6 lista de calculo

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Lista de exercícios de cálculo I
01.Use a regra do produto e do quociente para calcular a derivada das fun-
ções abaixo.
a)f(x) = (3x2 − 1)(x2 + 2) R.6x(x2 + 2) + (3x2 − 1)2x = 12x3 + 10x = 2x(6x2 + 5)
b)f(x) = (
√
x+ 2)(
√
x− 3) R.1− 1/2√x
c)f(x) =
√
x(x− 1) R.3x−1
2
√
x
d)f(x) = (x2 − 2)(x2 − 3x+ 5) R.4x3 − 9x2 + 6x+ 6
e)f(x) = (3x2 + 2x− 5)(2x2 + 3)− 6x R.24x3 + 12x2 − 2x
f)f(x) = (x2 − 3x+ 1)/(x2 − 1) R.3x2−4x+3
(x2−1)2
g)f(x) = (x2 − 3x+ 1)/(x2 + 2x+ 5) R. 5x2+8x−17
(x2+2x+5)2
h)f(x) = (x−√x)(x+√x) R.2x− 1
i)f(x) =
(
1
x2
− 3
x4
)
(x+ 5x3) R.5 + 14
x2
+ 9
x4
j)f(x) = x
3
1−x2 R.
x2(3−x2)
(1−x2)2
k)f(x) = x
2+2
x4−3t2+1 R.
2x(−x4−4x2+7)
(t4−3t2+1)2
l)f(x) = x
3−2x√x
x
R.2x− 1/√x
m)f(x) = 2x
2+
√
x
R. 4+
√
x
(2+
√
x)2
1
02. Use a regra da cadeia para calcular a derivada das seguintes funções.
a)f(x) = (x4 − 1)5 R.20x3(x4 − 1)4
b)f(x) = (x3 − 4x2 + 2x− 3)8 R.8(x3 − 4x2 + 2x− 3)7(3x2 − 8x+ 2)
c)f(x) = (3x2 − 1)9/2 R.27x(3x2 − 1)7/2
d)f(x) = 1/
√
x2 + 1 R.− x/(x2 + 1)3/2
e)f(x) = 3
√
x5 − 4x3 + 1 R. x2(5x2−12)
3(x5−4x3+1)2/3
f)f(x) = x2
√
x2 + 1 R.3x
3+2x√
x2+1
g)f(x) = 1/(x+ 1) R.− (x+ 1)−2
h)f(x) = 1/(1− x) R.(1− x)−2
i)f(x) = 1/(1− x2) R. 2t
(1−x2)2
j)f(x) = 1/
√
x2 − 1 R. −x
(x2−1)3/2
k)f(x) = (x2 + 1)−10 R. −20x
(x2+1)11
l)f(x) = (1− 1/x)5 R.5(t−1)4
t6
m)f(x) =
(
x2 + 1
x2
)4
R.8
(
x2 + 1
x2
)3 (
x− 1
x3
)
n)f(x) =
(
x+1
x−1
)4
R.−8(x+1)
3
(x−1)5
o)f(x) =
(
x2−1
x2+1
)3/2
R. 6x
(x2+1)2
(
x2−1
x2+1
)1/2
p)f(x) =
(
x3
3
+ x
2
2
+ x
)−1
R.−
(
x3
3
+ x
2
2
+ x
)−2
(x2 + x+ 1)
q)f(x) =
(
x2−1
x2+1
)3
R.12x(x
2−1)2
(x2+1)4
r)f(x) = (x2 − 1)4(x2 + 2)5 R.6x(3x2 + 1)(x2 − 1)3(x2 + 2)4
2
03. Determine a equação da reta tangente à curva y = (x2− 1)−2 em x = 2.
R. 8x+ 27y − 19 = 0
04. Determine a equação da reta tangente à curva y =
(
x−1
x+1
)2/3
em x = 0.
R. 4x+ 3y − 3 = 0
05. Determine a reta tangente à curva h(x) = f(g(x)), em x = 1, sabendo
que f(1) = −2, f ′(1) = 2, g(1) = 1 e g′(1) = −1.
R. y = −2x
06. Faça o mesmo em x = 1, para a curva h(x) = g(f(x)), sendo f(−1) = 2,
f ′(−1) = −1/3, g(2) = −3 e g′(2) = 6.
R. 2x+ y + 5 = 0
07. Use a derivada para estudar as funções dadas, intervalos onde são cres-
centes ou decrescentes, concavidade de seus gráficos.
a) f(x) = x2 + 2x− 3
R. f é crescente no intervalo ]− 1,∞[ e decrescente no intervalo ]−∞,−1[
e seu gráfico tem concavidade voltada para cima.
b)f(x) = 4x− x2 − 3
R. f é crescente no intervalo ] − ∞, 2[ e decrescente no intervalo ]2,∞[ e
seu gráfico tem concavidade voltada para cima.
c)f(x) = 3x4 − 16x3 + 18x2
R. f é crescente em ]0, 1[ e em ]3,∞[ e decrescente ] − ∞, 0[ e em ]1, 3[ e
seu gráfico tem concavidade para cima em ] − ∞, 4−
√
7
3
[ e em ]4+
√
7
3
,∞[ e
concavidade para baixo em ]4−
√
7
3
, 4+
√
7
3
[.
d)f(x) = x3 − 3x2 + 1
3
R. f é crescente em ]−∞, 0[ e em ]2,∞[ e decrescente em ]0, 2[.Seu gráfico
tem concavidade para cima em ]1,∞[ e concavidade para baixo em ]−∞, 1[.
e)f(x) = x3 − 3x+ 1
R. f é crescente em ]−∞,−1[ e em ]1,∞[ e decrescente em ]−1, 1[. Seu grá-
fico tem concavidade para cima em ]0,∞[ e concavidade para baixo ]−∞, 0[.
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