ED_EXATAS_E_HOMOGÊNEAS

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SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (Exatas e Homogêneas)
Introdução:
O objetivo desta aula é continuar aprendendo a resolver as Equações Diferenciais de primeira ordem (EDO). Na aula anterior foi aprendido os métodos das equações lineares e das separáveis.
Nesta aula será estudado os métodos para resolver as Equações Diferenciais de primeira Ordem classificadas como equações exatas e equações homogêneas.
Equações exatas
Será considerada nesta aula uma nova classe de equações diferencias de 1ª ordem, chamada de exatas, cujo método de solução será explicado abaixo:
Sabe-se que y dx + x dy = 0 é uma equação separável mas, y dx + x dy = 0 é também, a derivada do produto x.y, isto é d(x.y). Logo:
	
Diferencial total de uma função de duas variáveis:
Se z = f (x, y) é uma função de duas variáveis, com derivadas parciais primeiras contínuas numa região R no plano xy. Sua diferencial, chamada de diferencial total, é:
Para o caso específico de z = C (constante), 
Pode-se chamar:
Assim, pode-se escrever a equação diferencial original, da seguinte forma:
Ou
Teorema:
Sejam M(x, y) e N(x, y) funções continuas com derivadas parciais continuas em uma região retangular definida por a < x < b, e c < y < d.
Então, uma condição necessária e suficiente para que a equação:
Seja uma equação exata é:
Exemplo:
Verifique se a Equação Diferencial abaixo pode ser classificada como exata:
	
Solução:
	
	Logo
Sendo assim, a equação é exata!
Método de solução de uma Equação Diferencial de 1ª ordem exata
Dada uma equação diferencial 
Seguir os seguintes passos:
Mostrar que ;
 Se for, existirá uma função f (x, y) para a qual:
	
Onde g(y) é a constante de integração em relação a integral a dx.
Ou
Onde h(x) é a constante de integração em relação a integral a dy.
Calcular g(y) e h(x)
No caso de g(y):
No caso de h(x):
Não há necessidade de calcular g(y) e h(x) simultaneamente, basta apenas uma das funções.
Exemplo:
Resolva a Equação Diferencial abaixo, anteriormente identificada como exata:
	
Solução:
Como a equação já foi identificada como exata, bastando agora calcular f(x, y), como abaixo:
 
e
Assim, f(x, y) é:
Substituindo-se a condição inicial.
Assim, a solução final é:
Este mesmo problema pode ser resolvido de outra forma:
Substituindo-se a condição inicial.
Da mesma forma a solução final é:
Equação homogênea
Funções homogêneas
Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t € R, vale a relação
Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t € R, vale
a relação.
Exemplo:
Verificar se a função é homogênea e se for qual o grau.
Solução:
A função é homogênea de grau 2.
Exemplo:
Verificar se a função é homogênea e se for qual o grau.
Solução:
A função não é homogênea.
Generalizando:
A função será homogênea se cada uma de suas parcelas tiver o mesmo grau, conforme abaixo:
Neste caso cada parcela tem grau 4.
Formato das equações diferenciais homogêneas de 1ª ordem
Diz-se que uma Equação Diferencial de 1ª ordem na forma 
é homogênea se ambas as funções M(x, y) e N(x, y) forem homogêneas de grau idênticos, ou seja:
 
 Solução das equações diferenciais homogêneas de 1ª ordem
Este método é baseado na substituição y = u.x ou x = v.y, onde u e v são variáveis independentes, isto transformará a equação homogênea em uma equação separável.
 
Substituindo, temos:
Como as funções M e N são homogêneas, tem-se:
Divide-se a equação por xn
	
	Equação separável
Exemplo:
Resolva a equação abaixo:
 
As duas funções e são homogêneas de grau 1. Sendo assim, substitui-se e 
Como 
Assim.