AD1 metdet 2 2017-2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2017
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 1 - AD1
Questa˜o 1: (2,0pts) Fac¸a o gra´fico da equac¸a˜o |x|+ |y| = 1 + |xy|.
Soluc¸a˜o: Recorde a definic¸a˜o de valor absoluto:
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0.
Suponha a princ´ıpio que x, y ≥ 0, nesta situac¸a˜o voceˆ tera´: que x + y = 1 + xy , trocado os termos
das expresso˜es do lado da igualdade temos, x− xy = 1− y que e´ equivalente x(1− y) = 1− y. Nesta
situac¸a˜o, se 1− y e´ diferente de zero, necessariamente x = 1. Agora se 1− y = 0 temos que y = 1 e x
pode assumir qualquer valor maior ou igual a zero.
No caso em que x < 0 e y ≥ 0 a equac¸a˜o se torna: −x + y = 1 − xy ⇔ −x + xy = 1 − y ⇔
−x(1 − y) = 1 − y. Nesta situac¸a˜o se 1 − y 6= 0, isto e´, y 6= 1 necessariamente x = −1. Agora se
1− y = 0 temos que y = 1 e x pode assumir qualquer valor menor que zero.
No caso em que x < 0 e y < 0 a equac¸a˜o se torna: −x − y = 1 + xy ⇔ −x − xy = 1 + y ⇔
−x(1 + y) = 1 + y. Nesta situac¸a˜o se 1 + y 6= 0, isto e´, y 6= −1 necessariamente x = −1. Agora se
1 + y = 0 temos que y = −1 e x pode assumir qualquer valor menor que zero.
No caso em que x ≥ 0 e y < 0 a equac¸a˜o se torna: x−y = 1−xy ⇔ x+xy = 1+y ⇔ x(1+y) = 1+y.
Nesta situac¸a˜o se 1 + y 6= 0, isto e´, y 6= −1 necessariamente x = 1. Agora se 1 + y = 0 temos que
y = −1 e x pode assumir qualquer valor maior ou igual zero.
1
Marcando estas semi retas obtemos uma figura que lembra o jogo da velha.
Questa˜o 2: (2,0pts) Fac¸a cada um dos itens:
a) Se f0(x) =
1
2−x e fn+1 = f0 ◦ fn para n = 0, 1, 2, . . . , encontre uma expressa˜o para fn(x).
b) Fac¸a o gra´fico em uma mesma tela de f0, f1, f2 e f3 e descreva os efeitos da composic¸a˜o repetida.
Soluc¸a˜o: a) Calculando f0, f1, f2, f3 obtemos
f0(x) =
1
2− x, f1(x) = f0 (f0(x)) =
1
2− 12−x
=
2− x
3− 2x, f2(x) =
3− 2x
4− 3x, f3(x) =
4− 3x
5− 4x.
Podemos enta˜o induzir que fn(x) =
(n+1)−nx
(n+2)−(n+1)x , com n = 0, 1, 2, . . . .
b) Ao fazermos o gra´fico obtemos
De acordo com o gra´fico a composta de func¸o˜es sa˜o sempre do mesmo tipo, com retas assintotas
(verticais e horizontais). Observasse que a reta assintota horizontal inicialmente e´ y = 0 e depois ela
vai subindo. Ja´ a reta onde assintotas vertical inicialmente e´ x=2 e vai se deslocando para a esquerda.
Isto e´ o suficiente: Caso o aluno tenha feito
lim
n→+∞
[
lim
x→+∞ fn(x)
]
= lim
n→+∞
n
n+ 1
= 1.
e resolvendo (n+2)− (n+1)x = 0⇔ x = n+2n+1 e feito limn→+∞ n+2n+1 = 1. Vendo para onde convergem
as retas assintotas seria o´timo.
Questa˜o 3: (2,0pts) Encontre o domı´nio de:
a) f(x) =
√
1−√1− x2
b) g(x) =
√
1− x2 +√x2 − 1
Soluc¸a˜o: a) A raiz
√
1− x2 dentro do radicando impo˜em a condic¸a˜o −1 ≤ x ≤ 1. Ja´ a outra
condic¸a˜o, isto e´, 1−√1− x2 ≥ 0 sempre sera´ satisfeita. Portanto, Df = {x ∈ R : −1 ≤ x ≤ 1}.
2
b) A
√
1− x2 impo˜em que −1 ≤ x ≤ 1 e a √x2 − 1 impo˜em a condic¸a˜o que x ≤ −1 ou x ≥ 1. Logo,
os u´nicos valores que poderemos avaliar g(x) sa˜o: −1 e 1.
Questa˜o 4: (1,0pts) Estime a func¸a˜o f(x) = 1
x3−1 para valores pro´ximos de 1 e depois calcule os
lim
x→1−
1
x3 − 1 e limx→1+
1
x3 − 1.
Soluc¸a˜o: Vamos fazer avaliac¸o˜es de f(x) para valores menores e maiores que 1, mas bem pro´ximos
x < 1 f(x) x > 1 f(x)
0.987999 -28.1115 1.01198 27.4911
0.988999 -30.6361 1.01098 30.0246
0.989999 -33.6656 1.00998 33.0657
0.990999 -37.3683 1.00898 36.784
0.991999 -41.9966 1.00798 41.4343
0.992999 -47.9471 1.00698 47.4169
0.993999 -55.881 1.00598 55.4
0.994999 -66.9878 1.00498 66.5887
0.995999 -83.6467 1.00398 83.3986
0.996999 -111.408 1.00298 111.487
0.997999 -166.917 1.00198 167.932
0.998999 -333.334 1.00098 339.456
Veja que quando x → 1− o valor de f(x) tende para nu´meros negativos, em mo´dulo cada vez
maiores. Quando x → 1+ o valor de f(x) tende para nu´meros cada vez maiores. Portanto, podemos
concluir que lim
x→1−
1
x3 − 1 = −∞ e limx→1+
1
x3 − 1 = +∞.
Questa˜o 5: (2,0pts) Para quais valores a, b, c, d a f(x) = ax+bcx+d satisfaz f (f(x)) = x, para todo x.
Soluc¸a˜o: Fazendo a composta obtemos
f (f(x)) =
(a2 + bc)x+ ab+ bd
(ac+ cd)x+ bc+ d2
.
Igualando a x obtemos o seguinte sistema:
a2 + bc = 1
ab+ bd = 0
ac+ cd = 0
bc+ d2 = 1
Destas 4 equac¸o˜es vamos nos concentrar nas duas do meio. Veja que deve valer simultaneamente:
ab+ bd = 0 = b(a+ d), ac+ cd = 0 = c(a+ d)⇔ ou a+ d = 0 ou b = 0 e c = 0.
No caso em que a+ d 6= 0, enta˜o b = c = 0 se olharmos o sistema vemos que a2 = 1 e d2 = 1. Daqui
podemos ver que as u´nicas possibilidades para f sa˜o: f(x) = x ou f(x) = −x.
3
No caso a + d = 0, isto e´, d = −a. Ao inve´s de voltar ao sistema, substitua o valor d por −a e
temos
f(x) =
ax+ b
cx− a ⇒ f (f(x)) =
(a2 + bc)x+ ab− ba
(ac− ca)x+ bc+ a2 =
(a2 + bc)x
bc+ a2
.
A composta sera´ igual a x se e, somente se, bc + a2 6= 0. Esta (d = −a e bc + a2 6= 0) e´ a condic¸a˜o
sobre os coeficientes para que sempre valha que f−1(x) = f(x).
Questa˜o 6: (1,0pts) O ma´ximo de dois nu´meros x, y e´ denotado por max(x, y). Verifique que
max(x, y) = x+y+|x−y|2 .
a) Calcule o max(−3, 4).
b) Obtenha a expressa˜o para o max(x, y, z).
Soluc¸a˜o: a) E´ claro que max(−3, 4) = 4, por outro lado −3+4+|−3−4|2 = 1+72 = 4. Portanto vale a
igualdade.
b) Veja que: Sempre que queremos calcular o ma´ximo de 3 valores, basta escolher, entre dois deles o
maior e depois compara´-lo ao terceiro, em outras palavras: max(x, y, z) = max(max(x, y), z). Logo,
max(max(x, y), z) =
max(x, y) + z + |max(x, y)− z|
2
=
x+y+|x−y|
2 + z +
∣∣∣x+y+|x−y|2 − z∣∣∣
2
=
1
4
(x+ y + 2z + |x− y|+ |x+ y − 2z + |x− y||)
.
4