PROJETO DE FUNÇÕES - Conteúdo

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FUNÇÕES
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e das ciências em geral. Ele será presente sempre que relacionamos duas variáveis. Vejamos um exemplo:
Número de litros de água consumidos e preço a pagar:
Considere a tabela abaixo que relaciona o número de litros de água consumidos e o preço a pagar por eles.
	Números de Litros
	Preço a pagar (R$)
	1
	2,30
	2
	4,60
	3
	6,90
	40
	92,00
	x
	2,30x
Observe que o preço a pagar é dado em função do número de litros de água consumidos.
Preço a pagar = R$2,30 vezes o número de litros consumidos 
Ou 
p = 2,30 x → lei da função ou fórmula matemática ou regra da função.
NOÇÃO DE FUNÇÃO POR MEIO DE CONJUNTOS
Vamos agora observar essa mesma noção de função usando a nomenclatura de conjuntos. Considere dois exemplos a seguir:
Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão alguns números inteiros e em B outros. Devemos Associar cada elemento de A a seu valor triplo em B. 
	X ∈ A
	Y ∈ B
	-2
	-6
	-1
	-3
	0
	0
	1
	3
	2
	6
		
Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada elemento de A é menor do que um elemento de B:
Nesse caso não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A correspondem três elementos de B (2, 3 e 5, pois 0 < 2, 0 < 3 e 0 < 5), e não apenas um único elemento de B.
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM
Sabemos que função é uma expressão matemática que relaciona dois valores pertencentes a conjuntos diferentes, mas com relações entre si. A lei de formação que intitula uma determinada função possui três características básicas: domínio, contradomínio e imagem. Essas características podem ser representadas por um diagrama de flechas. 
Observe:
Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Vamos construir o diagrama de flechas:
	A
	B
	x
	f(X)
	1
	2
	2
	3
	3
	4
	4
	5
Nessa situação, temos que: 
Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A. 
 (1, 2, 3, 4, 5). 
Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B. 
 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). 
Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A). 
(2, 3, 4, 5, 6) 
FUNÇÕES DEFINIDAS POR FÓRMULAS MATEMÁTICAS
Grande parte das funções citadas até agora é determinada por fórmulas matemáticas.
No início do projeto, vimos uma correspondência entre o número de litros de água consumido e o preço a pagar expressa por:
Preço a pagar = 2,30 vezes o número de litros consumidos.
Em que o preço de 1L consumido equivale a R$2,30. Essa função pode ser expressa pela fórmula matemática:
y = 2,30x	 ou 	f(x) = 2,30x
Veja outras funções expressas por fórmulas matemáticas:
f: IR → IR que a cada número real x associa o seu dobro 
f(x) = 2x ou y = 2x;
f: IR → IR que a cada número real x associa o seu cubo 
f(x) = x³ ou y = x³;
ESTUDO DO DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO
As funções devem ser caracterizadas de acordo com algumas condições de existência: 
Dois conjuntos: um denominado domínio e outro contradomínio.
Uma expressão y = f(x) associando os valores de x e y, formando pares ordenados pertencentes aos conjuntos domínio e contradomínio.
Através de alguns exemplos, demonstraremos como determinar o domínio de uma função, isto é, descobrir quais os números que a função não pode assumir para que a sua condição de existência não seja afetada.
1º Exemplo:
 
Nesse caso, o denominador não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero na Matemática.
x – 1 ≠ 0
x ≠ 1
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≠ 1} = R – {1}.
2º Exemplo:
Nos números reais, o radicando de uma raiz de índice não pode ser negativo.
4x – 6 ≥ 0
4x 6
x ≥ 6/4
x ≥ 3/2
Portanto, D(f) = {x Є R / x ≥ 3/2}
3º Exemplo:
O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser um número negativo, nulo ou positivo, isto é, 3x – 9 pode assumir qualquer valor real. Portanto, D(f) = R.
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Em livros, revistas e jornais frequentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram retratar uma determinada situação.
Esses gráficos e tabelas, em geral, representam funções, e por meio deles podemos obter informações sobre situação que retratam, bem como sobre as funções que representam.
COORDENADAS CARTESIANAS
	A notação (a, b) é usada para indicar um par ordenado de números reais a e b, no qual o número a é a primeira coordenada e o número b é a segunda coordenada.
	Em um sistema de eixos ortogonais encontramos dois eixos perpendiculares, que tem a mesma origem.
	Damos o nome de plano cartesiano a um plano munido de um sistema de eixos ortogonais.
	Os eixos ortogonais dividem o plano cartesiano em qutro quadrantes, na ordem colocada abaixo:
	Usamos esse sistema para localizar pontos no plano. Dado um ponto P desse plano, dizemos que os números a e b são as coordenadas cartesianas do ponto P, em que a é a abscissa e b é a ordenada.
DETERMINAÇÃO DE DOMÍNIO E IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO
	Observando o gráfico de uma função no plano cartesiano podemos, ás vezes, determinar o domínio D e o conjunto imagem I, da função, projetando o gráfico nos eixos:
D(f) = { x ∈ IR | 2 ≤ x ≤ 4} = [2,4]
Im(f) = { x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 5} = [1,5]
FUNÇÃO AFIM
	Uma função f: IR → IR chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b, para todo x ∈ IR. Por exemplo:
f(x) = 2x + 1	(a = 2, b = 1)
f(x) = -x + 4	(a = -1, b = 4)
f(x) = 4x		(a= 4, b = 0)
O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.
Domínio: D = R
Imagem: Im = R
	Existem quatro casos particulares de funções afim: função linear; função identidade; função constante; translação. Em nosso projeto aboradaremos somente a teoria de função linear exigida pelo docente.
DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO LINEAR
 f: IR → IR definida por f(x) = ax para todo x ∈ IR. Nesse caso, b = 0.
Alguns exemplos:
f(x) = -2x	(a = -2, b= 0)
f(x) = x 	(a = , b= 0)
Pelo fato do fator b da equação ser ser “0” a reta formada no gráfico sempre irá cruzar a origem. 
Também vale lembrar que quando tivermos a > 0 teremos uma reta crescente para direita, quando tivermos a < 0 teremos uma retda decrscente para direita.
 EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO LINEAR
Vamos tomar como exemplo para calculo a seguinte função linear: f(x) = 3x
Vamos utilizar os seguintes valores para x: -2; -1; 0; 1; 2. Transportando esses valores para uma tabela teríamos:
	x
	y
	-2
	
	-1
	
	0
	
	1
	
	2
	
Porém não temos o valor de y para formar nossos pares ordenados que possibilite a construção do gráfico. Podemos calcular o valor de y substituindo os valores escolhidos para x na equação. Ficaria da seguinte forma:
f(x) = 3x
f(-2) = 3 . -2 = -6.
f(-1) = 3 . -1 = -3.
f(0) = 3 . 0 = 0.
f(-1) = 3 . -1 = -3.
f(1) = 3 . 1 = 3.
f(2) = 3 . 2 = 6.
	x
	y
	-2
	-6
	-1
	-3
	0
	0
	1
	3
	2
	6
Depois de calcularmos os valores de y, basta transpassar esses valores para a tabela:
Agora só precisamos passar estes pares ordenados (x,y) para um plano cartesiano para obtermos nosso gráfico:
D(f) = IR
Im(f) = IR
FUNÇÃO QUADRÁTICA
	Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:
f(x) = 3x2 - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0
 ZERO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.
	Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quaissão dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
	Temos: 
	Observação:
	 A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:
Quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
Quando é zero, há só uma raiz real;
Quando é negativo, não há raiz real.
GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	Toda função de 2º grau irá gerar um parábola quando representada graficamente. Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
	Em qualquer caso, as coordenadas de V são . Veja os gráficos:
 
EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
	Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.
x y 
	x
	y
	-3
	6
	-2
	2
	-1
	0
	0
	0
	1
	2
	2
	6
	Primeiramente vamos identificar os elementos da equação :
	A = 1		B = 1		C = 0
	Agora podemos calcular o Delta da equação para podermos calcular as coordenadas dos vértices:
Vimos que nosso Delta equivale a “1”, vamos calcular o vértice:
	Agora sabemos que o vértice da nossa parábola vai ser formado pelo o par ordenado 
	Precisamos agora calcular o nosso valor de x’ e x’’ (raízes) que indicam onde o eixo x vai ser cortado pela parabola. Por meio de Báskara, temos:
Então:
	Sabemos então que o eixo X será cortado nos pondos “0” e “-1”. Só nos falta agora calcular os valores para y. Substituindo o termo x da equação pelo os valores escolhidos anteriormente, temos:
f(x) = x² + x
f(-3) = -3² - 3 = 9 – 3 = 6
f(-2) = -2² - 2 = 4 – 2 = 2
f(1) = -1² - 1 = 1 – 1 = 0
f(0) = 0² + 0 = 0
f(1) = 1² + 1 = 1 + 1 = 2
f(2) = 2² + 2 = 4 + 2 = 6
	Depois de tudo calculado, só precisamos montar o nosso gráfico, lembrando de que a nossa parábola terá concavidade voltada para cima, já que a é positivo.
Analisando a f(x) = x² + x.
D(f) = IR.
I(f) = { y ∈ IR | y .
F(x) é decrescente para x < - .
F(x) é crescente para x > - .
O ponto de mínimo da f(x) é 
FUNÇÃO CÚBICA
	Define-se função cúbica ou de 3º grau toda f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax³ + bx + cx + d, onde a, b, c e d são números reais e o termo a seja diferente de zero.
	Veja alguns exemplos de funções cúbicas:
 f(x) = x³ - 2x + 5x – 2
f(x) = x³ - 2x 
f(x) = 3x³ 
	O gráfico formado por essa função forma uma espécie de meia parábola espelhada. Veja o exemplo abaixo:
EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO CÚBICA
	Vamos tomar como exemplo uma função incompleta, a f(x) = x³. Assim como as outras vistas até agora também vamos escolher alguns valores para x e calcular os valores correspondentes a y.
	x
	y
	-2
	-8
	-1
	-1
	0
	0
	1
	1
	2
	8
	3
	27
	Assim como a linear, devemos somente substituir os valores de x na equação para otermos os pares ordenados que nos permitirá contruir o gráfico.
	Sendo assim temos:
f(x) = x³
f(-2) = -2³ = -8
f(-1) = -1³ = -1
f(0) = 0³ = 0
f(1) = 1³ = 1
f(2) = 2³ = 8
f(3) = 3³ = 27
	Agora só precisamos montar o nosso gráfico:
D(f) = IR
I(f) = IR
FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a a uma função f de IR em IR* definida por f(x) = ax ou y = ax.
	O grande diferencial dessa função é que sua variável se encontra no expoente.
	Alguns exemplos de funções exponenciais são:
f(x) = 3x
f(x) = 5x
f(x) = x
	Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Tomaremos como exemplo a seguinte função, a f(x) = 2x. Agoras vamos escolher alguns valores para o expoente x.
	x
	y
	-3
	
	-2
	
	-1
	
	0
	1
	1
	2
	2
	4
	3
	8
	Substiuindo os valores temos:
f(x) = 2x
f(-3) = 2-3 = 
f(-2) = 2-2 = 
f(-1) = 2-1 = 
f(0) = 20 = 1
f(1) = 21 = 2
f(2) = 22 = 4
f(3) = 23 = 8
	Construindo o gráfico teremos:
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
	A inversa da função exponencial de base a é a função loga:IR em IR*+, que associa a cada número real positivo x o número real loga x, chamado logaritmo de x na base a, com a real positivo e a ≠ 1.
	Observe que f: IR em IR*+, dada por f(x) = ax, tem a propriedade f(x1 + x2) = f(x1) f(x2), ou seja, ax1 + x2 = ax1 ax2. A sua inversa g: IR em IR*+, dada por g(x) = loga x, tem a propriedade loga (x1 x2) = loga x1 + loga x2.
Domínio da função logarítmica: IR*+
Imagem da função logarítmica: IR
	
	Como a função logarítmica é a inversa da função exponencial, temos:
 	alogax = x e loga (ax) = x, para todo x IR.
	Assim, loga x é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, y = loga x ay = x, como já vimos.
	As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1; particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritimos binários) e as de base e (logaritimos naturais).
	São exemplos de funções logarítmicas:
f(x) = log2 x
f(x) = log10 x = log x
GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
	Observe os seguintes gráficos de funções logarítmicas: 
	Para f(x) = log2 x
	x
	y
	
	-2
	
	-1
	1
	0
	2
	1
	4
	2
	Para f(x) = log1/2 x
	X
	y
	
	-2
	
	-1
	1
	0
	2
	1
	4
	2
Como consequência da definição de função logarítmica e da análise dos gráficos, podemos chegar a seguinte conclusão:
O gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1,0), ou seja, f(1) = 0, ou ainda, loga 1 = 0;
O gráfico nunca irá tocar o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III;
Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 ↔ loga x1 > loga x2);
Quando 0 < a < 1, a função logarítmica é decrescente (x1 > x2 ↔ loga x1 < loga x2);
Somente números positivos possuem logaritimo real, pois a função x → ax assume somente valores positivos;
Se a > 1, os números maiores do que 1 têm logaritimo positivo e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritimo negativo;
Se 0 < a < 1, os números maiores do que 1 têm logaritimo negativo e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritimo positivo;
A função logarítmica é limitada, superior e inferiormente. No caso de a > 1 ser ilimitada superiormente significa que se pode dar a loga x um valor tão grande quanto se queira, desde que tomemos x suficientemente grande.
Ao contrário da função exponencial f(x) = ax com a > 1, que cresce rapidamente, a função logarítimica loga x com a > 1 cresce muito lentamente. Veja por exemplo que, se log10 x = 1000, então x = 101000. Assim, se quisermos que log10 x seja maior do que 1000, será preciso tomar um número x que tenha pelo menos 1001 algarismos;
A função logarítmica é injetiva, pois números positivos diferente têm logaritimos diferentes. Ela é também sobrejetiva, pois, dado qualquer número real b, existe sempre um único número real positivo x tal que loga x = b. portanto é bjetiva (há uma correspondência biunívoca entre IR*+ e IR).
EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
	Vamos tomar como exemplo a função f(x) = log2 x:
	Atribuindo alguns valores aleatórios ao eixo x, e já calculando seus valores respectivos ao eixo y, temos: 
	x
	Y
	1
	0
	2
	1
	3
	1,58
	4
	2
	5
	2,32
	6
	2,58
	7
	2,81
	8
	3
	9
	3,17
	10
	3,32
	
	Calculando os valores temos:
f(x) = log2 x
f(x) = log2 1 = x → 2x = 1 → 20 = 1, portanto y = 0;
f(x) = log2 2 = x → 2x = 2 → 21 = 2, portanto y = 1;	
f(x) = log2 3 = x → 2x = 3 → 21,58 = 3, portanto y = 1,58;
f(x) = log2 4 = x → 2x = 4 → 22 = 4, portanto y = 2;
f(x) = log2 5 = x → 2x = 5 → 22,32 = 5, portanto y = 2,32;
f(x) = log2 6 = x → 2x = 6 → 22,58 = 6, portanto y = 2,58;f(x) = log2 7 = x → 2x = 7 → 22,81 = 7, portanto y = 2,81;
f(x) = log2 8 = x → 2x = 8 → 23 = 8, portanto y = 3;
f(x) = log2 9 = x → 2x = 9 → 23,17 = 9, portanto y = 3,17;
f(x) = log2 10 = x → 2x = 10 → 23,32 = 10, portanto y = 3,32;
FUNÇÃO MODULAR
	O módulo ou valor absoluto de um número real r, que representamos por |r|, é igual a r se r ≥ 0 e igual a –r se r <0.
	Geometricamente falando, o módulo de um número indica, na reta real, a distância desse número ao zero. 
	É importante lembra que o módulo de um número real qualquer nunca é negativo, ou seja, é sempre positivo ou zero.
	Dado um número real x, sempre existe |x| e seu valor é único. Temos então uma função de IR em IR, que será chamada de função modular. Por tanto denomina-se função modular a função f, de IR em IR, tal que f(x) = |x|, ou seja: f(x) = .
	
EXEMPLO E GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR
	Vamos utizar os seguinte exemplos:
Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|
	Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x.
O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:
A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.
Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Solução: pela definição de módulo, temos que:
f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0
e
f(x) = – (x2 – 3x), se x<0 
Daí, segue que:
x2 – 3x = 0
x = 0 ou x = 3, logo:
Temos também que:
– (x2 – 3x) = 0
x = 0 ou x = 3
Daí, segue que:
Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
No círculo trigonométrico temos arcos que realizam mais de uma volta, considerando que o intervalo do círculo é [0, 2π], por exemplo, o arco dado pelo número real x = 5π/2, quando desmembrado temos: x = 5π/2 = 4π/2 + π/2 = 2π + π/2. Note que o arco dá uma volta completa (2π = 2*180º = 360º), mais um percurso de 1/4 de volta (π/2 = 180º/2 = 90º). Podemos associar o número x = 5π/2 ao ponto P da figura, o qual é imagem também do número π/2. Existem outros infinitos números reais maiores que 2π e que possuem a mesma imagem. Observe: 
9π/2 = 2 voltas e 1/4 de volta 
13π/2 = 3 voltas e 1/4 de volta 
17π/2 = 4 voltas e 1/4 de volta 
Podemos generalizar e escrever todos os arcos com essa característica na seguinte forma: π/2 + 2kπ, onde k Є Z. E de uma forma geral abrangendo todos os arcos com mais de uma volta, x + 2π. 
Estes arcos são representados no plano cartesiano através de funções circulares como: função seno, função cosseno e função tangente. 
FUNÇÃO SENO
	Chamamos de função seno a função f(x) = sen x
	O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja:
	Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.
	Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .
	Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:1
	f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva) 
	f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa) 
	Observe que esse gráfico é razoável, Pois: 
	Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1. 
	Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0. 
	Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1. 
	Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.] 
	Para facilitar o entendimento vamos exemplificar graficamente, vejamos seu gráfico no plano cartesiano xOy:
	
	No 1º quadrante:
	No 2º quadrante:
	No 3º e 4º quadrante – Os valores de sen x são ospostos dos valores do 2º e do 1º quadrantes, respectivamente.
	Assim, completamos o gráfico de (fx)= sen x, para x no intervalo [0,2π].
	Para x > 2π, os valores de (fx)= sen x serão uma repetição dos valores obtidos para x em [0,2π].
	Dá-se o mesmo para x < 0.
	Acontece que ∀x (qualquer que seja x), temos:
	Sex x = k → sen (x + 2𝜋) = k e o menor valor positivo de p, tal que sen x = sen (x+p) (∀x) é p = 2π.
	Por isto, dizemos que uma função f(x) = sen x, em R, é uma função periódica de período 2π. A curva que representaesta função no plano cartesiano é chamada senóide. 
	Para complementar o nosso exemplo, vamos levantar alguns pontos sobre a função f(x) = sen x.
Domínio: x pode assumir qualquer valor real: D = R;
Conjunto Imagem: Como seno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Im = [-1,1];
Gráfico: ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado senóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: é sempre o comprimento da senóide. No caso da função f(x) = sen x, a senóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2π.
FUNÇÃO COSSENO
	Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x.
	O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:
	Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.
	magem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .
	Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
	f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva) 
	f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)           
	Observe que esse gráfico é razoável, Pois: 
	Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0. 
	Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1. 
	Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0. 
	Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1. 
	Assim como a função seno, para melhor exemplificar,vejamos seu gráfico no plano cartesiano xOy:
	No 1º quadrante:
	No 2º quadrante:
	No 3º e 4º quadrantes – No 3º quadrante, cos x repete ordenadamente os valores do 2º quadrante e no 4º quadrante repete os valores do 1º quadrante.
	Assim, podemos completar o gráfico de f(x) = cos x para x no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π.
	Como cos x = cos (x+2𝜋) (∀x) e o menor valor positivo de p, tal que cos x = cos (x+p) (∀x) é p = 2π, a função em R, f(x) = cos x, é uma função periódica, de período 2π.
	A curva que a representa no plano cartesiano é a cossenóide:
	
	Para complementar o nosso exemplo, vamos levantar alguns pontos sobre a função f(x) = cos x.
Domínio: x pode assumir qualquer valor real: D = R;
Conjunto Imagem: Como coseno possui valor máximo e mínimo, que são respectivamente 1 e -1, o conjunto imagem se encontra no intervalo entre esses valores: Im = [-1,1];
Gráfico: ele sempre se repete no intervalo de 0 a 2π. Esse intervalo é denominado cossenóide. Para construir o gráfico basta escrever os pontos em que a função é nula, máxima e mínima no eixo cartesiano.
Período: é sempre o comprimento da cossenóide. No caso da função f(x) = cos x, a cossenóide caracteriza-se pelo intervalo de 0 a 2π, por tanto o período é 2π.
FUNÇÃO TANGENTE
	Para cada número real x, tal que cos x ≠ + kπ, com k ∈ Z, existe um e um só valor de tg x. Assim, temos uma função: 
f(x) = tg x.
	Definida para x real e x ≠ + kπ (K ∈ Z) e com valores em r.
	Na tabela abaixo estão angulns pares (x,y) em que f9x) = tg x e - < x < .
	x
	-π/3
	-π/4
	-π/6
	0
	π/6
	π/4
	π/3
	Tg x 
	-√3
	-1
	-√3/3
	0
	√3/3
	1
	√3
	Marcando esses pontos no plano cartesiano e completando, obtivemos a “tangenóide”, que é como chamamos a curva da função f(x) = tg x no intervalo < x < .
	Para x variando entre , tg x repete sistematicamente os valores de quando x varia entre .
	Levantandoalguns pontos sobre a f(x) tg x, temos:
Domínio: domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cos x = 0
Conjunto Imagem: Im = ] - ∞, ∞ [
Gráfico: Tangenóide
Período: π
Sinal da função: como tangente x é ordenada do ponto T intersecção que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
F(x) = tg x é positiva no 1º e 3º quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva).
F (x) = tg é negativa no 2º e 4º quadrante (produto da ordenada pela abscissa negativa).