Aplicações Derivadas

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CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA
CENTRO UNIVERSITÁRIO INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA
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	Curso: ENGENHARIA CIVIL
	Turma: ENCD1A
	
	Professor (a): Sofia Mitsuyo Taguchi da Cunha
Disciplina: CÁLCULO I 
	Data: 23/10/2012
Assunto: Aplicações das Derivadas
As derivadas são aplicáveis em várias situações de variadas áreas do conhecimento humano. Assim, entre muitas aplicações das derivadas, podemos obter:
Cálculo da velocidade instantânea: primeira derivada de uma função s(t) v(t) = s ‘(t)
Cálculo da aceleração instantânea: segunda derivada da função s(t) a(t)= s’’(t) = v‘(t)
Exemplos:
1. No instante t = 0, um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dada por s(t) = 16t – t2 . Podemos determinar: a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2,4];
b) a velocidade do corpo no instante t = 2; c) a aceleração média no intervalo [0,4]; d) a aceleração no instante t=4. Solução: a) vm = [s(4) – s(2)] / (4 – 2); b) v(t)=s’(2); c) am = [v(4) – v(0)] / (4 – 0); d) a(t) = v’(4)=s’’(4).
2. A partir da equação do movimento de um corpo em queda livre dada por s=(1/2)gt2, onde g=9,8 m/s2, que é a aceleração da gravidade, podemos determinar a velocidade e a aceleração do corpo em um instante qualquer t. Solução: v(t) = s’(t) m/s e a(t)=v’(t) m/s2.
A taxa média ou instantânea de variação de funções/situações
Exemplos:
1. Determinar: a) taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado, quando este varia de 2,5 para 3m; b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m.
	Solução: a) 		b) 
2. Uma determinada cidade é atingida por uma epidemia. Os cientistas deduziram que o número de pessoas atingidas pela moléstia, medido em dias, pode ser expresso pela função f(t) = 64t – t3/3. Pode-se calcular: a) a taxa da expansão da epidemia para t=4 dias e t=8 dias; b) o número de pessoas atingidas pela epidemia no 5º dia. Solução: a) f’(4) e f’(8);	b) variação do 4º para 5º dia = f(5) – (4).
3. Um Engenheiro de Produção calculou que, numa certa montadora, o número de peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho por ser estimada pela função . Pode-se calcular: a) a taxa de produção, por hora, após 3 horas de trabalho, bem como 7 horas; b) o número de peças produzidas na 8ª hora de trabalho. Solução: a) f ’(3)=350 e f ’(7)=200; b) f(8) – f(7).
Exercício: Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V = 50(80 – t)2 . Determinar: a) a taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento; b) a taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento; c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. Resposta: a) = – 7500 litros / hora; b) = -720 litros/h;	c) V(0) – V(5) = 38 750 litros.
Gráfico de funções de grau maior ou igual a 3, por meio do estudo do crescimento/decres- cimento da função, pontos críticos e concavidades.
Definição: Um ponto interior do domínio de uma função f, onde f ‘(x)=0, é um ponto crítico de f.
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo (a,b). Então: 
Se f ‘(x) > 0 para todo x de (a,b) f é crescente em [a,b];
Se f ‘(x) < 0 para todo x de (a,b) f é decrescente em [a,b].
Critério da primeira derivada: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo (a,b). Então: i) se f ‘(x) > 0 para todo x<c e f (x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo relativo em c;
 ii) se f ‘(x) < 0 para todo x<c e f (x) > 0 para todo x > c, então f tem um mínimo relativo em c.
Critério da segunda derivada:Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável até 2ª ordem no intervalo (a,b). Então: i) se f ‘’(x) > 0 para todo x de (a,b), então f tem concavidade para cima em (a,b);
		 ii) se f ‘’(x) < 0 para todo x de (a,b), então f tem concavidade para baixo em (a,b).
Exemplos:
f(x) = x3 + 1					4) f(x) = 18x + 3x2 - 4x3
			5) f(x) = x3 - 3x + 3
f(x) = x3 – 7x + 6				6) f(x) = x4 - 4x3 + 10