Derivada Direcional e Vetor Gradiente - Lista CLC B Jardel

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MTM 5162 - CA´LCULO B
Unidade 4: Exerc´ıcios-Lista 3
Prof. Jardel Morais Pereira
1. (a) Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direc¸a˜o indicada pelo aˆngulo θ.
(a) f(x, y) = x2y3 + 2x4y, (1,−2), θ = pi/3 (b) f(x, y) = √5x− 4y, (4, 1) θ = −pi/6.
2. (a) Determine o gradiente de f . (b) Calcule o gradiente no ponto P . (c) Determine a taxa de
variac¸a˜o de f em P , na direc¸a˜o do vetor u.
(2.1) f(x, y) = xy2 − 4x3y, P (1, 2), u = ( 513 , 1213)
(2.2) f(x, y, z) = xy2z3, P (1,−2, 1), u = ( 1√
3
, −1√
3
, 1√
3
)
3. Determine a derivada direcional da func¸a˜o no ponto dado e na direc¸a˜o do vetor v (normalize
o vetor).
(a) f(, ) = 1 + 2x
√
y, (3, 4), v = (4,−3)
(b) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2, (1, 2,−2), v = (−6, 6,−3)
(c) f(x, y, z) = xarctg (y/z), (1, 2,−2), v = i + j− k
4. Determine a taxa de variac¸a˜o ma´xima de f no ponto dado e a direc¸a˜o em que isso ocorre.
(a) f(x, y) = x e−y+3y, (1, 0), (b) f(x, y) = sen (xy), (1, 0), (c) f(x, y, z) = x+y/z, (4, 3,−1),
5. A temperatura T numa bola de metal e´ inversamente proporcional a` distaˆncia do centro da ola,
que e´ tomada como sendo a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2) e´ 120.
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o de T em (1, 2, 2) em direc¸a˜o ao ponto (2, 1, 3).
(b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direc¸a˜o de maior crescimento na temperatura e´
dada pelo vetor que aponta para a origem.
6. Suponha que numa regia˜o do espac¸o o potencial ele´trico seja dado por
V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz
(a) Determine a taxa de variac¸a˜o do potencial ele´trico em P (3, 4, 5) na direc¸a˜o do vetor v = i + j− k
(b) Em que direc¸a˜o V varia mais rapidamente em P ?
(c) Qual a taxa ma´xima de variac¸a˜o de V em P ?
7. Se f(x, y) = x2 + 4y2, determine o vetor gradiente ∇f(2, 1) e use-o para determinar a reta
tangente a` curva de n´ıvel f(x, y) = 8 no ponto (2, 1). Esboce as curvas de ı´vel, a reta tangente e
vetor gradiente.
8. (Plano tangente e reta normal a uma superf´ıcie de n´ıvel) Vimos que se S e´ uma
superf´ıcie de n´ıvel dada por f(x, y, z) = c, P (x0, y0, z0) e´ um ponto de S e o vetor gradiente
1
∇f(x0, y0, z0) 6= 0, enta˜o este vetor e´ perpendicular a` supef´ıcie de n´ıvel S emP (x0, y0, z0). E´ enta˜o
natural definir o bfplano tangente a S em P como sendo o plano que passa por P e tem como
vetor normal ∇f(x0, y0, z0). A equac¸a˜o deste plano e´ portanto dada por
Fx(x0, y0, z0)(x− x0) + Fy(x0, y0, z0)(y − y0) + Fz(x0, y0, z0)(z − z0)+ = 0
A bfreta normal a S em P e´ a reta que passa por P e e´ perpendicular ao plano tangente. A
equac¸a˜o da reta normal e´ portanto dada pelo vetor gradiente ∇f(x0, y0, z0) e suas equac¸o˜es na
forma sime´trica sa˜o
x− x0
Fx(x0, y0, z0)
=
y − y0
Fy(x0, y0, z0)
=
z − z0
Fz(x0, y0, z0)
Determine a equac¸a˜o do plano tangente e da reta normal a` superf´ıcie dada no ponto especifi-
cado.
(a) x2 + 2y2 + 3z2 = 21, (4,−1, 1) (b) x2 + y2 − z2 − 2xy + 4xz = 4, (1, 0, 1)
(c) z + 1 = xeycos z, (1, 0, 0)
9. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos locais e os pontos de sela da func¸a˜o dada.
(a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2 (b) f(x, y) = x2 + y2 + z2 + 4
(c) f(x, y) = 1 + 2xy − x2 − y2 (d) f(x, y) = xy − 2x− y
(e) f(x, y) =
x2y2 − 8x+ y
xy
(f) f(x, y) = excos y
(g) f(x, y) = xsen y
10. Determine os pontos da superf´ıcie z2 = xy + 1 que esta˜o mais pro´ximos da origem.
11. Determine treˆs nu´meros positivos cuja soma seja 100 e cujo produto seja ma´ximo.
12. Determine o volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos coordenados e
que pode ser inscrita no elipso´ide x2 + 36y2 + 4z2 = 36.
13. Uma caixa de papela˜o sem tampa deve ter um volume de 32.000. Determine as dimens que
minimizam a quantidade de papela˜o utilizado.
14. Determine a natureza dos pontos cr´ıticoa da funcao dada.
(a) f(x, y, z) = xy − 2x2 − y2 − 3z2 − 2xz − yz
(b) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xy
(c) f(x, y, z) = −x4 + y2z2 − xyz + x2 + 2y2 + z2 + 1 somente a origem.
Respostas: 1. (a) 7
√
3−16 (b) 516
√
3+ 14 2.1 (a)∇f(x, y) = (5y2−12x2y, 10xy−4x3)
(b) (−4, 16) (c) 172/13 2.2 (a)∇f(x, y, z) = (y2z3, 2xyz3, 3xy2z2) (b) (4,−4, 12) (c) 20/√3
2
3. (a) 2310 (b)
4
9 (c)− pi4√3 4. (a)
√
5, (1, 2) (b) 1, (0, 1) (c)
√
11 (1,−1,−3) 5. −40/3√3
6. (a) 32√
3
(b) (38, 6, 12) (c) 2
√
406 7. (4, 8) x+2y = 4 8. (a) 4x−2y+3z = 21, x−48 =
y+1
−1 =
z−1
6 (b) 3x− y + z = 1, x−13 = −y = z − 1 (c)x+ y − z = 1, x− 1 = y = −z
9. (a) Ma´ximo f(−1, 1/2) = 11 (b) Mı´nimo f(0, 0) = 4, pontos de sela (±√2, 1) (c)
f tem um valor ma´ximo local em 1 em todos os pontos da forma (x0, y0) (d) ponto de sela
(1, 2) (e) Ma´ximo f(−1/2, 4) = −6 (f) Nenhum (g) pontos de sela (0, npi), n inteiro 10.
7√
61
11. 1003 ,
100
3 ,
100
3 12.
16√
3
13. base quadrada de lados 40cm e altura 20cm 14. (a)
o u´nico ponto cr´ıtico e´ (0, 0, 0), que e´ ma´ximo local (b) (0, 0, 0) m´ı´nimo local (c) mı´nimo local.
3