Aula2_26032014_VALOR+PRESENTE+DE+SÉRIES+UNIFORMES

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VALOR PRESENTE DE SEQÜÊNCIAS UNIFORMES
Aula3-26/03-2014
Na sala de aula discutimos a fórmula para o valor presente de séries uniformes a partir do seguinte raciocínio. Suponhamos que eu gostaria de viver para sempre, e com uma renda mensal de R$ 20.000 por mês. Considerando uma taxa de juro de 5% ao mês, quanto dinheiro eu teria que depositar hoje (t=0) numa conta corrente para viabilizar este sonho? Evidentemente, a resposta é R$ 400.000 (5% X R$ 400.000= R$ 20.000). Isso quer dizer que, em termos matemáticos, o valor presente de uma série uniforme infinita é definido como (veja figura 1) : 
V = A/j = R$ 20.000/5%= R$ 400.000
Vamos agora reduzir as nossas ambições. Suponhamos que gostaria de tirar férias para três meses, e com uma renda de R$ 20.000 mensal. Quanto dinheiro eu teria que depositar hoje (t=0) para viabilizar estas férias? (veja figura 2) 
Há duas maneiras para resolver este problema. A mais direta já conhecemos, pois implica descontar cada pagamento para o período t=0: 
V= R$ 20.000/1.05 + R$ 20.000/1.052 + R$ 20.000/1.053 = R$ 54.465
A outra forma para resolver este problema é interpretar o valor presente destes três pagamentos uniformes (Figura 2) como a diferença matemática entre duas seqüências uniformes e infinitas (figura 3): 
Isto é, o valor presente de três pagamentos de R$ 20.000 é equivalente a uma série infinita de R$ 20.000 que se inicia no período t=1 (Série A na Figura 3), e a mesma série infinita que começa no período t=4 (Série B na Figura 3). 
Definindo como: 
V= Valor Presente;
A= valor do pagamento que é repetido durante uma seqüência com n períodos;
j= Taxa de juro
n= número de períodos, 
podemos re-escrever esta diferença entre a série A e B como: 
Valor Presente de três pagamentos de R$ 20.000 = V= Série A – Série B => V = A/j – (A/j)/(1+j)n
V= A/j X [1 - 1/(1+j)n] 
Se definirmos F, o chamado Fator de Capitalização para seqüências uniformes, como F=A/V teremos:
F=f (j, n) = j / [1 - 1/(1+j)n]
Sempre quando conhecemos a taxa de juro (j) e o número de períodos da seqüência uniforme (n) podemos calcular F. Se, alem disso, o pagamento A é conhecido, podemos calcular V como V= A/F. Se, por outro lado, conhecemos V e F, podemos calcular A como A= V X F. Na aula de 14-10 fizemos vários exercícios com este modelo. No nosso exemplo simples discutido acima: 
F (j=0.05; n=3) = 0,3672
A = R$ 20.000
Isto é, o Valor Presente V= R$ 20.000/0,3672= R$ 54.465. 
[� PAGE \* MERGEFORMAT �1�]
Plan1
		Figura 1 - Valor Presente de uma seqüência uniforme e infinita - j=5% 
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........		∞
		Renda/Mensal		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000
		Deposito Inicial		R$ 400,000
		Figura 2 - Valor Presente de uma série de 3 pagamentos j=5% 
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........		∞
		Renda/Mensal		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 0		R$ 0		R$ 0		R$ 0
		Deposito Inicial		V=?
		Figura 3 - Uma Seqüência uniforme com periodo definido como diferença entre outras duas seqüências 
		uniformes com infinitas
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........		∞
		Renda/Mensal		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000
		Deposito Inicial		R$ 400,000
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........		∞
		Renda/Mensal		R$ 0		R$ 0		R$ 0		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000
		Deposito Inicial		V=?
Plan2
Plan3
Plan1
		Figura 1 - Valor Presente de uma seqüência uniforme e infinita - j=5% 
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........∞
		Renda/Mensal		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000
		Deposito Inicial		R$ 400,000
		Figura 2 - Valor Presente de uma série de 3 pagamentos j=5% 
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........∞
		Renda/Mensal		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 0		R$ 0		R$ 0		R$ 0
		Deposito Inicial		V=?
		Figura 3 - Uma Seqüência uniforme com periodo definido (n=3) como diferença entre
		 outras duas seqüências uniformes infinitas (A) e (B)
		Série A
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........∞
		Renda/Mensal		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000
		Deposito Inicial		R$ 400,000
		Série B
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........∞
		Renda/Mensal		R$ 0		R$ 0		R$ 0		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000
		Deposito Inicial		V=?
Plan2
Plan3
Plan1
		Figura 1 - Valor Presente de uma seqüência uniforme e infinita - j=5% 
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........		∞
		Renda/Mensal		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000
		Deposito Inicial		R$ 400,000
		Figura 2 - Valor Presente de uma série de 3 pagamentos j=5% 
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........		∞
		Renda/Mensal		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 0		R$ 0		R$ 0
		Deposito Inicial		V=?
		Figura 3 - Uma Seqüência uniforme com periodo definido como diferença entre outras duas seqüências 
		uniformes com infinitas
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........		∞
		Renda/Mensal		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000
		Deposito Inicial		R$ 400,000
		Mês		0		1		2		3		4		5		6		........		∞
		Renda/Mensal		R$ 0		R$ 0		R$ 0		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000		R$ 20,000
		Deposito Inicial		V=?
Plan2
Plan3