NotasDeAula Carteiras

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Resumo sobre Carteiras
Rafael Azevedo
1 De…nições
De…nition 1 Podemos de…nir a Fronteira de Markowitz como o conjunto de pontos no grá…co do
Desvio Padrão vs Retornos Esperados, que fornece o menor desvio padrão possível com os ativos
disponíveis dado o retorno esperado que se quer obter.
De modo matemático, podemos de…nir
m(kE) = min
�
�
�
rC
�	
s:a:
E
�
rC
�
= kE
onde rC é o retorno de alguma carteira construido com os ativos existentes.
O grá…co de m(kE) vs kE nos fornece a fronteira de Markowitz.
Note que a carteira que mínimiza o desvio padrão dado um retorno esperado é a mesma que min-
imiza a variância dado um retorno esperado. Deste modo, podemos de…nir a fronteira de Markowitz
de modo equivalente no grá…co do Variância vs Retornos Esperados. Matemáticamente, podemos
fazer
M(kE) = min
�
V ar
�
rC
�	
s:a:
E
�
rC
�
= kE :
Remark 2 Vamos considerar a fronteira de Markowitz para um conjunto de ativos arriscados. O
ativo livre de risco não estará incluido no conjunto de ativos exceto quando dissermos explici-
tamente. Quando ele está incluido, o que fazemos é retira-lo do conjunto, trabalhar normalmente,
e depois o incluir.
Quando pensamos em retornos, é mais fácil de interpretar o seu desvio padrão do sua Variância.
No entanto, o problema de otimização é mais facilmente expresso usando a variância. Lembre-se que
uma carteira pode ser expressa como o peso que se dá para cada ativo e o valor total da carteira. O
papel do valor da carteira é pequeno no contexto atual, e podemos não mencioná-la por um tempo.
Seja o vetor de pesos:
�!! =
0BBB@
!1
!2
...
!n
1CCCA :
1
Lembre-se que admitimos a possibilidade de …car vendido (ou seja, !i pode ser menor que zero) e
que !1 + !2 + :::+ !n = 1. O retorno de uma carteira de…nida com estes pesos é
rC = !1r
1 + !2r
2 + :::+ !nr
n;
onde r1; r2; :::; rn são variáveis aleatórias que representam o retorno de dos ativos. Assim, é fácil
ver que
E
�
rC
�
= !1E
�
r1
�
+ !2E
�
r2
�
+ :::+ !nE [r
n]
= !T�!ex
onde
�!ex =
0BBB@
E [X1]
E [X2]
...
E [Xn]
1CCCA e �!! =
0BBB@
!1
!2
...
!n
1CCCA :
Além disto, sabemos que (vide notas de aula anteriores)
V ar
�
rC
�
= !T
!:
Lembrando dos vetores de zeros e uns:
�!� =
0BBB@
1
1
...
1
1CCCA e �!0 =
0BBB@
0
0
...
0
1CCCA ;
podemos escrever o problema da fronteira de Markowitz como
min
��!! T
�!! 	
a:s:
!T i = 1
!T�!ex = kE :
1.1 Exemplo
Em construção. (Usar as notas de aulas dos alunos e fazer o grá…co).
1.2 Solução do Problema da Fronteira de Markowitz
O Lagrangeano é do problema anterior é:
L = �!! T
�!! � �1
�
!T i� 1�� �2 �!T�!ex � kE�
e a CPO é
rL = 2
! � �1�� �2�!ex = �!0
2
onde
�!
0 é o vetor de zeros.
Quando o conjuntos de ativos não inclui o ativo livre de risco, podemos mostrar que conseguimos
inverter 
. Neste caso, a solução é:
!� = 
�1
�
��1
2
�+
��2
2
�!ex
�
onde
��1 = 2
A�BkE
AC �B2
��2 = 2
CkE �B
AC �B2 ;
onde temos que A;B e C são constantes. Note que ��1 e �
�
2 dependem do retorno …xado kE e das
constantes:
A = (�!ex)T 
�1�!ex
B = (�!ex)T 
�1� =
�
�T
�1�!ex
�
C =
�
�T
�1�
�
:
2 Fatos Importantes
Os fatos abaixo consideram que o ativo livre de risco não existe. Esta condição é necessário para que
o inverso de 
 exista. Quando incluimos o retorno livre de risco, algumas mudanças são necessárias.
� A primeira coisa importante a enfatizar é que a fronteira só depende de 
 e de E (das
variâncias, esperanças e covariâncias dos retornos).
� Considerem (kE) como de…nido acima (ou seja, o menor desvio padrão dado a o retorno esper-
ado). Se existirem 3 ativos ou mais, é possível obter uma carteira com qualquer combinação
de retorno esperado E
�
rC
�
= " e desvio padrão �
�
rC
�
, desde que �
�
rC
� � m (").
� Um fato interessante é que a carteira de menor variância dado a esperança é única. Ou seja,
existe apenas uma solução !� do problema acima. Além disto, analisando da seção
anterio, podemos escrever !� como:
!� = �!u +�!v kE ;
onde �!u e �!v são vetores colunas …xos. Esta expressão ajuda a obter alguns resultados. Por
exemplo, por meio dele pode-se mostrar os próximos 2 fatos.
� No grá…co Desvio Padrão vs Retornos Esperados, temos que a Fronteira é uma hipérbole.
� No grá…co Variância vs Retornos Esperados, temos que a Fronteira é uma parábola.
� A menor variância possível é igual a
�2min =
1
C
3
e a carteira com a menor variância tem o retorno esperado igual a
B
C
;
onde A;B e C são as constantes que de…nimos no …m da seção acima.
� Talvez o fato mais importantes é o seguinte: Seja uma carteira p na fronteira e uma carteira
q qualquer (ou seja, q pode ou não pertencer a fronteira). O retorno esperado da carteira q
depende linearmente de �pq
E [rq] = a+ b�pq
�pq =
cov(rp; rq)
�2p
:
Para quem estudou regressão linear, lembre-se que �pq é a fórmula para o estimador quando
fazemos a regressão de rq em relação a rp, ou seja, se …zermos a regressão
rq = a+ brp + "
o estimador de MQO para b é bb = ccov(rp; rq)b�2p :
� Pode não parecer no momento, mas o fato acima é um dos mais importantes da Teoria
de Finanças!
–A fórmula usada pelo CAPM (o beta das ações, o alfa dos fundos de investimentos) segue
deste fato.
–O procedimento de trazer o ‡uxo de caixa descontado para saber o preço da ação segue
deste fato.
–Implícito nesta fórmula está um dos fatos mais fundamentais sobre apreça-
mento de ativos!
–Ou seja, repito, implícito nesta fórmula está um dos fatos mais fundamentais
sobre apreçamento de ativos!
–Dado a descrição probabilística de um ativo, conseguimos saber o preço dele se conhecer-
mos alguma carteira que está na fronteira de Markowitz!
3 Combinações de Carteiras
Em construção. A esperança. A covariância entre carteiras. A variância de combinação de carteiras.
cov(rC1; rC2) =
�
!C1
�T
!C2:
4 A Fronteira e o Ativo Livre de Risco
Em construção.
4
5 Investidores com Objetivos de Média-Variância
Em construção.
5.1 Quando o Objetivo de Média-Variância é Adequado?
5