Exercicios de Cálculo Roteiro 2

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Física Contemporânea I – Roteiro de aula 2 - Otimização 
 
 
Licenciatura em Física – Faculdades Oswaldo Cruz 1 
1.0 – MODELOS MATEMÁTICOS E OTIMIZAÇÃO COM USO DE DERIVADAS. 
 
1.1 - Modelagem matemática em quatro passos 
Passo 1 – Observe o comportamento do mundo real; 
Passo 2 – Formule hipóteses para identificar as variáveis e suas relações, criando um modelo; 
Passo 3 – Resolva um modelo para obter soluções matemáticas; 
Passo 4 – Interprete o modelo e verifique se é consistente com as observações do mundo real. 
 
1.2 – Problemas de Otimização. 
 
ENGENHARIAS E CIÊNCIAS ADMINISTRATIVAS E ECONÔMICAS 
9) Qual é o menor perímetro possível para um retângulo cuja área é de 16m2 e quais são suas 
dimensões? 
10) Demonstre que entre todos os retângulos, com perímetro de 8m, o de maior área é o quadrado. 
11) Você está planejando construir uma caixa retangular aberta com uma folha de papelão de 
8x15cm, recordando quadrados congruentes dos vértices da folha e dobrando suas bordas para 
cima. Quais são as dimensões da caixa de maior volume que pode fazer desta maneira? Qual é o 
volume? 
12) Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e nos outros três lados por uma 
cerca elétrica feita de um fio de aço. Com 8000m de fio a disposição, qual é a maior área que 
você pode cercar e quais são suas dimensões? 
13) Uma área retangular com 216m2 será cercada e dividida em duas partes por outra cerca paralela 
a um dos lados. Quais as dimensões do retângulo externo que exigirão a menor quantidade total 
de cerca? Quantos metros de cerca serão necessários? 
14) Seus metalúrgicos foram contratados por uma fábrica de papel para projetar e construir um 
tanque retangular de aço, com base quadrada, sem tampa e com 500m3 de capacidade. O tanque 
será construído soldando-se chapas de aço uma às outras ao longo das bordas. Como engenheiro 
de produção, sua tarefa é determinar as dimensões para a base e a altura que farão o tanque 
pesar o mínimo possível. 
a) Que dimensões serão passadas para a oficina? 
b) Descreva como você levou o peso em consideração? 
15) Um tanque retangular com 1.125m3 de capacidade, de base quadrada, medindo x metros de lado 
e y metros de profundidade, será construído com a parte superior nivelada com o solo para 
captar água pluvial. O custo associado ao tanque envolve não só o material a ser utilizado, mas 
também a taxa de escavação proporcional ao produto xy. Sendo o custo total dado, pela função 
abaixo, que valores de x e y minimizarão o custo do tanque. 
( ) ( ) yxyxxyxC ×+××+= 1045, 2 
16) Você está preparando um pôster retangular para conter 50dm2 de material impresso, com 
margens de superior e inferior de 4dm2 e margens à direita e a esquerda de 2dm2 cada. Que 
dimensões gerais minimizarão a quantidade de papel a ser utilizada? 
17) Uma folha de papelão mede 10x15dm. Dois quadrados iguais são recortados dos vértices de um 
lado que te 10dm. Dois retângulos iguais são recortados dos outros vértices, de modo que, as 
abas possam ser dobradas para formar uma caixa retangular com tampa. 
a) Escreva uma fórmula V(x) para o volume da caixa; 
b) Determine o volume máximo da caixa; 
c) Faça um gráfico da função no Winplot e verifique seu resultado. 
18) O serviço postal norte-americano aceita somente caixas para entrega doméstica se a soma de seu 
comprimento e do perímetro da base não ultrapassar 108pol. Que dimensões terá uma caixa com 
base quadrada para ter o maior volume possível? 
19) Uma janela possui a forma de um retângulo sob um semicírculo. O retângulo será de vidro 
transparente, enquanto o semicírculo será de vidro colorido, que transmite apenas metade da luz 
incidente, por unidade de área, em relação ao vidro transparente. O perímetro total é fixo. 
Física Contemporânea I – Roteiro de aula 2 - Otimização 
 
 
Licenciatura em Física – Faculdades Oswaldo Cruz 2 
Determine as proporções da janela que permitirão a maior passagem de luz. Ignore a espessura 
do caixilho. 
20) Um silo será construído (exceto a base) na forma de um cilindro sob um hemisfério. O custo da 
construção por unidade de área da superfície é duas vezes maior para o hemisfério em relação 
ao lado do cilindro. Determine as dimensões para um volume fixo com custo de produção 
minimizado. Ignore as espessuras das paredes e o desperdício durante a construção. 
 
NEGÓCIOS E CONOMIA 
21) Custa para uma empresa c reais, manufaturar e distribuir cada mochila. Se as mochilas são 
vendidas a x reais, o número de unidades vendidas é dado por: 
( )xb
cx
an -+
-
= 100 
Onde a e b são determinadas constantes positivas. Qual preço de venda trará lucro máximo? 
22) Demonstre que, se ( ) xxr 6= e ( ) xxxxc 156 23 +-= são suas funções de receita e custo, então o 
melhor que você consegue fazer é possuir receita igual ao custo. 
23) Suponha que ( ) xxxxc 000.2020 23 +-= seja o custo para manufaturar x itens. Determine o 
nível de produção que minimizara o custo médio para produzir x itens. 
24) Suponha que ( ) xxr 9= e ( ) xxxxc 156 23 +-= , onde x representa milhares de unidades. Há um 
nível de produção que maximize o lucro? Se houver, qual é? 
 
MEDICINA E CIÊNCIAS DA SAÚDE 
25) Calcule a quantidade de medicamento à qual o organismo é mais sensível determine o valor de 
M que maximiza a derivada dR/dM, onde: 
÷
ø
ö
ç
è
æ -=
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2 MCMR e C é uma constante. 
26) Quando tossimos, a traquéia se contrai e aumenta a velocidade do ar que passa. Isso levanta 
questões sobre o quanto deveria se contrair para maximizar a velocidade e se ela realmente se 
contrai tanto assim quando tossimos. Considerando algumas hipóteses razoáveis sobre a 
elasticidade da parede da traquéia e de como a velocidade do ar próximo às paredes é reduzida 
pelo atrito, a velocidade média v do fluxo de ar pode ser modelada pela equação: 
( ) cm/srrrcv o 2-= 002 rr
r
££ 
Onde r0 é o raio, em centímetros, da traquéia em repouso e c é uma constante positiva cujo valor 
depende, em parte do comprimento da traquéia. 
 Demonstre que v é a maior quando 03
2 rr = , ou seja, quando a traquéia está cerca de 33% 
contraída. O impressionante é que imagens obtidas com os raios X confirmam que a traquéia se 
contrai assim durante a tosse. 
 
ELETRICIDADE 
27) Suponha que em qualquer momento t (segundos) a corrente alternada i (ampères) que percorre 
um circuito elétrico seja dada por ( ) senttti 2cos2 += . Qual é o pico (a maior amplitude) de 
corrente que pode ocorrer neste circuito?