o operador gradiente vetor

Prévia do material em texto

O Operador Gradiente Vetor 
 
André Gonçalves Antunha 
(DEQ- EPUSP) 
 
 
Consideremos, no espaço, um sistema de referencia de três eixos, que se cruzam 
em um ponto origem O, caracterizados pelos vetores ortogonais e 
sobre os quais são definidas respectivamente as coordenadas de posição 
x1 ,x2 ,x3 , como na figura: 
Fig. 1 – Sistema de referência 
 
A posição de um ponto P observado é definida pelo vetor: 
 [1] 
 
 
 
Fig. 2 Posição do Ponto P 
Consideremos uma propriedade genérica j função do tempo t e da posição: 
 
 
Página 1 de 10O Operador Gradiente Vetor
06/03/2008http://www.hottopos.com/regeq7/antunha.htm
a derivada da propriedade j, em um ponto P, na posicao , e em relação a o 
tempo é dada por: 
 
 
o símbolo ¶ e utilizado para explicitar que a derivada é parcial, isto é, que a 
derivada é realizada com variação apenas na variável considerada e mantendo-se 
todas as outras invariantes. No caso a derivada é apenas temporal mantendo-se 
constante a posição do ponto observado no espaço. 
A derivada parcial da propriedade j, em um instante t, em relação aa posição é um vetor 
denominado gradiente de j , representado por e definida por:
 
 [2]
 
novamente o símbolo ¶ explicita que a derivada é parcial e realizada com 
variação apenas na posição mas mantendo-se o tempo constante. É como se fosse 
um deslocamento do ponto observado no espaço sem que o tempo decorresse. É 
portanto um deslocamento virtual. A posição do ponto observado varia mas o 
tempo permanece “congelado”. 
Figura 3 Deslocamento do ponto observado 
 
A idéia de tempo congelado corresponde a de um instantâneo tal como aquele 
que se obtém de uma fotografia. Se imaginarmos que possamos fotografar uma 
propriedade j genérica no espaço tridimensional e que possamos apresenta-la na 
forma de superfícies que reunam os pontos que apresentam o mesmo valor dessa 
propriedade j. A cada uma dessas superfícies corresponde um determinado valor 
e denominam-se iso-superfícies de j. 
Consideremos, apenas para facilidade de representação que a propriedade j esteja 
normalizada e assuma portanto apenas valores entre 0 e 1. 
Nas próximas figuras apresentaremos apenas as iso-superfícies correspondentes 
Página 2 de 10O Operador Gradiente Vetor
06/03/2008http://www.hottopos.com/regeq7/antunha.htm
aos valores j = 0 ; 0,25 ; 0,5 ; 0,75 e 1 sempre com a seguinte convenção de 
tracejados: 
 
 
Na figura abaixo esta apresentado o campo de uma propriedade j através de suas iso-
superfícies [jconstante]. Esta figura sugere uma ”fotografia“ espacial do campo em 
um instante no qual o tempo foi congelado, o vetor posição aponta para um 
ponto P cujo valor da propriedade j corresponde, segundo a convenção, a um valor j = 0,75: 
De forma a se determinar o vetor gradiente de j num ponto P qualquer devemos 
aplicar a definição [2] que é, por sua vez, equivalente a: 
 [3]
 
 
Fig. 4 Iso-superfícies do campo j com tempo congelado 
 onde a diferencial da propriedade j equivale ao produto escalar do seu 
gradiente pela variação da posição observada correspondente. Para a 
determinação do gradiente em P efetuaremos três variações “virtuais” da 
posição (mantendo-se sempre o tempo congelado). Na primeira 
observaremos um ponto Q, distante de P de um deslocamento elementar 
 que se efetua sobre a mesma iso-superfície de P, como na figura 
abaixo. 
Página 3 de 10O Operador Gradiente Vetor
06/03/2008http://www.hottopos.com/regeq7/antunha.htm
Como P e Q estão na mesma iso-superfície a propriedade j não varia e portanto: 
 
 
como nem nem o gradiente são nulos eles devem ser 
perpendiculares entre si para o que produto escalar nulo seja satisfeito. 
Dessa forma o vetor gradiente que tem origem no ponto P deve estar no 
plano perpendicular a : 
 
Fig. 5 Um deslocamento vetorial sobre a isso-superfície com tempo congelado 
 
Repetindo o procedimento para um novo deslocamento virtual elementar 
 ainda sobre a mesma iso-superfície mas numa direção diferente da 
de chega-se também a conclusão que: 
 
 
e portanto que o vetor gradiente que tem origem no ponto P deve estar também 
no plano perpendicular a : 
 Fig. 6 Outro deslocamento vetorial e a intersecção de planos 
Página 4 de 10O Operador Gradiente Vetor
06/03/2008http://www.hottopos.com/regeq7/antunha.htm
 Fig. 6 Outro deslocamento vetorial e a intersecção de planos 
 
 
finalmente o vetor gradiente que tem origem no ponto P deve estar na interseção 
dos dois planos se orientando portanto segundo a perpendicular a superfície da 
iso-superfície de j: 
Fig. 7 
 
– Direção do gradiente é a mesma da intersecção dos planos 
para o cálculo do módulo do vetor gradiente que tem origem no ponto P 
consideremos mais um deslocamento virtual agora segundo a 
perpendicular aa iso-superfície de j, com origem nela e terminando num ponto S na iso-
superfície j + Dj: 
Página 5 de 10O Operador Gradiente Vetor
06/03/2008http://www.hottopos.com/regeq7/antunha.htm
 
 
Fig. 8 Um deslocamento vetorial entre duas isso-superfícies na direção do 
gradiente 
aplicando a definição [2]: 
 
 
mas como esta na direção de eles são paralelos e o angulo 
entre eles é nulo e o seu coseno unitário: 
 
 
assim o módulo de é:
 
 
 
Resumindo: o vetor gradiente de uma função de estado genérica j, que tem origem num 
ponto P qualquer, aponta sempre na direção perpendicular aa iso-superfície de j que passa pelo ponto P 
considerado. Ele indica a direção de maior variação de j com a posição. Ele tem modulo igual a divisão entre 
a diferença do valor da função j de duas iso-superfícies próximas pela distancia entre 
elas, para um limite de duas iso-superfícies muito próximas [a distancia 
considerada sobre a perpendicular às iso-superfícies e que passa pelo ponto P 
deve “tender a zero”]. O seu sentido é arbitrado de forma a apontar sempre para 
valores de j crescentes: 
 
 
 
Página 6 de 10O Operador Gradiente Vetor
06/03/2008http://www.hottopos.com/regeq7/antunha.htm
 
 
Fig. 9 Módulo do gradiente 
Dessa forma fica evidente que quanto mais próximas forem duas iso-superfícies 
o gradiente será sempre maior nos pontos onde a distância entre elas for menor. 
 
 
 
Fig. 10 Variação do gradiente no espaço 
Admitindo que o sistema de referencia é cartesiano, com coordenadas x, y e z, o 
estado estático da função j genérica é definido por: 
 
 
a sua diferencial é portanto por definição: 
 
Página 7 de 10O Operador Gradiente Vetor
06/03/2008http://www.hottopos.com/regeq7/antunha.htm
 
 
Já o vetor posição que escreve-se: 
 
 
tem sua derivada: 
 
 
por sua vez o gradiente em coordenadas cartesianas: 
 
 
aplicando a definição de gradiente [2]: 
 
 
 
 
então: 
 
 
como dx, dy e dz são linearmente independentes: 
 
 
 
 
 
 
introduzindo no gradiente: 
 
 
que é equivalente aa aplicação direta do “operador gradiente em coordenadas 
cartesianas” comumente apresentado nos livros de matemática e representado 
por: 
Página 8 de 10O Operador Gradiente Vetor
06/03/2008http://www.hottopos.com/regeq7/antunha.htm
 
 
Exercício 1) Como o vetor posição em coordenadas cilíndricas ( r, f, z) escreve-
se como: 
 
 
e sua derivada: 
 
 
demonstrar que o gradiente em coordenadas cilíndricas é: 
 
 
Exercício 2) O vetor posição em coordenadas esféricas ( r, q, f) escreve-se como:e sua derivada: 
 
 
demonstrar que o gradiente em coordenadas cilíndricas é: 
 
 
Exercício 3) Para um campo de temperaturas bidimensional em uma placa plana 
de 10 x 18 cm descrito na figura abaixo esboçar (na escala apresentada) os 
vetores do gradiente de temperatura para os pontos assinalados: 
Fig. 11 Um campo de temperatura 
 
Página 9 de 10O Operador Gradiente Vetor
06/03/2008http://www.hottopos.com/regeq7/antunha.htm
 
 
 
Bibliografia: 
Sales Luis, A C. Introdução à Termofísica, apostila, UNICAMP, 1977 
Página 10 de 10O Operador Gradiente Vetor
06/03/2008http://www.hottopos.com/regeq7/antunha.htm