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3a PROVA - 089109 Ca´lculo I - Turma A - 29/06/07
ATENC¸A˜O: Incluir na prova, por favor, todas as “contas” feitas nas resoluc¸o˜es. Respostas na˜o
acompanhadas de argumentos que as justifiquem na˜o sera˜o consideradas.
NOME: RA:
1 (2,0 pts) Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo altura de 5m e raio da base (isto e´,
do topo) de 1m. O tanque se enche de a´gua a` taxa de 2m3/min. Com que velocidade sobe o n´ıvel da
a´gua no instante que ela tem 3m de profundidade?
2. (3,0 pts) Calcule as integrais.
a)
∫
lnx dx.
b)
∫
tg4(x) dx.
(Sugesta˜o: Mostre que tg4(x) = tg2(x) tg2(x) = tg2(x)(sec2(x)− 1) = tg2(x) sec2(x)− tg2(x).)
3 (2,0 pts)
a) Seja R a regia˜o do plano xy limitada pela curva y = ln(x), o eixo x e a reta x = e. Esboce esta
regia˜o.
b) Calcule a a´rea de R.
4. (3,0 pts)
a) Calcule as integrais
∫ 4
1
x√
2 + 4x
dx,
∫
dx
x2 + 2x+ 5
.
b) Calcule a derivada da func¸a˜o
g(x) =
∫ 3x
2x
u2 − 1
u2 + 1
du.
Boa Prova!