Trabalho 1 - Controle Adaptativo

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RELATÓRIO DO PRIMEIRO TRABALHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Pereira Marchioro Bertelli, 2013079718 
 
 
 
 
 
Natal, 2 de abril de 2014.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
CONTROLE ADAPTATIVO 
 
1 
 
 
Guilherme Pereira Marchioro Bertelli 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DO PRIMEIRO TRABALHO 
 Relatório referente ao desenvolvimento do primeiro 
trabalho da disciplina Controle Adaptativo, 
correspondente à avaliação da 1º unidade do 
semestre 2014.1, dos cursos de Engenharia da 
Computação, Engenharia Mecatrônica e Engenharia 
Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do 
Norte, sob orientação do Prof. Aldayr Dantas de 
Araújo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Natal, 2 de abril de 2014. 
2 
 
RESUMO 
 Neste relatório será explicado o desenvolvimento do primeiro trabalho da 
disciplina, que consiste no projeto de controlador MRAC (Model Reference Adaptive 
Control) direto, com suas variáveis de estado medidas pela Regra do MIT e pelo 
Método do Gradiente. Os algoritmos e todas as simulações foram feitos utilizando o 
MATLAB. A fundamentação teórica necessária para o desenvolvimento do trabalho foi 
ministrada na disciplina “Controle Adaptativo”, pelo professor Aldayr Dantas de 
Araújo, do Departamento de Engenharia Elétrica, da Universidade Federal do Rio 
Grande do Norte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 1 - Diagrama de um sistema de controle MRAC ................................................. 5 
Figura 2 - Planta a ser estudada ..................................................................................... 9 
Figura 3 - Ajuste dos Parâmetros estimados do Controlador para entrada degrau (Regra 
do MIT) .............................................................................................................. 11 
Figura 4 - Saída do Modelo e saída da planta para uma entrada degrau (Regra do MIT)
 ............................................................................................................................ 12 
Figura 5 - Erro entre comportamento da planta e do modelo para uma entrada degrau 
(Regra do MIT) ................................................................................................... 12 
Figura 6 - Sinal de controle para uma entrada degrau (Regra do MIT) ......................... 13 
Figura 7 - Ajuste dos Parâmetros Estimados do controlador para uma entrada rampa 
(Regra do MIT) ................................................................................................... 14 
Figura 8 - Saída do Modelo de Referência, saída da planta e sinal de referência para 
uma entrada rampa (Regra do MIT) ..................................................................... 14 
Figura 9 - Sinal de erro entre planta e modelo de referência para um a entrada rampa 
(regra do MIT) .................................................................................................... 15 
Figura 10 - Sinal de controle para uma entrada rampa (Regra do MIT) ........................ 15 
Figura 11 - Ajuste dos parâmetros estimados do controlador para uma entrada senoidal 
(Regra do MIT) ................................................................................................... 16 
Figura 12 - Saída do modelo de referência, saída da planta e sinal de referência para 
uma entrada senoidal (Regra do MIT) ................................................................. 17 
Figura 13 - Erro entra planta e modelo para uma entrada senoidal (Regra do MIT)...... 17 
Figura 14 - Sinal de controle para uma entrada senoidal (Regra do MIT) .................... 18 
Figura 15 - Ajuste dos parâmetros do controlador para uma entrada degrau (Método do 
Gradiente) ........................................................................................................... 19 
Figura 16 - Saída estimada da planta, saída da planta e sinal de referência para uma 
entrada degrau (Método do Gradiente) ................................................................ 20 
Figura 17 - Erro entra comportamento da planta e do modelo de referência para uma 
entrada degrau (Método do Gradiente) ................................................................ 20 
Figura 18 - Sinal de controle para uma entrada degrau (Método do Gradiente) ............ 21 
Figura 19 - Ajuste dos parâmetros do controlador para uma entrada rampa (Método do 
Gradiente) ........................................................................................................... 22 
Figura 20 - Saída da estimada, saída da planta e sinal de referência para uma entrada 
rampa (Método do Gradiente) .............................................................................. 22 
Figura 21 - Erro entre planta e modelo de referência para uma entrada rampa (Método 
do Gradiente) ...................................................................................................... 23 
Figura 22 - Sinal de controle para uma entrada rampa (Método do Gradiente) ............. 23 
Figura 23 - Ajuste dos parâmetros do controlador para uma entrada senoidal (Método do 
Gradiente) ........................................................................................................... 24 
Figura 24 - Saída estimada, saída da planta e sinal de referência para uma entrada 
senoidal (Método do Gradiente) .......................................................................... 25 
Figura 25 - Erro entre modelo e planta para uma entrada senoidal (Método do 
Gradiente) ........................................................................................................... 25 
Figura 26 - Sinal de controle para uma entrada senoidal (Método do Gradiente) .......... 26 
 
4 
 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 5 
1.1 Regra do MIT ................................................................................ 5 
1.2 Método do Gradiente..................................................................... 7 
2 DESENVOLVIMENTO ........................................................................... 9 
 2.1 Simulações com a regra do MIT................................................... 11 
 2.1.1 Entrada Tipo degrau unitário ............................................ 11 
 2.1.2 Entrada Tipo Rampa ......................................................... 13 
 2.1.3 Entrada Tipo Senóide ....................................................... 16 
 2.2 Simulações com o Método do Gradiente....................................... 19 
 2.2.1 Entrada Tipo degrau unitário ............................................ 19 
 2.2.2 Entrada Tipo Rampa ......................................................... 21 
 2.2.3 Entrada Tipo Senóide ....................................................... 24 
3 CONCLUSÕES ......................................................................................... 27 
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................... 285 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
 O controle adaptativo por modelo de referência (MRAC) é uma estratégia de 
controle em que os parâmetros do controlador em malha fechada são atualizados a fim 
de se obter um desempenho semelhante ao obtido por um sistema modelo de referência 
excitado pela mesma referência, ou seja, as mudanças nos parâmetros do controlador, 
providas por um mecanismo de adaptação, têm por objetivo minimizar o erro entre a 
saída do sistema sob controle e a saída de um modelo de referência (saída desejada). 
A utilização do MRAC com outras técnicas de controle é muito comum, pois procura 
suprir a desvantagem de desempenho que o MRAC apresenta no regime transitório e 
incorporar o bom desempenho que o mesmo possui no regime permanente. 
 No MRAC, o desempenho do sistema é expresso em termos de um modelo de 
referência, o qual gera uma resposta desejada para um determinado sinal de referência. 
O erro entre a saída do modelo e a saída da planta é medido, e através de métodos de 
estimação de parâmetros os parâmetros do controlador são modificados a fim de que o 
sistema comporte-se como o modelo de referência. Para um melhor entendimento da 
estratégia MRAC direto observe a Figura 1. 
 
 
Figura 1 - Diagrama de um sistema de controle MRAC 
 Dois dos métodos mais utilizados para medição das variáveis de estado são a 
Regra do MIT e o Método do Gradiente. 
 
1.1 Regra do MIT 
 
Com o uso desta regra, os parâmetros desconhecidos que são necessários para gerar 
as funções de sensibilidade são substituídos por suas estimativas em tempo real. 
Infelizmente, com o uso de funções de sensibilidade aproximadas, não é possível, no 
geral, provar estabilidade global em malha fechada e a convergência do erro desejado 
para zero. 
Considerando o projeto de um esquema MRAC para a planta seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde a1 e a2 são parâmetros desconhecidos e dy/dt e y podem ser medidos. 
 
6 
 
 O modelo de referência à ser correspondido pela planta em malha fechada é 
dado por: 
 
 
 
 
 
 
 A lei de controle 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 
 irá conseguir um acompanhamento perfeito 
do modelo de referência. Esta última equação é chamada de equação de “matching”. 
Como a1 e a2 são desconhecidos, não é possível calcular os parâmetros desejados 
 e 
 
 do controlador utilizando essa equação. 
Portanto, utiliza-se, ao invés da lei de controle citada anteriormente, a seguinte 
lei de controle: 
 
 
 
 
 
onde θ1e θ2 são ajustados utilizando a regra do MIT como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde e1 = y – ym. Para implementar essa Regra do MIT, deve-se gerar as funções de 
sensibilidade 
 
 
 e 
 
 
 em tempo real. Com a equação do modelo de referência à ser 
correspondido e a segunda lei de controle citada, obtêm-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assumindo que a taxa de adaptação é lenta, 
 
 
 e 
 
 
 são pequenos, e as 
mudanças de 
 
 
 e 
 
 
 com respeito a e também são pequenas, pode-se permutar 
a ordem da derivação para obter: 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Que podem ser reescritas como: 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( )
 
 
onde p é um operador diferencial. 
 Como a1 e a2 são desconhecidos, a função de sensibilidade acima não pode ser 
utilizada. Usando a regra do MIT, substitui-se a1 e a2 pelas suas estimativas â1 e â2 na 
equação de matching, relacionando as estimativas com e : 
 
 
 
Obtendo-se, então, as funções de sensibilidade aproximadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Essas equações são conhecidas como modelos de sensibilidade ou filtros de 
sensibilidade e podem facilmente ser implementadas para gerar as funções de 
sensibilidade aproximadas para a lei adaptativa. 
 
1.2 Método do Gradiente 
 
 A maior desvantagem dos métodos de sensibilidade usados nos anos 60 é o fato 
de que a minimização da função de performance de custo levavam a funções de 
sensibilidade não-implementáveis. Uma forma de evitar esta desvantagem é escolhendo 
um critério de função de custo que leve a funções de custo que são disponíveis para 
mensuração. 
 Essa classe de critério de custo é baseada em um erro referido como erro de 
estimação, que provê a medida de discrepância entre os parâmetros atuais e estimados. 
A relação do erro de estimação com os parâmetros estimados é escolhida de forma que a 
função de custo é convexa, e seu gradiente, com relação aos parâmetros estimados, é 
implementável. 
 Inúmeros métodos de critério de custo podem ser utilizados, como o método do 
Gradiente, podem ser adotados para gerar as funções de sensibilidade apropriadas. 
Usando como exemplo a mesma planta utilizada para demonstrar a Regra do MIT, 
deve-se reescrever a equação em termos dos parâmetros desejados para o controlados, 
substituindo 
 
 em 
 
 
 
 
 
 
 
obtêm-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
Que pode ser reescrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
são sinais que podem ser gerador por filtragem. 
 Substituindo 
 e 
 por suas estimativas e , obtêm-se: 
 
 
 
 
 
 
onde é a estimativa de y baseada nas estimativas e . 
 O erro 
 
 
 
 
 
é, portanto, a medida de discrepância entre , e 
 e 
 , respectivamente, e é 
referido como erro de estimação. As estimativas podem ser ajustadas na direção que 
minimize um certo critério de custo que envolve . Um critério simples pode ser 
descrito como 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
 ) 
 
que deve ser minimizado em relação a e . É evidente que ( ) é uma função 
convexa de e e, portanto, seu mínimo é dado por ∇ . 
 Utiliza-se, então, o Método do Gradiente para minimizar ( ) e obter as 
leis adaptativas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde e 
 
 
 , e são sinais implementáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
2 DESENVOLVIMENTO 
 A planta utilizada para os trabalhos da disciplina pode ser vista abaixo, que 
consiste em um circuito de armadura, servomotor DC, uma caixa de engrenagens e uma 
junta robótica. 
 
Figura 2 - Planta a ser estudada 
 
 O sistema acima pode ser definido pela equação diferencial 
 
 
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
 ( ) 
 
Fazendo 
 ( )
 
 ( ), têm-se: 
 
 
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
Onde 
 
 
 e 
 
 
 são, respectivamente, a inércia polar efetiva e o 
coeficiente de atrito viscoso refletidos ao eixo do motor. Os valores dos parâmetros 
constam na tabela à seguir:Parâmetro Valor Unidade Nome 
L 0.006 H Indutância da 
armadura 
R 0.6 Ω Resistência da 
armadura 
KB 0.02486 V/º/s Constante 
eletromotriz do 
motor 
JM 0.00844 Lbf-in-s Inércia polar do 
eixo do motor 
cM 0.00013 Lbf-in/º/s Constante de 
amortecimento do 
eixo do motor 
KT 8.375 Lbf-in/A Constante de torque 
10 
 
n 200 Sem unidade Relação de 
engrenagens 
JL 1 Lbf-in-s² Inércia polar do 
eixo da carga 
cL 0.5 Lbf-in/º/s Constante de 
amortecimento do 
eixo da carga 
Tabela 1 – Parâmetros da planta 
 
Reescrevendo a equação do sistema, temos: 
 ( )
 
 
( )
 
 ( )
 
 
( )
 
 ( ) 
 
 
 
 
De onde podemos evidenciar: 
 
 
( )
 
 
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do estudo de sistemas dinâmicos, temos que um sistema de segunda ordem 
genérico sem zeros possui a seguinte estrutura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde y é a entrada do sistema, u é a saída do sistema, ξ é o coeficiente de 
amortecimento, ωN é a frequência natural do sistema e KP é seu ganho proporcional. 
Comparando a equação diferencial do sistema, podemos tirar as seguintes conclusões: 
 √ 
 
 
 
Como ξ = 0.781, temos um sistemas subamortecido. Outros pontos de estudo que 
podem ser obtidos analisando os parâmetros da planta: 
 tr = 0.061s (tempo de subida) 
 ts = 0.08s (tempo de acomodação) 
 Overshoot = 1,966% 
 
11 
 
2.1 Simulações e Resultados com a Regra do MIT 
 Fazendo uso da regra do MIT, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Que são as leis adaptativas. Os filtros de sensibilidade são: 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
Onde b1, b2, e b3 são os coeficientes do modelo da planta, e r sua entrada. Todas as 
simulações à seguir foram feitas utilizando o Método de Euler. 
 
2.1.1 Entrada Tipo Degrau Unitário 
 
 Utilizando o coeficiente adaptativo , com passo de h = 0.001 e tempo 
total de simulação de 1000s, foram obtidos os seguintes resultados. 
 
 
Figura 3 - Ajuste dos Parâmetros estimados do Controlador para entrada degrau 
(Regra do MIT) 
12 
 
 
Figura 4 - Saída do Modelo e saída da planta para uma entrada degrau (Regra do 
MIT) 
 
 
 
Figura 5 - Erro entre comportamento da planta e do modelo para uma entrada 
degrau (Regra do MIT) 
 
 
13 
 
 
 
Figura 6 - Sinal de controle para uma entrada degrau (Regra do MIT) 
 
 Com base nas figuras 3, 4, 5 e 6 percebe-se uma pequena variação dos 
parâmetros θi, cujas condições iniciais se encontram nas vizinhanças dos valores ótimos. 
O modelo da planta conseguiu acompanhar com sucesso o planta real, com um erro 
inicial de apenas -0.0125 e tendendo a zero com o passar da simulação. O tempo de 
convergência foi consideravelmente alto considerando que após os 1000 segundo, 
apesar de ser notável a tendência, o erro ainda não havia convergido para zero. 
 
2.1.2 Entrada Tipo Rampa 
 
 Utilizando como ganho adaptativo, e uma entrada rampa r(t) = t. O 
passo da simulação foi de h = 0.001 para um tempo de simulação de 10s. Para o erro, foi 
utilizado um tempo de simulação de 100s, para melhor analise de sua convergência. As 
figuras 7, 8, 9 e 10 mostram o resultado das simulações utilizando a Regra do MIT. 
 
 
 
 
 
14 
 
 
Figura 7 - Ajuste dos Parâmetros Estimados do controlador para uma entrada 
rampa (Regra do MIT) 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 - Saída do Modelo de Referência, saída da planta e sinal de referência 
para uma entrada rampa (Regra do MIT) 
15 
 
 
 
Figura 9 - Sinal de erro entre planta e modelo de referência para um a entrada 
rampa (regra do MIT) 
 
 
 
 
 
Figura 10 - Sinal de controle para uma entrada rampa (Regra do MIT) 
 
16 
 
 Analisando os resultados, pode-se perceber que, apesar da mudança no sinal de 
entrada, os parâmetros θi continuando mostrando pequenas variações em seus 
comportamentos. Pela figura 8, nota-se que a adaptação foi quase instantânea, havendo 
uma pequena discordância próxima aos 10 segundos, mas aumentando o tempo de 
simulação, percebe-se que o modelo segue a planta com precisão. 
 O erro, por sua vez, atinge um pico de -0.09, aproximadamente, convergindo 
para zero em cerca de 40 segundos, que é bem mais rápido que no caso para entrada 
degrau, que após 1000s ainda não convergiu, apesar de sua tendência clara de chegar a 
zero. 
 
2.1.3 Entrada Senoidal 
 
 Neste caso, foi submetido a entrada do sistema uma senóide r(t) = 0.3sen(5t), e 
instanciados os ganhos adaptativos e como sendo 1.5, 2 e 2.5, respectivamente. 
Para as simulações, foi utilizando um passo de h = 0.001s e um tempo total de 
simulação de 25s. As figuras 11, 12, 13 e 14 mostram os resultados da simulação. 
 
 
 
Figura 11 - Ajuste dos parâmetros estimados do controlador para uma entrada 
senoidal (Regra do MIT) 
 
17 
 
 
Figura 12 - Saída do modelo de referência, saída da planta e sinal de referência 
para uma entrada senoidal (Regra do MIT) 
 
 
 
Figura 13 - Erro entra planta e modelo para uma entrada senoidal (Regra do MIT) 
 
18 
 
 
Figura 14 - Sinal de controle para uma entrada senoidal (Regra do MIT) 
 
 Fazendo uma análise dos resultados da simulação, constata-se que os parâmetros 
θi continuaram variando muito pouco, mas assumindo valores bem maiores (em 
módulo) que nas entradas rampa e degrau. A saída do modelo de referência pôde 
acompanhar, quase que instantaneamente, a saída da planta, semelhante a entrada tipo 
rampa. 
 O erro oscila entre mais ou menos 6x10
-3
, tratando-se de uma senoide 
amortecida, com uma convergência bastante lenta a zero. Com um tempo de simulação 
de 1000s, já é possível notar a tendência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
2.2 Simulações e Resultados com o Método do Gradiente 
 
 Pelo método do gradiente, tem-se: 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
( 
 
 
 )) 
 
onde ( ) é uma função convexa e seu mínimo é dado por ∇ . Minimizando 
pelo método do gradiente, obtêm-se as seguintes leis adaptativas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As simulações que seguem foram realizadas utilizando o Método de Euler. 
 
 
2.2.1 Entrada Tipo Degrau Unitário 
 
 Utilizando como entrada do sistema um degrau unitário, um passo de h = 0.0005 
e um tempo total de simulação de 5 segundos, obtêm-se os resultados presentes nas 
figuras 15, 16 e 17. Os ganho adaptativos foram e iguais a 0.01, 1 e 0.5, 
respectivamente. 
 
 
Figura 15 - Ajuste dos parâmetros do controlador para uma entrada degrau 
(Método do Gradiente) 
20 
 
 
Figura 16 - Saída estimada da planta, saída da planta e sinal de referência para 
uma entrada degrau (Método do Gradiente) 
 
 
 
 
 
Figura 17 - Erro entra comportamento da planta e do modelo de referência para 
uma entrada degrau (Método do Gradiente) 
21 
 
 
Figura 18 - Sinal de controle para uma entrada degrau (Método do Gradiente) 
 
 Analisando os resultados obtidos pela simulações, percebe-se que os parâmetros 
θi não apresentaramvariações em seu comportamento. Comparando as saídas estimada e 
da planta, pela figura 16, percebe-se que o modelo seguiu com precisão a planta real, 
havendo apenas um pequeno salto em aproximadamente 0.1s, mas rapidamente 
convergindo em seguida. 
 O erro atingiu um máximo de 0.16, mas se estabilizou em aproximadamente 
0.2s, convergindo para zero em seguida. Ao compararmos com o erro utilizando a Regra 
do MIT, percebe-se uma convergência bem mais rápida e uma variação bem menor. 
 
 
2.2.2 Entrada Tipo Rampa 
 
 Desta vez, foi utilizada como entrada da planta uma rampa r(t) = t. Utilizando 
 e como ganhos adaptativos, e passo de simulação de h = 0.0005 
para um tempo de simulação de 10s, à seguir encontram-se os resultados das simulações 
utilizando o Método do Gradiente. 
 
22 
 
 
Figura 19 - Ajuste dos parâmetros do controlador para uma entrada rampa 
(Método do Gradiente) 
 
 
 
Figura 20 - Saída da estimada, saída da planta e sinal de referência para uma 
entrada rampa (Método do Gradiente) 
 
23 
 
 
Figura 21 - Erro entre planta e modelo de referência para uma entrada rampa 
(Método do Gradiente) 
 
 
 
Figura 22 - Sinal de controle para uma entrada rampa (Método do Gradiente) 
 
 
 
24 
 
 Dessa vez, é possível reparar numa variação dos parâmetros θ2 e θ3, que se 
estabilizam no instante 8s. θ1 não sofre alterações. Observa-se, na figura 20, que o sinal 
do modelo de referência acompanha bem o sinal da planta real, havendo um pequeno 
erro até o segundo 8, e então convergindo para o valor real. 
 O erro foi significativo até o instante 9s, quando convergiu para zero. Este 
chegou a um pico de 0.4 no instante 4.5s. Em comparação, utilizando a regra do MIT, o 
erro convergiu em 40 segundos. 
 
 
2.2.3 Entrada Senoidal 
 
 Neste caso, foi submetido a entrada do sistema uma senóide r(t) = 0.3sen(5t), e 
instanciados os ganhos adaptativos e como sendo 0.1, 5 e 3, respectivamente. 
Para as simulações, foi utilizando um passo de h = 0.0005s e um tempo total de 
simulação de 25s. As figuras 23, 24, 25 e 26 mostram os resultados da simulação. 
 
 
 
Figura 23 - Ajuste dos parâmetros do controlador para uma entrada senoidal 
(Método do Gradiente) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
Figura 24 - Saída estimada, saída da planta e sinal de referência para uma entrada 
senoidal (Método do Gradiente) 
 
 
 
 
Figura 25 - Erro entre modelo e planta para uma entrada senoidal (Método do 
Gradiente) 
26 
 
 
Figura 26 - Sinal de controle para uma entrada senoidal (Método do Gradiente) 
 
 A analise do resultado das simulações nos permite constatar que uma entrada 
senoidal instabiliza a planta. O parâmetro θ2 tende a crescer enquanto o θ3 tende a 
diminuir. O modelo da planta não acompanha o aumento da senoide na saída da planta 
real. 
 O erro é uma senoide com amplitude crescente, o que implica que o mesmo não 
converge para zero, mas passando sempre pelo ponto referido. Utilizando a regra do 
MIT, pode-se observar que o erro era uma senoide amortecida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
3 CONCLUSÕES 
 
 Através da aplicação dos conhecimentos adquiridos em sala, foi possível com 
sucesso, realizar as simulações do controle adaptativo MRAC utilizando a regra do MIT 
e o Método do Gradiente. 
 Foi perceptível a superioridade do método do gradiente, pois a regra do MIT só 
possui estabilidade local. Com exceção da entrada senoidal, o método do gradiente 
apresentou tanto um menor erro e um menor tempo necessário para a convergência. Era 
previsível que a regra do MIT fosse mais precária, afinal, ela foi pioneira porém não 
muito satisfatória, o que demandou a elaboração de métodos mais sofisticados. 
 Filtros foram implementados para as variáveis y, e u, tornando ausente os 
possíveis ruídos, principalmente para o método do gradiente. Também com relação a 
esse método, notou-se que ele não foi tão eficiente no caso de uma entrada senoidal, 
com um erro q ue não convergiu para zero e, portanto, não foi possível que o modelo da 
planta acompanhasse a planta real. Vale salientar que a planta escolhida tem uma 
resposta no tempo bastante satisfatória. 
 Por fim, vale salientar a importância do estudo realizado para o desenvolvimento 
desde trabalho, sendo possível ter compreendido, na prática (por simulações), algumas 
das ações de controle adaptativo. Foi possível adquirir certa sensibilidade quanto aos 
valores dos ganhos adaptativos, bem como ter uma contato mais aprofundado com a 
matemática por trás das leis adaptativas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
[1] P. A. Ioannou and J. Sun. “Robust Adaptive Control”. Prentice Hall, 1996.. 
[2] Notas de aula do professor Aldayr Dantas de Araújo, da disciplina Controle 
Adaptativo. 
[3] K. Ogata. “Engenharia de Controle Moderno”. Prentice Hall do Brasil, 1993. 
[4] DIAS, Samaherni M. “Controle Adaptativo Robusto para um Modelo Desacoplado 
de um Robô Móvel”, Tese de doutorado, UFRN, 2010.