FT2_AULA04

Prévia do material em texto

FENÔMENOS DE TRANSFERÊNCIA 
(CALOR E MASSA) APLICADOS À 
ENGENHARIA DE ALIMENTOS
AULA 04 – REGIME TRANSIENTE
Definição e aplicações
 Na indústria de alimentos, o regime transiente é comumente considerado quando se tem a 
temperatura, em cada ponto do sistema, variando com o tempo; 
 
 Tal condição pode ocorrer em sistemas descontínuos, início de processos, processos de 
aquecimento ou resfriamento de produtos, cozimento, dentre outros; 
 
OBS.: As soluções analíticas para tais sistemas são bem mais complexas do que aquelas obtidas 
considerando regime permanente. Sendo assim, o que se faz comumente é encontrar soluções 
aproximadas na forma de equações com parâmetros tabelados ou na forma de gráficos. 
Principais grupos adimensionais
 Número de Biot: 
)1(
k
d.h
Bi  
 
Onde: 
h = coeficiente convectivo [W/m2.K]; 
d = dimensão característica: d = meia espessura L, para uma placa plana ou d = raio externo re, 
para um sistema radial [m]; 
k = condutividade térmica [W/m.K]. 
 
 Número de Fourier: 
)2(
d.c.
t.k
Fo
2
p
 
 
Onde: 
t = tempo de processo [h]; 
ρ = densidade [kg / m3]; 
cp = calor específico à pressão constante [kJ/kg.K]. 
Casos particulares
 Placa plana infinita: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  )3(
L
x
.fcos.Fo.fexp.C
TT
TT
1n
n
2
nn
i
x 











 
 
Onde: 
  )4(Biftg.f nn  e 
 
 
)5(
f.2senf.2
fsen.4
C
nn
n
n

 
 
OBS.: A Eq. (4) é dita transcedental cujas raízes podem ser obtidas da literatura. 
x 
2L 
Superfície a Ti 
Fluido a T8 
Fluido a T8 
Centro a T0 
Casos particulares
Considerando agora o centro da placa (em x = 0), a temperatura será T0. Logo, a Eq. (3) fica da 
seguinte forma: 
 
  )6(Fo.fexp.C
TT
TT
RT
1n
2
nn
i
0 





 
 
Observemos os resultados do adimensional de temperatura RT considerando vários termos 
da série infinita na tabela a seguir: 
Casos particulares
Considerando apenas o primeiro termo da série infinita, teremos: 
 
  )7(Fo.fexp.C
TT
TT 2
11
i
0 


 
 
Utilizando a Eq. (3) para o primeiro termo da série apenas, termos: 
 
  )8(
L
x
.fcos.Fo.fexp.C
TT
TT
1
2
11
i
x 








 
 
Dividindo a Eq. (8) pela (7), teremos a temperatura em uma posição x qualquer definida em 
relação à temperatura do centro da placa: 
 
)9(
L
x
.fcos
TT
TT
1
0
x 








 
Casos particulares
 Cilindro infinito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fluido a T8 
Fluido a T8 
re 
Superfície a Ti 
Centro a T0 
  )10(
r
r
.fJ.Fo.fexp.C
TT
TT
1n e
n0
2
nn
i
r 











 
 
Onde: 
)11(Bi
)f.(J
)f.(J
.f
n0
n1
n  e 
 
    )12(fJfJ.f
fJ.2
C
n
2
1n
2
0n
n1
n

 
Casos particulares
OBS.: J0 e J1 são valores da função de Bessel de primeira espécie ilustrados na tabela a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando agora o centro do cilindro (em r = 0), a temperatura será T0. Fazendo o mesmo 
procedimento realizado para placa plana infinita, chegamos à seguinte equação, definida em 
relação ao centro do cilindro: 
 
)13(
r
r
.fJ
TT
TT
e
10
0
r









 
 
Casos particulares
 Esfera 
 
 
 
 
 
 
 
  )14(
r
r
.f
r
r
.fsen
.Fo.fexp.C
TT
TT
1n
e
n
e
n
2
nn
i
r 











 
 
Onde: 
  )15(Bifgcot.f1 nn  e 
    
 
)16(
fsenf.2
fcos.ffsen4
C
nn
nnn
n


 
 
OBS.: No centro da esfera (r = 0), pela Eq. (14), haverá uma indeterminação, pois o denominador 
será igual a zero. Sendo assim, devemos utilizar a regra de L’Hopital para contornar tal 
indeterminação: 
 
)17(1
r
f
r
f
.
r
r
.fcos
dr
r
r
.fd
dr
r
r
.fsend
r
r
.f
r
r
.fsen
lim
0r
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
0r





































 
Fluido a T8 
Fluido a T8 
Superfície a Ti 
Centro a T0 
re 
Casos particulares
Onde: 
  )15(Bifgcot.f1 nn  e 
    
 
)16(
fsenf.2
fcos.ffsen4
C
nn
nnn
n


 
 
OBS.: No centro da esfera (r = 0), pela Eq. (14), haverá uma indeterminação, pois o denominador 
será igual a zero. Sendo assim, devemos utilizar a regra de L’Hopital para contornar tal 
indeterminação: 
 
)17(1
r
f
r
f
.
r
r
.fcos
dr
r
r
.fd
dr
r
r
.fsend
r
r
.f
r
r
.fsen
lim
0r
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
e
n
0r





































 
Casos particulares
Considerando agora o centro da esfera (em r = 0), a temperatura será T0. Fazendo o mesmo 
procedimento realizado para placa plana infinita e cilindro infinito, chegamos à seguinte equação, 
definida em relação ao centro da esfera: 
 
)18(
r
r
.f
r
r
.fsen
TT
TT
e
1
e
1
0
r









 
 
OBS.: Alguns valores de C1 e f1 para as três geometrias estudadas se encontram ilustrados na 
tabela a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método gráfico
 Consiste na utilização de gráficos gerados a partir das equações mostradas anteriormente 
para cada geometria, onde se tem uma relação entre o termo adimensional de temperatura 
RT e os números adimensionais Biot Bi e Fourier Fo e as razões adimensionais de posição 
(x/L ou r/re); 
 
 Podemos definir RT em relação à temperatura do centro (RT0) ou em relação a uma posição 
qualquer ao longo do sólido (RTx ou r): 
 
)19(
TT
TT
RT
i
0
0


 ou )20(
TT
TT
RT
0
roux
roux


 
Método gráfico
 A seguir temos um exemplo destes gráficos para uma placa plana infinita de espessura 2L 
(RT0) e para um cilindro infinito (RTr): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A seguir temos um exemplo destes gráficos para uma placa plana infinita de espessura 2L 
(RT0) e para um cilindro infinito (RTr): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sólidos finitos
 Neste caso, devemos considerar fluxo de calor bi ou tridimensional. A solução para estes 
casos é obtida através da intersecção dos planos envolvidos, considerando-os como 
infinitos, separadamente; 
 
 
 
 Para o caso ilustrado acima, a solução será dada por: 
 
)21(
TT
TT
x
TT
TT
TT
TT
initainfplacai
x
initoinfcilindroi
r
finitoi
r,x
























 
Exemplo proposto
Fundamentos de Engenharia de Alimentos – Aula 06 (Regime transiente)Página 1 de 1 
(Exemplo) Uma lata de extrato de tomate de 7,6 cm de diâmetro por 9,6 cm de altura será 
aquecida em um vapor a 1300C. A lata com o extrato tem uma condutividade térmica de 0,83 
W/m.0C, calor específico de 3,77 kJ/kg.0C, densidade de 1090 kg/m3 e coeficiente convectivo de 
20 W/m2.K. Se inicialmente a lata estava a 200C, calcule a temperatura (a) no centro da lata e 
(b) na superfície da mesma após 30 min. de aquecimento. 
 
 
 
RESOLVAM O EXERCÍCIO VARIANDO Bi, Fo, x/a, r/re E ANALISEM OS RESULTADOS 
OBTIDOS DE T0 E Tr,x. 
 
Lata = 3,8 x 10-2 m 
= 9,6 x 10-2 m