Exercícios estruturas algébricas

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Exercícios estruturas algébricas.
Instituição: FABI (Faculdade de Birigui); Curso: Matemática; Termo: 3º; Turno: Noturno; Professor: Marcos Vinicius; Aluno: Thimóteo de Oliveira Lêe
Mostrar que o par (M(R)2, *) é um grupo onde:
M(R)2 é o conjunto das matrizes inversíveis de ordem dois, ou seja, se A M(R)2, então existe A-1 tal que A*A-1 = I2, e “*” caracteriza o produto usual de matrizes.
Note que o produto de uma matriz A por uma matriz B só é possível quando o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, logo se estamos trabalhando em M(R)2, quaisquer que sejam as matrizes pertencentes a esse conjunto, elas podem ser multiplicadas entre si, de tal forma que: .
Sendo assim, podemos demonstrar a primeira propriedade de grupos: a associatividade, uma vez que para a operação de multiplicação ela é válida.
Vejamos:
Sejam A, B e C matrizes pertencentes ao conjunto M(R)2, temos que mostrar que A*(B*C) = (A*B)*C.
 , temos então que:
B*C tem os seguintes elementos:
Portanto: , daí temos que A*(B*C) tem os seguintes elementos:
Daí: .
Precisamos encontrar agora (A*B)*C e comparar as duas matrizes para verificar a existência da associatividade.
A*B possui os seguintes elementos:
Logo, . 
Calcularemos então (A*B)*C, como segue:
Assim: .
Dessa forma temos a propriedade associativa satisfeita pois:
.
Vamos demonstrar agora a existência do elemento neutro.
Por definição temos que elemento neutro (n) é aquele cujo qualquer que seja um elemento (x) pertencente a um conjunto (P), operado com n dará o próprio x, e n operado com x dará o próprio x, ou seja: x ° n = x e n ° x = x.
Como estamos em M(R)2, admitindo I2 como elemento neutro, precisamos mostrar que:
A*I = A e I*A = A, além disso, mostrar que para qualquer B diferente de A, B*I = B e I*B = B.
Segue:
Com e , temos então que:
Calculando I*A, temos:
Seja B e , se B*I = B e I*B = B, então temos que , é o elemento neutro da multiplicação em M(R)2.
De fato:
Calculando I*B, temos: 
.
Portanto, como A*I = A = I*A e B*I = B = I*B, com A e B distintos e A e B pertencentes ao conjunto das matrizes inversíveis de ordem dois M(R)2, cuja matriz identidade é I2, podemos afirmar que I2 é o elemento neutro do par (M(R)2, *).
Pela própria definição de M(R)2, temos a propriedade de elemento inverso, uma vez que M(R)2 é definido como o conjunto das matrizes inversíveis de ordem dois. Logo, qualquer que seja A pertencente a M(R)2, existe A-1, tal que A*A-1 = I2.
Sendo assim, concluímos que o par (M(R)2, *) é um grupo.
Suponha S(A), o grupo de permutações entre os elementos de A, e A = {1,2,3}
Monte a tábua de A e encontre todos os inversos.
Primeiro precisamos encontrar todas as possíveis permutações entre os elementos de A, logo: