Respostas do Capitulo 09

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Cap´ıtulo 9
9.1)
∫ 1.30
1.00
√
x dx ' 0.321463.
9.2) Para h = 0.4, 0.2 e 0.1, obtemos:
∫ 0.8
0
cos x dx ' 0.7076, 0.7148 e 0.7165,
respectivamente.
9.3)
∫ 1.6
1.2
sen x dx ' 0.39105.
9.4)
∫ 0.8
0
x ex dx ' 0.564.
9.6)
∫ 1.30
1.00
√
x dx ' 0.321475.
Para h = 0.4, 0.2 e 0.1, obtemos:
∫ 0.8
0
cos x dx ' 0.71733, 0.71720 e 0.71717,
respectivamente.∫ 1.6
1.2
sen x dx ' 0.391557.
∫ 0.8
0
x ex dx ' 0.554133.
9.7)
∫ 20
0
v(t) dt ' 4162.33 pe´s.
9.8)
∫ 1.6
1.0
ln x dx ' 0.1518.
9.9)
∫ 1.30
1.00
√
x dx ' 0.321476.
∫ 1.6
1.0
ln x dx ' 0.1518.
9.10)
∫ 0.6
0
cosx dx ' 0.564525.
9.11) Para h = 0.4 e h = 0.2, obtemos:
∫ 1.2
0
e−x sen x dx ' 0.3046 e 0.3050,
respectivamente.
9.12) h < 0.00245⇒ h = 0.002.
9.13) N = 10 subintervalos.
9.14) h < 0.68⇒ h = 0.3.
9.15) Calculando diretamente e usando quadratura de Gauss-Legendre sobre dois
pontos, obtemos:
a)
∫ 1
−1
(
z3 + z2 + z + 1
)
dz =
8
3
e ' 2.6666667, respectivamente.
b)
∫ 0
−2
(
x2 − 1) dx = 2
3
e ' 0.6666667, respectivamente.
9.16)
∫ 1
−1
(
1− x2)−1/2 x2 dx ' 1.566, exatamente, a menos de erros de arredon-
damento , usando quadratura de Gauss-Tchebyshev sobre dois pontos.
9.17)
∫ 1
−1
(
1
2 + 2x
+
1
2− 2x
)1/2
dx ' 3.1416, usando quadratura de Gauss-
Tchebyshev sobre dois pontos .
9.18)
∫ 2
1
dx
2(x+ 1)
√−x2 + 3x− 2 ' 0.6411 e 0.6413 usando quadratura de Gauss-
Tchebyshev sobre dois e treˆs pontos, respectivamente.
9.19)
∫ 1
0
(
1
4x
+
1
4− 4x
)1/2
dx ' 1.5708, exatamente, a menos de erros de
arredondamento, usando quadratura de Gauss-Tchebyshev sobre dois pontos
.
9.20)
∫ pi
−pi
cos4 θ dθ ' 2.3559, exatamente, a menos de erros de arredondamento,
usando quadratura de Gauss-Tchebyshev sobre dois pontos .
9.21)
∫ ∞
0
(
x3 + 4x+ 2
e2x
)
ex dx ' 11.9976, exatamente, a menos de erros de
arredondamento, usando quadratura de Gauss-Laguerre sobre dois pontos.
9.22) Γ(5) =
∫ ∞
0
e−x x4 dx ' 24.0171, exatamente, a menos de erros de arredon-
damento, usando quadratura de Gauss-Laguerre sobre treˆs pontos.
9.23)
∫ ∞
1
e−t
t
dt ' 0.22069, usando quadratura de Gauss-Laguerre.
9.24)
∫ ∞
−∞
e−x
2
sen x dx = 0, usando quadratura de Gauss-Hermite.
9.25) A fo´rmula de Newton-Cotes do tipo fechado sobre cinco pontos e´ dada por:∫ x4
x0
f(x)dx ' 2h
45
[7f(x0) + 32f(x1) + 12f(x2) + 32f(x3) + 7f(x4)].
Usando a fo´rmula obtida, segue que:
∫ 3
2
x e
x
2 dx ' 8.9776.
9.26) Usando as regras do Trape´zio, 13 de Simpson e
3
8 de Simpson, obtemos:
I)
∫ 2.5
1
x lnx dx ' 1.5696, 1.5695 e 1.5666, respectivamente.
II)
∫ 0
−1.5
x ex dx ' −0.4364,−0.4421 e −0.4421, respectivamente.
9.27) Usando as regras do Trape´zio, 13 de Simpson e
3
8 de Simpson, precisamos:
para a integral I) do exerc´ıcio 9.26) de 200, 10 e 12 diviso˜es, respectivamente,
para a integral II) do exerc´ıcio 9.26) de 240, 12 e 12 diviso˜es, respectivamente.
Observe que no caso da regra 38 de Simpson obtemos N = 10, mas com este
nu´mero de intervalos na˜o e´ poss´ıvel aplicar a regra.
9.28)
∫ 3.0
1.0
y(x) dx ' 9.428333.
9.29) I ' 0.9461833. O resultado ser surpreendente pro´ximo se deve ao fato que
max
0≤t≤1
|f (IV )(t)| ' 0.2 e assim com h = 0.5 o erro e´ muito pequeno.
9.30) No exerc´ıcio anterior, max
0≤t≤1
|f (IV )(t)| era bastante pequeno. Neste caso,
max
0.1≤t≤1
|f (IV )(t)| = 24× 105 e assim h deve ser muito pequeno para conseguir-
mos uma boa precisa˜o no resultado.
9.31) a) I =
∫ 2
−2
f(x) dx ' 25.3333.
b) O erro e´ igual a zero. ( max
−2≤t≤2
f (IV )(t) = 0.)
9.33) Tomando h = 0.25, obtemos:∫ b
a
√
1 + (y′(x))2 dx =
∫ 1
0
√
10− 48x+ 64x2 dx ' 2.4496.
9.34) Usando a regra 13 de Simpson e tomando h = 0.35, h = 0.175 e h = 0.0875,
obtemos: ln1.7 =
∫ 1.7
1
dt
t
' 0.5309731, 0.5306538 e 0.5306299, respectiva-
mente.
9.35) Usando a regra 13 de Simpson e tomando h = 0.5 e h = 0.25, obtemos:∫ 0
−1
x ex dx ' −0.26349 e −0.26419, respectivamente.
9.36) a) 4 subintervalos.
b)
∫ 0.8
0
(x2 − cos x) dx = −0.5390 .
9.37) Devemos aplicar a regra 13 de Simpson generalizada no intervalo [1, 2] e a regra
3
8 de Simpson no intervalo [2, 3] ou a regra
3
8 de Simpson no intervalo [1, 1.7]
e a regra 13 de Simpson generalizada no intervalo [1.7, 3].
9.38) a) i) para α = 0.1, 31 intervalos,
ii) para α = 0.01, 457 intervalos,
iii) para α = 0 na˜o e´ poss´ıvel aplicar a regra de Simpson.
b)
∫ 1
0
x−
1
2 dx ' 1.7509, usando a fo´rmula de quadratura de Gauss- Legendre.
9.39) a) O grau adequado do polinoˆmio e´ 2.
Tomando t0 = 1.5, t1 = 2.5 e t2 = 3.0⇒ P2(t) = − t2 + 6t− 5⇒ v(2) '
P2(2) = 3.
b) A a´rea hachurada e´ ' 1.66667.
9.40) b) N = 3750 subintervalos.
c) I = Γ(3) =
∫∞
0
e−x x2 dx ' 1.9999958.
9.41) a) Usando a regra 13 de Simpson e tomando h = 0.5 e h = 0.25, obtemos:
I(1) =
∫ 1
0
x2 e−x dx ' 0.1624 e 0.1607, respectivamente.
b) Usando a fo´rmula de Gauss-Laguerre sobre dois pontos, obtemos:∫ ∞
0
x2 e−x dx = 1.9999958, exatamente, a menos de erros de arredonda-
mento.
9.42) As duas pessoas obtiveram o resultado exato, desde que: max
−1≤t≤1
|f (IV )(t)| = 0
e 2n+ 1 = 3⇒ N = 2.
9.43) Os dois pontos devem ser da tabela de Gauss-Tchebyshev.
9.44) w = 1.5 e A = 3 ⇒
∫ 3
0
f(x) dx = 4.5.
9.45) a) A0 = A1 = 1.5.
b)
∫ 0
−2
dx
x+ 3
' 1.0909.
9.46)
∫ 1
0
x f(x) dx = 0.18196f(0.35505) + 0.31804f(0.84495).
∫ 1
0
(x4 + x sen x) dx ' 0.5011301.
9.47) a) Usando a regra 13 de Simpson e tomando h = 0.8, 0.4 e h = 0.2, obtemos:
I =
∫ 1.6
0
x−x dx ' 1.6674, 1.7129 e 1.7204, respectivamente.
b) Usando fo´rmula de quadratura de Gauss- Legendre com dois e treˆs pontos,
obtemos:
I =
∫ 1.6
0
x−x dx ' 1.7508 e 1.7257, respectivamente.
9.48) b)
∫ 1
0
∫ 0.5
0
√
x2 + y3 dy dx ' 0.2802.