Final Calculo III

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE ENGENHARIA ELE´TRICA
DISCIPLINA: Ca´lculo III TURMA 1
PROFESSOR: Rubem Alves da Silva
ALUNO: 09 de maio de 2013
EXAME FINAL
1. A temperatura em um ponto (x, y) e´ T (x, y), medida em graus Celsius. Um inseto rasteja de
modo que sua posic¸a˜o, apo´s t segundos, e´ dada por x =
√
1 + 2t, y = 2 + t/2, x e y medidos
em cent´ımetros. Sabendo-se que Tx(3, 4) = 4 e Ty(3, 4) = 3, determinar a taxa de variac¸a˜o da
temperatura sobre a trajeto´ria do inseto, apo´s 4 segundos.
2. Calcular a seguinte integral usando coordenadas polares:
s
R
√
4 − x2 − y2 dA, R =
{
(x, y)| x2 + y2 ≤ 4, x ≥ 0
}
;
3. Calcular a seguinte integral tripla:
t
D x dV em que D e´ limitado paraboloide x = 4y
2
+ 4z2 e pelo plano x = 4.
4. Sabendo que E e´ a regia˜o limitada pelos hemisfe´rios y =
√
9 − x2 − z2 e y =
√
16 − x2 − y2, e pelo
plano xz, calcular: y
E
x2dV
5. O potencial ele´trico em uma dada regia˜o do espac¸o e´ representado por V(x, y, z) = 5x2 −3xy+ xyz.
(a) Determinar a taxa de variac¸a˜o do potencial no ponto P(3, 4, 5), na direc¸a˜o do vetor ~v = i+j−k;
(b) Em que direc¸a˜o V varia mais rapidamente em P ?;
(c) Qual e´ a ma´xima taxa de variac¸a˜o de V em P?.