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05 MS Unidade 04 Equilíbrio Plástico 2013

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Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia Prof. M. Marangon 
Mecânica dos Solos II 
 
EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 85
 
 
 
 
Unidade 4 – EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 
4.1 – Introdução 
 
A resistência ao cisalhamento (τ - tensão cisalhante máxima) desenvolvida no 
interior das massas de solos é a responsável pela capacidade que os solos tem de suportar 
as tensões desenvolvidas pelas solicitações internas (desenvolvidas pelo seu peso próprio) 
e solicitações externas (cargas aplicadas), conservando sua estabilidade. Caso contrário as 
tensões desenvolvidas nas massas de solo pode levar a uma condição de desequilíbrio e 
consequentemente à sua ruptura. Neste caso o nível de tensões supera o regime de 
deformação elástica passando para o regime plástico de deformação. 
 
Então, a análise desse equilíbrio consiste em se identificar o valor da componente 
tangencial no possível plano de rutura, tensão esta que irá traduzir a resistência interna ao 
cisalhamento. 
 
Conhecendo-se a resistência interna ao cisalhamento estaremos aptos a realizar 
dimensionamentos de estruturas de terra e fazer verificações das condições de estabilidades 
destas massas de solos. 
 
Na figura 4.1 vê-se como exemplo um terreno em plano inclinado (talude). Esta 
massa de solo está dividida em várias fatias (porções), em que se tem uma cunha possível 
de movimentação (escorregamento), que são calculadas as tensões nos planos das suas 
bases, para posterior comparação com os valores de tensão de resistência do solo. Pode-se 
assim determinar a condição de estabilidade do conjunto. 
 
 
Figura 4.1 - Terreno em plano inclinado (talude), com as tensões de cisalhamento e 
normal aos planos das bases das fatias. 
 
Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia Prof. M. Marangon 
Mecânica dos Solos II 
 
EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 86
4.2 – Tensões em um ponto: 
 
Um ponto, considerado no interior de uma massa de solo, está sujeito a esforços em 
todas as direções (equilibradas por reações ocorrentes pela própria continuidade da massa). 
Assim o ponto estará em equilíbrio estável, instável ou incipiente (eminência da ruptura), 
dependendo da maior ou menor capacidade que a massa tem de absorver esforços (internos 
e/ou externos). 
 
Figura 4.2 – Tensões de um ponto no interior de uma massa de solo 
 
Para o estudo das forças atuantes em um ponto O, por exemplo como mostra a 
Figura 4.2 (terreno horizontal), considerando apenas as forças devidas ao peso próprio dos 
solos, desprezando àquelas devido aos carregamentos externos, devemos analisá-las 
segundo direções específicas, isto é, devemos considerá-las como tensões agentes no 
ponto O traduzidas por esforços por unidade de área em direções definidas e 
determináveis (no caso, a resultante agirá segundo a direção da gravidade). 
 
Assim, sabemos que a ação da componente do peso próprio do solo, agindo na 
direção da gravidade sobre um plano horizontal, terá seu valor absoluto, mas, sobre um 
plano inclinado (qualquer) em relação a sua direção é definida por duas componentes, uma 
normal a esse plano e outra tangencial ou contida no plano (a componente tangencial é 
que terá que ser equilibrada pela resistência interna). 
 
Para o caso da figura 4.2 em que o plano do terreno é horizontal não haverá 
componente tangencial e o esforço absoluto, age normal ao plano paralelo ao da superfície. 
 
 
 Ponto O definido como a interseção de três 
planos ortogonais 
Podemos definir um ponto O, como a 
intersecção de três planos ortogonais entre 
si. 
 
Se tomarmos, nessa definição gráfica, o 
ponto no interior da massa, podemos agrupar 
os esforços que agem em torno do ponto, 
seguindo essas três direções consideradas. 
Assim, suas ações limitadas às resultantes 
com direções definidas seriam tensões 
ortogonais entre si, que agem, cada uma 
delas, normal a cada um dos planos 
sucessivamente. 
 
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Mecânica dos Solos II 
 
EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 87
 As solicitações no ponto O serão definidas por um sistema tri-dimensional de 
tensões, representadas, por σ1, σ2 e σ3 (e suas respectivas reações pela continuidade da 
massa), contidas respectivamente no encontro de dois planos (traço desse encontro) e 
normal ao terceiro onde age integralmente. 
 
Se a orientação dos planos se der a partir do referencial horizontal, σ1 será uma 
tensão devida ao peso próprio dos solos e agirá normal a esse plano horizontal em toda sua 
intensidade. Não ocorrerão componentes tangenciais nesses planos e cada uma das tensões 
agirá, integralmente, sobre cada um dos planos que lhe são, sucessivamente normais. 
 
Nessa situação, as tensões serão denominadas tensões principais e os planos serão 
os principais de tensões. 
 
Temos a representação do ponto O com as tensões agentes e, seguindo a 
nomenclatura teremos para esse sistema tri-dimensional de tensões: 
σσσσ1 = tensão principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal maior, 
no caso o horizontal; 
σσσσ2 = tensão principal intermediária agindo normal ao plano principal intermediário; 
σσσσ3 = tensão principal menor, agindo sobre o plano principal menor. 
 
No caso dos solos, iremos considerar, dentro de um espaço semi-infinito (nas 
características dos horizontes) o solo como homogêneo e contínuo em todas as direções. 
Nessas características a elasticidade (reação da massa) será a mesma em todas as direções 
dando-nos a condição particular de σ2 = σ3. 
 
Com essa consideração reduzimos o sistema a uma condição bi-dimensional de 
tensões onde teremos: 
 
σσσσ1 = tensão principal maior agindo normal ao plano principal maior; 
 
σσσσ3 = tensão principal menor agindo normal ao plano principal menor. 
 
 
 
 
Figura 4.3 – Representação 
infinitesimal do ponto O 
 
 
 
Representando o ponto O como um cilindro 
infinitesimal, de acordo com a Figura 4.3, teremos o 
problema de análise das tensões a ser resolvido num 
sistema bi-dimensional de tensões ou sistema plano de 
tensões. 
 
 
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Mecânica dos Solos II 
 
EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
 88
Direção das tensões principais 
 
É interessante observar que sendo a superfície do terreno horizontal, em qualquer 
profundidade z, a tensão principal maior σ1 terá como direção à vertical e a tensão principal 
menor σ3 à sua perpendicular, ou seja, a direção horizontal. 
No caso da superfície ser diferente da situação anterior, ou tiver carga aplicada na 
superfície em cada profundidade z, terá sua tensão principal maior e menor 
(perpendiculares entre si) inclinada segundo uma direção diferente à cada posição, como 
ilustrada na figura 4. 4. Isto ocorre devido a influência direta da condição do carregamento 
resultante. 
 
 
Figura 4. 4 - Direção das tensões principais para alguns pontos no interior da massa 
de solo, para uma condição de carga aplicada na superfície 
 
Cálculo das tensões normal (σσσσαααα ) e tangencial (τττταααα ) em um plano αααα 
 
Pelo ponto O podemos, ainda, além dos dois planos principais considerados, passar 
outro plano qualquer (por um ponto podemos passar uma infinidade de planos). Mas, 
nesse terceiro plano, daremos uma orientação de posição, isto é, ele fará um ângulo αααα 
com o plano principal maior (terá uma inclinação em relação ao plano horizontal). 
Nesse caso, o plano estará inclinado em relação as duas tensões principais, que, 
com suas ações, darão, como decorrência, duas componentes agindo nesse plano, uma 
normal σα e uma tangencial τα. 
 
Representando-se, agora,o ponto O pela interseção desses três planos, teríamos por 
seus traços a figura abaixo, onde temos (traços dando um triângulo infinitesimal). 
 
 
Ponto O representado como um 
triângulo infinitesimal 
 
OA = traço do plano principal maior onde age a 
tensão σ1, representada pela reação a mesma ; 
OB = traço do plano principal menor onde age a 
tensão σ3; 
AB = traço do terceiro plano que faz um ângulo α 
com o plano principal maior (a horizontal). 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
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O estado de tensões traduzidos pelas ocorrências de σ1 e σ3 pode ser expresso no 
plano inclinado α, pelas componentes σα e τα. Isto é, as duas componentes σα e τα que 
agem no terceiro plano são definidoras do estado de tensões σ1 e σ3 que agem no ponto e 
esse plano, podendo ser qualquer um, pode até ser o de rutura quando τα se aproximar 
ou ultrapassar o valor da resistência interna ao cisalhamento. 
 
Nesse caminho, o problema consistirá, então, em se calcular as duas tensões σα e τα 
em função das tensões agentes σ1 e σ3 representados pelos esforços por unidade de área. 
 
 
Figura 4.5 – Traços do ponto O 
representado por unidades de área 
Assim, considerando-se a figura ao lado com 
uma profundidade unitária, normal ao papel, o 
traço AB terá o comprimento ds e os outros 
subseqüentemente. 
 
OA ds
OB ds
=
=
cos
sen
α
α
 
 
 
Sobre essas áreas agem as tensões, as forças aplicadas, são mostradas no esquema 
da Figura 4.6 a seguir: 
 
Figura 4.6 – Tensões agentes 
 
 
Donde temos os esforços com suas 
direções definidas em relação a suas ações 
sobre os planos considerados. 
 
Supondo-se o ponto O em equilíbrio (condição de indeslocável) teremos condição 
de decompor os esforços segundo as direções de σ1 e σ3 (ação nos planos principais), com 
a representação mostrada na Figura 4.7: 
 
Figura 4.7 – Decomposição dos esforços segundo direções de σ1 e σ3 
 
 
Esforço se equilibram 
quando o ponto O está 
estável, sem condição 
de deslocamento. 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
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Estando o sistema em equilíbrio serão satisfeitas as equações fundamentais da 
estática, donde teremos: 
 
H ds ds ds
V ds ds ds
∑ = − + =
∑ = − − =
0 0
0 0
3
1
σ α σ α τ α
σ α σ α τ α
α α
α α
sen sen cos
cos cos sen
 
 
Ou (cancelando-se o ds): 
 
σ α σ α τ α
σ α σ α τ α
α α
α α
3
1
0
0
sen sen cos
cos cos sen
− + =
− − =
 
 
Multiplicando-se 1 por cos α e 2 por sen α, teremos: 
 
σ α α σ α α τ α
σ α α σ α α τ α
α α
α α
3
2
1
2
0
0
sen cos sen cos cos
sen cos sen cos sen
− + =
− − =
 
 
Subtraindo-se II de I, temos: 
 
( ) ( )σ σ α α τ α αα1 3 2 2 0− − + =sen cos sen cos 
 
Sabemos que: ( )sen sen cos sen cosa b a b b a± = ± 
 
sen sen cos2 2a a a= 
sen
sen cos
2
2
a
a a= 
 
Ou, sen sen cos2
2
α
α α= 
 
Substituindo em III, temos: 
 
α
σ−σ
=τα 2sen2
31
 (IV) tensão tangencial (cisalhamento) no plano αααα 
 
Somando-se I e II ,temos: 
 
( ) ( )
( )
σ σ α α σ α α τ α α
σ σ
α σ α τ α α
α α
α α
1 3
2 2
1 3 2 2
2 0
2
2 2 0
+ − + − =
−
− + − =
sen cos sen cos cos sen
sen sen cos sen
 
 
(1) 
(V) 
(2) 
(I) 
(II) 
(III) 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
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Sabemos que: 
 
( )cos cos cos sen sena b a b a b± = ± 
cos cos sen
cos cos sen
2
2
2 2
2 2
a a a= −
= −α α α
 
 
Substituindo em V: 
 
σ σ
α σ α τ αα α
1 3 2
2
2 2 0− − + =sen sen cos 
 
Substituindo τ∝ por seu valor expresso em IV: 
 
σ σ
α σ α
σ σ
α αα
1 3 1 3
2
2 2
2
2 2 0+ − + − =sen sen sen cos ou 
 
 
 
 
 
 
As expressões IV e VI são as definidoras do estado de tensões, ou seja, calculam as 
tensões definidoras do estado de tensões resultante da ocorrência de σ1 e σ3 agentes 
num ponto O, situado no interior da massa de solo. 
 
Nesse estudo, estabelecemos o desenvolvimento analítico para o cálculo das tensões 
definidoras do estado de solicitações no ponto O (interior da massa de solo) onde ocorrem 
σ1 e σ3. 
 
 
4.3 – Análise gráfica de estado de tensões 
 
Para a análise gráfica iremos representar o estado de tensões pelo círculo de Mohr 
que é o lugar geométrico dos pontos de coordenadas σα e τα definidores do estado de 
tensões no ponto O, quando agem, no mesmo as tensões principais σ1 e σ3, como mostra a 
Figura 4.8. 
Esse lugar geométrico (círculo de Mohr) traduz todos os valores de coordenadas 
correspondentes a todos os possíveis planos inclinados, em relação aos planos principais, 
que podemos passar no ponto O e que fazem um ângulo α qualquer, com o plano principal 
maior (ou em termos de nossa referência inicial com a horizontal). 
 
O lugar geométrico, círculo de Mohr, identifica os pontos definidores do estado de 
tensões no ponto O para qualquer plano referencial aos possíveis α e, esse ângulo será 
definido pela posição do ponto no círculo. 
σ σ σ σ
α σα
1 3 1 3
2 2
2+ + − =cos 
 
(VI) tensão normal no plano αααα 
 
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EQUILÍBRIO PLÁSTICO DOS SOLOS 
 
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Figura 4.8 – Representação gráfica dos estados de tensões no ponto O 
 
Em outras palavras, o estado de tensões no ponto O, qualquer, no interior e uma 
massa de solo, pode ser, graficamente, representado, num sistema cartesiano de 
coordenadas σ e τ, coordenadas agentes no plano qualquer, quando o mesmo, está sujeito 
as tensões σ1 e σ3. 
 
Para se traçar o lugar geométrico representativo das tensões nos planos α: 
a) Marca-se no eixo das abscissas as tensões σ1 e σ3; 
b) No intervalo entre σ1 e σ3 traça-se o círculo de tensões, cujo diâmetro é σ1 - σ3, 
 portanto o raio é igual a: 
 r =
−σ σ1 3
2
 
c) Toma-se o ponto M, sobre o círculo, obtendo-se os coordenadas σα e τα; 
 
* Pela propriedade do círculo de Mohr, temos: 
 
“Todo raio que forma com o eixo das abscissas um ângulo 2α, corta o círculo num 
ponto M cujas coordenadas são σα e τα, definidoras do estado de tensões no ponto O, 
submetido ao par de tensões principais σ1 e σ3. Esse ângulo α é o ângulo que o plano 
qualquer, onde agem σα e τα, faz com o plano principal maior”. 
. Pelas propriedades conhecidas, ligando-se o ponto M ao início do círculo, a corda 
define o ângulo α. O início do círculo é o pólo. 
 
* O centro do círculo terá as coordenadas: 
τ
σ σ σ
σ σ σ σ
o
o r
,
,
=
= + = +
−
=
+
0
2 23 3
1 3 1 3 
 
Coordenadas do ponto M em função das tensões σ1 e σ3 
Raio do círculo: r = −σ σ1 3
2
 
Coordenadas de o, : τo , = 0 e σ σ σo
,
=
+1 3
2
 
 
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Então, temos: 
σ σ σ α
σ σ σ σ
αα = + = + =
+
+
−
o o o o r
, , ,, , cos cos2
2 2
21 3 1 3 
 
 
 
 
 
τ α
σ τ
αα = =
−
∴r sen sen2
2
21 3 
 
 
Essas expressões obtidas do sistema gráfico de representação são as mesmas 
deduzidas analiticamente o que nos permite trabalhar com o gráfico, num sistema muito 
mais simples de visualização.4.4 – Critério de rutura de Mohr 
 
Dentre os vários critérios de rutura considerados em Resistência dos Materiais, para 
os diversos materiais diferentes, um se caracteriza por sua condição essencialmente 
empírica, o critério de rutura de Mohr. Sendo o solo um material heterogêneo por 
excelência, um critério como o de Mohr traduz muito bem as características diferenciadas 
dos solos. Assim, toma-se o critério de Mohr, que se obtém com traçados gráficos de 
círculos de Mohr em condições experimentais práticas a partir de informações obtidas 
diretamente em corpos-de-prova ensaiados. 
 
Como o estado de tensões ocorrentes em um ponto, no interior do maciço de solo se 
traduz, perfeitamente pelo círculo de Mohr, vamos, levar as solicitações de σ1 e σ3 ao 
estado de rutura e procurar identificar, nos inúmeros planos ∝∝∝∝, aquele que 
corresponde ao de rutura do material. Esse plano será, portanto, o plano de rutura e o 
ângulo α correspondente, aquele que define o limite da cunha instável para o estado de 
tensões de rutura considerado nos ensaios. 
 
O critério de Mohr consiste em se ensaiar uma infinidade de corpos-de-prova 
indeformados (obtidas a partir de amostragem “shelby”, quando amostra de argilas ou 
“blocos” para outros materiais, ou deformadas (solo compactado ou areias para diferentes 
graus de compacidade) do mesmo horizonte de solo a ser analisado. Essa abordagem inicial 
é teórica, pois, esse esquema de coletas de amostras, nessa quantidade, é de difícil 
viabilidade prática; mas, a partir da teoria, vamos conferir algumas considerações, em 
paralelo, que poderão contribuir para simplificação do processo e sua conseqüente 
esquematização prática. 
 
Vamos tomar um corpo-de-prova cilíndrico 
O ensaio consistirá, em princípio, de acordo com a Figura 4.9, nas seguintes fases: 
σ
σ σ σ σ
αα =
+
+
−1 3 1 3
2 2
2cos 
τ
σ σ
αα =
−1 3
2
2sen 
 
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Figura 4.9 – Critério de Mohr 
 
Proteger o corpo-de-prova com 
membrana elástica de 
impermeabilização de maneira que se 
pode submetê-lo, lateralmente a uma 
pressão σ3, controlada, através de um 
esquema especial de uma câmara ou 
célula de pressão hermeticamente 
fechada. 
 
Por exemplo, podemos injetar na 
câmara água com pressão manométrica 
controlada e constante, de maneira que 
se tenha a efetiva execução desta 
pressão (confinamento). 
 
Em seguida, nesse ensaio especial de laboratório, temos condição de acionar um 
dispositivo capaz de fazer agir, sobre o corpo-de-prova, uma pressão axial σ1 até romper a 
sua estrutura. Nota-se que, durante o processo de aplicação da tensão axial, a tensão lateral 
σ3 é mantida constante e, no instante em que o corpo se rompe, mede-se a máxima σ1 
correspondente a σ3 aplicada (Figura 4.9). 
 
No caso haverá um cisalhamento do corpo-de-prova segundo um ângulo αααα, do 
plano de rutura, conforme se representa na figura anterior e a parte de cima se desloca em 
relação à debaixo caracterizando bem o fenômeno (podem ocorrer rupturas com outras 
características dependendo do tipo de solo que terá elasticidade diferente. Foi dado esse 
exemplo para caracterizar melhor o que, teoricamente se afirma). 
 
No final desse ensaio, nesse primeiro corpo-de-prova teríamos um par de tensões 
de solicitações σσσσ1 e σσσσ3, correspondentes ao estado de rutura do corpo-de-prova, 
portanto, são tensões de rutura. Tomaríamos esses valores e traçaríamos o círculo de 
tensões correspondente, sabendo-se que esse lugar geométrico, pelas condições de 
execução do ensaio, terá embutido o plano de rutura que faz um determinado ângulo com a 
horizontal e sobre o qual agirão as tensões σα e τα definidoras do estado de rutura. 
 
Se repetirmos esse ensaio para um segundo corpo-de-prova, agora tomando σ3’ > σ3 
teríamos, para romper o corpo-de-prova, σ1’ > σ1. Portanto, identificaríamos um novo par 
de tensões de rutura que nos daria condição de traçar um novo círculo de Mohr onde se 
poderia identificar o mesmo plano de rutura para o mesmo material nas mesmas condições 
de utilização. 
 
Poderíamos repetir o ensaio, sucessivamente, para a infinidade de corpos-de-prova, 
e teríamos no final, ao plotarmos essa infinidade de círculos, algo bem próximo da figura 
representativa 4. 10. 
 
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Figura 4.10 – Representação do círculo de Mohr para várias amostras 
 
Nota-se, que temos uma linha curva que tangencia essa infinidade de círculos 
correspondentes a rutura. Essa linha que dá o contorno do lugar geométrico desses círculos 
(Mohr chamou de curva intrínseca ou curva de envoltória dos círculos) correspondente a 
condição de tensão na ruptura. 
 
Da figura, podemos ter outros traçados que nos levará as seguintes análises quanto 
aos valores das tensões aplicadas e sua condição de estabilidade à ruptura. 
 
− Tomar σ3 de um dos círculos e formar um par com σ1’ menor que σ1 
correspondente a rutura. Ao traçarmos esse círculo notaremos que ele ficará aquém 
da envoltória dos círculos de Mohr correspondente a rutura; 
− Tomar σ3 de um dos círculos e formar um par com σ1’ maior que σ1 correspondente 
a rutura. Da mesma forma, notaremos que parte do círculo extrapolará o limite da 
envoltória, isto é, para tensões maiores que a tensão de rutura, termos tensões 
definidoras do estado de tensão maiores do que aquelas que definem o estado de 
rutura. 
 
Conclusão: a envoltória dos círculos de Mohr correspondentes a rutura limita um 
espaço onde se podem representar, graficamente estados de tensões ocorrentes até o 
estado de rutura. Ou seja, essa linha é o lugar geométrico dos pontos (de cada círculo 
traçado com tensões de rutura) correspondentes ao plano de rutura definido em função 
ao material em análise. Destacando-se da figura 4.11 três círculos, teríamos a figura 
seguinte em que se identifica, de maneira genérica e completa, as tensões em relação ao 
critério de rutura de Mohr. 
 
 
Tendo-se a curva intrínseca de Mohr de equação: ( ) ( )τ σ αr f f= = , a situação de 
solicitação no material, pode ser avaliada em relação a essa envoltória, onde temos: 
 
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− 1º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio estável. 
Tendo-se a solicitação representada pelo par de tensões ( )σ σ1 3, , traça-se o círculo 
correspondente numa planilha onde já está plotada a envoltória correspondente as 
características do material. Se o círculo traçado se situar no interior da curva 
intrínseca de rutura, concluímos que o equilíbrio é estável, isto é, a máxima tensão 
τα é menor do que a correspondente a envoltória limite; 
 
− 2º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio incipiente (que 
está no limite da instabilidade/estabilidade). 
Nesse caso o círculo corresponde a solicitação tangente a envoltória: τ τα = r . 
Haverá possibilidade de rutura do material, por cisalhamento, ao longo do plano de 
rutura caso haja qualquer infinitésimo de aumento de qualquer uma das duas 
tensões de solicitação ou pequena queda do valor de τr; 
 
− 3º caso: o círculo correspondente à solicitação indica um equilíbrio instável. 
Nesse caso, plotado o círculo corresponde às tensões de solicitação, esse ultrapassa 
a área limitada pela envoltória, isto é, ocorrerá tensão que ultrapassará a resistência 
interna ao cisalhamento, do material τr. Ocorrerá a rutura do material caso a 
solicitaçãoprevista seja efetiva ou determinado colapso já se deu porque houve esse 
desequilíbrio constatado. 
 
 
Figura 4.11 – Pontos de tangência para vários círculos de Mohr 
 
Chamamos, na figura, de T os pontos de tangência dos círculos que definem o 
conceito descrito, isto é, os pontos T são pontos do lugar geométrico da curva intrínseca de 
Mohr ou da envoltória de Mohr, correspondentes aos pares de tensões de rutura. 
 
Se os pontos são de tangência aos círculos de rutura, cada um corresponde 
(coordenadas de rutura) ao início do comportamento inelástico (comportamento plástico) 
 
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 97
do material. Sendo assim, nesse ponto a coordenada τα se iguala a τr = tensão de resistência 
interna do material ou resistência ao cisalhamento do material. 
Propriedades da envoltória de Mohr: 
 
A Figura 4.11 nos dá um exemplo de uma curva geométrica definidora da 
resistência de um solo considerando as várias particularidades do solo ensaiado. 
 
Dentro desse enfoque a envoltória de Mohr varia de material para material, 
possuindo ela as seguintes propriedades: 
 
− É simétrica em relação ao eixo–σ; 
− É aberta para o lado dos σ positivos (tensões de compressão) e fechadas do lado dos 
σ negativos (tensão de tração); 
− Sua inclinação sobre o eixo–σ diminui à medida que τ cresce, tendendo a tornar-se 
paralela tanto mais elástico e flexível for o material. 
 
A teoria do critério de rutura de Mohr, sendo baseada, quase inteiramente na 
experimentação é a mais satisfatória, como teoria básica, para o assunto de aplicações 
em solos, cujo caráter, heterogêneo de ocorrência é profundamente aleatório, requer, 
obrigatória ligação com a experiência prática. 
 
A maior objeção que lhe é imposta é a de que essa teoria considera σ3 = σ2 embora 
se comprove, em inúmeras verificações práticas, ser muito pequena a influência dessa real 
diferenciação. As aproximações de cálculos, dentro do esquema básico do critério, têm 
satisfeito aos requisitos práticos de dimensionamentos e análises. 
 
Resumindo esquematicamente o critério, associa as tensões como mostrado na 
Figura 4.12: 
 
 
Figura 4.12 – Resumo das tensões do critério de 
Mohr 
Representação do ponto O 
 
 
 
 
Considerado profundamente ampliado 
por ser um elemento infinitesimal. 
 
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 98
 
4.5 – Teoria de Coulomb 
 
 
Esta teoria se desenvolveu para análise das forças internas de resistência nos 
maciços pulverulentos (granulares). 
 
Princípios da física 
Partindo-se da teoria do plano 
inclinado (da Física): 
 
 Na superfície de contato entre o plano 
inclinado e o corpo de peso P temos o 
desenvolvimento da força de atrito de 
contato Fa de mesma direção e sentido 
contrário a T, como mostra a Figura 4.13. 
 
 O plano pode se movimentar fazendo-
se variar o ângulo. 
 
 
 
 No momento em que o ângulo deixa de ser zero o peso do corpo P deixa de agir 
integralmente sobre o plano horizontal, passando a agir duas componentes: 
 
N = tensão principal maior, agindo em valor absoluto sobre o plano principal maior, no 
caso o horizontal; 
T = componente tangencial no plano, que tende a fazer o corpo deslizar, sobre o plano, 
por anteposição a força Fa; 
Fa = Força de atrito. Quanto mais ásperas forem a superfícies de contato, maior será (Fa) 
e quando mais lisa e/ou lubrificada menor será. 
 
 
Condições resultantes da inclinação do plano: 
 
α = 0 ⇒ P é normal ao plano, N = P e T = 0. Nesse caso, o equilíbrio é estável sem 
possibilidade de ocorrência da componente tangencial no plano; 
α ≠ 0 ⇒ P se decompõe em N e T, mas, devido ao tamanho de T < Fa (T será menor que 
Fa), o corpo permanece estável (α < ϕ), sem possibilidade de deslocamento; 
ϕ = ângulo de atrito de contato entre as superfícies 
α ≠ 0 ⇒ continuando a aumentar α, chegaremos a um ponto em que α = ϕ e T se iguala 
a Fa. Nesse caso, T = Fa e o ângulo α é denominado ângulo de atrito entre as 
duas superfícies. O equilíbrio é incipiente, isto é, qualquer infinitésimo de 
variação de α o equilíbrio variará para instável ou estável. 
α se igualou ao ângulo de atrito entre as superfícies em contato e passa a ser 
denominado ângulo interno de atrito. 
α ≠ 0 ⇒ Quando ultrapassa o valor de ϕ (α > ϕ no plano), a componente tangencial T 
ultrapassará o valor de Fa, e o corpo escorre paraT > Fa no plano. 
 
Para o cálculo do valor da componente tangencial no plano, temos: 
 
Figura 4.13 – Forças geradas num plano inclinado 
 
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 99
 
Equação do atrito 
 
T = P.sen α 
N = P.cos α ⇒ α=∴α=α
α
= tg.NTtg
cos
sen
N
T
 
 
Isto é, a componente tangencial é o resultado do produto da componente normal N 
vezes a tangente do ângulo α (coeficiente angular). 
 
Quando α = ϕ, temos tg α = coeficiente de atrito entre as duas superfícies e o ϕ‚ o 
ângulo de atrito interno entre essas duas superfícies (ângulo de atrito crítico). 
 
T1 = N1.tg ϕ 
 
T1, no caso, corresponde a resistência de atrito entre as duas superfícies e será 
sempre calculada em função da componente normal ao plano de escorregamento. T1 
corresponderá ao valor da resistência limite ao escorregamento. 
 
 
Análise do Fenômeno nos Solos 
 
 No caso de maciços pulverulentos, em que se considera uma quantidade granular 
(agregado, como exemplo, areia seca), teremos certeza de que a única força de resistência 
interna será o atrito de contato grão a grão. Portanto, só haverá força interna de atrito. 
Logo, o fenômeno será idêntico a análise da física feita no plano inclinado. 
 
 Assim, suponhamos que se tenha, sobre uma mesa um monte de areia seca (I). 
Esse monte de areia estará em repouso (equilíbrio) ou estável quando limitada por um 
ângulo de inclinação α = ϕ = ângulo de atrito interno do material granular. 
 
No desenho (II) representamos a mesma massa de areia seca, agora contida por 
anteparos A que retém a massa instável (cunha instável) que, no primeiro desenho caiu no 
chão por não ter o que a contivesse. Nesses termos, podemos afirmar que a cunha instável é 
limitada em relação à massa estável por um plano, acima do qual as forças internas de 
resistência estão suplantadas pelas componentes tangenciais geradas pela existência da 
própria massa. Nesse caso, chamaremos esse plano de plano de escorregamento (limite em 
que o equilíbrio é rompido). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E = empuxo que a areia desenvolve sobre o paramento interno da caixa 
correspondente ao esforço desenvolvido pela cunha instável. 
 
Caixa móvel que serve de 
anteparo à massa de areia 
seca. 
 
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 100
 
 O anteparo deverá ser dimensionado para resistir ao movimento da cunha instável, 
pressão que o solo faz a partir da cunha instável, ou seja, a porção da massa que age sobre 
o paramento vertical de contenção, como será visto na Unidade 6. 
 
Por analogia da Física podemos escrever: 
 
τα = σα tg ϕ = τR (no plano de rutura) 
Sendo: 
τα = componente tangencial no plano que faz ângulo com a horizontal (plano de rutura); 
σα = componente normal ao plano; 
tgϕ = coeficiente de atrito interno do material (coeficiente angular da reta); 
τR = tensão interna deresistência ao cisalhamento do material. Tem mesma direção e 
sentido contrário a τα, agindo, ambos no plano de rutura. É resultante da resistência 
interna desenvolvida nos agregados secos que ocorrem na massa 
 
O atrito desenvolvido em agregados secos é aquele ocorrente pelo contato grão a 
grão, correspondente à força de atrito de contato grão a grão. Graficamente, temos para a 
envoltoria de equilíbrio limite, corresponde à resistência ao cisalhamento do solo, a figura 
abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Coulomb, portanto, concluiu que pelo atrito entre os grãos (em 
função da tensão de compressão) se desenvolve a resistência interna dos agregados 
secos, e que o plano de escorregamento das massas desses solos, corresponde a 
situação em que a possível componente tangencial no plano se iguala a essa resistência 
interna ao cisalhamento. 
 
Caso os solos possuam também ligantes (fração fina) com desenvolvimento de 
coesão (ligação dos grãos por atração físico-química, contribuindo na de resistência ao 
cisalhamento) haverá um aumento de τR devido a esse acréscimo de resistência interna, 
tensão de tração, que será representada por “c” e a equação ficará: 
 
 τ = c + σ tg ϕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Essa é a equação de Coulomb que traduz a resistência interna dos solos: dado 
pelo somatório da resistência por atrito de contato grão a grão, devida aos agregados e a 
resistência por ligação (atração físico-química por carga elétrica) devida aos ligantes 
(coesão). 
 
 
 
Figura – Análise comparativa dos contatos entre os grãos de areia e os grãos de 
argila. PINTO (2000) 
 
A coesão é um fenômeno físico diferente do atrito de contato grão a grão, mas de 
comportamento idêntico ao atrito interno, pois impede o cisalhamento das partículas por 
ligação que lhe dão resistência a tração (partícula a partícula). Graficamente, temos: a 
envoltória de equilíbrio limite: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 σi é a tensão inicial de tração que gera na equação o valor de c. Ambas as tensões 
de compressão e de tração agem normais ao plano. Pelo próprio gráfico, temos: 
 
 c = σi tg ϕ 
 
 Logo, a equação de Coulomb ficará: 
 
 τ = σi tg ϕ + σ tg ϕ = f (σ) 
 
 Isto é, a resistência ao cisalhamento será função dos componentes normais ao 
plano de rutura, logo: 
 
ττττ = f (σσσσ) 
 
 
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Para os possíveis tipos de ocorrências de solos temos: 
 
 Só Agregado Só Ligante Agregado e Ligante 
 (fração granular) (fração fina) areno-argiloso ou 
 “arenoso” “argiloso” argilo-arenoso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusão importante: 
 
A ocorrência da parcela interna de resistência a coesão “c” dará como 
decorrência a possibilidade de se ter um ângulo αααα do plano de rutura maior que ϕ (atrito 
interno só dos agregados). 
 
Assim, a massa estável representada nas figuras I e II, terá outra conformação 
podendo, ter até um ângulo de 90o sem necessidade de anteparo. No desenho abaixo 
representamos uma situação intermediária: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta situação estará, logicamente condicionada a capacidade do ligante desenvolver 
força de coesão o que, condicionará análises mais técnicas e capazes de situar, 
conceitualmente, as situações mais desfavoráveis. 
 
Por exemplo, a proporção agregado/ligante é um fator importante a ser 
considerado. No caso de termos muito ligante e pouco agregado, quando o ligante perder, 
eventualmente sua resistência (por exemplo por entrada de água na massa) o agregado 
passará a atuar. No caso não só o ligante definirá a resistência interna deste solo. 
 
 
 
No caso temos: 
αααα = ângulo do plano de 
escorregamento; 
ϕϕϕϕ = ângulo de atrito interno (do 
agregado componente do solo) 
 
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 103
4.6 - Critério de rutura Mohr–Coulomb 
 
Considerando-se as teorias do Critério de Rutura de Mohr e de Coulomb, verifica-
se que os comportamentos físicos são idênticos para as duas linhas de limitação e ambas 
têm a mesma equação. Isto é, no critério de rutura temos a envoltória, linha que define o 
esforço limite de rutura, de equação ( )τ α= f e na teoria de Coulomb, temos a linha que 
limita a resistência da estrutura dos solos, de equação, também, ( )τ α= f . 
Ora, se ambas tem a mesma forma matemática, podemos assimilá-las, isto é, 
particularizar, para o caso dos solos, a envoltória de Mohr como se fosse uma reta. 
Temos, então o critério de rutura Mohr – Coulomb em que a premissa básica é a 
afirmativa de que nos solos, a envoltória dos círculos de Mohr, correspondentes a 
rutura é uma reta de equação τ σ ϕr c tg= + . 
Algum erro pode decorrer dessa assimilação (figura), mas, a prática tem 
demonstrado que os resultados são perfeitamente compatíveis com os valores requeridos. 
 
Com essa assimilação temos condição de traçar a envoltória, correspondente a 
determinado solo com o traçado de dois círculos, mas, praticamente, pela própria teoria dos 
erros adota-se no mínimo três círculos, interpolando-se, graficamente a envoltória 
tangente aos mesmos, como mostrado na figura abaixo (neste exemplo foram utilizadas 
tensões efetivas, ou seja, foram subtraídas das tensões totais os valores de pressão neutra 
geradas no momento da ruptura – veja que os valores de σ’3 não são inteiros). 
 
Veja as informações dos corpos de prova na ruptura (tabela seguinte) e a envoltória 
em termos de tensões efetivas, traçada como exemplo. 
 
 
 
Figura – Traçado da envoltória de Mohr-Coulomb a partir da realização de três 
ensaios em laboratório (3 corpos de prova) e a obtenção de três círculos de Mohr efetivos. 
 
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 104
Tabela: Informações dos corpos de prova ensaiados quanto a resistência ao 
cisalhamento, no momento da ruptura 
 
 
 
De acordo com o critério de rutura Mohr–Coulomb, quando a tensão de 
cisalhamento, expressa pela reta de Coulomb τ σ ϕ= +c tg se iguala a resistência ao 
cisalhamento τ r , em cada ponto, ao longo da superfície de rutura, o maciço se romperá. O 
círculo correspondente ao estado de tensões, em torno do ponto O, será tangente a reta de 
Coulomb e o solo estará no estado incipiente de equilíbrio, isto é, no estado plástico 
em que, qualquer deformação, uma vez cessado o esforço, permanece, sem retorno a 
posição original. Se a condição de equilíbrio incipiente ocorre, ela existe em todos os 
pontos ao longo do plano de rutura e diz-se que a massa de solo está no Estado de 
Equilíbrio Plástico. 
 
Condição Analítica da Rutura 
 
Baseados no critério de rutura Mohr–Coulomb vamos traçar um gráfico onde temos 
um círculo tangente a linha de rutura e todos os elementos indicados para consolidar em 
demonstração a teoria considerada até aqui. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Componentes Principais da Figura: 
 
σ i = tensão inicial de tração normal ao plano de escorregamento; 
σα= tensão de compressão normal ao plano de escorregamento; 
τα = tensão tangencial (de rutura) ao plano de escorregamento; 
 
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 105
α = ângulo do plano de ruptura com plano principal maior; 
r = raio do círculo; 
ϕ = ângulo de atrito interno do solo; 
σ1 e σ3 = tensões de rutura agentes no ponto considerado; 
tgϕ = coeficiente de atrito interno do solo; 
c tgi= =σ ϕ coesão do solo (devido ao ligante - presença da fração argila); 
σ ϕα tg = atrito interno do solo (devido ao agregado - presença da fração areia); 
 
Expressão de Cálculo do ângulo αααα: 
 
Pela propriedade do círculo de Mohr o ângulo interno feito como o raio de T é 2α 
conforme figura, portanto: 
2 90
45
2
α ϕ
α
ϕ
= °+
= °+
 
 
 
Dedução da Equação Analítica da Rutura 
 
Pela figura: ND NC CD= + 
NB NC CB= − mas, CD CB CT r= = = 
 
Dividindo-se membro a membro, temos: 
ND
NB
NC CD
NC CB
=
+
−
 ou 
ND
NB
NC CT
NC CT
=
+
−
 
 
Dividindo-se numerador e denominador por NC , temos: 
ND
NB
NC
NC
CT
NC
NC
NC
CT
NC
=
+
−
=
+
−
=
°+
°−
1
1
90
90
sen
sen
sen sen
sen sen
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ 
 
Da figura tiramos: ND i= +σ σ1 
NB i= +σ σ3
 
Substituindo: σ σ
σ σ
ϕ
ϕ
i
i
+
+
=
°+
°−
1
3
90
90
sen sen
sen sen
 
Pela Trigonometria: sen sen
sen sen
a b
a b
tg a b
tg a b
+
−
=
+
−
2
2
 
ou podemos escrever: 
 
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σ σ
σ σ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
i
i
tg
tg
tg tg N+
+
=
°+
°−
=
°+
= °+



 =
1
3
2 2
90
2
90
2
90
2
45
2
 
 
Nϕ = Chamado por Terzaghi de número de fluência 
 
A equação ficará: 
σ σ
σ σ ϕ
i
i
N+
+
=
1
3
 ou ( )σ σ σ σϕi iN+ = +1 3 
σ σ σ σϕ ϕ1 3= + −N Ni i 
( )σ σ σϕ1 3 1= + −N N i mas, σ ϕi
c
tg
= 
ϕ
ϕϕσσ
tg
N
cN 131
−
+= 
Demonstra-se que 
N
tg
Nϕ ϕϕ
−
=
1
2 , conforme feito adiante. 
 
Finalmente, temos 
 
 
 
A partir da equação analítica de rutura temos a condição de calcular uma das 
tensões ( σ1 ou σ3) quando se conhece a outra delas e se determinou os parâmetros c e ϕϕϕϕ 
que são valores característicos dos solo em suas condições de utilização (dependendo do 
problema a resolver teremos necessidade de determinar os parâmetros nas condições mais 
desfavoráveis possíveis). 
Para se obter os valores de c e/ou ϕ, temos a necessidade de realizar ensaios 
especiais de laboratório, com a necessária sofisticação, para representar, com a maior 
precisão possível, as condições de ocorrência do material em suas situações naturais de 
ocorrência e utilização. 
 
Temos, também, ensaios "in situ" cujas determinações são de melhor avaliação pela 
manutenção real das condições de campo, mas, cujas aplicações são restritas a situações 
especiais de ocorrência e aos parâmetros que se pretende determinar. 
 
Obeservação: 
Nesta unidade (04) do curso foi enfocadas com ênfase as tensões principais atuantes 
nas massas do solo porque objetivou o estudo da resistência ao cisalhamento dos solos, 
como será visto na unidade seguinte. 
 
 
σ σ ϕ ϕ1 3 2= +N c N EQUAÇÃO ANALÍTICA 
DA RUPTURA 
 
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 107
Estado de tensões atuantes em ponto da massa de um material: 
 
Através do traçado do círculo de Mohr, pode-se estudar o estado de tensões 
atuantes em qualquer ponto da massa de solo, assim como em qualquer outro material. Este 
assunto é estudado nos cursos de resistência dos materiais (na UFJF é visto em Resistência 
dos Materiais II). 
A figura a seguir ilustra o círculo de Mohr referente às tensões atuantes no 
elemento ao seu lado, cujos planos (x e y): 
* (a) COINCIDEM com a horizontal e vertical e 
* (b) NÃO COINCIDEM com a horizontal e vertical 
 
Observe que em (a) a tensão cisalhante no plano y - τy, tem sinal negativo e em (b) 
a tensão cisalhante no plano α - τα tem sinal positivo. O sentido de se considerar a reta que 
passa pelo centro do círculo de Mohr, definindo assim as tensões atuantes implica em 
determinar valores positivos ou negativos para as tensões cisalhantes mas não implica em 
determinar valores numéricos diferentes para as tensões normais. 
 
 
 
Effective Stress at Node 760
Normal
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Sh
e
a
r
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
sx
sy
14.318
-14.811
73.242
10.805
76.756
 
Figura – Exemplo de estado de tensões atuantes em um ponto no interior da massa de solo, 
e valores e direção em que atuam as tensões principais maior e menor.

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