Atividade 1 e 2- APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO
ENGENHARIA ELÉTRICA 
CÁLCULO III
	
ATIVIDADE I E II
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
UNIVERSIDADE ESTÁCIO
ENGENHARIA ELÉTRICA 
CÁLCULO III
	
ATIVIDADES I E II
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
 Aluno: Milton de Oliveira Santos
 Matricula: 201510751009
Docente: Monique Soriano Vittal 
INTRODUÇÃO:
Atividades propostas com o objetivo de estudar, analisar criticamente, modelar e desenvolver a solução de uma aplicação das equações Diferenciais Ordinárias com origem em alguma área de conhecimento, como por exemplo, na mecânica, química, biologia, etc.
Um pouco sobre equações diferenciais: uma equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação). Equação diferencial ordinária (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
No século XVII os matemáticos Izaac Newton (1642-1727) e Gettfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) descobriram de forma independente, técnicas de derivação e integração, posteriormente utilizadas para resolver problemas que envolvem derivação, denominadas Equações Diferenciais, o que daria a resposta a vários enigmas envolvendo conhecimentos matemáticos e até então não solucionados, tais como a área de uma superfície plana com suas arestas irregulares. Essa nova proposta matemática foi apreciada por inúmeros estudiosos que desenvolveram teorias que produziram grandes avanços na matemática e inúmeras aplicações, principalmente nas ciências físicas.
DESENVOLVIMENTO 
Irei trabalhar com alguns exemplos de uso das equações diferenciais: 
Modelo de epidemia. Analisaremos um modelo simplificado para propagação de uma doença. Na construção do modelo que analisaremos, foram feitas as seguintes hipóteses: 1) Uma fração x de uma determinada população tem uma doença infecciosa, então uma fração S= (1-x) não a tem. 2) Os membros desta população podem encontra-se livremente (ao acaso). 3) A taxa de aumento de x é proporcional a x e S. Em consequência destas hipóteses, temos que o modelo é dado pela equação:
 = rx(1-x), 
onde r é uma constante positiva. Esta é uma equação diferencial ordinária separável, resolvendo-se a equação:
=rx(1-x)
rt=∫ dx
rt=∫+∫dx
rt=logx-log(1-x)+c
rt=log()+c
= c
x1-x=k, k=
x=
Aplicando a condição inicial x(0)=x0. Obtemos 
X=
que apresenta x 1 , quando t ∞. Isto quer dizer que mais cedo ou mais tarde cada pessoa vai contrair a doença, não uimportando quantas pessoas estavam infectadas inicilamente, a menos que a condição inicial x0 seja igual a 0 (zero), pois neste caso teríamos x=0 para todo t. Felizmente, este modelo é deveras simplificado, e não leva em consideração, por exemplo, a possibilidade de que as pessoas infectadas possam ser isoladas ou que se recuperem da doença ficando sadias.
Modelo com juros compostos: Juros estão presentes em quase todas as transações monetárias e comerciais, tanto no uso das taxas de juros simples bem como nas de juros compostos. Dentre as atividades matemáticas que envolvem aplicações, as que envolvem juros estão entre as formas mais utilizadas. Vale ressaltar que juros são cobrados em transações em todas as partes do planeta e com base nestes princípios este trabalho apresenta um modelo envolvendo juros e equações diferenciais. Certo valor S é depositado em um banco a uma taxa de juros continua r, permanecendo ali por um tempo t, assim é correto afirmar que a taxa de variação do valor depositado (dS) em relação á taxa de variação do tempo (dt) é igual ao produto da taxa de juros pelo valor do investimento, dado pela seguinte equação:
=rS
Separando as diferenciais tem-se:
=rdt
Integrado ambos os membros da equação, obtêm-se a equação , com solução em
∫= ∫ rdt
Ln ln =rt+ln
S=
Onde S(t) é o valor aplicado, t é o tempo e r a taxa de rendimento.
Uma pessoa deposita R$2.000,00 em uma conta poupança a uma taxa de juro composto de 10% ao ano, considerando que não foi feito nenhum depósito e nenhum saque nesse intervalo de tempo, qual será o saldo dessa conta após um período de três anos? Em quanto tempo a quantia depositada terá seu valor dobrado?
Valor depositado inicialmente R$2.000,00 logo tem-se que = 2000, a uma taxa de 10% a.a., durante três anos, logo t = 3, colocando tais dados no modelo para calcular juros contínuos, conclui-se que; 
S(3)=2000
Resolvendo esta equação tem-se que o saldo em três anos será de R$ 2.699,72.
Para calcular o instante em que o saldo será o dobro do valor inicial, usa-se: 
S(t)=2
Assim pode se conseguir o tempo em que o valor inicial será o dobro e também o intervalo de tempo em que os valores desta conta dobraram seu valor.
Aplicando modelo tem-se: 
2
Dividindo os dois membros da equação por , tem-se:
= 2
Sabendo que r=0,1 e aplicando logaritmos encontra-se:
ln=ln2
0,1t=ln2
T= ou t=6,93 anos.
Crescimento decrescimento populacional: Modelo de Malthus: 
Uma cultura tem inicialmente bactérias. Em t=1h, o número de bactérias é . Considerando que a taxa de crescimento é proporcional a P(t), determine o tempo necessário para triplicar o número de bactérias. 
Para esse modelo o crescimento é proporcional à população total em cada instante:
=kP
P(t)=c
Utilizando-se dos dados propostos pelo exercício:
T=0 P(0)= c P(0)= C= 
P(t)=c P(t)=
T=1 = k=ln() 0,4055
= o,4055t=ln(3) 
T= 2,71h
Portanto, a população de bactérias irá demorar 2,71h para se triplicar. 
Partícula projetada verticalmente para cima sem resistência: Numa partícula projetada verticalmente para cima, o movimento é descrito pela segunda lei de Newton, onde a razão da variação do momento da partícula é igual à força exercida sobre ela. Se a massa da partícula é m , podemos considerar então que o momento ascendente é dado pelo produto, m.v, e a velocidade ascendente é: 
V=
onde y é o seu deslocamento e é medido verticalmente para cima. Como o momento ascendente é igual a m.v, e g (gravidade) é a iinica componente responsávelpela força atuante, a equação que descreve o seu movimento é:
-mg=
sendo o produto ni.g aúnicaforça atuante em sentido contrario ao movimento, é necessário colocar o sinal negativo, para indicar este fato, e, sendo m constante, a equação final para o movimento será: 
=-g
A velocidade da partícula é então obtida integrando-se a equação acima como função do tempo, o que resulta em:
v = -g.t
onde é a velocidade inicial quando t= O. Assim, a equação para a velocidade como função do tempo pode ser representada por:
v=-g.t
Como a velocidade é dada por uma taxa diferencial em função de y, da forma descrita na eq. Do inicio do exercício, obtemos: 
-g.t
a qual representa uma equação linear de 1 grau, onde por integração como função do tempo, obteremos a coordenada y da partícula, que expressa a distância de deslocamento do projétil
y=+t-gt²
A equação acima descreve o comportamento da partícula como uma função do tempo. Usando as condições iniciais; t =O, quando y também é nulo, então podemos supor que =O,o que resulta na equação final:
y=t-gt²
CONCLUSÃO:
Através dessas atividades, pude ter um contato maior com as aplicações das equações diferenciais, o que me possibilitou descobrir o objetivo de estuda-las. Também fez com que eu tenha mais vontade de aprender mais e mais, sobre esse assunto, e tentar ser ao menos a pico sombra de Newton e de Gettfried Wilhelm Leibniz, Grandes mestres e gênios que foram o pioneiros nas Equações diferenciais. 
REFERÊNCIAS:
http://www2.td.utfpr.edu.br/semat/I_semat/Artigos/CO08500585978.pdf
https://www.youtube.com/watch?v=EakgST1_3cQ
http://www.dmejp.unir.br/menus_arquivos/1787_2011_sergio_alitollef.pdf