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Atividade de Cálculo 2 sobre EDO - Pré P3
1. Ache a solução geral da EDO linear de ordem 1 dada. Dê um intervalo sobre o qual a solução
geral está definida. Lembre-se:
i) Ponha a equação na forma padrão dydx  Pxy  fx;
ii) identifique Px e o intervalo I em que Px e fx sejam contínua e calcule o fator integrante
e Pxdx
iii) Multiplique a forma padrão pelo fator integrante e obtenha ddx e
 Pxdxy  e Pxdxfx
Iv) integre ambos os lados da equação obtida em iii, em relação a variável independente.
a) dydx  5x, Resp.: y  Ce5x; I  −,
b) dydx  y  e3x, Resp.:y  14 e3x  Ce−x; I  −,
c) y ′  3x2y  x2, Resp. : y  13  Ce−x
3 ; I  −,
d) x2y ′  xy  1, Resp. : y  x−1 lnx  Cx−1; I  0,
e) x dydx − y  x2 sinx, Resp. : y  Cx − xcosx; I  0,
f) x dydx  4y  x3 − x, Resp. : y  17 x3 − 15 x  Cx−4; I  0,
g) x2y ′  xx  2y  ex, Resp. : y  12 x−2ex  Cx−2e−x; I  0,
h) ydx − 4x  y6dy  0 dica divida todos por dy e nesse caso y passa a ser a variável
independente e x, a variável dependente: y dxdy − 4x  y6  0, Resp. : y dxdy − 4x  4y6 x 
2y6  Cy4; I  0,.
i) dydx cosx  y sinx  1, Resp. : y  sinx  ccosx; I  − 2 , 2 
j) x dydx  3x  1y  e−3x , Resp. : y  e−3x1  Cx−1; I  0,; dica e
 3x1x dx  e3x ∗ e lnx  xe3x
2. Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas
a) dydx  sin5x, Resp. : y  C − 15 cos5x
b) dx  e3xdy  0, Resp. : y  C  13 e−3x
c) x dydx  4y, Resp.: y  Cx4
d) dydx  −2xy2, Resp.: y  0, y  1x2C
e) dydx  2y2 − 4y, Resp.: y  0, y  − 2Ce4x−1
Dica: dydx  2y2 − 4y  2yy − 2
1
2y2−4y  12yy−2  A2y  By−2 
Ay−2B2y
2yy−2 
Ay−2A2By
2yy−2 
A2By−2A
2yy−2
E1: A  2B  0
E2: −2A  1  A  − 12 subst em E1: − 12  2B  0  B  14
1
2y2−4y 
− 12
2y 
1
4
y−2  − 14y  14y−2  − 14 1y − 1y−2
f) dPdt  P − P2, Resp.: y  0, y  − e
t
C−et  11−Ce−t
g) t2 − 4 dydt  ty  0, Resp.: y  Ct2−4
3. Encontre uma solução para o problema de valor inicial
a) dxdt  4x2  1, x 4   1 , Resp.: x  tan4t − 34 
b) dydt  2y  1, y0  52 , Resp.: y  2e−2t  12
c) dydx  yex, y0  e, Resp.: y  ee
x
d) dydx  2y2 − 4y, y0  −2, Resp.:
e) x dydx  3x  1y  e−3x, y3  e−9, Resp.:y  e−3x1 − 3x−1
4. Na ED dSdt  S2 − 4, S  −2 é uma solução; resolva a ED dada e responda se é uma solução
particular ou ou solução singular. Resp.: É solução particular, pois não decorre da família de
solução x  −2 Ce4t1
Ce4t−1 , isto é, não pode ser obtida a partir de nenhum parâmetro C.
5. Resolva o problema de valor inidicial dada EDO linear de ordem 1 e dê um intervalo I sobre o
qual a solução está definida:
a) 2 didt  4i  12, i0  5, Resp.: i  2e−2t  3, I  −,
b) L didt  Ri  E, i0  i0; considere L, R, E e i0 constantes; , Resp.: i 
E
R  i0 − ER e−
R
L i, I  −,.
c) x  1 dydx  y  lnx, y1  10, Resp.: y  − 1x1 −21  x − x lnx, I  0,.
6. Verifique se a familia de funções é solução da ED dPdt  P1 − P; P  Ce
t
1Cet . Admita um
intervalo I apropriado e dê uma solução singular. Resp.:É solução P  1, pois não decorre da
famlia de soluções P  Cet1Cet .
7. Verifique se a familia de funções é solução da ED dydx  2xy2; y  1C−x2 no intervalo I  2, e
dê uma solução singular.
8. Encontre o valor de m de modo que a função y  emx seja solução a ED y ′′ − 5y ′  6y  0.
Resp.: m  3, m  2
9. Encontre o valor de m de modo que a função y  xm seja solução a ED xy ′′  2y ′  0. Resp.:
m  0, m  −1
10. Dê a ordem, a variável independente, a variável dependente e se é linear ou não linear,
justifique.
a) x dydx  3x  1y  e−3x
b) dydx  −2xy2
c) t5y4 − t3y ′′  6y  0
d) y − x dydx  y − x  8
e) x d
3y
dx3
 3x  1 dydx
4  −ye−3x
