Aula 2 mecânica clássica

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Capítulo 2 – Movimento unidimensional  1 
 
 
 
 
 
Mecânica Clássica 
Prof. Bruno Leonardo Canto Martins (brunocanto@dfte.ufrn.br) 
 
Capítulo 2 – MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL 
 
Mecânica Æ Estuda o movimento dos objetos 
 
Exs: Trajetória de uma bola de futebol 
Sonda espacial enviada a Marte 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 – Cinemática da partícula: 
 
Caso Simples: 
 
Partícula que se move ao longo de uma reta. 
 
Conceitos básicos: 
9 Velocidade 
9 Aceleração 
 
Exs: Queda de uma pedra 
 Trem acelerando 
 Carro freando 
 
Estado do movimento pode mudar, como pode variar a direção e o sentido, porém confinado em 
uma única linha. 
 
ATENÇÃO Æ Consideraremos apenas o movimento de uma partícula. 
 
 
2.2 – Descrições do movimento: 
 
Dois modos: 
9 Equações matemáticas 
9 Gráficos 
 
Descrição completa do movimento Æ Dependência matemática entre sua posição x e o tempo t, 
para todos os valores de t. 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN 
Centro de Ciências Exatas e da Terra - CCET 
Departamento de Física Teórica e Experimental - DFTE 
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DESCRIÇÃO 
do movimento 
CAUSAS 
do movimento 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  2 
 
Tipos de movimentos: 
 
1) Ausência de movimento: 
 
{ } (Eq 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Movimento com velocidade constante: 
 
9 v > 0 se x for crescente 
9 v < 0 se x for descrescente 
 
 
 O módulo da velocidade da partícula. 
 
 
{ } (Eq 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No nosso caso: 
 
Taxa de variação da posição Æ 
 
 
ATENÇÃO Æ Quanto maior a inclinação, maior será a velocidade do objeto. 
 
 
3) Movimento acelerado: 
 
Velocidade variando 
 
 
Taxa de variação da velocidade Æ 
 
Exs: { x(t) = A + Bt + Ct2 } e { x(t) = Acosωt } 
 (Eq 3) (Eq 4) 
Velocidade 
Escalar 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimentos mais complexos: 
 
4) Carro acelerado e freado: 
 
Um carro parte do repouso e acelera até atingir certa velocidade escalar, que se mantém 
constante durante algum tempo, após o qual aplicam-se os freios até que o carro pare. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Movimento não pode ser descrito por uma única equação!! 
 
 
5) Rebatida do disco de hóquei: 
 
Desliza com velocidade escalar constante. Colide com a parede e é rebatido no sentido oposto 
com a mesma velocidade escalar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Pelota de massa aderente: 
 
Pelota jogada para o alto. Ela sobe até certa altura, depois cai e gruda no chão. 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  4 
 
2.3 – Velocidade média: 
 
Figs. 1 e 2 Æ Velocidades constantes e igual à inclinação da linha. 
Figs. 3 e 4 Æ Velocidade varia 
 
Velocidade Média (v): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos então que: 
 
{ }(Eq 5) 
 
Onde: 
9 Δx Æ deslocamento 
9 Δt Æ intervalo de tempo 
 
 
ATENÇÃO Æ O comportamento efetivo entre x1 e x2 não importa para o cálculo de v. 
 
 
Sinal de v: 
 
 Determinado pelo sinal de Δx! 
 
9 v > 0 Æ x aumenta com o tempo 
9 v < 0 Æ partícula se move para trás 
 
Exercício 1: 
 
 Você dirige uma BMW por 8,3 km em uma rodovia reta com velocidade escalar de 70 km/h 
e ao final desse trecho pára por falta de gasolina. Você então caminha 1,9 km durante 27 minutos, 
até encontrar um posto. Qual a sua velocidade média desde o instante em que o carro começou ase 
mover até chegar ao posto de gasolina? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  5 
 
2.4 – Velocidade instantânea: 
 
 
v Æ Considera o comportamento geral em um certo intervalo de tempo. 
 
 
v(t) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso limite de Δt Æ0: 
 
Segmento que liga os extremos do intervalo aproximam-se da tangente à curva x(t). 
 
 
v aproxima-se da inclinação de x(t). 
 
{ }(Eq 6) 
 
Onde: 
 
{ }(Eq 7) Æ derivada de x(t) em relação a t 
 
Portanto: 
 
{ }(Eq 8) 
 
 
Velocidade instantânea é a taxa de variação da posição com o tempo. 
 
 
Derivada: 
 
Notação: 
 
{ }(Eq 9) 
 
Onde f(x) = f = xn, logo: 
 
{ }(Eq 10) 
Velocidade 
Instantânea
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  6 
 
 
ATENÇÃO Æ Derivada de uma constante é igual a zero! 
 
 
Derivada da soma e da diferença: 
 
{ }(Eq 11) 
 
 
Derivada do produto: 
 
{ }(Eq 12) 
 
Exercício 2: 
 
 Sabendo que 
 
x(t) = 3,000 + 1,000t + 2,000t2 
 
Onde t (s) e x (m). Mantendo fixo (t1,x1) e movendo (t2,x2) cada vez mais perto de (t1,x1), simulando 
o processo limite, calcule: 
 
Ponto inicial Ponto final Intervalos Velocidade Média 
x1 (m) t1 (s) x2 (m) t2 (s) Δx (m) Δt (s) (m/s) 
6,000 1,000 2,000 
 1,500 
 1,400 
 1,250 
 1,200 
 1,100 
 1,050 
 1,030 
 1,010 
 
 
 
 
 
Para qualquer função x(t), podemos determinar v(t) por diferenciação. 
 
Graficamente temos: 
 
1) Não há movimento: 
 
Da Eq. 1, temos: 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  7 
 
 
2) Movimento com velocidade escalar constante: 
 
Da Eq. 2: 
 
 
 
 
 
 
 
3) Movimento acelerado: 
 
Utilizando a Eq. 3 teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATENÇÃO Æ C > 0 – v aumenta / C < 0 – v diminui 
 
 
4) Carro acelerado e freado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Rebatida do disco de hóquei: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  8 
 
 
6) Pelota de massa aderente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5 – Movimento acelerado: 
 
 
 
 
 
 
Aceleração Média (a): 
 
 Razão entre a variação de velocidade Δv = v2 – v1, pelo intervalo de tempo Δt. 
 
{ }(Eq 13) 
 
Unidade Æ m/s2 
 
 
Não informa nada com relação à variação de v(t) no intervalo Δt. 
 
Para a constante em todos os Δt: 
9 a é constante 
9 Δv é a mesma 
 
Ex: Aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2 
 
Praticamente constante nas proximidades da superfície da Terra. 
 
Aceleração instantânea: 
 
 Neste caso, a velocidade varia em intervalos de tempo de mesma duração (Aceleração 
variável). 
 
{ }(Eq 14) 
 
 
 
 
 
Velocidade pode 
variar durante o 
movimento 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  9 
 
 
Graficamente teremos: 
 
Ex: Carro acelerado e freado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3: 
 
 A figura abaixo mostra seis “instantâneos” sucessivos de uma partícula que se move ao 
longo do eixo x. 
 
a) Determine a velocidade média nos intervalos AD e DF; 
b) Estime a inclinação de x(t) nos pontos B e F; 
c) Determine a aceleração média nos intervalos AD e AF; 
d) Faça os gráficos t × x, t × v e t × a. 
 
t (s) 
0,0 A 
1,0 B 
2,0 C 
2,5 D 
3,5 E 
4,0 F 
 0 1 2 3 4 5 6 x(m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6 – Movimento com aceleração constante: 
 
Graficamente temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a constante Æ aceleração média é igual à aceleração instantânea! 
 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  11 
 
 
Dependência entre t e v: 
 
 
 
 
 
 
 
(Eq. 15) 
Dependência entre x e t:(Eq. 16) 
 
 
Deslocamento Æ x – xo 
 
 
 
 Variáveis Æ x, v, a e t 
 Condições iniciais Æ xo, vo 
 
 
Alguns problemas não informam o instante t, mas sim a velocidade v. Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Das Eqs. 15 e 16, eliminando t, teremos: 
 
{ }(Eq 17) 
 
Eliminando outras variáveis, encontramos duas outras equações que, somadas ao grupo, formam 
o conjunto de equações cinemáticas para a constante. 
ANÁLISE 
CINEMÁTICA 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  12 
 
 (Eq. 15) 
 (Eq. 16) 
 (Eq. 17) 
 (Eq. 18) 
 (Eq. 19) 
 
 
Exercício 4: 
 
Você freia o seu carro, reduzindo sua velocidade de 85 km/h para 45 km/h numa distância 
de 105 m. 
 
a) Qual é a aceleração, supondo que seja constante ao longo dessa distância? 
b) Que tempo decorre nesse percurso? 
c) Se você continuasse freando com a mesma aceleração, que tempo adicional seria 
necessário para parar e que distância adicional seria percorrida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 – Movimento unidimensional  13 
 
2.7 – Queda livre: 
 
Ex: Corpo que cai ao solo 
 
“Todos os corpos, quaisquer que sejam seus tamanhos, formas ou 
composição, caem com a mesma aceleração no mesmo local 
próximo da superfície da Terra” 
 
Aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2 
 
 
Equações da cinemática continuam válidas! 
 
MUDANÇAS: 
 
i) Eixo y (Direção do movimento) Æ Sentido positivo para cima 
ii) a Æ -g 
 
Logo: 
 
 (Eq. 20) 
 (Eq. 21) 
 (Eq. 22) 
 (Eq. 23) 
 (Eq. 24) 
 
Exercício 5: 
 
 Um corpo é largado e cai livremente a partir do repouso. Determine sua posição e 
velocidade após decorridos 1,0; 2,0; 3,0 e 4,0 s.