Aula 4 mecânica clássica

Prévia do material em texto

Mecânica Clássica
Prof. Bruno Leonardo Canto Martins (brunocanto@dfte.ufrn.br)
Capítulo 4 – MOVIMENTO BI E 
TRIDIMENSIONAL
Neste Capítulo: 
Combinação dos capítulos 2 e 3.
Ex: Lançamento de um projétil 
- Componentes vertical e horizontal
4.1 – Posição, velocidade e aceleração:
Instante →
Posição →
Velocidade →
Aceleração →
onde:
{ } (Eq. 1)
Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 1 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN
Centro de Ciências Exatas e da Terra - CCET
Departamento de Física Teórica e Experimental - DFTE
Caixa Postal 1524 - Campus Universitário Lagoa Nova
CEP 59072-970 Natal - RN - Brasil 
Movimento:
Deslocamento → 
Intervalo de tempo →
Velocidade média v : 
{ } (Eq. 2)
onde:
Logo, v possui a mesma direção e sentido de � r!
Do método gráfico:
{ } (Eq. 3)
Para � t → 0:
� r se aproxima da trajetória original (tangente à trajetória)!
v → v, logo:
{ } (Eq. 4)
Em termos das componentes:
(Eq. 5)
Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 2 
portanto,
{ } (Eq. 6)
Aceleração:
− Aceleração média (a):
{ } (Eq. 7)
− Aceleração instantânea (a):
{ } (Eq. 8)
− Componentes:
{ } (Eq. 9)
Exercício 1:
Uma partícula se move em um plano xy de tal forma que suas coordenadas x e y 
variam com o tempo de acordo com:
x(t) = t3 – 32t
y(t) = 5t2 + 12
onde x e y estão expressos em metros e t em segundos. 
Ache a posição, velocidade e aceleração da partícula quando t = 3s.
4.2 – Movimento com aceleração constante:
Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 3 
a não varia (módulo e sentido)
Logo,
ax, ay e az são constantes!
Ex: 
Temos:
{ } e { } (Eq. 10)
Do Capítulo 2,
(Eq. 11)
Equações Vetoriais (Eq. 12):
Exercício 2:
Uma partícula se move de modo que sua posição em função do tempo é:
r(t) = i + 4t2j + tk
Escreva expressões em função do tempo para:
a) Velocidade;
b) Aceleração;
c) Qual a forma da trajetória da partícula?
4.3 – Movimento de projéteis:
Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 4 
− Movimento bi-dimensional.
− Aceleração constante g (para baixo).
− vo no plano xy.
{ } e { } (Eq. 13)
como ax = 0, teremos:
{ } (Eq. 14)
“Componente horizontal da velocidade mantém seu valor inicial 
ao longo de todo o movimento.”
Vertical:
{ } (Eq. 15)
{ } e { } (Eq. 16)
Posição:
Para x:{ } (Eq. 17)
Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 5 
Para y: { } (Eq. 18)
Eliminando t, temos:
{ } (Eq. 19)
Equação da trajetória do projétil
Equação de uma parábola → { }
Alcance horizontal:
y = 0 na Eq. 19, logo:
{ } (Eq. 20)
ATENÇÃO → Alcance máximo:
Exercício 3:
Num concurso de soltar um pacote sobre um alvo, um avião concorrente está voando 
com velocidade horizontal constante de 155 km/h à altura de 225 m para um ponto 
diretamente acima do alvo. Qual o ângulo de visada � em que o pacote deve ser largado de 
modo a acertar o alvo?
Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 6 
Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 7 
4.4 – Movimento circular uniforme:
Projéteis:
1) Aceleração constante (módulo e sentido)
2) Velocidade varia (módulo e sentido)
Agora (Trajetória circular):
− Velocidade e aceleração:
1. Módulo → Constante
2. Direção e sentido → Variam
 
Onde:
{ } (Eq. 21)
{ } (Eq. 22)
{ } (Eq. 23)
logo:
{ } (Eq. 24)
→ { } (Eq. 25)
Portanto:
{ } (Eq. 26)
Módulo da aceleração média:
{ } (Eq. 27)
Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 8 
Aceleração instantânea:
− � t → 0:
� é pequeno (Aproximação de ângulos pequenos)
{ } (Eq. 28)
Portanto:
{ } (Eq. 29)
Então:
ATENÇÃO → Sentido de a = Sentido de � v
Direção de a → Radial
Sentido de a → Para dentro
Unidades de aceleração centrípeta:
Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 9 
Exercício 4:
A Lua orbita em torno da Terra, fazendo uma revolução completa em 27,3 dias. 
Considere que a órbita seja circular e tenha raio de 238.000 milhas. Qual é o módulo da 
aceleração da Lua em direção à Terra?
Capítulo 4 – Movimento Bi e Tridimensional 10 
	Departamento de Física Teórica e Experimental - DFTE