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Guia de Estudos Mecânica dos Sólidos 01

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Mecânica dos Sólidos
UNIDADE 1
	
  
	
  
1	
  
MECÂNICA DE SÓLIDOS 
GUIA DA UNIDADE I 
 
 PPaarraa iinníícciioo ddee CCoonnvveerrssaa 
 
 
Olá, aluno (a), 
Seja bem-vindo (a) à nossa disciplina Mecânica de Sólidos! 
Desejo que você tenha um excelente aproveitamento com o estudo do nosso guia. Conto 
com seu comprometimento nesta nova jornada acadêmica e acredito que ao final da 
nossa disciplina, você terá total domínio do assunto estudado! 
 
 OOrriieennttaaççõõeess ddaa ddiisscciippll iinnaa 
 
Você terá, ao longo do guia, vários recursos disponíveis para facilitar seu aprendizado. 
A leitura do seu livro texto é primordial para nortear seu estudo, ok? 
Caso você queira fazer alguma pesquisa, utilize a nossa Biblioteca virtual, esta é uma 
maneira de agregar novos conhecimentos. 
Assista às vídeos-aula, elas vão ajudar a esclarecer possíveis dúvidas. 
Ao final da nossa unidade, acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e 
responda as atividades. 
Caso tenha alguma dúvida não perca tempo e pergunte ao seu tutor! 
 
EEmm nnoossssaa II uunniiddaaddee vvaammooss eessttuuddaarr ooss sseegguuiinntteess ttóóppiiccooss:: 
 
Ø CCoonncceeiittooss FFuunnddaammeennttaaiiss;; 
Ø AAss ttrrêêss LLeeiiss ddoo MMoovviimmeennttoo ddee NNeewwttoonn;; 
Ø EEssccaallaarreess ee VVeettoorreess;; 
 
Preparado (a) para iniciar nossa jornada de estudos? Espero que sim. 
Vamos lá! 
	
  
	
  
2	
  
CCOONNCCEEIITTOOSS BBÁÁSSIICCOOSS 
 
 
 
 
Ø VVooccêê ppooddeerráá ssee ppeerrgguunnttaarr.. .. .. ““mmaass aaff iinnaall ,, oo qquuee éé MMeeccâânniiccaa ddee 
SSóóll iiddooss??”” 
 
 
 
Fontehttp://2.bp.blogspot.com/-krP1iNC0dOQ/U2maxKfXG7I/AAAAAAAAAys/FsnC6bdIG5w/s1600/duvida.jpg 
 
 
 
 
 PPaallaavvrraass ddoo pprrooffeessssoorr 
 
 
Vou fazer uma breve definição para que você entenda seu significado e sua importância. 
Podemos definir a mecânica de sólidos como a parte da física que trata tanto dos sólidos 
rígidos quanto dos deformáveis. 
 
Trata também de sistemas formados por sólidos, como uma máquina. É de extrema 
importância para os engenheiros civis, mecânicos, para geologia e para muitos ramos da 
física. 
 
	
  
	
  
3	
  
Agora que você já entendeu a importância do estudo da nossa disciplina, vamos dar 
continuidade ao nosso estudo. Vou explicar para você as definições de alguns termos 
que são utilizados em nossa disciplina: 
 
EEssppaaççoo:: É a região geométrica ocupada por corpos cujas posições são descritas por 
medidas lineares e angulares relativamente a um sistema de coordenadas. Para 
problemas tridimensionais, são necessárias três coordenadas independentes. Para 
problemas bidimensionais, apenas duas coordenadas são necessárias. 
 
CCoommpprriimmeennttoo:: O comprimento é necessário para localizar a posição de um ponto no 
espaço e, por meio dele, descrever a dimensão de um sistema físico. Uma vez definida a 
unidade-padrão de comprimento, pode-se definir quantitativamente as distâncias e 
propriedades geométricas de um corpo como sendo múltiplos de unidade de 
comprimento. 
 
TTeemmppoo:: O tempo é concebido como uma sucessão de eventos. Apesar de os princípios 
da estática serem independentes do tempo, essa quantidade desempenha importante 
papel no estudo da dinâmica. 
 
MMaassssaa:: É uma medida da inércia de um corpo, que é a sua resistência a uma variação 
de velocidade. A massa pode também ser entendida como a quantidade de matéria em 
um corpo. A massa de um corpo afeta a força de atração gravitacional entre ele e outros 
corpos. Esta força surge em muitas aplicações em estática. 
 
FFoorrççaa:: Em geral, a força é considerada um ““eemmppuurrrrããoo”” ou ““ppuuxxããoo”” exercido por um 
corpo sobre outro. Essa interação pode ocorrer quando há contato direto entre os dois 
corpos, ou pode ocorrer à distância, quando os corpos estão fisicamente separados. 
Idealizações: (usadas para simplificar a aplicação da teoria) 
 
Ponto Material ou partícula: Um ponto material possui massa, porém suas dimensões 
são desprezíveis. Exemplo: Tamanho da Terra é insignificante comparado às dimensões 
de sua órbita. Nesse caso, a geometria do corpo não é envolvida na análise do problema. 
	
  
	
  
4	
  
CCoorrppoo RRííggiiddoo:: Um corpo rígido pode ser considerado a combinação de grande número 
de partículas no qual todas elas permanecem a uma distância fixa uma das outras, tanto 
antes como depois da aplicação de uma carga. As propriedades do material não 
precisam ser consideradas na análise das forças que atuam sobre ele. 
 
FFoorrççaa CCoonncceennttrraaddaa:: Uma força concentrada representa o efeito de uma carga 
admitida como atuando em um ponto do corpo. Pode-se representar uma carga como 
força concentrada, desde que a área sobre a qual ela é aplicada seja pequena, 
comparada às dimensões totais do corpo. Exemplo: força de contato entre uma roda e o 
terreno. 
 
LLEEIISS DDEE NNEEWWTTOONN 
 
Newton ao criar sua teoria sobre as leis da mecânica anunciou sua primeira lei, 
conhecida como a lei da inércia, que foi baseada nas conclusões de Galileu. Ele dizia: 
 
 ““PPoorr iinnéérrcciiaa,, uumm ccoorrppoo eemm rreeppoouussoo tteennttee aa ccoonntt iinnuuaarr eemm rreeppoouussoo”” 
 
Tudo o que a mecânica aborda é explicada a partir das três leis do movimento de 
Newton, cuja validade é baseada em observações experimentais. 
 
 
Fonte:	
  
http://2.bp.blogspot.com/_agW1UpO080A/TB0tzic4XqI/AAAAAAAAAac/RJO_l9162lE/s1600/leis+de+newton.bmp 
	
  
	
  
5	
  
 
11ªª LLeeii ddee NNeewwttoonn:: Se nenhuma força resultante atua sobre um corpo, sua velocidade 
não pode mudar, ou seja, o corpo não pode sofrer aceleração. 
22ªª LLeeii ddee NNeewwttoonn:: A força resultante que age sobre um corpo é igual ao produto da 
massa do corpo pela sua aceleração. (F ⃗=ma ⃗) 
33ªª LLeeii ddee NNeewwttoonn:: Quando dois corpos interagem, as forças que cada corpo exerce 
sobre o outro são sempre iguais em módulo e têm sentidos opostos. 
 
 
UUNNIIDDAADDEESS DDEE MMEEDDIIDDAA 
	
  
	
   SI	
   Sistema Americano (FPS)	
  
Grandeza	
   Unidade	
   Símbolo da 
Unidade	
  
Unidade	
   Símbolo da 
Unidade	
  
Massa Quilograma kg slug	
   -	
  
Comprimento Metro m Pé	
   ft	
  
Tempo Segundo s segundo	
   s	
  
Força Newton N (kg.m/s²) 	
   lb (slug.ft/s²)	
  
	
  
*Gravidade 9,81 m/s² 32,2 ft/s²	
  
 
 Fone:Autor, 2015. 
 
 
 
 
**OOuuttrraass uunniiddaaddeess ddoo SSiisstteemmaa AAmmeerriiccaannoo:: 
QQuuii llooll iibbrraa ((kkiipp)) :: 11 kkiipp == 11000000 llbb 
TToonn:: 11 ttoonn == 22000000 llbb 
 
 
 
	
  
	
  
6	
  
 
 
 
PPrreeff iixxooss:: 
 
Fator Prefixo Símbolo 
1024 iota- Y 
1021 zeta- Z 
1018 exa- E 
1015 peta- P 
1012 tera- T 
109 giga- G 
106 mega- M 
103 quilo- k 
102 hecto- h 
101 deca- da 
10-1 deci- d 
10-2 centi- c 
10-3 mili- m 
10-6 micro- µ 
10-9 nano- n 
10-12 pico- p 
10-15 femto- f 
10-18 ato- a 
10-21 zepto- z 
10-24 iocto- y 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Fonte:	
  Autor,	
  2015.	
  
	
  
	
  
7	
  
EESSCCAALLAARREESS EE VVEETTOORREESS 
 
Todas as quantidades físicas na mecânica para engenharia são medidas usando 
escalares ou vetores.EEssccaallaarr 
Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que pode ser 
completamente especificada por sua intensidade. 
 
VVeettoorr 
Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma intensidade e uma direção para 
sua completa descrição. 
 
	
  
EExxeemmpplloo:: 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  B	
  
RReepprreesseennttaaççããoo ddee uumm VVeettoorr:: AA 
 
RReepprreesseennttaaççããoo:: → 
CCoommpprriimmeennttoo:: representa a intensidade do vetor 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
	
  
	
  
8	
  
 DDiiccaa 
 
Para sua melhor compreensão podemos definir escalar como toda a grandeza física que 
fica perfeitamente caracterizada por sua intensidade. Já o vetor, para ficar 
perfeitamente caracterizado, além de sua intensidade, precisa de direção e sentido. Vou 
explicar para você a seguir as operações com vetores. 
VVaammooss lláá!! 
 
 
 PPaallaavvrraass ddoo PPrrooffeessssoorr 
 
Fique atento (a)! 
 
Se um vetor é multiplicado por um escalar positivo, sua intensidade é aumentada por 
essa quantidade. Quando multiplicado por um escalar negativo, ele também mudará o 
sentido direcional do vetor. 
 
 
Fonte:	
  http://images.slideplayer.com.br/11/3455987/slides/slide_22.jpg 
 
AAddiiççããoo ddee vveettoorreess 
 
Frequentemente é necessário se trabalhar com combinações de quantidades vetoriais. 
Note que para se somar escalares, primeiro devemos verificar se eles têm a mesma 
unidade e então simplesmente somamos os números. Quando somamos vetores, 
devemos considerar tanto a magnitude quanto a orientação de cada quantidade vetorial. 
 
	
  
	
  
9	
  
 
Fonte:http://image.slidesharecdn.com/aula2-140826184446-phpapp02/95/mecnica-tcnica-aula-2-lei-dos-senos-e-
lei-dos-cossenos-8-638.jpg?cb=1409079106 
 
 
Fone:http://images.slideplayer.com.br/5/1596253/slides/slide_7.jpg 
 
 
SSuubbttrraaççããoo ddee vveettoorreess 
 
Ao subtrair um vetor de outro, pode-se chamar o processo como o "ccoonnttrráárriioo ddaa 
ssoommaa"" . Se os componentes de dois vetores são conhecidos, pode-se subtrair um vetor 
de outro através da subtração dos componentes do primeiro dos componentes do 
segundo (ou ainda, através da soma dos seus negativos. 
 
 
Fonte:http://image.slidesharecdn.com/notasdeaularesistenciadosmateriais2009-150402010325-conversion-
gate01/95/notas-de-aularesistenciadosmateriais2009-30-638.jpg?cb=1427936771 
 
	
  
	
  
10	
  
LLEEIISS DDEE OOPPEERRAAÇÇÕÕEESS CCOOMM VVEETTOORREESS 
 
Importante você entender que as operações com vetores só podem ser realizadas após 
uma análise da posição relativa entre eles. 
 
Ø LLeeii CCoommuuttaatt iivvaa:: AA oorrddeemm eemm qquuee ooss vveettoorreess ssããoo ssoommaaddooss éé 
iirrrreelleevvaannttee.. 
 
a+ b = b+ a 
 
Ø LLeeii AAssssoocciiaatt iivvaa:: 
 
a+ b + c = a+ (b+ a) 
 
 
 
VVeettoorr CCaarrtteessiiaannoo nnoo PPllaannoo:: Um vetor cartesiano pode ser escrito através de suas 
coordenadas da seguinte forma. 
 
v = xı+ yȷ 
, onde ii e jj são versores dos eixos x e y respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
v! = v ∙ cos θ  
v! = v ∙ sen(θ) 
 
 
Um vetor pode ser dado a sua direção através do seu triângulo diretor. 
 
 
	
  
y	
  
x	
  
	
  
	
  
θ	
  
𝑣𝑣!	
  
𝑣𝑣!	
  
	
  
	
  
11	
  
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso o vetor cartesiano pode ser escrito da seguinte forma. 
v =
!
!
v+
!
!
v, considerando o seguinte sistema de referência. 
 
 
 
 
 
 
 
EExxpprreessssããoo AAnnaall íí tt iiccaa ddaa FFoorrççaa RReessuullttaannttee:: Dado um conjunto de n forças 
coplanares, a expressão analítica para este conjunto é dado da seguinte forma: 
 
F! = F!ı+ F!ȷ 
 
CCoommppoonneenntteess ddee uumm vveettoorr 
 
 
CCoommppoonneennttee ddee uumm vveettoorr: É a projeção do vetor em um 
eixo (figura a). 
 
As componentes não mudam quando o vetor é deslocado, 
desde que o módulo e a orientação sejam mantidos (figura 
b); 
 
v	
  
3	
  
4	
  5	
  
y	
  
x	
  
	
  
	
  
12	
  
As componentes correspondem aos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é 
o módulo do vetor (figura c). 
O processo de obter componentes de um vetor é chamado decomposição de vetor. 
 
Componentes x e Componente y: 
 
 
 
 
Notação Módulo-ângulo: 
 
 
 
AAddiiççããoo VVeettoorriiaall ddee FFoorrççaass 
 
 
Determinando uma força resultante 
 
 
 
 
Trigonometria 
 
 
	
  
	
  
13	
  
 
 PPaallaavvrraass ddoo PPrrooffeessssoorr 
 
Agora que você já aprendeu com a aplicação dos conceitos estudados até aqui, 
recomendo que você acompanhe a resolução dos exemplos a seguir, para que você 
aprenda realmente não terá outra opção a não ser praticar! 
 
 
 EExxeemmpplloo:: 
 
EExxeerrccíícciiooss RReessoollvviiddooss 
 
1). Um homem puxa com uma força de 400 N uma corda fixada a uma construção como 
mostra a figura ao lado. Quais são os componentes horizontal e vertical da força 
exercida pela corda no ponto A? 
 
 
Solução: 
Cálculo do ângulo α. 
𝛂𝛂 = 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚
𝟔𝟔
𝟖𝟖
  
𝛂𝛂 = 𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟗𝟗𝐨𝐨 
 
A componente horizontal é dada por: 
Fx = 400 cos(𝛂𝛂) = 400 cos (𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟗𝟗𝐨𝐨) = 319,9 N 
 
A componente Vertical é dada por: 
 
 
Fx = 400 sen(𝛂𝛂) = 400 sen (𝟑𝟑𝟑𝟑,𝟗𝟗𝐨𝐨) = 249,2 N 
 
2) A força FF que atua sobre a estrutura mostrada na figura abaixo tem intensidade de 
880000 NN e deve ser decomposta em duas componentes que atuam ao longo dos elementos 
AABB e BBCC. Determine o ângulo θ, medido abaixo da horizontal, de moto que o 
componente FFAACC seja orientado de AA para CC e tenha grandeza de 660000 NN. 
 
	
  
	
  
14	
  
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
Pela lei dos senos temos: 
𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝛟𝛟
=
𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝟔𝟔𝟔𝟔𝐨𝐨
  
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝛟𝛟 =
𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖𝟖
∙ 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝟔𝟔𝟔𝟔𝐨𝐨  
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝛟𝛟 = 𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔  
𝛟𝛟 = 𝟒𝟒𝟒𝟒,𝟓𝟓𝐨𝐨 
θ=180o – 60o – 40,5o = 79,5o 
θ = 79,5o 
 
3) O anel está submetido a duas forças FF11 e FF22. Se for necessário que a força resultante 
tenha intensidade de 11 kkNN e seja orientada verticalmente parabaixo, determine a 
intensidade de FF11 e FF22, desde que θ == 3300°°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F	
  =	
  800	
  N	
  
FAC=600N	
  
30o	
  
60o	
  
FAB	
  
θ
φ	
  F=800N	
  
	
  
	
  
15	
  
Solução: 
Recorrendo a lei dos senos temos: 
𝐅𝐅𝟏𝟏
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝟑𝟑𝟑𝟑𝐨𝐨)
=
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝐨𝐨)
 
F1 = 446 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) O parafuso tipo gancho está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a 
intensidade (módulo) da força resultante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
FR⃗⃗ = FRx⃗⃗ + FRy⃗⃗ 
FR⃗⃗ = [ F1 cos(15o) + F2 sen(10o) ] i⃗⃗ = 122,6i⃗⃗ 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅⃗⃗ = [ F1 sen (15o) + F2 cos (10o) ] 𝑗𝑗𝑗𝑗⃗⃗ = 173,6 𝑗𝑗𝑗𝑗⃗⃗ 
A intensidade da Força Resultante é dada por: 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅=√(122)2+(173,6)2 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅=212,2 N 
 
 
	
  
	
  
16	
  
 
5). Determine as componentes x e y de F1 e F2 que atuam sobre a lança. Expresse cada 
força como vetor cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tan(θ) = 𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟏𝟏
 
θ = arctg(5/12) 
θ = 22,6o 
F1x = -200 x sen (30o) = -200 x 0,5 = - 100 N 
F1y = -200 x cos (30o) = 200 x 0,87 = 173,2 N 
 
F2y = 260 x cos (22,6o) = 260 x 0,92 = 240 N 
F1y = 260 x sen (22,6o) = 260 x 0,38 = 100 N 
 
 
Na forma cartesiana: 
𝐅𝐅𝟏𝟏 = −𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏  𝐍𝐍 !+ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏  𝐍𝐍 ! 
𝐅𝐅𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐  𝐍𝐍 − ! 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏  𝐍𝐍 ! 
 
 
 
	
  
	
  
17	
  
6) O elo está submetido a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade e a orientação da 
força resultante. 
 
SSoolluuççããoo:: 
Escrevendo os vetores F1 e F2 na forma cartesiana temos: 
 
F1 = 600 cos (30o ) i + 600 sen ( 30o ) j = 600 x 0,866 i + 600 x 0,5 j = 519,6 i + 
300 j 
F2 = - 400 sen ( 45o ) i + 400 cos ( 45o ) j = - 400 x 0,71 i + 400 x 0,707 j = - 
283 i + 283 j 
Fr = ( 519,6– 283 ) i + ( 300 + 283 ) j = 236,8 i + 582,8 j 
 
 
AA iinntteennssiiddaaddee ddaa FFoorrççaa RReessuullttaannttee éé ddaaddaa ppoorr:: 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅=√(236,8)2+(582,8)2 
𝐹𝐹𝐹𝐹𝑅𝑅𝑅𝑅 = 629 N 
A direção da força resultante é dada por: 
 
θ = arctang ( 582,8 / 236,8 ) 
θ = 67,9o 
 
 
 
 
 
 
 
PPrroodduuttoo EEssccaallaarr 
 
Ocasionalmente, na estática, é preciso calcular o ângulo entre duas linhas ou as 
componentes de uma força paralela e perpendicular a uma linha. Quando uma força atua 
em uma estrutura com direção oblíqua ao seu eixo axial, torna-se imprescindível 
analisarmos as componentes desta força, paralela ao eixo da barra e a componente 
	
  
	
  
18	
  
perpendicular, uma vez que a componente paralela ao eixo da barra gera esforços de 
(tração ou compressão) e a componente perpendicular é responsável pelo esforço de 
flexão sobre a barra. 
OOnnddee:: 
 
 
 
 
 
 𝐹𝐹𝐹𝐹∥∥ : Componente paralela ao eixo da barra. 
                                                                                                                        𝐹𝐹𝐹𝐹⊥⊥: Componente perpendicular ao eixo da barra. 
 
 
Em duas dimensões, esses problemas são resolvidos facilmente pela trigonometria, uma 
vez que a geometria é fácil de visualizar. 
 
Em três dimensões, entretanto, é difícil e torna-se necessário empregar métodos 
vetoriais para solução. 
 
O produto escalar define um método particular para ““mmuulltt iippll iiccaarr”” dois vetores. 
 A ∙ B = ABcosθ (0° ≤ θ ≤ 180°) 
 
 
LLeeii ddaass OOppeerraaççõõeess 
 
 
 
11)) LLeeii CCoommuuttaatt iivvaa:: 
 
22)) MMuulltt iippll iiccaaççããoo ppoorr eessccaallaarr:: 
 
33)) .. DDiissttrr iibbuutt iivvaa:: 
 
 
𝐹𝐹∥	
  
𝐹𝐹!	
   F	
  
	
  
	
  
19	
  
 
FFoorrmmuullaaççããoo ddoo vveettoorr ccaarrtteessiiaannoo 
 
𝐀𝐀 ∙ 𝐁𝐁 = 𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 
 
 
 
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  𝐀𝐀 ∙ 𝐁𝐁 = 𝐀𝐀𝐱𝐱𝐁𝐁𝐱𝐱 + 𝐀𝐀𝐲𝐲𝐁𝐁𝐲𝐲 + 𝐀𝐀𝐳𝐳𝐁𝐁𝐳𝐳 
 
 
OO rreessuullttaaddoo éé uumm eessccaallaarr!!!!!! 
 
 
 
AAppll iiccaaççõõeess 
 
 
 
1) Ângulo formado entre dois vetores ou retas que se interceptam. 
 θ = cos!1 A∙B
AB
 (0° ≤ θ ≤ 180°) 
*  𝐀𝐀 ∙ 𝐁𝐁 calculado por: 𝐀𝐀 ∙ 𝐁𝐁 = 𝐀𝐀𝐱𝐱𝐁𝐁𝐱𝐱 + 𝐀𝐀𝐲𝐲𝐁𝐁𝐲𝐲 + 𝐀𝐀𝐳𝐳𝐁𝐁𝐳𝐳 
* Se 𝐀𝐀 ∙ 𝐁𝐁 = 𝟎𝟎, θ = 90°, portanto os vetores são perpendiculares. 
 
 
2) Componentes de um vetor paralelo e perpendicular a uma linha 
 
 
	
  
	
  
20	
  
 
Se a direção da reta é especificada pelo vetor uu, como uu == 11, pode-se determinar a 
componente paralela diretamente pelo produto escalar. 
 
 
 
A projeção escalar de AA ao longo de uma reta é determinada pelo produto escalar de AA 
e o vetor unitário uu, que define a direção da linha. 
 
Ø SSee || AA || >> 00:: mmeessmmoo sseennttiiddoo ddee uu;; 
Ø SSee || AA || << 00:: sseennttiiddoo ooppoossttoo aaoo ddee uu.. 
 
VVeettoorr CCaarrtteessiiaannoo nnoo EEssppaaççoo:: Aqui, diferente do plano, faremos de maneira diferente 
para representar um vetor cartesiano no espaço, ou seja, no RR33. 
 
Versor: Dado um vetor 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗⃗ , não nulo, diz que o vetor 𝜆𝜆𝜆𝜆⃗⃗ é um versor de 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗⃗ se 𝜆𝜆𝜆𝜆⃗⃗ for 
unitário, isto é, ter módulo igual a 1 e tiver a mesma direção e sentido de 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗⃗ . 
 
 
 
 
 
 
Considerando o exposto temos que: 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗⃗ = 𝑣𝑣𝑣𝑣∙∙𝜆𝜆𝜆𝜆⃗⃗ .. Onde 𝑣𝑣 representa o módulo do vetor 𝑣𝑣𝑣𝑣⃗⃗ . 
 
RReessuummiinnddoo,, uumm vveettoorr éé iigguuaall aaoo sseeuu mmóódduulloo mmuulltt iippll iiccaaddoo ppoorr sseeuu 
rreessppeecctt iivvoo vveerrssoorr.. 
 
EExxeemmpplloo 11:: 
 Na estrutura representada abaixo determinar a expressão cartesiana do vetor 𝑇𝑇𝐶𝐶𝐷𝐷⃗ 
sabendo que sua intensidade é de 1200 N. 
 
 
𝒗𝒗!!⃗ 	
  
𝜆𝜆	
  
	
  
	
  
21	
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SSoolluuççããoo:: 
 
O veto 𝑇𝑇𝑇𝑇⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 e seu respectivo versor estão representados abaixo na figura, desta forma 
podemos escrever: 𝑇𝑇𝑇𝑇⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷==𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷∙∙𝜆𝜆𝜆𝜆⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 (ver figura abaixo) 
Precisamos agora determinar 𝜆𝜆𝜆𝜆⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷, que pode ser escrito da seguinte forma. 
 
𝜆𝜆𝜆𝜆⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷⃗⃗ǁ‖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷⃗⃗ǁ‖ 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷⃗⃗=𝐷𝐷𝐷𝐷−𝐶𝐶𝐶𝐶=(20,0,140)− (240,180,0)=(−220,−180,140) 
ou 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷⃗⃗=−220𝑖𝑖𝑖𝑖−180𝑗𝑗𝑗𝑗+140𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
e o módulo do vetor 𝐶𝐶𝐷𝐷⃗ é: 20 mm 20 mm 140 mm 240 mm 180 mm A D B E C Imagem 
produzida por: Prof. ValdneyBem. Z y X 
ǁ‖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷⃗⃗ǁ‖=√(−220)2+(−180)2+(140)2 ǁ‖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷⃗⃗ǁ‖=316,9 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 
𝜆𝜆𝜆𝜆⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷=𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷⃗⃗ǁ‖𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷⃗⃗ǁ‖=−220𝑖𝑖𝑖𝑖−180𝑗𝑗𝑗𝑗+140𝑘𝑘𝑘𝑘316,9 
𝜆𝜆𝜆𝜆⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷=−0,69𝑖𝑖𝑖𝑖−0,57𝑗𝑗𝑗𝑗+0.44𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑇𝑇𝑇𝑇⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷=𝑇𝑇𝑇𝑇𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷·𝜆𝜆𝜆𝜆⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑇𝑇𝑇𝑇⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷=1200·(−0,69𝑖𝑖𝑖𝑖−0,57𝑗𝑗𝑗𝑗+0.44𝑘𝑘𝑘𝑘) 
𝑇𝑇𝑇𝑇⃗⃗𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷𝐷𝐷={−828𝑖𝑖𝑖𝑖−−684𝑗𝑗𝑗𝑗+528𝑘𝑘𝑘𝑘}𝑁𝑁𝑁𝑁    
    
20	
  
	
  
20	
  
	
  
140	
  
	
  
240	
  
	
  
180	
  
A	
  
	
  
D	
  
B	
  
E	
  
C	
  
Imagem	
  
produzida	
  
Z	
  
y	
  
X	
  
	
  
	
  
22	
  
 EExxeemmpplloo 
 
A estrutura mostrada na figura a seguir está submetida a uma força horizontal F = {300 
N}j. Determine a intensidade das componentesdessa força paralela e perpendicular ao 
membro AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SSoolluuççããoo:: 
A componente da força F na direção do elemento AB é dada por: 
FFAABB == F ∙ uB ((CCuuiiddaaddoo aaqquuii tteemmooss uumm pprroodduuttoo eessccaallaarr !!!!!!)) 
uB =
AB
AB
=  
2i+ 6j+ 3k
22 + 62 + 32
 
uB = 0,286i+ 0,857j+ 0,429k 
 
FAB = F ∙ uB 
FAB = 300j ∙ (0,286i+ 0,857j+ 0,429k) 
FAB = ( 0 ) x ( 0,286 ) + ( 300 ) x ( 0,857 ) + ( 0 ) 
x ( 429 ) 
FAB = 257,1 N. 
Como FAB > 0, mesma direção de uB. 
 
O vetor 𝐅𝐅𝐀𝐀𝐀𝐀 na forma cartesiana é dado por: 
FAB = FAB ∙ uB 
FAB = 257,1 ∙ 0,286i+ 0,857j+ 0,429k 
FAB =  { 73,5 i + 220,3 j + 110,3 k } N 
 
AA ccoommppoonneennttee ddaa ffoorrççaa FF ppeerrppeennddiiccuullaarr aaoo eelleemmeennttoo AABB éé ddaaddoo ppoorr:: 
F! = F− FAB 
F! = 300j−{ 73,5 i + 220 j + 110 k } 
F!= {-73,5 i + 80 j – 110 k } N 
	
  
	
  
23	
  
F! = (−73,5)2 + 80
2 + (−110)2 
F! = 155  N 
 
EExxeemmpplloo 33 
Determine os ângulos θ e φ entre os eixos OA do poste da bandeira e AB e AC de cada 
cabo, respectivamente. 
 
 
SSoolluuççããoo:: 
Como se trata de ângulo no espaço torna-se mais simples a resolução do problema 
recorrendo ao produto escalar entre dois vetores. 
 
 
EEssccrreevveennddoo ooss vveettoorreess:: 
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶⃗⃗={−2𝑖𝑖𝑖𝑖−4 𝑗𝑗𝑗𝑗+1 𝑘𝑘𝑘𝑘} 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∴∴ ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶⃗⃗ǁ‖=4,58 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵⃗⃗={1,5𝑖𝑖𝑖𝑖−4𝑗𝑗𝑗𝑗+3𝑘𝑘𝑘𝑘} 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∴∴ ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵⃗⃗ǁ‖=5,22 
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗={−4 𝑗𝑗𝑗𝑗−3 𝑘𝑘𝑘𝑘} 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∴∴ ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗ǁ‖=5,00 𝑚𝑚𝑚𝑚 
FFaazzeennddoo oo pprroodduuttoo eessccaallaarr eennttrree ooss vveettoorreess 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗ ee 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵⃗⃗ :: 
𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶⃗⃗ ⋅⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵⃗⃗ = ( 1,5 ) ( 0 ) + ( -4 ) ( - 4 ) + ( 3 ) ( -3 ) = 7 
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗ ⋅⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵⃗⃗ = ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗ǁ‖ ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵⃗⃗ǁ‖cos( 𝜃𝜃𝜃𝜃 ) cos( 𝜃𝜃𝜃𝜃 )= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗ ⋅⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵⃗⃗ ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴0⃗⃗ǁ‖ ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵⃗⃗ǁ‖ cos( 𝜃𝜃𝜃𝜃 )= 
75𝑥𝑥𝑥𝑥5,22 cos( 𝜃𝜃𝜃𝜃 )=0,268 𝜃𝜃𝜃𝜃=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠−1(0,268) 
𝜃𝜃𝜃𝜃= 74,4o 
	
  
	
  
24	
  
FFaazzeennddoo oo pprroodduuttoo eessccaallaarr eennttrree ooss vveettoorreess 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗ ee 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶⃗⃗ :: 
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗ ⋅⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶⃗⃗ = ( 0 ) ( - 2 ) + ( -4 ) ( - 4 ) + ( -3 ) ( 1 ) = 13 
𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗ ⋅⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶⃗⃗ = ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗ǁ‖ ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶⃗⃗ǁ‖cos( 𝜙𝜙𝜙𝜙 ) cos( 𝜙𝜙𝜙𝜙 )= 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑂𝑂𝑂𝑂⃗⃗ ⋅⋅ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶⃗⃗ ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴0⃗⃗ǁ‖ ǁ‖𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶𝐶𝐶⃗⃗ǁ‖ 
cos( 𝜙𝜙𝜙𝜙 )= 135𝑥𝑥𝑥𝑥4,58 cos( 𝜙𝜙𝜙𝜙 )=0,268 𝜃𝜃𝜃𝜃=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠𝑠𝑠−1(0,568) 
𝜃𝜃𝜃𝜃= 55,6o 
 
 
 
 
 PPaallaavvrraass ddoo PPrrooffeessssoorr 
 
 
Chegamos ao final da nossa I unidade! Espero ter colaborado para seu aprendizado! 
Caso tenha alguma dúvida, sugiro que refaça a leitura do livro texto. 
 
Faça também pesquisas e exercícios para fixar o que estudamos nesta I unidade. Não 
deixe de acessar o AVA e responder as atividades e os fóruns avaliativos. 
 
Caso tenha dúvidas pergunte ao seu tutor. Ele está à sua disposição. 
 
Bom estudo e até breve!

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