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Flexão simples1

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DIMENSIONAMENTO DA
ARMADURA DE FLEXÃO EM
VIGAS CONCRETO ARMADO
 
Fundamentos
FLEXÃO SIMPLES
 
Fundamentos
Uma parte da seção transversal está comprimida e uma parte tracionada;
 
Fundamentos
O procedimento para caracterizar o desempenho de uma seção de concreto 
consiste em aplicar um carregamento, que inicia do zero e vai até a ruptura. 
Às diversas fases pelas quais passa a seção de concreto, ao longo desse 
carregamento, dá-se o nome 
de estádios. 
Distinguem-se basicamente 
três fases importantes (das 5 
possíveis) para o caso da 
flexão: estádio I, estádio II e 
estádio III.
 
Fundamentos
Hipóteses básicas do dimensionamento de uma seção transversal de 
concreto armado submetida à flexão simples;
a) Hipótese das seções planas; 
• Uma seção transversal ao eixo do elemento estrutural indeformado, que 
inicialmente era plana e normal a esse eixo, permanece nessa condição após 
as deformações do elemento;
• Distribuição linear das deformações normais ao longo da altura das seções 
transversais;
• Deformação proporcional à distância em relação a linha neutra;
 
Fundamentos
b) Aderência perfeita entre aço e concreto 
• Admite-se a existência de uma aderência perfeita entre o concreto e o aço; 
• As armaduras vão estar sujeitas às mesmas deformações do concreto que 
as envolve; 
• A deformação em um ponto da seção transversal será calculada com a 
hipótese a), independente deste ponto corresponder ao aço ou ao 
concreto;
c) Concreto tracionado;
• Despreza- se totalmente a ‐
resistência à tração do 
concreto;
• Todo esforço de tração será 
resistido pelas armaduras;
 
Fundamentos
d) Os diversos casos possíveis de distribuição das deformações do 
concreto e do aço na seção seção transversal definem os domínios de 
deformação;
e) Encurtamentos últimos do concreto
 εcu = 0,35% (3,5x10-3 )nas seções não inteiramente comprimidas (flexão)
 εcu = 0,20% a 0,35%o nas seções inteiramente comprimidas
f) Alongamento último do aço
 εsu = 0,10% (10x10-3 )
 As tensões nas armaduras é obtida a partir de diagramas tensão 
versus deformação
 
Fundamentos
g) Diagrama Parábola- retângulo (NBR6118-2003, 8.2.10)‐
 
 
Fundamentos
 
Fundamentos
Diagramas tensão-deformação
 
Fundamentos
a) Peças subarmadas 
Possuem taxa de armadura muito pequena e rompem no domínio 2. A 
ruptura ocorre por deformação excessiva da armadura sem haver o 
esmagamento do concreto (ruptura dúctil, com intensa fissuração do 
concreto);
b) Peças normalmente armadas:
 A ruptura ocorre no domínio 3, com esmagamento do concreto e 
com escoamento da armadura (ruptura semelhante ao das peças 
subarmadas);
c) Peças superarmadas:
 A ruptura ocorre no domínio 4. Em virtude do excesso de armação, o 
aço não chega a escoar e a ruptura ocorre por esmagamento do 
concreto (ruptura frágil). Para evitar esse tipo de situação emprega- se ‐
 a armadura dupla (uma tracionada e uma comprimida).
 
Fundamentos
Domínios de Deformação (NBR6118-2003, 7.2.2g) 
 
Fundamentos
Domínios de Deformação (NBR6118-2003, 7.2.2g) 
 
Fundamentos
Domínio 2 
 
Fundamentos
Domínio 3 
 
Fundamentos
Diagrama Retangular Simplificado (NBR6118-2003, 7.2.2e)
 
Fundamentos
Diagrama retangular simplificado
 
Fundamentos
Resultantes de Tensão
 
Fundamentos
Resultantes de Tensão
 
Fundamentos
Equações de Equilíbrio
 
Fundamentos
Equações de equilíbrio
 
Roteiro para o dimensionamento de seções 
retangulares
1 – Dados do problema
a) As dimensões da seção transversal, b (mínimo 12 cm), h, d e d´; e o vão 
de cálculo l;
 
Roteiro para o dimensionamento de seções 
retangulares
b) O vão teórico (ou de cálculo), l, é a distância entre os centros dos apoios 
(usualmente adotado);
c) Nas vigas em balanço, o comprimento teórico é o comprimento da 
extremidade livre até o centro do apoio (usualmente adotado);
Entretanto, de acordo com a NBR 6118-2003, não é necessário adotar valores 
maiores que: l=l0+0,6h
 
Roteiro para o dimensionamento de seções 
retangulares
d) As propriedades dos materiais: fck fyk; 
e) O momento fletor de serviço: Mk (valor característico);
Os valores requeridos são as áreas de aço As e A's 
Os cálculos necessários são os seguintes:
 com resistência à compressão do concreto;
 tensão de compressão no concreto considerando o 
 efeito Rüsch;
 com tensão de escoamento de cálculo do aço
f cd=
f ck
γc
γc=1,4 →
σ cd=0,85 f cd →
f yd=
f yk
γs γs=1,15 →
 
Roteiro para o dimensionamento de seções 
retangulares
Fluxograma resumo – seção retangular
 
Roteiro para o dimensionamento de seções 
retangulares
Fluxograma resumo – seção T
 
Roteiro para o dimensionamento de seções 
retangulares
TABELA Kc – Ks
Multiplicando-se ambos os lados da expressão (2) por d2:
seja kx = x/d (profundidade adimensional da LN), então:
Definindo kc e utilizando fck, 
e a expressão (3) pode ser reescrita como: 
d 2 .M d=d
2 .0 ,68.b . x . f cd .(d−0,4. x)
M d=0,68.bd
2 . f cd .k x .(1−0,4 k x)
k c=
bd 2
M d
=
γc
0,68. f ck .k x .(1−0,4 k x)
As=
1
σ sd .(1−0,4 k x)
.
M d
d =k s .
M d
d
 
Dimensionamento de seções retangulares
Exemplo:
Calcular para o momento fletor máximo da viga indicada abaixo: a área de 
armadura longitudinal de flexão (e número de vergalhões) e as deformações 
na fibra de concreto mais comprimida e na armadura de flexão tracionada. 
Dados: 
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução:
A incógnita principal é a área de armadura tracionada (As), além da posição 
da linha neutra, dada pela variável x, que deve ser determinada 
primeiramente. A resolução será feita segundo as equações teóricas 
deduzidas do equilíbrio da seção e também com aplicação das equações com 
coeficientes tabelados K.
O momento fletor de cálculo é: Md = γf .Mk =1,4 .10000 =14.000 kN.cm; sendo 
γf o coeficiente de segurança que majora os esforços solicitantes. 
O valor que delimita os domínios 2 e 3 é dado por:
A delimitação entre os domínios 3 e 4, para o aço CA-50 (Tabela A-1), é dada 
por: 
x23=x2lim=0,26d=0,26(h−c−
φvergalhão
2
−φestribo)=0,26∗(50−2−0,05−0,05)=12,2
x34=x3lim=0,63d=0,63(h−c−
φ vergalhão
2
−φestribo)=0,63∗(50−2−0,05−0,05)=29,6
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução (cont):
Resolução com Equações Teóricas: com a expressão (2) determina-se a 
posição (x) da linha neutra para a seção:
A primeira raiz não interessa, pois 99,4 cm > h = 50 cm, portanto, x = 18,1 cm. 
 Como o momento fletor solicitante tem sinal positivo, a posição da linha 
neutra deve ser medida a partir da borda superior comprimida.
O momento fletor positivo traciona a parte inferior da viga, e para resistir a ele 
é colocada uma armadura longitudinal chamada “armadura positiva”. No caso 
de momento fletor negativo é colocada a “armadura negativa”, próxima à 
borda superior da viga. Comparando a posição da linha neutra (x) com os 
limites x23 e x34 determina-se o domínio em que a viga se encontra:
M d=0,68 bw . x . f cd .(d−0,4 x )→14.000=0,68∗20∗x∗
2,0
1,4
∗(d−0,4 x)
x2−117,4 x+1.601,8=0→{x1=99,4x2=18,1
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução (cont):
x23 =12,2 cm < x =18,1cm < x34 = 29,6 cm
Como a linha neutra está no intervalo entre x23 
e x34 verifica-se que a viga está no domínio 3. 
Nesse domínio a deformação na armadura varia 
de εyd (iníciode escoamento do aço) a 10 ‰. 
Conforme o diagrama σ x ε do aço, a tensão 
nessa faixa de deformação é σsd = fyd = fyk/γs 
(para o aço CA-50, fyk = 50 kN/cm2 = 500 MPa). 
A área de armadura é calculada:
As=
M d
%gigmasd (d−0,4 x)
→ As=
14.000
50
1,14
(47−0,4∗18,1)
=8,10 cm2
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução (cont):
Resolução com Equações com Coeficientes K
Nas equações do tipo K devem ser obrigatoriamente consideradas as unidades 
de kN e cm para as variáveis. Primeiramente deve-se determinar o coeficiente Kc
com Kc = 3,2, concreto C20 e aço CA-50, na Tabela A-1 determinam-se os 
coeficientes Kx=βx = 0,38, Ks = 0,027 e domínio 3.
A posição da linha neutra fica determinada por 
e a área da armadura 
k c=
bw d
2
M d
=20∗47
2
14.000
=3,2
k x=βx=
x
d
→ x=k x .d=0,38∗47=17,9 cm
As=k s .
M d
d
=0,027∗14.000
47
=8,04cm2
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução (cont):
Detalhamento da armadura na seção transversal
Compara-se a armadura calculada (As = 8,10 cm2) com a armadura mínima 
longitudinal prescrita pela NBR 6118/03. Conforme a Tabela 2, para concreto C20 
e seção retangular, pode-se considerar a armadura mínima de flexão como:
As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 20 . 50 = 1,50 cm2
A armadura calculada de 8,10 cm2 é maior que a armadura mínima. Quando a 
armadura calculada for menor que a armadura mínima, deve ser disposta a área 
da armadura mínima na seção transversal da viga.
A escolha do diâmetro ou dos diâmetros e do número de barras para atender à 
área de armadura calculada admite diversas possibilidades. Um ou mais 
diâmetros podem ser escolhidos, preferencialmente diâmetros próximos entre si. 
A área de aço escolhida deve atender à área de armadura calculada, 
preferencialmente com uma pequena folga. Admite-se uma área de até 5 % 
inferior à calculada.
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução (cont):
O número de barras deve ser aquele que não resulte em fissuração significativa 
na viga e nem dificuldades adicionais durante a confecção da armadura. A 
fissuração é diminuída quanto mais barras finas forem usadas. Porém, deve-se 
cuidar para não ocorrer exageros.
Para a área de armadura calculada de 8,10 cm2, com auxílio das Tabela A-3 e 
Tabela A-4, podem ser enumeradas as seguintes combinações:
 16 φ 8 mm = 8,00 cm2; 10 φ 10 mm = 8,00 cm2; 7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2; 
 3 φ 16 mm + 2 φ 12,5 mm = 8,50 cm2
Detalhamentos com uma única camada resultam seções mais resistentes que 
seções com duas ou mais camadas de barras, pois quanto mais próximo estiver o 
centro de gravidade da armadura à borda tracionada, maior será a resistência da 
seção.
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução (cont):
Das combinações listadas, 16 φ 8 mm e 10 φ 10 mm devem ser descartadas 
porque o número de barras é excessivo, o que aumentaria o trabalho do armador.
As melhores alternativas são 7 φ 12,5 mm e 4 φ 16 mm, sendo esta última pior 
para a fissuração, mas que certamente ficará dentro de valores máximos 
recomendados pela NBR 6118/03.
A altura útil d, definida como a distância entre o 
centro de gravidade da armadura tracionada à fibra 
mais comprimida da seção transversal, conforme o 
detalhamento é:
d = h – a = 50 – 3,3 = 46,7 cm
 
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução (cont):
O valor inicialmente adotado para a altura útil d foi 47 cm. Existe, portanto, uma 
pequena diferença de 0,3 cm entre o valor inicialmente adotado e o valor real 
calculado em função do detalhamento escolhido. Pequenas diferenças, de até 
1cm ou 2 cm podem, de modo geral, serem desconsideradas em vigas de 
dimensões correntes, não havendo a necessidade de se recalcular a armadura, 
pois a diferença de armadura geralmente é pequena.
A disposição das barras entre os ramos verticais do estribo deve proporcionar 
uma distância livre entre as barras suficiente para a passagem do concreto, a fim 
de evitar o surgimento de nichos de concretagem, chamados na prática de 
“bicheira”. Para isso, o espaçamento livre horizontal mínimo entre as barras é 
dado por:
eh ,min⩾{ 2cmφl1,2 dmáx , agr
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução (cont):
então, o espaçamento mínimo entre as barras será de 2,28cm. A partir desse 
valor, se a opção fosse 7 φ 12,5 mm, seria necessário uma largura de (7*1,25 + 
6*2,28 + 2*2) 26,43cm > 20cm, ou se 4 φ 16 mm (4*1,6 + 3*2,28 + 2*2) 19,52cm 
< 20cm. Assim, a escolha recai sobre 4 φ 16 mm.
Deformações na fibra mais comprimida (concreto) e na armadura tracionada
No domínio 3 a deformação de encurtamento na fibra de concreto mais 
comprimida é fixa e igual a 3,5 ‰. A deformação na armadura As varia de εyd 
(2,07 ‰ para o aço CA-50) a 10 ‰. Considerando d = h – a = 50 – 3,3 = 46,7 cm,
 %o
εcd
εsd=
x
d−x
→ 3,5εsd =
18,1
46,7−18,1
→εsd=5,5
eh ,min⩾{ 2cmφl=1,25 cm1,2d máx ,agr=1,2∗19mm=2,28cm ou {
2cm
φl=1,6 cm
1,2 dmáx ,agr=1,2∗19mm=2,28cm
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução (cont):
 
Dimensionamento de seções retangulares
Exercício:
Dada a seção retangular de uma viga, 
como mostrada na figura, calcular o 
momento fletor admissível (de serviço). 
São conhecidos:
concreto C20; aço CA-50; γf = γc = 1,4; 
γs = 1,15 
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução:
As variáveis a serem determinadas são a posição da linha neutra (x) e o 
momento fletor de serviço ou admissível (Mk).
A resolução deve ser feita por meio das equações teóricas. A primeira equação 
a considerar é a de equilíbrio das forças resultantes na seção transversal 
Rcd = Rsd
As resultantes de compressão no concreto comprimido e de tração na 
armadura são 
Rcd = 0,85 fcd 0,8 x bw
Rsd = σsd As
 
Dimensionamento de seções retangulares
Solução (cont):
Suposição: a seção foi dimensionada nos domínios 2 ou 3:
verifica-se a hipótese considerada da viga estar nos domínios 2 ou 3, ou seja faz-se a 
comparação de x com os valores limites x23 e x34:
x23 = 0,26 d = 0,26 . 46 = 12,0 cm
x34 = 0,63 d = 0,63 . 46 = 29,0 cm
x23 = 12,0 < x = 17,9 < x34 = 29,0 cm
Verifica-se que a seção encontra-se no domínio 3, e realmente σsd é igual a fyd. O momento 
fletor de serviço pode ser calculado por 
Md = 0,68bw x fcd (d − 0,4x) ou Md = As σsd (d − 0,4x) 
1,4Mk = 8,00*(50/1,15)*(46-0,4*17,9) → Mk = 9.650 kN.cm
Portanto, o momento fletor característico a que a seção pode resistir é 9.650 kN.cm
(momento positivo).
0,85 f cd 0,8 x bw=σ sd→σ sd= f yd=
f yk
γs então 0,85
2,0
1,15
0,8 x∗20= 50
1,15
∗8→ x=17,9 cm
 
SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA 
DUPLA
Define-se seção com armadura dupla a seção que, além da 
armadura resistente tracionada, contém também armadura 
longitudinal resistente na região comprimida, ali colocada para 
auxiliar o concreto na resistência às tensões de compressão.
A armadura dupla é um artifício que permite dimensionar as 
seções cujas deformações encontram-se no domínio 4, sem que 
haja a necessidade de se alterar algum dos parâmetros 
inicialmente adotados.
 A seção com armadura dupla surge como solução ao 
dimensionamento anti-econômico e contra a segurança (ruptura 
frágil, sem aviso prévio) proporcionado pelo domínio 4.
 
SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA 
DUPLA
Este domínio é evitado alterando-se a posição da linha neutra para 
o limite entre os domínios 3 e 4, ou seja, com a linha neutra 
passando por x3lim , no que resulta na máxima seção comprimida 
possível no domínio 3. 
Ao se fazer assim, a área de concreto comprimidonão mais 
considerada para a resistência da seção é “compensada” pelo 
acréscimo de uma armadura longitudinal próxima à borda 
comprimida, que irá auxiliar o concreto no trabalho de resistência 
às tensões de compressão.
 
SEÇÃO RETANGULAR COM ARMADURA 
DUPLA
Na maioria dos casos da prática a necessidade de armadura dupla 
surge nas seções sob momentos fletores negativos, nos apoios 
intermediários das vigas contínuas. Como os momentos fletores 
negativos são significativamente maiores que os momentos 
fletores máximos positivos nos vãos, eles requerem seções 
transversais com alturas bem maiores que os momentos positivos.
Fixar a altura das vigas em função dos momentos negativos 
aumenta o seu custo, pois se na seção de apoio a altura fixada é a 
ideal, nas seções dos vãos a altura resulta exagerada. 
Uma solução simples e econômica pode ser fixar a altura da viga 
de tal forma que resulte armadura dupla nos apoios e armadura 
simples nos vãos.
 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Tal como na dedução das equações para a seção com armadura 
simples, a formulação será desenvolvida com base nas duas 
equações de equilíbrio da estática. 
A figura mostra a seção retangular de uma viga, com armadura 
tracionada As e armadura comprimida A’s, submetida a momento 
fletor positivo. O diagrama de distribuição de tensões de 
compressão no concreto é aquele retangular simplificado, com 
altura 0,8x.
 
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
 
 
Equilíbrio de Forças Normais
Na flexão simples existem apenas as forças resultantes relativas aos 
esforços resistentes internos, que devem se equilibrar, de tal forma 
que:
Rcc + Rsc = Rst
Rcc = força resultante de compressão proporcionada pelo concreto 
comprimido;
Rsc = força resultante de compressão proporcionada pela armadura 
comprimida;
Rst = força resultante de tração proporcionada pela armadura 
tracionada;
σ’sd = tensão de cálculo na armadura comprimida;
σsd = tensão de cálculo na armadura tracionada.
 
Equilíbrio de Forças Normais
Considerando que R = σ . A, as forças resultantes, são:
Rcc = 0,85 fcd 0,8 x bw = 0,68bw x fcd
Rsc = A’s σ’sd
Rst = As σsd 
 
Equilíbrio de Momentos Fletores
O momento fletor solicitante tem que ser equilibrado pelo 
momento interno resistente, proporcionado pelo concreto 
comprimido e pelas armaduras tracionada e comprimida
 Md: Msolic = Mresist = Md
Fazendo o equilíbrio de momentos fletores em torno da 
linha de ação da força resultante Rst , o momento 
resistente à compressão será dado pelas forças 
resultantes de compressão multiplicadas pelas suas 
respectivas distâncias à linha de ação de Rst (braços de 
alavanca – zcc e zsc):
Md = Rcc . zcc + Rsc . zsc
 
Equilíbrio de Momentos Fletores
Substituindo Rcc e Rsc:
Md = 0,68bw x fcd (zcc) + A's σ'sd (zsc)
Aplicando as distâncias zcc e zsc a equação 
torna-se:
Md = 0,68 bw x fcd (d - 0,4x) + A's σ'sd (d - d')
 
Equilíbrio de Momentos Fletores
Para facilitar o cálculo decompõe-se o momento fletor Md em duas 
parcelas, tal que: Md = M1d + M2d
 
Equilíbrio de Momentos Fletores
O momento fletor M1d corresponde momento interno resistente 
proporcionado por uma parcela As1 da armadura tracionada e pela 
área de concreto comprimido com a maior altura possível (parte b 
da figura). M1d = 0,68b x fcd (d − 0,4 x )
O valor de x deve ser adotado conforme os critérios da NBR 
6118/03 já apresentados, havendo as seguintes possibilidades:
a) x = x3lim (0,77d para o aço CA-25, 0,63d para CA-50 e 0,59d 
para CA-60) nas seções que não sejam de apoio da viga nem de 
ligação com outros elementos estruturais;
b) x = 0,5d para concretos até C35 nas seções de apoio da viga 
ou de ligação com outros elementos estruturais;
c) x = 0,4d para concretos de classes acima do C35 nas seções 
de apoio da viga ou de ligação com outros elementos estruturais.
Equilíbrio de Momentos Fletores
Determinada a primeira parcela M1d do momento fletor total, 
calcula-se a segunda parcela como: M 2d = M d − M1d
A armadura comprimida A’s equilibra a parcela As2 da armadura 
tracionada total (As) resultando no equilíbrio de momentos 
fletores na seção, como a força resultante na armadura 
comprimida multiplicada pela distância à armadura tracionada:
M2d = Rsc . zsc
Substituindo Rsc: M2d = A ′ σ′ zsc = A ′ σ′ (d − d′ )
Isolando a área de armadura comprimida: 
A tensão σ’sd na armadura comprimida depende do tipo de aço e 
da posição dessa armadura dentro da seção transversal
)'('
' 2
dd
MA
sd
d
s
−
=
σ
Equilíbrio de Momentos Fletores
As parcelas As1 e As2 da armadura tracionada resultam do 
equilíbrio de momentos fletores nas seções b e c indicadas 
na Figura. São dadas pelas forças resultantes nas 
armaduras tracionadas multiplicadas pelos respectivos 
braços de alavanca, isto é, a distância entre as resultantes 
que se equilibram na seção.
Para a seção b da figura:
M1d = As1 ssd zcc = As1 σsd (d − 0,4x)
Isolando As1 da armadura tracionada:
Para a seção c da figura: M2d = As2ssdzsc = As2ssd (d − d’)
Isolando a parcela As2 da armadura tracionada
)4,0(
' 11 xd
MA
sd
d
s
−
=
σ
)'(
' 22 dd
MA
sd
d
s
−
=
σ
Equilíbrio de Momentos Fletores
A armadura total tracionada é a soma da parcelas As1 e As2:
A s = A s1 + A s 2
As1 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o 
momento fletor resistente proporcionado pela área de 
concreto comprimido com altura x;
As2 = parcela da armadura tracionada As que equilibra o 
momento fletor resistente proporcionado pela armadura 
comprimida A's.
 
Equilíbrio de Momentos Fletores
Determinada a primeira parcela M1d do momento fletor total, 
calcula-se a segunda parcela como: M 2d = M d − M1d
A armadura comprimida A’s equilibra a parcela As2 da armadura 
tracionada total (As) resultando no equilíbrio de momentos fletores 
na seção, como a força resultante na armadura comprimida 
multiplicada pela distância à armadura tracionada:
M2d = Rsc . zsc
Substituindo Rsc: M2d = A ′ σ′ zsc = A ′ σ′ (d − d′ )
 
Permanência das Seções Planas
Conforme o diagrama de deformações (figura) definem-se as 
relações entre as deformações de cálculo nas armaduras 
tracionada (εsd) e comprimida (ε’sd) e no concreto da fibra mais 
comprimida da seção.
A relação entre a posição da linha neutra e a altura útil d
εcd
εsd=
x
d−x
e
εcd
x
=
εsd
'
x−d '
=
εsd
d−x
βx=
x
d
=
εcd
εcd+εsd
 
Cálculo mediante fórmulas com coeficientes 
K
Inicialmente deve-se definir qual será a posição da linha neutra na 
seção transversal. Se for seção de apoio ou de ligação com 
outro elemento estrutural, a variável βx será adotada em função 
da classe do concreto:
a) βx = x/d = 0,5 para concretos até C35;
b) βx = x/d = 0,4 para concretos de resistência acima de C35.
Se a seção não for de apoio ou de ligação, a posição da linha 
neutra poderá ser assumida passando por x3lim, isto é, no limite 
entre os domínios 3 e 4. Para o aço CA-50 deverá serassumido, 
portanto, βx = 0,63.
 
Cálculo mediante fórmulas com coeficientes 
K
Definida a posição da linha neutra, deve-se determinar os valores 
correspondentes de Kclim e de Kslim nas tabelas de Kc e Ks, 
conhecendo-se a classe do concreto e a categoria do aço.
O momento fletor M1d será determinado:
A parcela M2d do momento total será determinada: M2d = Md − M1d
 As áreas totais de armaduras tracionada e comprimida será dada 
por: 
M 1d=
bd 2
K clim
A' s=K ' s
M 2d
(d−d ' )
As=K slim
M 1d
d
+
M 2d
f yd (d−d ' )
 
Cálculo mediante fórmulas com coeficientes 
K
O coeficiente K’s é o inverso da tensão na armadura comprimida, 
assumindo diferentes valores em função da relação d’/d e da 
posição adotada paraa linha neutra, que pode estar localizada em 
x3lim, 0,5d ou 0,4d. Os valores de K’s estão mostrados nas 
tabelas A-6 a A-10.
K ' s=
1
σ ' sd
 
Exercício
Para a viga contínua da figura, admitida com seção transversal 
constante nos dois vãos, determinar d e As para os apoios e vãos 
centrais, de tal modo que se tenha a mínima altura e armadura dupla. 
Detalhar a seção transversal e calcular as deformações máximas no 
concreto e no aço.
b=15cm; h=40cm
C25; CA50
C=2,5cm; brita 1
γ c = γ f = 1,4
γs = 1,15;φt = 5 mm
 
Exercício
As cargas atuantes na viga são o peso próprio (peso específico 
25kN/m3), parede de largura 19cm e 2,9m de altura (peso específico 
13kN/m3), revestimento de 1,5cm em ambas as faces da parede com 
emboço paulista (peso específico 21kN/m3) e ação de lajes de 6,7kN/m.
 
Viga T
A seção T é assim chamada porque a seção da viga tem a forma 
geométrica de um T. A seção T é composta pela nervura e pela mesa, 
sendo que a mesa pode estar parcial ou totalmente comprimida. Podem 
ser do tipo pré-moldadas, quando são fabricadas com a forma do T 
numa empresa, ou moldadas no local, no caso de vigas retangulares 
que, com o trabalho conjunto com as lajes vizinhas, originam uma seção 
fictícia em forma de T.
 
Viga T
A seção T é assim chamada porque a seção da viga tem a forma 
geométrica de um T. A seção T é composta pela nervura e pela mesa, 
sendo que a mesa pode estar parcial ou totalmente comprimida. Podem 
ser do tipo pré-moldadas, quando são fabricadas com a forma do T 
numa empresa, ou moldadas no local, no caso de vigas retangulares 
que, com o trabalho conjunto com as lajes vizinhas, originam uma seção 
fictícia em forma de T.
 
Viga T
A seção T pode ser formada também nas lajes do tipo pré-fabricadas e 
nervuradas, nas seções de pontes rodoviárias, etc
 
Seção T – armadura simples
“A seção T com armadura simples” é aquela que tem como armadura 
longitudinal resistente apenas a armadura tracionada, disposta próxima 
à borda tracionada da seção, e que não tem necessidade de armadura 
comprimida resistente.
a) 0,8 x ≤ hf 
Quando a altura 0,8x do diagrama retangular simplificado é menor ou 
igual à altura da mesa, isto é, 0,8x ≤ hf, a seção comprimida de concreto 
(A’c) é retangular, com área bf . 0,8x, de modo que o dimensionamento 
pode ser feito como se a seção fosse retangular, com largura bf ao invés 
de bw, e aplicando-se as mesmas equações já desenvolvidas para a 
“seção retangular com armadura simples”. A seção a ser considerada 
será bf . h.
 
Seção T – armadura simples
Na maioria das seções T da prática resulta 0,8x ≤ hf
 
Seção T – armadura simples
b) 0,8 x > hf
Quando 0,8x resulta maior que a altura da mesa (hf), a área da seção 
comprimida de concreto (A’c) não é retangular, mas sim composta pelos 
retângulos I, II e III, como mostrado na figura.
 
Seção T – armadura simples
Na seção b da figura, o concreto comprimido da mesa é equilibrado por 
uma parcela As1 da armadura longitudinal tracionada (As). O concreto 
comprimido da nervura é equilibrado pela segunda parcela As da 
armadura total As (seção c da figura).
a) Equilíbrio de Forças Normais
Na flexão simples não existe a força normal solicitante externa, 
de modo que a força resultante do concreto comprimido deve 
equilibrar a força resultante da armadura tracionada: Rcc = Rst 
Rcc = força resultante das tensões normais de compressão na 
área de concreto comprimido;
Rst = força resultante das tensões normais de tração na 
armadura longitudinal As.
 
Seção T – armadura simples
b) Equilíbrio de Momentos Fletores
As forças internas resistentes formam um binário oposto ao momento 
fletor solicitante: Msolic = Mresist = Md
O momento fletor total é subdividido em duas parcelas M1d e M2d :
Md = M1d +M2d 
Do equilíbrio de momentos fletores na linha de ação da armadura As1 na 
figura (b), define-se o momento fletor resistente M1d proporcionado pela 
armadura As1 e pela mesa comprimida:
M1d = bf − bw hf 0,85fcd d − 0,5hf
Adotam-se valores para todas as variáveis (bf , bw , hf , fcd , d), de 
modo a tornar possível o cálculo de M1d.
 
Seção T – armadura simples
A segunda parcela do momento fletor total é determinada por:
M2d = Md −M1d
A seção da figura (c) é uma seção retangular com armadura simples e 
trocando Md por M2d: M2d = 0,68bw x fcd (d − 0,4x) 
Conhecendo-se os valores de M2d , bw , fcd e d, define-se a posição x 
da linha neutra e determina-se em qual domínio a seção T encontra-se.
Com o equilíbrio de momentos fletores em torno do centro de gravidade 
das áreas comprimidas de concreto nas seções b e c, e considerando o 
dimensionamento nos domínios 2 ou 3, onde σsd = fyd , as parcelas de 
armadura As1 e As2 são:
 
Seção T – armadura simples
As = As1 + As2
c) Permanência das seções planas
M 1d=σ sd As1(d−0,5h)→As1=
M 1d
f yd (d−0,5h f )
M 2d=σ sd As2(d−0,4 x)→As2=
M 2d
f yd (d−0,4 x)
εcd
εsd=
x
d−x
βx=
εcd
εcd+εsd
 
Cálculo mediante fórmulas com coeficientes 
K
Verifica-se a posição da linha neutra, calculando Kc com bf e d:
Com o valor de Kc determinam-se na Tabela A-1 ou Tabela A-2 os 
valores βx e Ks. O valor de x é imediato
Se resultar 0,8x ≤ hf , o cálculo é feito como uma viga de seção 
retangular com largura bf e altura h. A armadura tracionada é:
M d=
b f d
2
K c
As=K s
M d
d
x=βx d
 
Cálculo mediante fórmulas com coeficientes 
K
Se resultar 0,8x > hf , para o cálculo do momento fletor resistente 
M1d , proporcionado pela área da mesa comprimida, adota-se 0,8x* = 
hf , ficando: 
Com β*x determina-se K*c na Tabela A-1
Como M2d = Md – M1d, então 
Com o valor de Kc , na Tabela A-1 determinam-se Ks e o domínio em 
que a seção se encontra.
M 1d=
(b f−bw)d
2
K c
∗
βx
∗=
1,25h f
d
x∗=
h f
0,8
=1,25 h f
K c=
bw d
2
M 2d
 
Cálculo mediante fórmulas com coeficientes 
K
Considerando o dimensionamento nos domínios 2 ou 3, a 
armadura tracionada é:
As=As1+As2→As=
M 1d
f yd (d−0,5h f )
+K s
M 2d
d
 
Exemplo
Dimensionar a armadura longitudinal de flexão da viga com a 
seção transversal mostrada na figura, sendo dados:
 
Exemplo
Solução:
O momento fletor de cálculo será Md = 1,4 . 8550 =11.970 kN.cm
Para a altura útil d será adotado o valor: d = 30 - 5 = 25 cm
Os limites entre os domínios 2, 3 e 3, 4 para o aço CA-50 são:
x2lim = 0,26 . 25 = 6,5 cm e x3lim = 0,63 . 25 = 15,8 cm
a) Equações teóricas
Supõe-se que a seção T será calculada como se fosse retangular bf . h e 
com 0,8x ≤ hf. Das equações da seção retangular e bf igual a bw 
obtem-se a posição da linha neutra (x):
Md = 0,68bf x fcd (d − 0,4x) → 11970 = 0,68 . 45 x (2,5/1,4)(25 0,4x) → 
x = 10,5 cm
0,8 . 10,5 = 8,4 > hf = 7 cm
 
Exemplo
Então a a hipótese de seção retangular bf . h não é válida, pois a linha 
neutra corta a nervura bw e por isso o valor anterior calculado para x 
não é correto. 
Inicialmente, calcula-se a parcela M1d do momento fletor resistente
A segunda parcela do momento resistente será dada por
Da parcela M2d pode-se calcular a posição correta da linha neutra 
 
Exemplo
A seção T está no domínio 3, x2lim = 6,5 < x = 13,6 < x3lim = 15,8 cm.
No domínio 3 a tensão na armadura tracionada é igual a fyd. As parcelas 
As1 e As2 da armadura são:
 
Exemplo
b) Equações com Coeficientes K
Colocando-se bf ao invés de bw, supondo-se que a seção T seja 
calculada como seção retangular:
Com C25 e CA-50, na Tabela A-1 determina-se o valor de bx = 0,44. 
Com bx = x/d, os valores para x e 0,8x são:
x = bx . d = 0,44 . 25 = 11,0 cm
0,8x = 0,8 . 11,0 = 8,8 cm > hf = 7 cm
Portanto, com 0,8x > hf, a seçãoT deve ser dimensionada com as 
equações para a seção T. Calcula-se b*x referente à altura da mesa 
comprimida
 
Exemplo
Com b*x = 0,35 na Tabela A-1 encontra-se K*c = 2,7. Com K*c 
determina-se a primeira parcela do momento fletor resistente M1d
A segunda parcela do momento resistente é:
M2d = Md - M1d = 11.970 – 6.136 = 5.834 kN.cm
Com o momento M2d calcula-se a posição real x da linha neutra
Na Tabela A-1, com Kc = 1,9, encontra-se βx = 0,56, Ks = 0,030 e o 
domínio 3. A posição da linha neutra resulta: x = bx . d = 0,56 . 25 = 14,0 
cm, e 0,8x = 11,2 cm > hf = 7 cm, o que confirma a seção T.
 
Exemplo
A área de armadura será:
As = 13,56 cm2 (7 φ 16 = 14,00 cm2 ou 3 φ 20 + 2 φ 16 = 13,45 cm2)
O detalhamento da armadura longitudinal de flexão mostra pela Tabela 
A-4 que é possível colocar três barras φ 20 mm numa única camada, pois 
a largura bw mínima é de 17 cm, menor que a largura existente de 18 
cm. As duas barras restantes devem ser colocadas na segunda camada, 
amarradas nos ramos verticais dos estribos. O espaçamento livre mínimo 
na direção vertical entre as barras das duas camadas é
 ev,min=2,0cm
 
Exemplo
O centro de gravidade da armadura e a face tracionada é
2,5 + 0,5 + 2,0 + 0,5 = 5,5 cm
 
Cortante
O comportamento da região da viga sob maior influência das forças 
cortantes e com fissuras inclinadas de cisalhamento no Estádio II, pode 
ser muito bem descrito fazendo-se a analogia com uma treliça isostática. 
A analogia de treliça consiste em simbolizar a armadura transversal 
como as diagonais inclinadas tracionadas (montantes verticais no caso 
de estribos verticais), o concreto comprimido entre as fissuras (bielas de 
compressão) como as diagonais inclinadas comprimidas, o banzo 
inferior como a armadura de flexão tracionada e o banzo superior como 
o concreto comprimido acima da linha neutra.
A treliça isostática com banzos paralelos e diagonais comprimidas de 
45° é chamada “treliça clássica de Ritter-Mörsch”.
 
Cortante
Os estribos devem estar próximos entre si a fim de interceptarem 
qualquer possível fissura inclinada devido ao esforço cortante, o que 
leva à necessidade da treliça múltipla. Uma ruptura precoce pode 
ocorrer quando a distância entre as barras for ≥ 2 z para estribos 
inclinados a 45° e > z para estribos a 90°.
 
Dimensionamento de vigas ao esforço 
cortante segundo a NBR 6118/2003
A norma NBR6118/2003 traz tabelas para o dimensionamento de 
estribos:
 
Dimensionamento de vigas ao esforço 
cortante segundo a NBR 6118/2003
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