A matemática que a escola não ensina volume 1i

Prévia do material em texto

6 e 28 
 
 
 
3;5;7;
 
SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO ..............................................................................................................3 
2. A IMPERIOSIDADE DE SE SABER MATEMÁTICA..................................................4 
3. A INVENSÃO DO NÚMERO E SUA REPRESENTAÇÃO ..........................................7 
4. OS NÚMEROS ............................................................................................................ 10 
4.1. ARITMÉTICA ...................................................................................................... 11 
4.1.1. ADIÇÃO ....................................................................................................... 11 
4.1.2. MULTIPLICAÇÃO ...................................................................................... 12 
4.1.3. POTENCIAÇÃO ........................................................................................... 14 
4.1.4. EXTRAÇÃO DA RAIZ QUADRADA ......................................................... 15 
4.2. CATEGORIAS ESPECIAIS DE NÚMEROS ....................................................... 18 
4.2.1. NÚMEROS PRIMOS .................................................................................... 18 
4.2.2. NÚMEROS AMIGOS ................................................................................... 19 
4.2.3. NÚMEROS PERFEITOS .............................................................................. 20 
4.2.4. NÚMEROS DEFICIENTES ....................................................................... 21 
4.2.5. NÚMEROS ABUNDANTES ........................................................................ 21 
4.2.6. NÚMEROS FIGURADOS OU POLIGONAIS ............................................. 21 
4.2.7. O NÚMERO  ............................................................................................. 26 
4.2.8. O NÚMERO AUREO  ............................................................................... 29 
5. BIBLIOGRAFIA .......................................................................................................... 30 
3 
1. INTRODUÇÃO 
 
Aprender é como comer. Uma boa aula é como uma boa refeição: quanto mais 
atraente estiverem os pratos que você cozinheiro-professor dispuser sobre a 
mesa, mais os alunos-degustadores desejarão saboreá-los. (TIBA, 1978 p.32) 
 
 
Para os matemáticos da antiguidade, estudar matemática era motivo de prazer e 
felicidade, onde se buscava nas fórmulas e conceitos matemáticos a razão para tudo. Dentre 
todos, os pitagóricos eram, talvez, os mais fanáticos, pois, para eles, a matemática era a própria 
encarnação do amor, trazendo como conseqüência o prazer das descobertas. 
Com relação a isso Boyer diz: “Nunca antes ou depois a matemática teve um papel 
tão grande na vida e na religião como entre os Pitagóricos”. (Boyer, 2002. p 34) 
Mas com o passar do tempo o ensino da matemática passou por várias mudanças, 
algumas com méritos plausíveis e outras que trouxeram impactos negativos. Na atualidade, por 
fatores que vão desde problemas de ordem familiar, até procedimentos didáticos equivocados, o 
ensino da matemática é visto por muitos alunos como um meio de exclusão, razão pela qual os 
alunos podem não perceber a interação da matemática com a vida prática. Este fato gera 
insatisfação traduzida em chavões como: “onde vou utilizar isso?”, “porque estudar 
matemática?”, “diga-me quem inventou a matemática que eu quero matar!”. Essas ponderações 
encontram respaldo em: 
 
“O ensino de Matemática, ao longo dos anos, tem sido considerado o 
grande responsável pelo fracasso escolar e, conseqüentemente, vem atuando 
como gerador da exclusão de significativa parte do alunado, conferindo à 
escola um papel elitista e discriminador” (BRASIL, 1999 in SANTOS, 2003 
P.163) 
 
É meu desejo que as pessoas desfrutem na matemática o prazer da descoberta, o 
gosto pelo desafio, pois aprender é um grande desafio e a satisfação de compreender que a 
matemática não é um mero punhado de fórmulas ininteligíveis, incompreensíveis e sem valor 
que só interessam a loucos que não têm o que fazer. 
A matemática é vivida e mui bela, é a rainha das ciências é a própria essência da arte. 
Convido todos a apreciarem sua beleza, contemplar o seu reino e maravilhar-se com a bela-arte 
da natureza que a matemática é capaz de (re) produzir. 
 
Francisco André de Oliveira Neto 
11 de janeiro de 2008. 
4 
2. A IMPERIOSIDADE DE SE SABER MATEMÁTICA 
 
 
“Sem a matemática não seria possível existir a astronomia; sem os 
recursos prodigiosos da astronomia, seria impossível a navegação. E a 
navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade” – (Amoroso 
Costa). 
 
 
A importância dada ao estudo da matemática tem variado ao longo dos séculos e 
do contexto social em que está inserida. No Brasil do séc. XIX, “A matemática, em nível 
acadêmico, ocorria apenas como parte da formação do engenheiro ou do militar”(Da Silva, in 
Fossa, 2001, pg.15). Por outro lado conhecemos a história dos pitagóricos que não aceitavam 
a presença de pessoas no seu ambiente de estudo a menos que fossem geômetras. 
Então porque estudar matemática? Sabe-se pela história que o homem aprendeu a 
contar da necessidade imperiosa de controlar o seu rebanho e da necessidade premente de 
estabelecer as relações de troca1. As cheias do Nilo, por outro lado, são responsáveis pelo 
desenvolvimento da geometria e as equações surgiram para solucionar problemas envolvendo 
quantidades desconhecidas. 
Hoje a matemática está em toda parte. Podemos percebê-la na roupa que vestimos, 
na casa que moramos, nos objetos domésticos e pessoais, em fim, ela está presente em todos 
os momentos de nossa vida. É impossível apreciar uma partida de futebol sem saber contar. 
Quantos gols foram marcados, a estatística de passes, a posse de bola, etc. Quando o assunto é 
campeonato, mais matemática é utilizada: probabilidades, esperança matemática, ordem de 
classificação, contagem de pontos, etc. 
No estudo da língua portuguesa, seria impossível classificar as sílabas, para quem 
gosta de geografia seria impossível estudar a localização de um ponto na terra2, a história 
ficaria desprovida de sua cronologia, a química e a física alijadas de suas fórmulas, a 
eletricidade ainda não teria sido descoberta, os computadores seriam uma possibilidade 
remota e sem sentido, afinal fazer cálculos para que? 
Sem a matemática as possibilidades de se conseguir emprego estariam bastante 
reduzidas. Vivemos cercados pelos números: horários de trabalho, as estatísticas de 
natalidade, tabelas de preços de mercadorias, pagamento de juros, impostos, o troco do pão, o 
 
1 Por esse motivo muitos matemáticos não aceitam o zero como número natural, pois não fazia sentido uma 
afirmação do tipo: tenho zero vacas! Não havia o que contar. O conceito do zero é bastante recente. 
2 O estudo das coordenadas de localização envolve matemática bem diferente da sistematizada por Euclides. A 
menor distância entre dois pontos no globo terrestre não é uma reta e sim uma curva. 
5 
número de comprimidos a serem tomados, etc. Os números são a própria matemática, embora 
a matemática não se resuma somente aos números. 
Quando, no ano de 1790, os reformadores franceses constituíram uma comissão 
para estabelecer um padrão de medida, escolheram cinco matemáticos, surgindo daí o sistema 
métrico decimal. Na época a definição do metro era 
000.000.10
1 da distância do equador ao 
pólo norte, medida ao longo de um meridiano3. 
No nosso lazer também estamos cercados pelas razões matemáticas. A música, 
deleite para muitos, é a matemática em movimento: Oitavas, terças, quintas, tríades,intervalos 
e o complexo estudo das harmônicas4. Para se construir um instrumento musical, cálculos são 
necessários ou teremos que apelar para o método da tentativa e erro5. 
Os jogos de azar também aplicam conceitos matemáticos. Quais as chances de se 
ganhar no jogo do bicho? Malba Tahan6 explorou esse assunto em “O jogo do bicho à luz da 
matemática” (MALBA TAHAN7) 
Outras aplicações da matemática são as proporções harmônicas utilizadas na 
arquitetura e as razões áureas. As relações áureas também estão presentes quando analisamos 
 
3 Em 1875 uma comissão internacional de cientistas reconsiderou o sistema métrico, dessa vez definindo o metro 
como sendo uma barra padrão confeccionada em liga de platina com Irídio, com duas marcas cuja distância por 
definição correspondia a um metro. Para evitar o efeito da temperatura, a referida barra era conservada a uma 
temperatura controlada de 0ºC. Em 1960, o padrão foi novamente redefinido como sendo 1.650.763,73 vezes o 
comprimento de onda no vácuo da radiação correspondente à transição entre os níveis 2P10 e 5ds do átomo de 
criptônio. Ver (OLIVEIRA, 1895 p.29) 
4 Os pitagóricos encontraram a seguinte relação entre as notas musicais: Dó=1;Ré=
8
9
;Mi=
4
5
; Fá=
3
4
;Sol=
2
3
;Lá=
3
5
;Si=
8
15 e Dó=2 uma oitava acima. Os intervalos são calculados dividindo-se as relações entre as notas 
consideradas. Ver (OLIVEIRA, 1895 p.156 a 158) 
5 Existe uma regra para dimensionamento da distância entre os trastes de um violão ou qualquer outro 
instrumento de corda com traste, conhecida como a regra de 18, que consiste em dividir o comprimento da corda 
entre o cavalete e a pestana por 18 e marca-se o primeiro traste. Em seguida divide-se a distância entre o 
primeiro traste e o cavalete por 18 e marca-se o segundo traste e assim sucessivamente. A rigor o valor exato 
deve ser 17,8171. (NETTO, 2002) 
6 Júlio César de Mello e Sousa nasceu no RJ em 06/05/1895, formou-se em engenharia civil e atuou como 
professor no Colégio Pedro II, na Escola Normal e na Faculdade Nacional de Arquitetura onde recebeu o título 
de “Professor Emérito”. Foi membro da Academia Carioca de Letras em 1966, escreveu vários livros ligados a 
matemática entre tantos “O Homem que calculava” premiado pela Academia Brasileira de Letras e traduzido 
para o alemão, inglês, italiano, espanhol e catalão. Faleceu às 5:30 horas de 18 de junho de 1974, expirava, nos 
braços da esposa, no Hotel Boa Viagem em Recife. A Assembléia Legislativa do Rio de Janeiro instituiu o dia 
do matemático na data de seu nascimento, dia 06 de maio 
7 Publicado postumamente pela editora Grafipar. Na edição que possuo não consta o ano da publicação. 
d648787
Realce
6 
a configuração dos animais, inclusive dos seres humanos, sendo uma relação matemática da 
beleza humana8. 
Sem a matemática não saberíamos sequer contar as gotas de remédio necessárias a 
serem diluídas na água para ser ingerida. Não haveria aniversários, dinheiro e riqueza não 
fariam sentido e pior: não faria o menor sentido trabalhar, pois não teríamos salário. 
A roda9 foi a revolução das descobertas, mas sem a matemática isso não seria 
possível. Conscientizar as nossas crianças da importância de aprender matemática é tarefa de 
todo educador. Devemos acabar com o preconceito de que matemática é difícil, afinal: difícil 
é tudo aquilo que não se sabe fazer. 
 
 
8 O número áureo é encontrado quando tentamos dividir um segmento de reta AC em duas partes AB e BC 
tais que   BCABAC 2 . Goza de algumas propriedades curiosas tais como. Seja  o número áureo, 
então: 11 

 ; 12  ; 11 

. Curiosamente, o umbigo humano divide o corpo em média e 
extrema razão. Logo a relação entre a distância entre o umbigo e a cabeça e a altura de uma pessoa é o número 
áureo. Ver (BIEMBENGUT, 1996) 
 
9 A mais antiga das invenções revolucionárias traz consigo um mistério que perdurou por mais de 2.000 anos. A 
relação entre o seu comprimento e o seu diâmetro pode ser traduzida por um número racional? Por muitos 
séculos a diversão dos matemáticos foi calcular o valor de  , existindo vários métodos, entre eles o legado por 
Arquimedes. Vários valores para  foram dados desde 3, pelos Babilônios, 
7
13 , 
7
22
, 
2
9
16





 , até as 
aproximações mais modernas com milhares de casas decimais e não periódicas. Um dos registros mais antigos 
do valor de  pode ser encontrado na Bíblia em II Crônicas capítulo 4 e no versículo 2 que diz: “Fez também o 
mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cinco de altura e trinta de 
circunferência.” 
 
7 
3. A INVENSÃO DO NÚMERO E SUA REPRESENTAÇÃO 
 
 
 
Pode parecer que os algarismos hindo-arábicos sempre existiram para exprimir a 
contagem, porem isso não é verdade. Tanto o processo de contagem como o de sua 
representação passou por inúmeros desenvolvimentos ao longo da história, haja vista ter 
existido um período em que o homem não sabia contar. Entre outros podemos citar os 
Botocudos, no Brasil, que ainda vivem na idade 
da pedra e as únicas grandezas numéricas 
conhecidas são: um, dois e muitos. 
Algumas espécies de animais são 
dotados de uma certa percepção numérica. Os 
Rouxinóis, por exemplo, são capazes de 
reconhecer quantidades concretas de um a 
quatro. É um equivoco de nossa parte acharmos 
que nós somos capazes de fazer muito mais que 
isso, pois na prática recorremos à memória ou a 
procedimentos como a comparação, a 
decomposição, o agrupamento mental ou a 
faculdade abstrata de contar10. O olho humano 
não é suficientemente preciso para ser encarado 
como um instrumento de medida, pois seu 
poder de percepção muito raramente ultrapassa 
o número 4. 
O homem aprendeu a contar através do processo de correspondência um a um. Foi 
através desse principio que ele pôde praticar a aritmética muito tempo antes de ter consciência 
e saber o que é um número abstrato. Alguns povos se utilizavam do corpo humano para o seu 
processo de contagem11 como exposto na figura 1. 
 
10 Nosso espírito só é capaz de conceber um número sob o ângulo da abstração se já tiver assimilado os números 
precedentes; sem esta capacidade intelectual, os números voltam a ser noções globais bastante confusas no 
espírito do homem. 
11 Correspondência biunívoca 
 
Figura 1 
 
8 
Figura 2 
 
O homem contava aquilo que ele via ou existia, o concreto. Nessa fase da evolução 
histórica, dos números, não fazia sentido “o nada”. O 
processo de contagem se desenvolve e vamos ver 
diversos povos agrupando as quantidades de variadas 
maneiras. Pode parecer obvio o agrupamento de 10 
em 10, mas essa não foi a única forma de agrupar 
quantidades. Conhecemos povos que se utilizavam da 
base 5 para o processo de contagem como podemos 
ver na figura 2. Algumas dessas bases são utilizadas 
hoje para aplicações especiais como: a sexagenária 
para horas e ângulos; base 12 ou dúzia para compra 
de bananas por exemplo, etc. 
Vencido o processo de contagem, cada povo criando o seu sistema, sentia-se 
necessidade da criação de um sistema de computação e como não poderia deixar de ser, vários 
métodos computacionais surgiram ao longo dos séculos finalizando com os computadores 
digitais eletrônicos por nós conhecidos. Alguns 
desses processos são extremamente curiosos e vale 
a pena serem mostrados. Na figura 3, vemos um 
processo de cálculo digital utilizando ambas as 
mãos. O processo é simples: para multiplicar 9 por 
7, dobra-se na primeira mão os dedos 
correspondentes às unidades suplementares de 9 em 
relaçãoa 5 (9-5=4) e na outra os dedos equivalentes 
ás unidades suplementares de 7 em relação a 5 (7-5=2). O resultado é obtido fazendo-se o 
seguinte cálculo: o total de dedos abaixados multiplicado por 10 somado ao produto dos 
dedos levantados. Então o resultado de 9x7=(4+2)x10+1x3=63, não é fantástico? A 
Figura 5 
 
Figura 3 
 
Figura 4 
 
9 
Figura 9 
 
justificativa desse método baseia-se no seguinte: sejam x e y dois números, 10,5  yx , a 
serem multiplicados então 
             xyyxyxyxyx  1010101055555510 . 
Nas figuras 4 e 5 vemos exemplos de calculadores antigos e baseados no sistema decimal. 
 
 
A INVENSÃO DOS ALGARISMOS 
 
Com o surgimento da escrita, como necessidade de responder às representações 
visuais e de memorização do pensamento como também para o registro da linguagem 
articulada, teve-se a idéia também de representar os números por sinais gráficos que 
denominamos hoje de algarismos. 
As primeiras representações numéricas que se tem notícia são àquelas utilizadas pelos 
sumérios e elamitas a cerca de 3.300 anos a.C. Os egípcios também possuíam o seu sistema 
de numeração escrita – os Hieróglifos-, datando de cerca de 3.000 anos a.C. 
Com o passar do tempo e com o desenvolvimento das 
civilizações verificou-se que os sistemas em vigor eram 
demasiados simples e necessitavam de muitos símbolos para 
representar números relativamente pequenos. 
Vamos encontrar os algarismos romanos, bem 
conhecidos hoje, e que destinavam-se a abreviar as anotações 
numéricas embora não se 
prestassem ao cálculo. 
O uso das letras do alfabeto para representar quantidades 
trazia problemas pois poderia causar confusão durante a leitura. 
Era preciso saber se a combinação de letras deveria ser entendido 
como um texto ou representação numérica. 
Alem disso, certas combinações de letras 
eram consideradas impróprias ou profanas e não 
podiam ser utilizadas como podemos ver nas figuras 
7,8 e 9 . os Hebreus acreditavam que ninguém podia 
pronunciar ou escrever o nome de Deus. 
 
Figura 6 
 
Figura 8 
 
Figura 7 
 
10 
4. OS NÚMEROS 
 
Na aritmética dos pitagóricos, os números surgem associado a objetos, daí o 
surgimento dos números figurados, perfeitos, etc. “A verdadeira aritmética dos pitagóricos e 
matemáticos posteriores é a que está exposta por Euclides nos Elementos VII, VIII e IX, e aí 
se confirma que a única maneira possível de conceber a noção de número era a maneira 
geométrica”12 
“Os Gregos antigos faziam distinção entre o estudo das relações abstratas envolvendo 
os números e a arte prática de calcular”13 
É praticamente consenso entre os historiadores que os primeiros passos no sentido do 
desenvolvimento da teoria dos números e o misticismo dos números foram dados por 
Pitágoras e seus seguidores. 
O par de números 220 e 284 alcançou uma aura mística haja vista a crença que esses 
números escritos em dois talismãs selariam a amizade perfeita entre os que o usassem. Até o 
ano de 1636, só era do conhecimento da comunidade matemática em geral, esse par de 
amigos, quando Pierre de Fermat anunciou um novo par formado pelos números 17.296 e 
18.416. Em 1866 encontrou-se o par 1184 e 1210, feita pelo adolescente italiano Nícolo 
Paganini, de apenas 16 anos. 
Os números perfeitos, deficientes e abundantes também estão ligados ao misticismo. O 
número 6, o primeiro número perfeito é associado a criação pois o criador fez o mundo em 6 
dias. No entanto, toda a humanidade descende das 8 almas salvas na arca de Noé, uma criação 
imperfeita pois 8 é deficiente. 
Os números figurados representam o elo 
entre a geometria e a aritmética, haja vista se 
apresentarem sob configurações geométricas. 
Já as tríades pitagóricas são triplas de 
números que satisfazem a equação 222 cba  . 
A tablita Plimpton 322 é um registro histórico, 
datado entre 1900 a 1600 a.C. que versa sobre 
as tríades pitagóricas. 
 
 
 
12 LINTZ, R. G. História da matemática/ Rubens G. Lintz – Blumenal: Ed. Da FURB, 1999, p.76 
13 EVES,P98 
 
11 
 8 
1 7 7 6 
1 3 5 9 
+ 4 2 7 
 
4.1. ARITMÉTICA 
 
Estamos acostumados a trabalhar com a aritmética exclusivamente da forma 
como aprendemos na escola, forma que denominamos de convencional. Contudo a 
história da matemática registra outros procedimentos aritméticos interessantes e que 
ressaltam a grande habilidade em lidar com cálculos numéricos. 
4.1.1. ADIÇÃO 
 
Seja efetuar 1359 + 427 e 345 + 488. Resolvendo da maneira convencional 
conforme aprendemos na escola temos: 
 
 
 
 
 
Contudo os Hindus somavam da seguinte maneira: 
 
1+0=1 e escreve-se o 1 acima. 
3+4=7 e escreve o 7 acima do 3 
2+5=7 e escreve-se o 7 acima do 5 
9+7=16=10+6 escreve-se o 6 e risca-se o 7 escrevendo o 8 em seu 
lugar. 
 
3+4=7 e escreve o 7 acima do 3 
8+4=12=10+2 escreve-se o 2 e o 7 é riscado, escrevendo-se o 8 em seu 
lugar 
8+5=13=10+3 escreve-se o 3 e risca-se o 2 escrevendo-se o 3 em seu 
lugar. 
 
Efetue pelo método dos Hindus as seguintes somas: 
97543221+1234789= 
99999999+9999999= 
 3 4 5 
+ 4 8 8 
 8 3 3 
 
 8 3 
 7 2 3 
+ 3 4 5 
 4 8 8 
 
 1 3 5 9 
+ 4 2 7 
 1 7 8 6 
 
12 
 
 5 6 9 
 x 5 
2 8 4 5 
 
 1 2 
 x 4 5 
 6 0 
 4 8 
 5 4 0 
 8 4 
2 5 0 5 
 x 5 
 5 6 9 
 
4.1.1.1. SOMANDO DE CABEÇA 
 
Efetuar cálculos de cabeça é uma arte que precisa ser desenvolvida e somente 
bastante treino pode nos dar segurança em fazê-lo. Vários procedimentos podem ser 
utilizados, tais como os apresentados abaixo: 
 
9+7=10+7-1=16 
8+7=10+7-2=15 
23+32=20+30+3+2=55 
28+17+36=20+10+30+8+7+6=20+10+30+10+5+6=61 
125+328=100+25+300+25+3=453 
1068+4569=1000+60+8+4500+60+9=1000+100+8+4500+20+9=5637 
1068+4569=1000+4000+500+60+60+9+8=5637 
 
Efetue as seguintes somas de cabeça: 
12345+56789= 
726+567= 
4.1.2. MULTIPLICAÇÃO 
 
Seja efetuar 569 x 5 e 12 x 45. Resolvendo da maneira convencional conforme 
aprendemos na escola temos: 
 
 
 
 
 
Contudo os Hindus multiplicavam da seguinte maneira: 
 
Da direita para a esquerda, 
5x5=25 escreve-se o 25 
5x6=30 escreve-se o 0 e risca-se o 5 para escrever o 8 
5x9=45 escreve-se o 5 e risca-se o 0 para escrever o 4 
 
13 
Efetue as seguintes multiplicações pelo método dos Hindus: 
 
546x3= 
234x7= 
5432x2= 
 
4.1.2.1. O MÉTODO DA GELÓSIA 
 
 
Seja multiplicar 135x12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Efetue as seguintes multiplicações pelo método gelosiano: 
 
9999x9999= 
55555x9987= 
7777x7777= 
 
4.1.2.2. MULTIPLICANDO DE CABEÇA 
 
 
12x45=(10+2)45=45x10+45x2=540 
12x745=745x10+745x2=7450+1490=8940 
9x875=(10-1)875=8750-875=8750-750-125=7875 
135x12=(10+2)x135=135x10+135x2=1350+270=1620 
 
0 
 1 
0 
 3 
0 
 5 
0 
 2 
0 
 6 
1 
 0 
1 3 5 
1 
2 
0 2 6 
1 
0 
14 
Efetue as seguintes multiplicações de cabeça: 
13x13= 
12x17]= 
45x76= 
 
4.1.3. POTENCIAÇÃO 
 
Da maneira como aprendemos na escola, para elevarmos um número ao 
quadrado devemos multiplicar esse número por ele mesmo a fim de obtermos o 
resultado. O procedimento a seguir permite calcular o quadrado de um número de 
cabeça utilizando identidades algébricas. 
 
4.1.3.1. ELEVANDO AO QUADRADO DE CABEÇA 
 
Qualquer quadrado de um número pode ser obtido da expressão 
   22 aanann  14, onde ݊ é o número que se deseja elevar ao quadrado. 
Seja calcular 217 . Se pudermos escolher um valor a , tal que saibamos o valorde 2a e seja fácil calcular os produtos da diferença pela soma o cálculo em questão fica 
muito facilitado. Escolhendo 3a para que a soma chegue a 20, pois é muito fácil 
multiplicar um número por 2 e depois por 10. 2899201417 2  
Seja calcular o quadrado dos números abaixo: 
 
 
 
 
 
14 Podemos deduzir essa expressão partindo da identidade 22 nn   2222 aann  e fatorando 
obtemos    22 aanann  . 
227 72993024  ou 729492034  
232 102443034  ou 1024642440  
2126 158763664015200363220100152  
2176 309761656030400162820152200  
15 
4.1.3.2. ELEVANDO AO QUADRADO DE CABEÇA UM 
NÚMERO TERMINADO EM 5 
 
 
Qualquer número terminado em x5, tem seu quadrado dado por:(ݔ + 1) × ݔ ×100 + 25. Em linguagem mais prática procedemos conforme a seguir. Seja calcular o 
quadrado dos números a seguir: 
 
4.1.4. EXTRAÇÃO DA RAIZ QUADRADA 
 
A extração da raiz quadrada é um dos grandes desafios da aritmética. Definida 
como sendo o inverso da potenciação, o método moderno de extração da raiz quadrada é 
devido provavelmente aos hindus. Contudo, foi Leonardo Fibonaci, um italiano de Pisa, 
a glória de ter difundido na Europa esse conhecimento. 
4.1.4.1. UTILIZANDO DIVISÕES SUCESSIVAS 
 
Seja extrair a raiz quadrada de 3. Então podemos escrever como uma equação do 
segundo grau incompleta de B como: 032 x 32  x e 3x . Mas quanto é o 
valor da raiz quadrada de 3 com precisão de 4 casas decimais? 
Considerando somente o valor positivo da equação 3x e observando que se 
x
xx 332  sendo esse o método que iremos utilizar para calcular a raiz quadrada 
de 3. A afirmação anterior é bastante obvia pois 
2
42422  !!! 
Seja então calcular a raiz de 3. Sabemos que 1 é raiz por falta e que 2 é raiz por 
excesso então o valor verdadeiro da raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2. Tomemos como 
primeira aproximação o inteiro 2. Então 5,1
2
33
0
1  x
x . Mas 25,25,1 2  valor inferior 
a 3 e portanto devemos continuar a buscar valores apropriados. Calculando a média 
225 625 
235 1225 
2125 15625 
2175 30625 
16 
aritmética entre as duas estimativas temos: 75,1
2
5,12
2 

x e 0625,375,1 2  valor 
superior a 3 e, portanto vamos continuar calculando. A próxima aproximação obtemos 
dividindo 71428,1
75,1
3
3 x e 93875,271428,1
2  que é menor que 3. A quarta 
aproximação é a média aritmética 73214,1
2
71428,175,1
4 

x . Mas 
00003,373214,1 2  ainda superior a 3. A quinta aproximação é 73196,1
73214,1
3
5 x 
e 99968,273196,1 2  inferior a 3. Calculando a média com a sexta aproximação 
73205,1
2
73196,173214,1
6 

x
 
e 999997,273205,1 2  muito próximo de 3. 
Continuando com a aproximação temos 7320516,1
73205,1
3
7 x
 
e 
0000027,37320516,1 2  e calculando a média obteremos a oitava aproximação 
7320508,1
2
7320516,173205,1
8 

x e 9999999,27320508,1 2  muito 
aproximadamente igual a 3. Usando uma calculadora obtemos 732050808,13  . 
Utilizando o método acima, calcule o valor de: 2 ; 5 ; 10 até a terceira casa 
decimal. 
 
4.1.4.2. UTILIZANDO APROXIMAÇÃO POLINOMIAL 
 
Outro método que permite calcular o valor da raiz quadrada de um número 
qualquer positivo através de aproximação polinomial utilizando a fórmula a seguir: 
a
baba
2
2  , onde 20 ab  15. 
Seja calcular: 
75,2
4
32327 2  ou 33,2
6
23237 2  
 
15 Seja ban  22 e admitamos que possa ser escrito também como   2222 2 xaxaxan  . 
Então 
xa
bx


2
 e desprezando-se x obtemos que 
a
ban
2
 . 
17 
Valor correto: 64,27  
68,7
16
585859 2  
Valor correto: 68,759  
Calcule: 
2 usando 
3
4
a e 
9
2
b 
5 usando 2a e 1b 
 
4.1.4.3. MÉTODO PRÁTICO 
 
Um método prático de se calcular a raiz quadrada de um número n é dado pela 
fórmula: 










q
nq
q
qnn
2
1
2
16 onde q é o quadrado perfeito mais próximo de 
n . 
Ex. 66,2
6
16
32
977 


 ; 83,2
6
17
32
988 



 
 
Calcule a raiz quadrada dos números abaixo: 
 
11 
17 
44 
67 
111 
115 
125 
 
16 Seja nq  , então   02  qn e por conseguinte 02  nqqn  n
q
qn


2
. 
18 
4.2. CATEGORIAS ESPECIAIS DE NÚMEROS 
 
4.2.1. NÚMEROS PRIMOS 
 
Um número natural é dito primo quando possui apenas dois divisores, a saber: o 
número 1 e ele próprio. Em outras palavras, se o conjunto dos divisores do número p
for o conjunto  p,1 , então p é primo. O único primo par é o 2 e todo número natural 
não primo ou composto, pode ser escrito ou decomposto como um produto de fatores 
todos primos. O conjunto dos números primos é infinito e esse fato foi provado por 
Euclides nos seus “Elementos” e usa o seguinte raciocínio: 
 Seja nppp ,..., 21 números primos e suporemos que 1p é o primeiro primo 
e np o último então poderíamos escrever o seguinte número composto 
npppn  ...21 . Como sempre podemos escrever um número uma 
unidade maior, então 1...211  npppn e como supomos que o 
conjunto dos números primos é finito, então 1n tem de ser composto. Ora 
se dividirmos 1n por qualquer dos primos teremos como resto 1, o que 
significa que nenhum número primo o divida. Agora estamos diante de 
uma contradição: 1n é composto e não pode ser dividido por nenhum 
número primo. Como sabemos que todo número composto é 
decomponível em fatores primos, segue-se que deve existir um primo 
além de np e então o conjunto dos números primos é infinito. 
Por muitos anos acreditou-se que era possível construir uma função que só 
fornecesse números primos, tendo muitos matemáticos se empenhado nessa busca. No 
ano de 1772 Euler observou que o polinômio 412  xx fornece números primos para 
todos os valores de x contidos no intervalo  40;1 . Mais tarde, em 1798, Legendre 
chegou ao polinômio 412  xx que fornece números primos para o intervalo  39;0 . 
Em 1840, Fermat conjecturou que 122 
n
 forneceria sempre números primos e testou a 
expressão para n contido no intervalo  4;0 . Coube, no entanto a Euler provar que isso 
não era verdade, pois quando usou 5n observou que o resultado era o número 
composto 6135247174294672975 F . 
19 
4.2.2. NÚMEROS AMIGOS 
 
Números amigos são dois números cuja soma de todos os divisores menores que 
o próprio número resulta no outro número. Sejam A e B os conjuntos de todos os 
divisores positivos menores que o próprio número de 220 e 284 respectivamente: 
 
   110,55,44,22,20,11,10,5,4,2,1220  mDA 
   142,71,4,2,1284  mDB 
 
Sejam As e Bs a soma de todos os divisores contidos nos conjuntos A e B 
respectivamente: 284As e 220Bs , portanto 220 e 284 são amigos. 
Teorema: 
Se p , q e r são primos, e se são da forma 123  np ; 123 1  nq e 
129 12  nr para ݊ > 1, então pqn n21  e rn n22  são amigos17. Vale salientar 
que a fórmula anterior não reproduz todos os amigos, haja vista o par 6.232 e 6.368 não 
poder ser obtido. 
Outros amigos: 1184 e 1210; 17.296 e 18.416, 9.363.284 e 9.437.056 
 
A REGRA DE EULER 
 
 Os números pqn2 e rn2 formam um par amigável se os três inteiros 
  1122  mnmp ;   1122  mnnq e   1122 2   mnmnr são todos números 
primos para algum inteiro positivo m satisfazendo 11  nm . Porém, há muitos 
pares amigáveis que não satisfazem a regra de Euler, assim é uma condição suficiente,mas não necessária para amizade. A regra de Euler é uma generalização da regra de 
Thâbit ibn Kurrah. 
Os primeiros  nm, para qual a regra de Euler é satisfeita são 
           40,29;8,1;7,6;4,3;2,1, nm não existindo outros para 2500n , 
correspondendo aos triplos        73727,383,191;1151,47,23;71,11,5,, rqp , dando os 
pares amigáveis  284,220 ,  18416,17296 ,  9437056,93633584 . 
 
 
17 http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_amigos 
20 
4.2.3. NÚMEROS PERFEITOS 
 
 
Números perfeitos são inteiros positivos n tais que  nsn  , onde  ns é a 
função de divisor restringida (i.e., a soma dos divisores de n menores que o próprio n ), 
ou equivalentemente   nn 2 onde  n é a função de divisor (i.e., a soma de 
divisores de n inclusive o próprio n ). Por exemplo, os três primeiros números perfeitos 
são: 3216  ; 14742128  ; 2481246231168421496  . 
Aos números perfeitos foram atribuídas propriedades numerologias importantes 
pelos antepassados, e foram estudados extensivamente pelos gregos, inclusive Euclides. 
Teorema: 
Todo número perfeito par é da forma  122 1  pp . 
Os números perfeitos também estão intimamente ligados com uma classe de 
números conhecida como números de Mersenne que são números primos da forma 
12  ppM . Isto pode ser demonstrado considerando um número perfeito P da forma 
12  pqP onde q é primo. Por definição de um número perfeito P ,   PP 2 . 
Agora observemos que há formas especiais para a função de divisor  n . 
  1 qq para qn  um número primo, e   122 1   , para 2n 18. 
Combinando estes resultados com a identidade adicional 
       rrrr pppppp   ...... 22112211  onde rrpppn  ...2211 é a fatorização principal 
de n , dá           12122 11   ppp qqqP  . 
Mas   PP 2 , assim    ppp qqq 222121 1   . Resolvendo então para 
q dá 12  pq . Então, se P for um número perfeito, q deve ser da forma 12  pq . 
Definindo pM como um número primo da forma 12 
p
p qM , então 
   1221
2
1 1   pppp MMP é um número perfeito, como afirmado na Proposição 
IX.36 dos Elementos de Euclides. 
Podemos também afirmar que todo perfeito par obedece a fórmula kkP  22 , 
onde k . Fazendo pkm 22  , então 12  pk o que nos leva a  12  kkP e está 
provada a proposição. 
 
18 Os divisores de 2 são 2,...2,2 10 cuja soma é 12 1  
21 
A seguir estão listados os nove primeiros números perfeitos: 
 
p NÚMERO PERFEITO k 
2 6 2 
3 28 4 
5 496 16 
7 8.128 64 
11 2.096.128 1.024 
13 33.550.336 4.096 
17 8.589.869.056 65.536 
19 137.438.691.328 262.144 
23 35.184.367.894.528 4.194.304 
 
 
4.2.4. NÚMEROS DEFICIENTES 
 
Um número se diz deficiente quando ele próprio é maior que a soma dos seus 
divisores. Seja  4,2,1)8( mD e 4218  , portanto 8 é um número deficiente. 
Teorema: 
Se p é primo, então npm  é deficiente. 
 
4.2.5. NÚMEROS ABUNDANTES 
 
 
Um número se diz abundante quando ele próprio é menor que a soma dos seus 
divisores. Seja  6,4,3,2,1)12( mD e 6432112  , portanto 12 é um número 
abundante. 
 
4.2.6. NÚMEROS FIGURADOS OU POLIGONAIS 
 
 
São números que representam figuras geométricas quando estas são formadas 
por pontos. 
 
 
22 
4.2.6.1. NÚMEROS TRIANGULARES 
 
 
11  
21212  
321323  
4321434  
................... 
................... 
      nnnnnnn nnnn   ....321211 321 
 
2
1

nn
n c.q.d. 
 
4.2.6.2. NÚMEROS QUADRADOS 
 
2
1 11 
2
2 24  
2
3 39  
2
4 416  
.................... 
.................... 
2NN  c.q.d. 
4.2.6.3. NÚMEROS PENTAGONAIS 
 
 
 
23 
 
11  
  12 11235  
  23 113312  
  34 114322  
........................................ 
........................................ 
      21 123113113   nnn nnn 
 
2
13 

nnnn c.q.d. 
 
2
332
2
13 2 nnnnnnn



  
 
2
13 

nn
n c.q.d. 
 
4.2.6.4. NÚMEROS GNOMIAIS 
 
 
São números que assumem a forma de um L eqüilátero ou Gnomom. 
 
 
 
11 G 
213 212  GGG 
325 233  GGG 
437 344  GGG 
549 545  GGG 
....................................... 
....................................... 
121  nnnGN 
 
Exercícios 
 
Existe algum triangular que é quadrado? 
 
Existe algum triangular que é pentagonal? 
 
Existe algum quadrado que é pentagonal? 
 
 
24 
4.2.6.5. ALGUNS TEOREMAS DOS NÚMEROS 
FIGURADOS 
 
Teorema1: todo número quadrado é a soma de dois números triangulares 
sucessivos. 
 
 
 
 
De fato, todo quadrado pode ser decomposto em dois triângulos sucessivos: 
 
Sejam 
 
2
1

nn
n e 
 
2
1
1

 
nn
n dois números triangulares sucessivos, 
então   21 112
nnnnnn   e nnn  1 c.q.d. 
 
Teorema2: o enésimo número pentagonal é igual a n mais três vezes o (n-1)-
ésimo número triangular 13  nn n 
 
 
 
De fato,  
2
13 

NNNN e como a segunda parte é 13 n 
portanto, o teorema está provado. Em outras palavras, 
13  nn n c.q.d. 
 
 
25 
Teorema3: a soma de um número qualquer de inteiros impares consecutivos, 
começando com o 1 é um quadrado perfeito. 
 
 
É conclusivo que 1G , 21 GG  , 321 GGG  e 

n
i
iG
1
são todos quadrados 
perfeitos como pode ser observado na figura anterior. Generalizando,   2
1
12 ni
n
i


. 
Em outras palavras, a soma dos 5 primeiros números impares é 2552  , portanto, a 
soma dos n primeiros números impares é 2n . c.q.d. 
Teorema4: O enésimo número quadrado pode ser obtido somando-se o dobro do 
enésimo-menos um número triangular com o valor de n . 
Com efeito, se nnn  1 e 
2
1 nnn   (teorema1), segue-se que 
nn nn  1
2 2 c.q.d. 
 
26 
4.2.7. O NÚMERO  
 
 
 
 
 
 
 
Se um número real for definido como sendo a relação entre o perímetro da 
circunferência de um círculo C e seu diâmetro 
r
C
d
C
2
 teremos o tão famoso  
conhecido desde a antiguidade e igual a 
...502884197264338327989793238461415926535,3 A quantidade 
de casas decimais proveniente dessa divisão é infinita pois  é irracional e 
transcendente. Os matemáticos da antiguidade não sabiam desse detalhe e buscavam 
freneticamente obter o valor exato desse número. 
A Bíblia contém duas referências (I Reis 7:23 e II Crônicas 4:2) que dão para  
um valor igual a 3. Deveria ser mencionado, porém, que ambos os exemplos recorrem a 
um valor obtido de medidas físicas e, como tal, está provavelmente bem dentro dos 
saltos de incerteza experimental. 
Arquimedes (ca. 240-225 a.C) obteve a primeira aproximação rigorosa 
inscrevendo e circunscrevendo um polígono em um círculo e dobrando o números de 
lados do polígono concluindo que 
7
13
71
103   ou ainda 
7
22
71
223
  . 
Os matemáticos chegaram a conclusão de que seria praticamente impossível 
obter uma grande aproximação se não utilizassem novos métodos. 
 
 
 
27 
Tabela 1: Aproximações de  
ANO AUTOR APROXIMAÇÃO 
c.240 Arquimedes 
7
13
71
103   
c. 150 Cláudio Ptolomeu 6141,3
120
377
 
c. 480 Tsu Ch’ung-chih ...1415929,3
113
355
 
c. 530 Aryabhata 
1416,3
20000
62832
 
c. 1150Bhaskara 1416,3
1250
3927
 ; ...1428,3
7
22
 e ...1627,310  
c. 1579 Viête 
...
222
2
22
2
2
22



 
c. 1585 Adriaen 
Anthoniszoon 113
377
120
377
  e ...1415929,3
113
355
 ; 
 
François Viete construiu a surpreendente fórmula somente com o número 2 para 
o cálculo do número  que é dada por ...
222
2
22
2
2
22



 e Jonh 
Wallis apresentou a seguinte expressão para o seu cálculo: 
...55331
...64422
2 



 
que 
hoje podemos representar por 












1 12
2
12
2
2 i i
i
i
i 19. 
 
19 De 












1 12
2
12
2
2 i i
i
i
i
podemos observar que: o numerador é sempre par, enquanto o 
denominador é sempre impar. É fácil verificar que 


n
i
n ni
1
!22 , que 
   
!2
!1212...53
!2
!212
1 n
nn
n
ni nn
nn
i



 e que 
 
 
   
 
 
 !2
!2
!2
2!1212...531
!2
!212
1 n
n
n
nnn
n
ni nnn
nn
i




 e portanto 
 
 
 
 
 
    12!2
!2
!2
!2
!12
!2
2 2
442222















nn
n
n
n
n
n nnn
. 
28 
William Brouncker, o primeiro presidente da Royal Societ construiu uma fração 
bastante diferente denominada fração continua utilizando sempre os quadrados dos 
números impares. 
...2
72
52
32
11
4
2
2
2






 
 
Goufriend W. Leibniz construiu uma soma infinita utilizando somente os 
números impares 
 

 







1 2
1...
119
1
75
1
31
1
8 n nn
 . 
Em 1674 Leibniz obteve ...
7
1
5
1
3
11
4

 e em 1699 Abraham Sharp 
calculou corretamente as primeiras 71 casas decimais usando a série de Gregory20 para 
3
1
x . Jonh Mchin em 1706 calculou  com 100 casas decimais usando a série de 
Gregory e a seguinte relação 










239
1arctan
5
1arctan4
4
 e em 1841 o inglês 
Willam Rutherford calculou  com 208 casas decimais, dais quais 152 corretas, usando 
a série de Gregory e a relação 















99
1arctan
70
1arctan
5
1arctan4
4
 . 
Euler descobriu as relações a seguir: 
























1
2
2222
2
2 11...
4
1
3
1
2
111...
16
1
9
1
4
11
6 n nnn
 
 

 





















1
2
2222
2
2
12
11...
7
1
5
1
3
111...
49
1
25
1
9
11
8 n nnn
 
 
Em 1844 o calculista relâmpago Zacharias Dase calculou  corretamente com 
200 casas decimais usando a série de Gregory e a relação a seguir 
 
20 ...
753
arctan
753 xxxxx  para 
3
1
x  ...
37
1
35
1
32
1
3
1
6 753


 
29 
















8
1arctan
5
1arctan
2
1arctan
4
 . Rutherford recalculou em 1853 e o obteve 
corretamente com 400 casas decimais. Vinte anos após, o inglês William Shanks 
calculou  com 707 casas decimais e foi por muito tempo o feito mais fabuloso. 
Contudo em 1946 o inglês D. F. Ferguson descobriu que a partir da 528ª casa decimal o 
resultado estava errado e publicou um valor correto com 710 casas decimais. No mesmo 
mês da publicação, o americano J. W. Wrench Jr. Publicou um valor de  com 808 
casas decimais e novamente Ferguson descobriu um erro na 723ª casa. O erro foi 
corrigido em janeiro de 1948 em que Ferguson usou a seguinte expressão 
















1985
1arctan
20
1arctan
4
1arctan3
4
 . 
A partir de 1949 começou a disputa do cálculo de  utilizando computadores 
até que em 1986 já se conheciam 137.217.700 casas decimais. 
 
 
4.2.8. O NÚMERO AUREO  
 
 
O número áureo, também chamado de divina proporção, é encontrado quando 
tentamos dividir um segmento de reta AC em duas partes AB e BC tais que 
  BCABAC 2 . 
 
 
Goza de algumas propriedades curiosas tais como. Seja  o número áureo, 
então: 11 

 ; 12  ; 11 

. Resolvendo obtemos que ...61803,1 ou 
...61803,0 
Um retângulo cujos lados estão em proporção áurea, diz-se retângulo áureo. O 
Paternon, construído em Atenas no século V a.C. é um exemplo do uso do retângulo 
áureo na arquitetura. 
Curiosamente, o umbigo humano divide o corpo em média e extrema razão. 
Logo a relação entre a distância entre o umbigo e a cabeça e a altura de uma pessoa é o 
número áureo. Ver (BIEMBENGUT, 1996) 
 
 
30 
5. BIBLIOGRAFIA 
 
 
BAUMGART, John K. Tópicos de História da matemática para uso em sala de 
aula.São Paulo: v.4, 6ª reimpressão: Atual,1992 
BIEMBENGUT, Maria Salett. Número de Ouro e Secção Áurea: considerações e 
sugestões para a sala de aula. Blumenau-SC: FURB, 1996 
BOYER, C. B. – História da matemática – tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: 
Editora Edgard Blucher ltda, 1999 
OLIVEIRA, Antõnio Marmo de e SILVA, Agostinho. Biblioteca da matemática 
moderna – São Paulo: LISA, 1971 
REVISTA GALILEU ESPECIAL. EURECA: a matemática divertida e emocionante. 
Globo, edição especial nº1,abr/2002 
SHOKRANIAN, Salahoddin. Números Notáveis - Brasília: editora Universidade de 
Brasília,2002 
STRUIK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Ciência Aberta, Gradiva:2ª 
edição,Abr/1998.