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FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e das ciências em geral. Ele será presente sempre que relacionamos duas variáveis. Vejamos um exemplo: Número de litros de água consumidos e preço a pagar: Considere a tabela abaixo que relaciona o número de litros de água consumidos e o preço a pagar por eles. Números de Litros Preço a pagar (R$) 1 2,30 2 4,60 3 6,90 40 92,00 x 2,30x Observe que o preço a pagar é dado em função do número de litros de água consumidos. Preço a pagar = R$2,30 vezes o número de litros consumidos Ou p = 2,30 x → lei da função ou fórmula matemática ou regra da função. NOÇÃO DE FUNÇÃO POR MEIO DE CONJUNTOS Vamos agora observar essa mesma noção de função usando a nomenclatura de conjuntos. Considere dois exemplos a seguir: Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão alguns números inteiros e em B outros. Devemos Associar cada elemento de A a seu valor triplo em B. X ∈ A Y ∈ B -2 -6 -1 -3 0 0 1 3 2 6 Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B: Nesse caso não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B (2, 3 e 5, pois 0 < 2, 0 < 3 e 0 < 5), e não apenas um único elemento de B. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM Sabemos que função é uma expressão matemática que relaciona dois valores pertencentes a conjuntos diferentes, mas com relações entre si. A lei de formação que intitula uma determinada função possui três características básicas: domínio, contradomínio e imagem. Essas características podem ser representadas por um diagrama de flechas. Observe: Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Vamos construir o diagrama de flechas: A B x f(X) 1 2 2 3 3 4 4 5 Nessa situação, temos que: Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A. (1, 2, 3, 4, 5). Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A). (2, 3, 4, 5, 6) FUNÇÕES DEFINIDAS POR FÓRMULAS MATEMÁTICAS Grande parte das funções citadas até agora é determinada por fórmulas matemáticas. No início do projeto, vimos uma correspondência entre o número de litros de água consumido e o preço a pagar expressa por: Preço a pagar = 2,30 vezes o número de litros consumidos. Em que o preço de 1L consumido equivale a R$2,30. Essa função pode ser expressa pela fórmula matemática: y = 2,30x ou f(x) = 2,30x Veja outras funções expressas por fórmulas matemáticas: f: IR → IR que a cada número real x associa o seu dobro f(x) = 2x ou y = 2x; f: IR → IR que a cada número real x associa o seu cubo f(x) = x³ ou y = x³; ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO As funções devem ser caracterizadas de acordo com algumas condições de existência: Dois conjuntos: um denominado domínio e outro contradomínio. Uma expressão y = f(x) associando os valores de x e y, formando pares ordenados pertencentes aos conjuntos domínio e contradomínio. Através de alguns exemplos, demonstraremos como determinar o domínio de uma função, isto é, descobrir quais os números que a função não pode assumir para que a sua condição de existência não seja afetada. 1º Exemplo: Nesse caso, o denominador não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero na Matemática. x – 1 ≠ 0 x ≠ 1 Portanto, D(f) = {x Є R / x ≠ 1} = R – {1}. 2º Exemplo: Nos números reais, o radicando de uma raiz de índice não pode ser negativo. 4x – 6 ≥ 0 4x 6 x ≥ 6/4 x ≥ 3/2 Portanto, D(f) = {x Є R / x ≥ 3/2} 3º Exemplo: O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser um número negativo, nulo ou positivo, isto é, 3x – 9 pode assumir qualquer valor real. Portanto, D(f) = R. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Em livros, revistas e jornais frequentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram retratar uma determinada situação. Esses gráficos e tabelas, em geral, representam funções, e por meio deles podemos obter informações sobre situação que retratam, bem como sobre as funções que representam. COORDENADAS CARTESIANAS A notação (a, b) é usada para indicar um par ordenado de números reais a e b, no qual o número a é a primeira coordenada e o número b é a segunda coordenada. Em um sistema de eixos ortogonais encontramos dois eixos perpendiculares, que tem a mesma origem. Damos o nome de plano cartesiano a um plano munido de um sistema de eixos ortogonais. Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em qutro quadrantes, na ordem colocada abaixo: Usamos esse sistema para localizar pontos no plano. Dado um ponto P desse plano, dizemos que os números a e b são as coordenadas cartesianas do ponto P, em que a é a abscissa e b é a ordenada. DETERMINAÇÃO DE DOMÍNIO E IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano podemos, ás vezes, determinar o domínio D e o conjunto imagem I, da função, projetando o gráfico nos eixos: D(f) = { x ∈ IR | 2 ≤ x ≤ 4} = [2,4] Im(f) = { x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 5} = [1,5] FUNÇÃO AFIM Uma função f: IR → IR chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b, para todo x ∈ IR. Por exemplo: f(x) = 2x + 1 (a = 2, b = 1) f(x) = -x + 4 (a = -1, b = 4) f(x) = 4x (a= 4, b = 0) O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox. Domínio: D = R Imagem: Im = R Existem quatro casos particulares de funções afim: função linear; função identidade; função constante; translação. Em nosso projeto aboradaremos somente a teoria de função linear exigida pelo docente. DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO LINEAR f: IR → IR definida por f(x) = ax para todo x ∈ IR. Nesse caso, b = 0. Alguns exemplos: f(x) = -2x (a = -2, b= 0) f(x) = x (a = , b= 0) Pelo fato do fator b da equação ser ser “0” a reta formada no gráfico sempre irá cruzar a origem. Também vale lembrar que quando tivermos a > 0 teremos uma reta crescente para direita, quando tivermos a < 0 teremos uma retda decrscente para direita. EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO LINEAR Vamos tomar como exemplo para calculo a seguinte função linear: f(x) = 3x Vamos utilizar os seguintes valores para x: -2; -1; 0; 1; 2. Transportando esses valores para uma tabela teríamos: x y -2 -1 0 1 2 Porém não temos o valor de y para formar nossos pares ordenados que possibilite a construção do gráfico. Podemos calcular o valor de y substituindo os valores escolhidos para x na equação. Ficaria da seguinte forma: f(x) = 3x f(-2) = 3 . -2 = -6. f(-1) = 3 . -1 = -3. f(0) = 3 . 0 = 0. f(-1) = 3 . -1 = -3. f(1) = 3 . 1 = 3. f(2) = 3 . 2 = 6. x y -2 -6 -1 -3 0 0 1 3 2 6 Depois de calcularmos os valores de y, basta transpassar esses valores para a tabela: Agora só precisamos passar estes pares ordenados (x,y) para um plano cartesiano para obtermos nosso gráfico: D(f) = IR Im(f) = IR FUNÇÃO QUADRÁTICA Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0 ZERO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quaissão dadas pela chamada fórmula de Bhaskara: Temos: Observação: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber: Quando é positivo, há duas raízes reais e distintas; Quando é zero, há só uma raiz real; Quando é negativo, não há raiz real. GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Toda função de 2º grau irá gerar um parábola quando representada graficamente. Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos: EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Vamos construir o gráfico da função y = x² + x: Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos. x y x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6 Primeiramente vamos identificar os elementos da equação : A = 1 B = 1 C = 0 Agora podemos calcular o Delta da equação para podermos calcular as coordenadas dos vértices: Vimos que nosso Delta equivale a “1”, vamos calcular o vértice: Agora sabemos que o vértice da nossa parábola vai ser formado pelo o par ordenado Precisamos agora calcular o nosso valor de x’ e x’’ (raízes) que indicam onde o eixo x vai ser cortado pela parabola. Por meio de Báskara, temos: Então: Sabemos então que o eixo X será cortado nos pondos “0” e “-1”. Só nos falta agora calcular os valores para y. Substituindo o termo x da equação pelo os valores escolhidos anteriormente, temos: f(x) = x² + x f(-3) = -3² - 3 = 9 – 3 = 6 f(-2) = -2² - 2 = 4 – 2 = 2 f(1) = -1² - 1 = 1 – 1 = 0 f(0) = 0² + 0 = 0 f(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2 f(2) = 2² + 2 = 4 + 2 = 6 Depois de tudo calculado, só precisamos montar o nosso gráfico, lembrando de que a nossa parábola terá concavidade voltada para cima, já que a é positivo. Analisando a f(x) = x² + x. D(f) = IR. I(f) = { y ∈ IR | y . F(x) é decrescente para x < - . F(x) é crescente para x > - . O ponto de mínimo da f(x) é FUNÇÃO CÚBICA Define-se função cúbica ou de 3º grau toda f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax³ + bx + cx + d, onde a, b, c e d são números reais e o termo a seja diferente de zero. Veja alguns exemplos de funções cúbicas: f(x) = x³ - 2x + 5x – 2 f(x) = x³ - 2x f(x) = 3x³ O gráfico formado por essa função forma uma espécie de meia parábola espelhada. Veja o exemplo abaixo: EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO CÚBICA Vamos tomar como exemplo uma função incompleta, a f(x) = x³. Assim como as outras vistas até agora também vamos escolher alguns valores para x e calcular os valores correspondentes a y. x y -2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 8 3 27 Assim como a linear, devemos somente substituir os valores de x na equação para otermos os pares ordenados que nos permitirá contruir o gráfico. Sendo assim temos: f(x) = x³ f(-2) = -2³ = -8 f(-1) = -1³ = -1 f(0) = 0³ = 0 f(1) = 1³ = 1 f(2) = 2³ = 8 f(3) = 3³ = 27 Agora só precisamos montar o nosso gráfico: D(f) = IR I(f) = IR FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a a uma função f de IR em IR* definida por f(x) = ax ou y = ax. O grande diferencial dessa função é que sua variável se encontra no expoente. Alguns exemplos de funções exponenciais são: f(x) = 3x f(x) = 5x f(x) = x Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas: EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Tomaremos como exemplo a seguinte função, a f(x) = 2x. Agoras vamos escolher alguns valores para o expoente x. x y -3 -2 -1 0 1 1 2 2 4 3 8 Substiuindo os valores temos: f(x) = 2x f(-3) = 2-3 = f(-2) = 2-2 = f(-1) = 2-1 = f(0) = 20 = 1 f(1) = 21 = 2 f(2) = 22 = 4 f(3) = 23 = 8 Construindo o gráfico teremos: FUNÇÃO LOGARÍTMICA A inversa da função exponencial de base a é a função loga:IR em IR*+, que associa a cada número real positivo x o número real loga x, chamado logaritmo de x na base a, com a real positivo e a ≠ 1. Observe que f: IR em IR*+, dada por f(x) = ax, tem a propriedade f(x1 + x2) = f(x1) f(x2), ou seja, ax1 + x2 = ax1 ax2. A sua inversa g: IR em IR*+, dada por g(x) = loga x, tem a propriedade loga (x1 x2) = loga x1 + loga x2. Domínio da função logarítmica: IR*+ Imagem da função logarítmica: IR Como a função logarítmica é a inversa da função exponencial, temos: alogax = x e loga (ax) = x, para todo x IR. Assim, loga x é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = loga x ay = x, como já vimos. As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1; particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritimos binários) e as de base e (logaritimos naturais). São exemplos de funções logarítmicas: f(x) = log2 x f(x) = log10 x = log x GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Observe os seguintes gráficos de funções logarítmicas: Para f(x) = log2 x x y -2 -1 1 0 2 1 4 2 Para f(x) = log1/2 x X y -2 -1 1 0 2 1 4 2 Como consequência da definição de função logarítmica e da análise dos gráficos, podemos chegar a seguinte conclusão: O gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1,0), ou seja, f(1) = 0, ou ainda, loga 1 = 0; O gráfico nunca irá tocar o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III; Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 ↔ loga x1 > loga x2); Quando 0 < a < 1, a função logarítmica é decrescente (x1 > x2 ↔ loga x1 < loga x2); Somente números positivos possuem logaritimo real, pois a função x → ax assume somente valores positivos; Se a > 1, os números maiores do que 1 têm logaritimo positivo e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritimo negativo; Se 0 < a < 1, os números maiores do que 1 têm logaritimo negativo e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritimo positivo; A função logarítmica é limitada, superior e inferiormente. No caso de a > 1 ser ilimitada superiormente significa que se pode dar a loga x um valor tão grande quanto se queira, desde que tomemos x suficientemente grande. Ao contrário da função exponencial f(x) = ax com a > 1, que cresce rapidamente, a função logarítimica loga x com a > 1 cresce muito lentamente. Veja por exemplo que, se log10 x = 1000, então x = 101000. Assim, se quisermos que log10 x seja maior do que 1000, será preciso tomar um número x que tenha pelo menos 1001 algarismos; A função logarítmica é injetiva, pois números positivos diferente têm logaritimos diferentes. Ela é também sobrejetiva, pois, dado qualquer número real b, existe sempre um único número real positivo x tal que loga x = b. portanto é bjetiva (há uma correspondência biunívoca entre IR*+ e IR). EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Vamos tomar como exemplo a função f(x) = log2 x: Atribuindo alguns valores aleatórios ao eixo x, e já calculando seus valores respectivos ao eixo y, temos: x Y 1 0 2 1 3 1,58 4 2 5 2,32 6 2,58 7 2,81 8 3 9 3,17 10 3,32 Calculando os valores temos: f(x) = log2 x f(x) = log2 1 = x → 2x = 1 → 20 = 1, portanto y = 0; f(x) = log2 2 = x → 2x = 2 → 21 = 2, portanto y = 1; f(x) = log2 3 = x → 2x = 3 → 21,58 = 3, portanto y = 1,58; f(x) = log2 4 = x → 2x = 4 → 22 = 4, portanto y = 2; f(x) = log2 5 = x → 2x = 5 → 22,32 = 5, portanto y = 2,32; f(x) = log2 6 = x → 2x = 6 → 22,58 = 6, portanto y = 2,58;f(x) = log2 7 = x → 2x = 7 → 22,81 = 7, portanto y = 2,81; f(x) = log2 8 = x → 2x = 8 → 23 = 8, portanto y = 3; f(x) = log2 9 = x → 2x = 9 → 23,17 = 9, portanto y = 3,17; f(x) = log2 10 = x → 2x = 10 → 23,32 = 10, portanto y = 3,32; FUNÇÃO MODULAR O módulo ou valor absoluto de um número real r, que representamos por |r|, é igual a r se r ≥ 0 e igual a –r se r <0. Geometricamente falando, o módulo de um número indica, na reta real, a distância desse número ao zero. É importante lembra que o módulo de um número real qualquer nunca é negativo, ou seja, é sempre positivo ou zero. Dado um número real x, sempre existe |x| e seu valor é único. Temos então uma função de IR em IR, que será chamada de função modular. Por tanto denomina-se função modular a função f, de IR em IR, tal que f(x) = |x|, ou seja: f(x) = . EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR Vamos utizar os seguinte exemplos: Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x| Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x. O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica: A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo. Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x| Solução: pela definição de módulo, temos que: f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0 e f(x) = – (x2 – 3x), se x<0 Daí, segue que: x2 – 3x = 0 x = 0 ou x = 3, logo: Temos também que: – (x2 – 3x) = 0 x = 0 ou x = 3 Daí, segue que: Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x| FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe: 9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta 13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta 17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2π. Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente. FUNÇÃO SENO Chamamos de função seno a função f(x) = sen x O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja: Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R. Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] . Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:1 f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva) f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa) Observe que esse gráfico é razoável, Pois: Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1. Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0. Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1. Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.] Para facilitar o entendimento vamos exemplificar graficamente, vejamos seu gráfico no plano cartesiano xOy: No 1º quadrante: No 2º quadrante: No 3º e 4º quadrante – Os valores de sen x são ospostos dos valores do 2º e do 1º quadrantes, respectivamente. Assim, completamos o gráfico de (fx)= sen x, para x no intervalo [0,2π]. Para x > 2π, os valores de (fx)= sen x serão uma repetição dos valores obtidos para x em [0,2π]. Dá-se o mesmo para x < 0. Acontece que ∀x (qualquer que seja x), temos: Sex x = k → sen (x + 2𝜋) = k e o menor valor positivo de p, tal que sen x = sen (x+p) (∀x) é p = 2π. Por isto, dizemos que uma função f(x) = sen x, em R, é uma função periódica de período 2π. A curva que representaesta função no plano cartesiano é chamada senóide. Para complementar o nosso exemplo, vamos levantar alguns pontos sobre a função f(x) = sen x. Domínio: x pode assumir qualquer valor real: D = R; Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Im = [-1,1]; Gráfico: ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano. Período: é sempre o comprimento da senóide. No caso da função f(x) = sen x, a senóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2π. FUNÇÃO COSSENO Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x. O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja: Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R. magem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] . Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco: f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva) f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa) Observe que esse gráfico é razoável, Pois: Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0. Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1. Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0. Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1. Assim como a função seno, para melhor exemplificar,vejamos seu gráfico no plano cartesiano xOy: No 1º quadrante: No 2º quadrante: No 3º e 4º quadrantes – No 3º quadrante, cos x repete ordenadamente os valores do 2º quadrante e no 4º quadrante repete os valores do 1º quadrante. Assim, podemos completar o gráfico de f(x) = cos x para x no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π. Como cos x = cos (x+2𝜋) (∀x) e o menor valor positivo de p, tal que cos x = cos (x+p) (∀x) é p = 2π, a função em R, f(x) = cos x, é uma função periódica, de período 2π. A curva que a representa no plano cartesiano é a cossenóide: Para complementar o nosso exemplo, vamos levantar alguns pontos sobre a função f(x) = cos x. Domínio: x pode assumir qualquer valor real: D = R; Conjunto Imagem: Como coseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Im = [-1,1]; Gráfico: ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano. Período: é sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x, a cossenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2π, por tanto o período é 2π. FUNÇÃO TANGENTE Para cada número real x, tal que cos x ≠ + kπ, com k ∈ Z, existe um e um só valor de tg x. Assim, temos uma função: f(x) = tg x. Definida para x real e x ≠ + kπ (K ∈ Z) e com valores em r. Na tabela abaixo estão angulns pares (x,y) em que f9x) = tg x e - < x < . x -π/3 -π/4 -π/6 0 π/6 π/4 π/3 Tg x -√3 -1 -√3/3 0 √3/3 1 √3 Marcando esses pontos no plano cartesiano e completando, obtivemos a “tangenóide”, que é como chamamos a curva da função f(x) = tg x no intervalo < x < . Para x variando entre , tg x repete sistematicamente os valores de quando x varia entre . Levantandoalguns pontos sobre a f(x) tg x, temos: Domínio: domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cos x = 0 Conjunto Imagem: Im = ] - ∞, ∞ [ Gráfico: Tangenóide Período: π Sinal da função: como tangente x é ordenada do ponto T intersecção que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então: F(x) = tg x é positiva no 1º e 3º quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva). F (x) = tg é negativa no 2º e 4º quadrante (produto da ordenada pela abscissa negativa).
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