítica 
Dizemos que uma função 
f
 é analítica no ponto 
0x
 quando ela pode ser representada 
por uma série de potências em 
 0x x
 com um raio de convergência positivo. 
 
Exemplos de algumas funções analíticas 
Série de Macalurin Intervalo de 
convergência 
2 3
0
1
1
1
n
n
x x x x
x


     


 
 
 1,1
 
2 3
0
1
! 1! 2! 3!
n
x
n
x x x x
e
n


     
 
 
 , 
 
   
1 2 3 4
0
ln 1 1
1 2 3 4
n
n
n
x x x x
x x
n


       


 
 
 1,1
 
 
 
2 1 3 5 7
0
1
2 1 ! 3! 5! 7!
n
n
n
x x x x
senx x
n


     


 
 
 , 
 
 
 
2 2 4 6
0
cos 1 1
2 ! 2! 4! 6!
n
n
n
x x x x
x
n


     
 
 
 , 
 
 
2 1 3 5 7
0
1
2 1 3 5 7
n
n
n
x x x x
arctgx x
n


     


  1,1
 
 
 
Soluções em torno de Pontos Ordinários 
 
 
Definição 03: Pontos singulares e ordinários 
Dizemos que um ponto 
0x
 é um ponto ordinário da equação diferencial (5) se 
 P x
 e 
 Q x
 são analíticas em 
0x
. Um ponto que não é um ordinário é considerado como um 
ponto singular da equação. 
10 
 
Exemplo: Determine todos os pontos singulares de 
1(1 ) ( ) 0xy x x y senx y    
 
 
Solução: Dividindo a equação por 
x
, descobrimos que: 
( )
(1 )
x
P x
x x


 e 
( )
( )
sen x
Q x
x

 
 
Os pontos singulares são aqueles em que 
( )P x
e 
( )Q x
deixam de ser analíticas. 
Observe que 
( )P x
e 
( )Q x
 são relações das funções que são analíticas em toda a parte. 
Logo 
( )P x
e 
( )Q x
 são analíticas exceto, talvez, quando seus denominadores são zero. 
Para 
( )P x
, isso ocorre em 
0x 
e 
1x 
. Mas, como podemos cancelar um 
x
no 
numerador e denominador de 
( )P x
,ou seja, 
0
1
( )
(1 ) 1
n
n
x
P x x
x x x


  
 

, 
 
Percebe-se que 
( )P x
 na realidade é analítica em 
0x 
. Assim como em 
( )P x
, esse 
zero é removível, pois 
( )Q x
 tem a expansão da série de potências 
 
3 5
2 4...( ) 3! 5!( ) 1 ...
3! 5!
x x
x
sen x x x
Q x
x x
  
     
 
 
Assim, 
( )Q x
 é analítica em toda a parte. Portanto, o único ponto singular da equação 
dada é 
1x 
. 
 
Vamos analisar quando a equação diferencial (3) tem coeficientes polinomiais. 
 
Coeficientes Polinomiais 
Quando 
     2 1 0, ,a x a x a x
 da equação diferencial (3) são polinômios sem fatores 
comuns, então um ponto 
0x x
 é: 
i) um ponto ordinário se 
 2 0 0a x 
 ou 
ii) um ponto singular se 
 2 0 0a x 
 
 
11 
 
A distinção entre pontos ordinários e singulares é necessária para o 
entendimento do seguinte teorema: 
 
Teorema 02: A equação diferencial (5) tem duas soluções diferentes, LI, na 
forma da equação (3): 
0
0
( ) ( )nn
n
y x a x x


 
 
 
desde que 
0x
 seja um ponto ordinário. Ou seja, se 
0x
 for um ponto ordinário de (3), 
através do método de séries é possível encontrar as duas soluções LI em torno de 
ox
 
que formam a solução geral da equação diferencial. O que diferencia as duas soluções 
são os 
na
. 
 
 
Exemplo 03: Consideremos a equação: 
0y xy y   
 
 
Encontre uma solução na forma de uma série de potências. 
 
R: 
2 4 3 5
0 1
1 1 1 1
1 ... ...
2 8 3 15
y a x x a x x x
   
          
   
 
 
Solução: Como 
  012 xa
 todos os pontos x0 são pontos ordinários, em particular 
00 x
. Logo, a solução é da forma em série de potências 
   




4
4
3
3
2
210
00
xaxaxaxaaxaxxay
n
n
n
n
n
on
 
Assim, 




1
13
4
2
321 432
n
n
nxnaxaxaxaay 
 
 



2
22
432 11262
n
n
nxannxaxaay 
 
E substituindo na equação, tem-se: 
 
12 
 
0y xy y   
 
  01
01
1
2
2  








n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxnaxxann
 
  01
012
2  







n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxnaxann
 
 
Colocaremos a variável x na mesma potência n: 
  01
012
2  







n
n
n
n
n
n
n
n
n xaxnaxann
 
 
   012
2
01
010
2
012
2



















n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
xaxnaxann
nporn
xaxnaxannTodas as somatórias deve começar com 
1n
: 
  
   
     
          



































1,
2
1120112
2
02
01122
0122
0122
2
22
0
202
1
202
1
202
0
0
11
22
n
n
a
a
naannnaann
a
aaa
xnaannaa
xanaannaa
xaaxnaxanna
n
n
nnnn
n
n
nn
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 
Assim, 
824
1
4
3
0
4
02
4
1
3
a
a
aa
a
a
a








 
 
13 
 

1535
1
5
1
5
13
5
a
a
aa
a 





 
Logo a solução geral é dado por 
 0
51403120
10
5
5
4
4
3
3
2
210
0
15832
a
x
a
x
a
x
a
x
a
xaa
xaxaxaxaxaaxay
n
n
n







 
_____________________________________________________________ 
Exemplo 04: Resolva a equação diferencial: 
2( 5) 0y xy x y    
 
R: 
2 4 3 5
0 1
5 33 5 17
1 ... ...
2 24 6 72
y a x x a x x x
   
          
   
 
 
 
Exemplo 05: Resolva a equação diferencial: 
4 0y y  
 
Note que esta equação homogênea tem coeficiente constante logo uma das 
soluções tem a forma 
xy e
 . Não há necessidade de resolvê-las por séries de 
potências mas o resultado é a mesma. 
 
R: 
 
 
 
 
2 4 6 3 5 7
0 12 4 6 2 4 6
2 2 1
0 1 1 2
1 1
1 1 1 1 1 1
1 ... ...
2 2! 2 4! 2 6! 2 3! 2 5! 2 7!
1 1
2 cos
2 ! 2 2 1 ! 2 2 2
n nn n
n n
y a x x x a x x x x
x x x x
a a C C sen
n n
 
 
   
                    
        
          
       
 
 
 
 
Exemplo 06: Resolva o problema de valor inicial: 
( 1) 0x y xy y    
, 
(0) 2y  
 e
(0) 6y 
. 
 
14 
 
Solução: Temos que 
 2 1 0 1a x x x    
 , logo 
1x 
 é o único ponto singular e os 
demais são pontos ordinários, em particular tomaremos o ponto ordinário 
0x 
 . A 
solução é uma série de potência dada por 
 1 2
1 20
1n n
n
n
n
n
n
n
n
y na x y n n a xy a x
 
 
  

     
 
 
Assim substituindo na equação 
   
   
2
1 2
2 2
2
1
1
2 1
0
2
0
1 2
( 1) 0 0
1 1 0
Vamos colocar a variável x na mesma potênci
0
a: 
1 1n n n nn n n n
n n
n n n n
n n n n
n n n
n
n
n
n nn n
x y xy y xy y x
n n
y y
x n n a x n n a x x na x a x
a x n n a x na x a x
   
  
  
   
 
   

  
  
      
  
     
     
  
   

     2
0
1
1 01
2 1 01 n nn n
n n
n n
n n
nn
n n an na x a xx n a x
 

 




       
 
 
15 
 
    
      
    
01
11
1
1
0
2 0 2
2 2
1
2 2
1
1
0
2 2 1
Agora vamos colocar todas as somatórias iniciando em 1: 
2 0
2 0
1
1 2
0
1
2 1
1
2
1
n
n
n
n n
n n
n n
nnn
n
n
n
n
n
n
a n n a
n
x
a
a a a
n na
na x a a x
a a
n n
n na x
a n n
a
x
n nn aa
 












  

 

  
    

   
    



 



 


        
  
2 2 1
2 1
0 0
3 2 3
0 0 0 0
4 3 2 4
1 0 2 1 1 1
1
 , 1
2 2 1
1
3 6 6
2 1
4 12 12 24 24 24
n n n n n
n n n
a n n n a n na a n
n n
a a a n
n n n
a a
a a a
a a a a
a a a a
  
 





            



   
  
   

      
M
 
Logo, a solução é da forma 
2 3 4 2 3 40 0 0
0 1 2 3 4 0 1
0
2 3 4
0 1
2 3
0 1
2 6 24
1 1 1
1
2 6 24
1 1
2 6
n
n
n
a a a
y a x a a x a x a x a x a a x x x x
y a x x x a x
y a x x x a


            
 
      
 
 
      
 

 
 
Pelas condições iniciais, 
 
0
1
(0) 2 2
(0) 6 6
y a
y a
    
   
 
Portanto, 
16 
 
2 3 41 1 12 1 6
2 6 24
y x x x x
 
       
 
 
Pela série de Maclaurin, 2 3 2 3
0
1 1
! 1! 2! 3! 2 6
n
x
n
x x x x x x
e x
n


          
 
Podemos escrever a solução da seguinte forma 
 2 3 4
1 1 1
2 1 6 2 6 2 8
2 6 24
x xy x x x x x x e x x e x
 
                
 
 
 
Outra maneira de resolver: Use a série de Taylor na vizinhanças 
0 0x 
. 
A solução é dada por 
(4)
2 3 4(0) (0) (0) (0)(0)
1! 2! 3! 4!
y y y y
y y x x x x
  
     K
 
Sabemos que 
   0 2, 0 6y y  
. Da equação diferencial obteremos 
 
   
 
    
 
    
 
     2 2
0 2
0 0 0 2
1 1 1
1 1
0 0 2 0 2
1 1
yxy y
y y y
x
y xy y x xy y xy x xy y
y y y y
x x
   
         
  
             
          
 
 
(4) 3
2 3 4 2(0) (0) (0) (0)(0) 2 6
1! 2! 3! 4! 3
y y y y x
y y x x x x x x
  
           K K
 
 
 
R: 
2 31 12 1 ... 6 8 2
2 6
xy x x x x e
 
        
 
 
_________________________________________________________________ 
Exemplo 07: Resolva o problema de valor inicial: 
( 1) (2 ) 0x y x y y     
, 
(0) 2y 
 e
(0) 1y  
. 
 
R: 
2 3 4 2 4 2 3 41 1 1 1 1 12 1 ... ... 2 2 ...
2 6 8 4 3 2
y x x x x x x x x x x
   
                 
   
 
 
 
 
17 
 
Exemplo 08: Resolva a equação diferencial: 
 cos 0y x y  
 
 
R: 
    2 32 0 3 1 4 3 0 5 3 1
1 1
cos 2 6 12 20 ...
2 2
y x y a a a a x a a a x a a a x
   
               
   
 
Logo: 
2 4 3 5
1 0 2 1
1 1 1 1
( ) 1 ... ( ) ...
2 12 6 30
y x a x x y x a x x x
   
          
   
 
 
 
 
Soluções em torno de Pontos Singulares 
 
 
Definição 04: Considerando a equação 
( ) ( ) 0y P x y Q x y   
, dizemos que um 
ponto singular 
0x x
 é um ponto singular regular da equação se 
0 1( ) ( )x x P x
 e 
2
0 2( ) ( )x x P x
 forem ambas analíticas em 
0x
. Se pelo menos uma não for analítica, 
0x
 
é chamado de ponto singular irregular. 
 
 
Por exemplo, na equação diferencial: 
2 2
2
1 1
0
3 3
d y dy x
y
dx x dx x

  
 
 
 
Temos: 
1
( )
3
P x
x


 e 2 1
( )
3
x
Q x
x



 
 
que tem um ponto singular em 
0 3x 
. Todos os outros pontos são ordinários, e assim, 
se quisermos resolver a equação diferencial em torno de qualquer ponto que não seja 
0 3x 
, podemos utilizar o método normal de séries, e determinaremos as duas 
soluções LI. 
18 
 
Quando queremos a solução em torno de 
0 3x 
, que é um ponto singular, 
primeiro precisamos saber se ele é regular ou irregular. Neste caso calculando: 
 
 
1( 3) ( ) 3 . 1
3
x P x x
x
   

 
 
 
2
22 2 3 21( 3) ( ) 3 . ( 3).( 1) 3 3
3
x
x Q x x x x x x x
x

         

 
Assim as funções são analíticas, e assim, o ponto 
0 3x 
 é singular regular. 
 
 
 
 
A equação diferencial: 
 
2 2
22
1 1
0
33
d y dy x
y
dx dx xx

  

 
Também tem um ponto singular em 
0 3x 
. No entanto, fazendo: 
 
 
 
2 1
0
1 1 1
( 3) ( ) 3 . , 3
3 33 3 1
3
n
n
n
x
x P x x x
xxx



        
    
 

 
 
 
2
22 2 3 21( 3) ( ) 3 . ( 3).( 1) 3 3
3
x
x Q x x x x x x x
x

         

 
 
 
Nota-se que a 1ª função é não analítica em 
0 3x 
, e este é um ponto singular 
irregular. 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
Coeficientes polinomiais 
Se os coeficientes da equação diferencial (3) são polinomiais sem fatores comuns a 
Definição 04 é equivalente ao seguinte: 
Seja 
 2 0 0a x 
. Reduza  
 
 
 
1 0
2 2
 e 
a x a x
a x a x
 aos menores termos para formar 
 P x
 e 
 Q x
, respectivamente. Se o fator 
 0x x
 aparecer no denominador de 
 P x
 com 
multiplicidade menor ou igual a 1 e no denominador de 
 Q x
 com multiplicidade 
menor ou igual a 2, então 
0x x
 é um ponto singular regular. 
 
 
Exemplo 09: Determine os pontos singulares de cada equação diferencial. Classifique 
cada ponto como regular ou irregular. 
 
1. 
   
2
2 4 2 0x y x y y     
 
R: 
2x 
 singular regular ; 
2x  
 singular irregular 
 
2. 
   22 21 1 2 0x x y x y y     
 
R: 
1x  
 singular regular ; 
0x 
 singular irregular 
 
3. 
3 2 5 0x y xy y   
 
R: 
0x 
 singular irregular 
 
4. 
2 5 0xy xy y   
 
R: 
0x 
 singular regular 
 
 
Quando um ponto singular é regular, emprega-se o seguinte teorema: 
 
 
 
 
 
 
20 
 
TEOREMA 03: MÉTODO DE FRÖBENIUS 
 
Se 
0x
 é um ponto singular regular da equação diferencial 
   2 1 0( ) 0a x y a x y a x y   
 
então existe pelo menos uma solução na forma: 
     0 0 0
0 0
r n n r
n n
n n
y x x a x x a x x
 

 
     
 (1) 
 
em torno de 
0x
, onde r é uma constante a ser determinada. A série convergirá pelo 
menos em algum intervalo 
00 x x R  
. 
 
 
Para motivar o procedimento, vamos resolver a equação de Cauchy-Euler 
2 0, ax y bxy cy   
 (2) 
por método de Frobenius, pois escrevendo a equação na forma-padrão 
 
2
0, 
b c
y y y
ax ax
   
 (3) 
 
temos que o fator 
x
 tem multiplicidade menor ou igual a 1 no denominador de 
 
b
P x
ax

 e multiplicidade menor ou igual a 2 no denominador de 
  2
c
Q x
ax

. Logo, 
0 0x 
 é um ponto singular regular. 
Como a equação (2) é uma equação de Cauchy-Euler, a solução é da forma 
ry x
, 
logo 
1ry r x  
 e 
  21 ry r r x   
 e substituindo na equação (3), obteremos: 
 
  20 0( 1) 0
rr r p r q x    
 
 
onde 
0 0,
b c
p q
a a
 
. Que gera a equação indicial: 
 
0 0( 1) 0r r p r q   
 (4) 
21 
 
 
Assim, se 
1r
 é uma raiz de (3), então 
1ry x
 é uma solução das equações (2) 
e (3). 
 
 
Agora propondo, de modo geral, que a equação diferencial 
 
( ) ( ) 0y P x y Q x y   
 (5) 
 
seja uma equação para a qual 
( )x P x
 e 
2 ( )x Q x
, em vez de constantes, são funções 
analíticas. Ou seja, em algum intervalo aberto em torno de 
0 0x 
, 
2
1 2
0
( ) ... no n
n
x P x p p x p x p x


    
 , (6) 
 
2 2
1 2
0
( ) ... no n
n
x Q x q q x q x q x


    
 (7) 
 
Segue-se de (6) e (7) que: 
 
 
0
0
lim ( )
x
x P x p


 e 
2
0
0
lim ( )
x
x Q x q


 
 
E logo, para x próximo de zero, temos 
0( )xP x p
e 
2
0( )x Q x q
. Portanto, é 
razoável esperar que as soluções para (5) se comportem (para próximo de zero) como 
as soluções de Cauchy-Euler 
 
2
0 0 0x y p xy q y   
 
 
Quando 
( )P x
 e 
( )Q x
 satisfazem (6) e (7), dizemos que o ponto singular em 
0 0x 
 é regular. 
Vamos supor que 
0 0x 
 seja um ponto singular da equação (5), de modo que 
( )P x
 e 
( )Q x
 satisfazem (6) e (7); ou seja, 
 
22 
 
1
0
( ) nn
n
P x p x




 e 
2
0
( ) nn
n
Q x q x




 
 
 
A idéia do matemático Fröbenius foi que, como as equações de Cauchy-Euler 
têm soluções na forma 
rx
, então, para o ponto singular regular 
0 0x 
, deve haver 
soluções para (2) na forma 
rx
 vezes uma função analítica, ou seja 
 
0 0
r n n r
n n
n n
y x a x a x
 

 
  
 (8) 
 
considerando que 
0a
 é o primeiro coeficiente diferente de zero, de modo que ficamos 
para determinar 
r
 e os coeficientes 
na
, 
1n 
 . Derivando (8) com relação a 
x
, temos: 
 
1
0
2
0
( ) ( )
( ) ( )( 1)
n r
n
n
n r
n
n
y x a n r x
y x a n r n r x

 


 

  
    


 (9) 
 
 
Se substituirmos tais expansões (2) e (9) em (5), obtém-se: 
 
2 1 1 2
0 0 0 0 0
( )( 1)( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0n r n n r n n rn n n n n
n n n n n
a n r n r x p x x a n r x q x x a x
    
      
    
     
           
     
    
 
Agora, utilizando o produto de Cauchy para realizar as multiplicações em série 
e depois agrupamos potências semelhantes de x, começando com a menor potência, 
2rx 
, encontra-se, 
 
 0 0 0( 1) 0r r p r q a   
 (10) 
 
23 
 
Considerando que 
0 0a 
, de modo que a quantidade entre colchetes deverá 
ser zero. Isso gera a equação indicial; ela é a mesma que derivamos para as 
equações de Cauchy-Euler. 
 
 
 
Casos de Raízes Indiciais 
 
Como questão de simplicidade, vamos sempre supor que 
0 0x 
. 
Quando usamos o método de Frobenius, temos três casos a analisar: 
 
 
 
Caso 1: Raízes que não diferem por um inteiro 
Se 
1r
 e 
2r
 são raízes distintas e não diferem por um inteiro (
*
1 2 , ,
a
r r a b
b
   Z Z
), 
então existem duas soluções linearmente independentes para a equação 
2
2 1 02
( ) ( ) ( ) 0
d y dy
a x a x a x y
dx dx
  
 
na forma 
1
2
1 0
0
2 0
0
, 0
, 0
n r
n
n
n r
n
n
y a x a
y b x b






 
 


 
 
 
Exemplo 10: Resolva a equação diferencial 
 
1. 
3 0xy y y   
 
R: 
2 3 2 3 2 3
1 0 2 0
1 1 1 1 1
1 ; 1
5 80 2640 8 168
y a x x x x y a x x x
   
            
   
 
Solução Geral: 
1 1 2 2y C y C y 
, onde 
2 3 2 3 2 3
1 2
1 1 1 1 1
1 ; 1
5 80 2640 8 168
y x x x x y x x x
 
          
 
 
24 
 
2. 
 2 1 0xy x y y    
 
R:  1 2 2 3 1 2
1 0 02 3
1
1 2 2 3
0
11 1 1
1 1
2 1 2 2! 2 3! 2 !
1 1 1
1
2 8 48
n
n
n
n
y a x x x x a x x
n
a x x x x


  
        
      
 
     
 

 
 
 
2 3 4
2 0 0
1
2 3 40
11 1 1
1 1
1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 2 1
1 1 1
1
3 15 105
n
n
n
y a x x x x a x
n
a x x x x


  
         
             
 
     
 

 
 
 
Caso 2: Raízes que diferem por um inteiro positivo 
Se 
1 2 ,r r N N   Z
 então existem duas soluções linearmente independentes para a 
equação 2
2 1 02
( ) ( ) ( ) 0
d y dy
a x a x a x y
dx dx
  
 na forma 
 
1
2
1 0
0
2 1 0
0
, 0
ln , 0
n r
n
n
n r
n
n
y a x a
y Cy x b x b






 
  


 
em que C é uma constante que pode ser zero. 
 
 
 
Caso 3: Raízes indiciais iguais 
Se 
1 2r r
 então existem duas soluções linearmente independentes para a equação 
2
2 1 02
( ) ( ) ( ) 0
d y dy
a x a x a x y
dx dx
  
 na forma 
 
25 
 
1
1
1 0
0
2 1 0
0
, 0
ln , 0
n r
n
n
n r
n
n
y a x a
y Cy x b x b






 
  


 
 
 
 
Para encontrar a segunda solução em forma de série, podemos sempre usar o fato de 
que 
 
 
 
2 1 2
1
P x dx
e
y y x dx
y x


  

 
é também uma solução para a equação 
( ) ( ) 0y P x y Q x y   
, sempre quando 
1y
 
for uma solução conhecida. 
 
 
Exemplo 11: Resolva a equação diferencial 
 
1. 
3 0xy y y   
 
R: 
   2 31 0 2 1 1 2
1 1 1 1 1 2 19
1 ; ln
3 24 360 4 2 3 270
y a x x x y y x x y x x
x x
   
             
   
 
Solução geral: 
     1 1 2 1 1 2
1 1 2 19
ln
4 2 3 270
y C y x C y x x y x x
x x
  
        
  
 onde 
2 3
1
1 1 1
1
3 24 360
y x x x    
 
____________________________________________________________________ 
 
2. 
 6 3 0xy x y y    
 
R: 
2 3 7 8 9 10
1 0 2 7
1 1 1 1 5 1
1 ;
2 10 120 2 36 36
y a x x x y a x x x x
   
           
   
 
Solução geral: 
1 1 2 2y C y C y 
, onde 
2 3 7 8 9 10
1 2
1 1 1 1 5 1
1 ;
2 10 120 2 36 36
y x x x y x x x x        
 
_____________________________________________________________ 
26 
 
 
3. 
4 0xy y y   
 
R: 
   2 3 2 31 0 2 1 1
16 1472
1 4 4 ; ln 8 20
9 27
y a x x x y y x x y x x x x
   
             
   
 
Solução geral: 
      2 31 1 2 1 1
1472
ln 8 20
27
y C y x C y x x y x x x x
  
        
  
 onde 
2 3
1
16
1 4 4
9
y x x x    