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DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM VIGAS CONCRETO ARMADO Fundamentos FLEXÃO SIMPLES Fundamentos Uma parte da seção transversal está comprimida e uma parte tracionada; Fundamentos O procedimento para caracterizar o desempenho de uma seção de concreto consiste em aplicar um carregamento, que inicia do zero e vai até a ruptura. Às diversas fases pelas quais passa a seção de concreto, ao longo desse carregamento, dá-se o nome de estádios. Distinguem-se basicamente três fases importantes (das 5 possíveis) para o caso da flexão: estádio I, estádio II e estádio III. Fundamentos Hipóteses básicas do dimensionamento de uma seção transversal de concreto armado submetida à flexão simples; a) Hipótese das seções planas; • Uma seção transversal ao eixo do elemento estrutural indeformado, que inicialmente era plana e normal a esse eixo, permanece nessa condição após as deformações do elemento; • Distribuição linear das deformações normais ao longo da altura das seções transversais; • Deformação proporcional à distância em relação a linha neutra; Fundamentos b) Aderência perfeita entre aço e concreto • Admite-se a existência de uma aderência perfeita entre o concreto e o aço; • As armaduras vão estar sujeitas às mesmas deformações do concreto que as envolve; • A deformação em um ponto da seção transversal será calculada com a hipótese a), independente deste ponto corresponder ao aço ou ao concreto; c) Concreto tracionado; • Despreza- se totalmente a ‐ resistência à tração do concreto; • Todo esforço de tração será resistido pelas armaduras; Fundamentos d) Os diversos casos possíveis de distribuição das deformações do concreto e do aço na seção seção transversal definem os domínios de deformação; e) Encurtamentos últimos do concreto εcu = 0,35% (3,5x10-3 )nas seções não inteiramente comprimidas (flexão) εcu = 0,20% a 0,35%o nas seções inteiramente comprimidas f) Alongamento último do aço εsu = 0,10% (10x10-3 ) As tensões nas armaduras é obtida a partir de diagramas tensão versus deformação Fundamentos g) Diagrama Parábola- retângulo (NBR6118-2003, 8.2.10)‐ Fundamentos Fundamentos Diagramas tensão-deformação Fundamentos a) Peças subarmadas Possuem taxa de armadura muito pequena e rompem no domínio 2. A ruptura ocorre por deformação excessiva da armadura sem haver o esmagamento do concreto (ruptura dúctil, com intensa fissuração do concreto); b) Peças normalmente armadas: A ruptura ocorre no domínio 3, com esmagamento do concreto e com escoamento da armadura (ruptura semelhante ao das peças subarmadas); c) Peças superarmadas: A ruptura ocorre no domínio 4. Em virtude do excesso de armação, o aço não chega a escoar e a ruptura ocorre por esmagamento do concreto (ruptura frágil). Para evitar esse tipo de situação emprega- se ‐ a armadura dupla (uma tracionada e uma comprimida). Fundamentos Domínios de Deformação (NBR6118-2003, 7.2.2g) Fundamentos Domínios de Deformação (NBR6118-2003, 7.2.2g) Fundamentos Domínio 2 Fundamentos Domínio 3 Fundamentos Diagrama Retangular Simplificado (NBR6118-2003, 7.2.2e) Fundamentos Diagrama retangular simplificado Fundamentos Resultantes de Tensão Fundamentos Resultantes de Tensão Fundamentos Equações de Equilíbrio Fundamentos Equações de equilíbrio Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares 1 – Dados do problema a) As dimensões da seção transversal, b (mínimo 12 cm), h, d e d´; e o vão de cálculo l; Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares b) O vão teórico (ou de cálculo), l, é a distância entre os centros dos apoios (usualmente adotado); c) Nas vigas em balanço, o comprimento teórico é o comprimento da extremidade livre até o centro do apoio (usualmente adotado); Entretanto, de acordo com a NBR 6118-2003, não é necessário adotar valores maiores que: l=l0+0,6h Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares d) As propriedades dos materiais: fck fyk; e) O momento fletor de serviço: Mk (valor característico); Os valores requeridos são as áreas de aço As e A's Os cálculos necessários são os seguintes: com resistência à compressão do concreto; tensão de compressão no concreto considerando o efeito Rüsch; com tensão de escoamento de cálculo do aço f cd= f ck γc γc=1,4 → σ cd=0,85 f cd → f yd= f yk γs γs=1,15 → Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares Fluxograma resumo – seção retangular Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares Fluxograma resumo – seção T Roteiro para o dimensionamento de seções retangulares TABELA Kc – Ks Multiplicando-se ambos os lados da expressão (2) por d2: seja kx = x/d (profundidade adimensional da LN), então: Definindo kc e utilizando fck, e a expressão (3) pode ser reescrita como: d 2 .M d=d 2 .0 ,68.b . x . f cd .(d−0,4. x) M d=0,68.bd 2 . f cd .k x .(1−0,4 k x) k c= bd 2 M d = γc 0,68. f ck .k x .(1−0,4 k x) As= 1 σ sd .(1−0,4 k x) . M d d =k s . M d d Dimensionamento de seções retangulares Exemplo: Calcular para o momento fletor máximo da viga indicada abaixo: a área de armadura longitudinal de flexão (e número de vergalhões) e as deformações na fibra de concreto mais comprimida e na armadura de flexão tracionada. Dados: Dimensionamento de seções retangulares Solução: A incógnita principal é a área de armadura tracionada (As), além da posição da linha neutra, dada pela variável x, que deve ser determinada primeiramente. A resolução será feita segundo as equações teóricas deduzidas do equilíbrio da seção e também com aplicação das equações com coeficientes tabelados K. O momento fletor de cálculo é: Md = γf .Mk =1,4 .10000 =14.000 kN.cm; sendo γf o coeficiente de segurança que majora os esforços solicitantes. O valor que delimita os domínios 2 e 3 é dado por: A delimitação entre os domínios 3 e 4, para o aço CA-50 (Tabela A-1), é dada por: x23=x2lim=0,26d=0,26(h−c− φvergalhão 2 −φestribo)=0,26∗(50−2−0,05−0,05)=12,2 x34=x3lim=0,63d=0,63(h−c− φ vergalhão 2 −φestribo)=0,63∗(50−2−0,05−0,05)=29,6 Dimensionamento de seções retangulares Solução (cont): Resolução com Equações Teóricas: com a expressão (2) determina-se a posição (x) da linha neutra para a seção: A primeira raiz não interessa, pois 99,4 cm > h = 50 cm, portanto, x = 18,1 cm. Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, a posição da linha neutra deve ser medida a partir da borda superior comprimida. O momento fletor positivo traciona a parte inferior da viga, e para resistir a ele é colocada uma armadura longitudinal chamada “armadura positiva”. No caso de momento fletor negativo é colocada a “armadura negativa”, próxima à borda superior da viga. Comparando a posição da linha neutra (x) com os limites x23 e x34 determina-se o domínio em que a viga se encontra: M d=0,68 bw . x . f cd .(d−0,4 x )→14.000=0,68∗20∗x∗ 2,0 1,4 ∗(d−0,4 x) x2−117,4 x+1.601,8=0→{x1=99,4x2=18,1 Dimensionamento de seções retangulares Solução (cont): x23 =12,2 cm < x =18,1cm < x34 = 29,6 cm Como a linha neutra está no intervalo entre x23 e x34 verifica-se que a viga está no domínio 3. Nesse domínio a deformação na armadura varia de εyd (iníciode escoamento do aço) a 10 ‰. Conforme o diagrama σ x ε do aço, a tensão nessa faixa de deformação é σsd = fyd = fyk/γs (para o aço CA-50, fyk = 50 kN/cm2 = 500 MPa). A área de armadura é calculada: As= M d %gigmasd (d−0,4 x) → As= 14.000 50 1,14 (47−0,4∗18,1) =8,10 cm2 Dimensionamento de seções retangulares Solução (cont): Resolução com Equações com Coeficientes K Nas equações do tipo K devem ser obrigatoriamente consideradas as unidades de kN e cm para as variáveis. Primeiramente deve-se determinar o coeficiente Kc com Kc = 3,2, concreto C20 e aço CA-50, na Tabela A-1 determinam-se os coeficientes Kx=βx = 0,38, Ks = 0,027 e domínio 3. A posição da linha neutra fica determinada por e a área da armadura k c= bw d 2 M d =20∗47 2 14.000 =3,2 k x=βx= x d → x=k x .d=0,38∗47=17,9 cm As=k s . M d d =0,027∗14.000 47 =8,04cm2 Dimensionamento de seções retangulares Solução (cont): Detalhamento da armadura na seção transversal Compara-se a armadura calculada (As = 8,10 cm2) com a armadura mínima longitudinal prescrita pela NBR 6118/03. Conforme a Tabela 2, para concreto C20 e seção retangular, pode-se considerar a armadura mínima de flexão como: As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 20 . 50 = 1,50 cm2 A armadura calculada de 8,10 cm2 é maior que a armadura mínima. Quando a armadura calculada for menor que a armadura mínima, deve ser disposta a área da armadura mínima na seção transversal da viga. A escolha do diâmetro ou dos diâmetros e do número de barras para atender à área de armadura calculada admite diversas possibilidades. Um ou mais diâmetros podem ser escolhidos, preferencialmente diâmetros próximos entre si. A área de aço escolhida deve atender à área de armadura calculada, preferencialmente com uma pequena folga. Admite-se uma área de até 5 % inferior à calculada. Dimensionamento de seções retangulares Solução (cont): O número de barras deve ser aquele que não resulte em fissuração significativa na viga e nem dificuldades adicionais durante a confecção da armadura. A fissuração é diminuída quanto mais barras finas forem usadas. Porém, deve-se cuidar para não ocorrer exageros. Para a área de armadura calculada de 8,10 cm2, com auxílio das Tabela A-3 e Tabela A-4, podem ser enumeradas as seguintes combinações: 16 φ 8 mm = 8,00 cm2; 10 φ 10 mm = 8,00 cm2; 7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2; 3 φ 16 mm + 2 φ 12,5 mm = 8,50 cm2 Detalhamentos com uma única camada resultam seções mais resistentes que seções com duas ou mais camadas de barras, pois quanto mais próximo estiver o centro de gravidade da armadura à borda tracionada, maior será a resistência da seção. Dimensionamento de seções retangulares Solução (cont): Das combinações listadas, 16 φ 8 mm e 10 φ 10 mm devem ser descartadas porque o número de barras é excessivo, o que aumentaria o trabalho do armador. As melhores alternativas são 7 φ 12,5 mm e 4 φ 16 mm, sendo esta última pior para a fissuração, mas que certamente ficará dentro de valores máximos recomendados pela NBR 6118/03. A altura útil d, definida como a distância entre o centro de gravidade da armadura tracionada à fibra mais comprimida da seção transversal, conforme o detalhamento é: d = h – a = 50 – 3,3 = 46,7 cm Dimensionamento de seções retangulares Solução (cont): O valor inicialmente adotado para a altura útil d foi 47 cm. Existe, portanto, uma pequena diferença de 0,3 cm entre o valor inicialmente adotado e o valor real calculado em função do detalhamento escolhido. Pequenas diferenças, de até 1cm ou 2 cm podem, de modo geral, serem desconsideradas em vigas de dimensões correntes, não havendo a necessidade de se recalcular a armadura, pois a diferença de armadura geralmente é pequena. A disposição das barras entre os ramos verticais do estribo deve proporcionar uma distância livre entre as barras suficiente para a passagem do concreto, a fim de evitar o surgimento de nichos de concretagem, chamados na prática de “bicheira”. Para isso, o espaçamento livre horizontal mínimo entre as barras é dado por: eh ,min⩾{ 2cmφl1,2 dmáx , agr Dimensionamento de seções retangulares Solução (cont): então, o espaçamento mínimo entre as barras será de 2,28cm. A partir desse valor, se a opção fosse 7 φ 12,5 mm, seria necessário uma largura de (7*1,25 + 6*2,28 + 2*2) 26,43cm > 20cm, ou se 4 φ 16 mm (4*1,6 + 3*2,28 + 2*2) 19,52cm < 20cm. Assim, a escolha recai sobre 4 φ 16 mm. Deformações na fibra mais comprimida (concreto) e na armadura tracionada No domínio 3 a deformação de encurtamento na fibra de concreto mais comprimida é fixa e igual a 3,5 ‰. A deformação na armadura As varia de εyd (2,07 ‰ para o aço CA-50) a 10 ‰. Considerando d = h – a = 50 – 3,3 = 46,7 cm, %o εcd εsd= x d−x → 3,5εsd = 18,1 46,7−18,1 →εsd=5,5 eh ,min⩾{ 2cmφl=1,25 cm1,2d máx ,agr=1,2∗19mm=2,28cm ou { 2cm φl=1,6 cm 1,2 dmáx ,agr=1,2∗19mm=2,28cm Dimensionamento de seções retangulares Solução (cont): Dimensionamento de seções retangulares Exercício: Dada a seção retangular de uma viga, como mostrada na figura, calcular o momento fletor admissível (de serviço). São conhecidos: concreto C20; aço CA-50; γf = γc = 1,4; γs = 1,15 Dimensionamento de seções retangulares Solução: As variáveis a serem determinadas são a posição da linha neutra (x) e o momento fletor de serviço ou admissível (Mk). A resolução deve ser feita por meio das equações teóricas. A primeira equação a considerar é a de equilíbrio das forças resultantes na seção transversal Rcd = Rsd As resultantes de compressão no concreto comprimido e de tração na armadura são Rcd = 0,85 fcd 0,8 x bw Rsd = σsd As Dimensionamento de seções retangulares Solução (cont): Suposição: a seção foi dimensionada nos domínios 2 ou 3: verifica-se a hipótese considerada da viga estar nos domínios 2 ou 3, ou seja faz-se a comparação de x com os valores limites x23 e x34: x23 = 0,26 d = 0,26 . 46 = 12,0 cm x34 = 0,63 d = 0,63 . 46 = 29,0 cm x23 = 12,0 < x = 17,9 < x34 = 29,0 cm Verifica-se que a seção encontra-se no domínio 3, e realmente σsd é igual a fyd. O momento fletor de serviço pode ser calculado por Md = 0,68bw x fcd (d − 0,4x) ou Md = As σsd (d − 0,4x) 1,4Mk = 8,00*(50/1,15)*(46-0,4*17,9) → Mk = 9.650 kN.cm Portanto, o momento fletor característico a que a seção pode resistir é 9.650 kN.cm (momento positivo). 0,85 f cd 0,8 x bw=σ sd→σ sd= f yd= f yk γs então 0,85 2,0 1,15 0,8 x∗20= 50 1,15 ∗8→ x=17,9 cm SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA Define-se seção com armadura dupla a seção que, além da armadura resistente tracionada, contém também armadura longitudinal resistente na região comprimida, ali colocada para auxiliar o concreto na resistência às tensões de compressão. A armadura dupla é um artifício que permite dimensionar as seções cujas deformações encontram-se no domínio 4, sem que haja a necessidade de se alterar algum dos parâmetros inicialmente adotados. A seção com armadura dupla surge como solução ao dimensionamento anti-econômico e contra a segurança (ruptura frágil, sem aviso prévio) proporcionado pelo domínio 4. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA Este domínio é evitado alterando-se a posição da linha neutra para o limite entre os domínios 3 e 4, ou seja, com a linha neutra passando por x3lim , no que resulta na máxima seção comprimida possível no domínio 3. Ao se fazer assim, a área de concreto comprimidonão mais considerada para a resistência da seção é “compensada” pelo acréscimo de uma armadura longitudinal próxima à borda comprimida, que irá auxiliar o concreto no trabalho de resistência às tensões de compressão. SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA DUPLA Na maioria dos casos da prática a necessidade de armadura dupla surge nas seções sob momentos fletores negativos, nos apoios intermediários das vigas contínuas. Como os momentos fletores negativos são significativamente maiores que os momentos fletores máximos positivos nos vãos, eles requerem seções transversais com alturas bem maiores que os momentos positivos. Fixar a altura das vigas em função dos momentos negativos aumenta o seu custo, pois se na seção de apoio a altura fixada é a ideal, nas seções dos vãos a altura resulta exagerada. Uma solução simples e econômica pode ser fixar a altura da viga de tal forma que resulte armadura dupla nos apoios e armadura simples nos vãos. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO Tal como na dedução das equações para a seção com armadura simples, a formulação será desenvolvida com base nas duas equações de equilíbrio da estática. A figura mostra a seção retangular de uma viga, com armadura tracionada As e armadura comprimida A’s, submetida a momento fletor positivo. O diagrama de distribuição de tensões de compressão no concreto é aquele retangular simplificado, com altura 0,8x. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO Equilíbrio de Forças Normais Na flexão simples existem apenas as forças resultantes relativas aos esforços resistentes internos, que devem se equilibrar, de tal forma que: Rcc + Rsc = Rst Rcc = força resultante de compressão proporcionada pelo concreto comprimido; Rsc = força resultante de compressão proporcionada pela armadura comprimida; Rst = força resultante de tração proporcionada pela armadura tracionada; σ’sd = tensão de cálculo na armadura comprimida; σsd = tensão de cálculo na armadura tracionada. Equilíbrio de Forças Normais Considerando que R = σ . A, as forças resultantes, são: Rcc = 0,85 fcd 0,8 x bw = 0,68bw x fcd Rsc = A’s σ’sd Rst = As σsd Equilíbrio de Momentos Fletores O momento fletor solicitante tem que ser equilibrado pelo momento interno resistente, proporcionado pelo concreto comprimido e pelas armaduras tracionada e comprimida Md: Msolic = Mresist = Md Fazendo o equilíbrio de momentos fletores em torno da linha de ação da força resultante Rst , o momento resistente à compressão será dado pelas forças resultantes de compressão multiplicadas pelas suas respectivas distâncias à linha de ação de Rst (braços de alavanca – zcc e zsc): Md = Rcc . zcc + Rsc . zsc Equilíbrio de Momentos Fletores Substituindo Rcc e Rsc: Md = 0,68bw x fcd (zcc) + A's σ'sd (zsc) Aplicando as distâncias zcc e zsc a equação torna-se: Md = 0,68 bw x fcd (d - 0,4x) + A's σ'sd (d - d') Equilíbrio de Momentos Fletores Para facilitar o cálculo decompõe-se o momento fletor Md em duas parcelas, tal que: Md = M1d + M2d Equilíbrio de Momentos Fletores O momento fletor M1d corresponde momento interno resistente proporcionado por uma parcela As1 da armadura tracionada e pela área de concreto comprimido com a maior altura possível (parte b da figura). M1d = 0,68b x fcd (d − 0,4 x ) O valor de x deve ser adotado conforme os critérios da NBR 6118/03 já apresentados, havendo as seguintes possibilidades: a) x = x3lim (0,77d para o aço CA-25, 0,63d para CA-50 e 0,59d para CA-60) nas seções que não sejam de apoio da viga nem de ligação com outros elementos estruturais; b) x = 0,5d para concretos até C35 nas seções de apoio da viga ou de ligação com outros elementos estruturais; c) x = 0,4d para concretos de classes acima do C35 nas seções de apoio da viga ou de ligação com outros elementos estruturais. Equilíbrio de Momentos Fletores Determinada a primeira parcela M1d do momento fletor total, calcula-se a segunda parcela como: M 2d = M d − M1d A armadura comprimida A’s equilibra a parcela As2 da armadura tracionada total (As) resultando no equilíbrio de momentos fletores na seção, como a força resultante na armadura comprimida multiplicada pela distância à armadura tracionada: M2d = Rsc . zsc Substituindo Rsc: M2d = A ′ σ′ zsc = A ′ σ′ (d − d′ ) Isolando a área de armadura comprimida: A tensão σ’sd na armadura comprimida depende do tipo de aço e da posição dessa armadura dentro da seção transversal )'(' ' 2 dd MA sd d s − = σ Equilíbrio de Momentos Fletores As parcelas As1 e As2 da armadura tracionada resultam do equilíbrio de momentos fletores nas seções b e c indicadas na Figura. São dadas pelas forças resultantes nas armaduras tracionadas multiplicadas pelos respectivos braços de alavanca, isto é, a distância entre as resultantes que se equilibram na seção. Para a seção b da figura: M1d = As1 ssd zcc = As1 σsd (d − 0,4x) Isolando As1 da armadura tracionada: Para a seção c da figura: M2d = As2ssdzsc = As2ssd (d − d’) Isolando a parcela As2 da armadura tracionada )4,0( ' 11 xd MA sd d s − = σ )'( ' 22 dd MA sd d s − = σ Equilíbrio de Momentos Fletores A armadura total tracionada é a soma da parcelas As1 e As2: A s = A s1 + A s 2 As1 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente proporcionado pela área de concreto comprimido com altura x; As2 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o momento fletor resistente proporcionado pela armadura comprimida A's. Equilíbrio de Momentos Fletores Determinada a primeira parcela M1d do momento fletor total, calcula-se a segunda parcela como: M 2d = M d − M1d A armadura comprimida A’s equilibra a parcela As2 da armadura tracionada total (As) resultando no equilíbrio de momentos fletores na seção, como a força resultante na armadura comprimida multiplicada pela distância à armadura tracionada: M2d = Rsc . zsc Substituindo Rsc: M2d = A ′ σ′ zsc = A ′ σ′ (d − d′ ) Permanência das Seções Planas Conforme o diagrama de deformações (figura) definem-se as relações entre as deformações de cálculo nas armaduras tracionada (εsd) e comprimida (ε’sd) e no concreto da fibra mais comprimida da seção. A relação entre a posição da linha neutra e a altura útil d εcd εsd= x d−x e εcd x = εsd ' x−d ' = εsd d−x βx= x d = εcd εcd+εsd Cálculo mediante fórmulas com coeficientes K Inicialmente deve-se definir qual será a posição da linha neutra na seção transversal. Se for seção de apoio ou de ligação com outro elemento estrutural, a variável βx será adotada em função da classe do concreto: a) βx = x/d = 0,5 para concretos até C35; b) βx = x/d = 0,4 para concretos de resistência acima de C35. Se a seção não for de apoio ou de ligação, a posição da linha neutra poderá ser assumida passando por x3lim, isto é, no limite entre os domínios 3 e 4. Para o aço CA-50 deverá serassumido, portanto, βx = 0,63. Cálculo mediante fórmulas com coeficientes K Definida a posição da linha neutra, deve-se determinar os valores correspondentes de Kclim e de Kslim nas tabelas de Kc e Ks, conhecendo-se a classe do concreto e a categoria do aço. O momento fletor M1d será determinado: A parcela M2d do momento total será determinada: M2d = Md − M1d As áreas totais de armaduras tracionada e comprimida será dada por: M 1d= bd 2 K clim A' s=K ' s M 2d (d−d ' ) As=K slim M 1d d + M 2d f yd (d−d ' ) Cálculo mediante fórmulas com coeficientes K O coeficiente K’s é o inverso da tensão na armadura comprimida, assumindo diferentes valores em função da relação d’/d e da posição adotada paraa linha neutra, que pode estar localizada em x3lim, 0,5d ou 0,4d. Os valores de K’s estão mostrados nas tabelas A-6 a A-10. K ' s= 1 σ ' sd Exercício Para a viga contínua da figura, admitida com seção transversal constante nos dois vãos, determinar d e As para os apoios e vãos centrais, de tal modo que se tenha a mínima altura e armadura dupla. Detalhar a seção transversal e calcular as deformações máximas no concreto e no aço. b=15cm; h=40cm C25; CA50 C=2,5cm; brita 1 γ c = γ f = 1,4 γs = 1,15;φt = 5 mm Exercício As cargas atuantes na viga são o peso próprio (peso específico 25kN/m3), parede de largura 19cm e 2,9m de altura (peso específico 13kN/m3), revestimento de 1,5cm em ambas as faces da parede com emboço paulista (peso específico 21kN/m3) e ação de lajes de 6,7kN/m. Viga T A seção T é assim chamada porque a seção da viga tem a forma geométrica de um T. A seção T é composta pela nervura e pela mesa, sendo que a mesa pode estar parcial ou totalmente comprimida. Podem ser do tipo pré-moldadas, quando são fabricadas com a forma do T numa empresa, ou moldadas no local, no caso de vigas retangulares que, com o trabalho conjunto com as lajes vizinhas, originam uma seção fictícia em forma de T. Viga T A seção T é assim chamada porque a seção da viga tem a forma geométrica de um T. A seção T é composta pela nervura e pela mesa, sendo que a mesa pode estar parcial ou totalmente comprimida. Podem ser do tipo pré-moldadas, quando são fabricadas com a forma do T numa empresa, ou moldadas no local, no caso de vigas retangulares que, com o trabalho conjunto com as lajes vizinhas, originam uma seção fictícia em forma de T. Viga T A seção T pode ser formada também nas lajes do tipo pré-fabricadas e nervuradas, nas seções de pontes rodoviárias, etc Seção T – armadura simples “A seção T com armadura simples” é aquela que tem como armadura longitudinal resistente apenas a armadura tracionada, disposta próxima à borda tracionada da seção, e que não tem necessidade de armadura comprimida resistente. a) 0,8 x ≤ hf Quando a altura 0,8x do diagrama retangular simplificado é menor ou igual à altura da mesa, isto é, 0,8x ≤ hf, a seção comprimida de concreto (A’c) é retangular, com área bf . 0,8x, de modo que o dimensionamento pode ser feito como se a seção fosse retangular, com largura bf ao invés de bw, e aplicando-se as mesmas equações já desenvolvidas para a “seção retangular com armadura simples”. A seção a ser considerada será bf . h. Seção T – armadura simples Na maioria das seções T da prática resulta 0,8x ≤ hf Seção T – armadura simples b) 0,8 x > hf Quando 0,8x resulta maior que a altura da mesa (hf), a área da seção comprimida de concreto (A’c) não é retangular, mas sim composta pelos retângulos I, II e III, como mostrado na figura. Seção T – armadura simples Na seção b da figura, o concreto comprimido da mesa é equilibrado por uma parcela As1 da armadura longitudinal tracionada (As). O concreto comprimido da nervura é equilibrado pela segunda parcela As da armadura total As (seção c da figura). a) Equilíbrio de Forças Normais Na flexão simples não existe a força normal solicitante externa, de modo que a força resultante do concreto comprimido deve equilibrar a força resultante da armadura tracionada: Rcc = Rst Rcc = força resultante das tensões normais de compressão na área de concreto comprimido; Rst = força resultante das tensões normais de tração na armadura longitudinal As. Seção T – armadura simples b) Equilíbrio de Momentos Fletores As forças internas resistentes formam um binário oposto ao momento fletor solicitante: Msolic = Mresist = Md O momento fletor total é subdividido em duas parcelas M1d e M2d : Md = M1d +M2d Do equilíbrio de momentos fletores na linha de ação da armadura As1 na figura (b), define-se o momento fletor resistente M1d proporcionado pela armadura As1 e pela mesa comprimida: M1d = bf − bw hf 0,85fcd d − 0,5hf Adotam-se valores para todas as variáveis (bf , bw , hf , fcd , d), de modo a tornar possível o cálculo de M1d. Seção T – armadura simples A segunda parcela do momento fletor total é determinada por: M2d = Md −M1d A seção da figura (c) é uma seção retangular com armadura simples e trocando Md por M2d: M2d = 0,68bw x fcd (d − 0,4x) Conhecendo-se os valores de M2d , bw , fcd e d, define-se a posição x da linha neutra e determina-se em qual domínio a seção T encontra-se. Com o equilíbrio de momentos fletores em torno do centro de gravidade das áreas comprimidas de concreto nas seções b e c, e considerando o dimensionamento nos domínios 2 ou 3, onde σsd = fyd , as parcelas de armadura As1 e As2 são: Seção T – armadura simples As = As1 + As2 c) Permanência das seções planas M 1d=σ sd As1(d−0,5h)→As1= M 1d f yd (d−0,5h f ) M 2d=σ sd As2(d−0,4 x)→As2= M 2d f yd (d−0,4 x) εcd εsd= x d−x βx= εcd εcd+εsd Cálculo mediante fórmulas com coeficientes K Verifica-se a posição da linha neutra, calculando Kc com bf e d: Com o valor de Kc determinam-se na Tabela A-1 ou Tabela A-2 os valores βx e Ks. O valor de x é imediato Se resultar 0,8x ≤ hf , o cálculo é feito como uma viga de seção retangular com largura bf e altura h. A armadura tracionada é: M d= b f d 2 K c As=K s M d d x=βx d Cálculo mediante fórmulas com coeficientes K Se resultar 0,8x > hf , para o cálculo do momento fletor resistente M1d , proporcionado pela área da mesa comprimida, adota-se 0,8x* = hf , ficando: Com β*x determina-se K*c na Tabela A-1 Como M2d = Md – M1d, então Com o valor de Kc , na Tabela A-1 determinam-se Ks e o domínio em que a seção se encontra. M 1d= (b f−bw)d 2 K c ∗ βx ∗= 1,25h f d x∗= h f 0,8 =1,25 h f K c= bw d 2 M 2d Cálculo mediante fórmulas com coeficientes K Considerando o dimensionamento nos domínios 2 ou 3, a armadura tracionada é: As=As1+As2→As= M 1d f yd (d−0,5h f ) +K s M 2d d Exemplo Dimensionar a armadura longitudinal de flexão da viga com a seção transversal mostrada na figura, sendo dados: Exemplo Solução: O momento fletor de cálculo será Md = 1,4 . 8550 =11.970 kN.cm Para a altura útil d será adotado o valor: d = 30 - 5 = 25 cm Os limites entre os domínios 2, 3 e 3, 4 para o aço CA-50 são: x2lim = 0,26 . 25 = 6,5 cm e x3lim = 0,63 . 25 = 15,8 cm a) Equações teóricas Supõe-se que a seção T será calculada como se fosse retangular bf . h e com 0,8x ≤ hf. Das equações da seção retangular e bf igual a bw obtem-se a posição da linha neutra (x): Md = 0,68bf x fcd (d − 0,4x) → 11970 = 0,68 . 45 x (2,5/1,4)(25 0,4x) → x = 10,5 cm 0,8 . 10,5 = 8,4 > hf = 7 cm Exemplo Então a a hipótese de seção retangular bf . h não é válida, pois a linha neutra corta a nervura bw e por isso o valor anterior calculado para x não é correto. Inicialmente, calcula-se a parcela M1d do momento fletor resistente A segunda parcela do momento resistente será dada por Da parcela M2d pode-se calcular a posição correta da linha neutra Exemplo A seção T está no domínio 3, x2lim = 6,5 < x = 13,6 < x3lim = 15,8 cm. No domínio 3 a tensão na armadura tracionada é igual a fyd. As parcelas As1 e As2 da armadura são: Exemplo b) Equações com Coeficientes K Colocando-se bf ao invés de bw, supondo-se que a seção T seja calculada como seção retangular: Com C25 e CA-50, na Tabela A-1 determina-se o valor de bx = 0,44. Com bx = x/d, os valores para x e 0,8x são: x = bx . d = 0,44 . 25 = 11,0 cm 0,8x = 0,8 . 11,0 = 8,8 cm > hf = 7 cm Portanto, com 0,8x > hf, a seçãoT deve ser dimensionada com as equações para a seção T. Calcula-se b*x referente à altura da mesa comprimida Exemplo Com b*x = 0,35 na Tabela A-1 encontra-se K*c = 2,7. Com K*c determina-se a primeira parcela do momento fletor resistente M1d A segunda parcela do momento resistente é: M2d = Md - M1d = 11.970 – 6.136 = 5.834 kN.cm Com o momento M2d calcula-se a posição real x da linha neutra Na Tabela A-1, com Kc = 1,9, encontra-se βx = 0,56, Ks = 0,030 e o domínio 3. A posição da linha neutra resulta: x = bx . d = 0,56 . 25 = 14,0 cm, e 0,8x = 11,2 cm > hf = 7 cm, o que confirma a seção T. Exemplo A área de armadura será: As = 13,56 cm2 (7 φ 16 = 14,00 cm2 ou 3 φ 20 + 2 φ 16 = 13,45 cm2) O detalhamento da armadura longitudinal de flexão mostra pela Tabela A-4 que é possível colocar três barras φ 20 mm numa única camada, pois a largura bw mínima é de 17 cm, menor que a largura existente de 18 cm. As duas barras restantes devem ser colocadas na segunda camada, amarradas nos ramos verticais dos estribos. O espaçamento livre mínimo na direção vertical entre as barras das duas camadas é ev,min=2,0cm Exemplo O centro de gravidade da armadura e a face tracionada é 2,5 + 0,5 + 2,0 + 0,5 = 5,5 cm Cortante O comportamento da região da viga sob maior influência das forças cortantes e com fissuras inclinadas de cisalhamento no Estádio II, pode ser muito bem descrito fazendo-se a analogia com uma treliça isostática. A analogia de treliça consiste em simbolizar a armadura transversal como as diagonais inclinadas tracionadas (montantes verticais no caso de estribos verticais), o concreto comprimido entre as fissuras (bielas de compressão) como as diagonais inclinadas comprimidas, o banzo inferior como a armadura de flexão tracionada e o banzo superior como o concreto comprimido acima da linha neutra. A treliça isostática com banzos paralelos e diagonais comprimidas de 45° é chamada “treliça clássica de Ritter-Mörsch”. Cortante Os estribos devem estar próximos entre si a fim de interceptarem qualquer possível fissura inclinada devido ao esforço cortante, o que leva à necessidade da treliça múltipla. Uma ruptura precoce pode ocorrer quando a distância entre as barras for ≥ 2 z para estribos inclinados a 45° e > z para estribos a 90°. Dimensionamento de vigas ao esforço cortante segundo a NBR 6118/2003 A norma NBR6118/2003 traz tabelas para o dimensionamento de estribos: Dimensionamento de vigas ao esforço cortante segundo a NBR 6118/2003 Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11 Slide 12 Slide 13 Slide 14 Slide 15 Slide 16 Slide 17 Slide 18 Slide 19 Slide 20 Slide 21 Slide 22 Slide 23 Slide 24 Slide 25 Slide 26 Slide 27 Slide 28 Slide 29 Slide 30 Slide 31 Slide 32 Slide 33 Slide 34 Slide 35 Slide 36 Slide 37 Slide 38 Slide 39 Slide 40 Slide 41 Slide 42 Slide 43 Slide 44 Slide 45 Slide 46 Slide 47 Slide 48 Slide 49 Slide 50 Slide 51 Slide 52 Slide54 Slide57 Slide 55 Slide 56 Slide 57 Slide 58 Slide 59 Slide 60 Slide 61 Slide 62 Slide 63 Slide 64 Slide 65 Slide 66 Slide 67 Slide 68 Slide 69 Slide 70 Slide 71 Slide 72 Slide 73 Slide 74 Slide 75 Slide 76 Slide 77 Slide 78 Slide 79 Slide 80 Slide 81 Slide 82 Slide 83 Slide 84 Slide 85 Slide 86 Slide 87
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