11 Argumentos Regras de Inferencia

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n. 11 – Argumentos e Regras de Inferência 
 
A lógica formal lida com um tipo particular de argumento, 
denominado de argumento dedutivo, que nos permite deduzir 
uma conclusão 𝑄, com base num conjunto de proposições 
𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 as quais representam fórmulas inteiras bem-
formadas da lógica proposicional (e não apenas proposições 
simples). 
Cabe à lógica matemática instituir os métodos e técnicas que 
possibilitem avaliar a legitimidade de quaisquer que sejam os 
raciocínios que possam ser formalizados segundo os pressupostos 
do cálculo proposicional. Tais métodos e técnicas constituem a 
base da teoria da argumentação à qual é condição necessária e 
suficiente para se estabelecer as regras de validade na chamada 
Análise Inferencial. 
 
 
ARGUMENTO 
 
Chama-se argumento toda afirmação de que uma dada 
sequência finita de proposições 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 tem como 
consequência uma proposição final 𝑄. 
As proposições 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 são chamadas de premissas 
do argumento, ou hipóteses e a proposição final 𝑄 chama-se 
conclusão do argumento. 
 
Um argumento de premissas 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 e de conclusão 
𝑄 é indicado de forma simbólica por 
𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 𝑄 
 
O símbolo é chamado traço de asserção, ele afirma que 
se a proposição 𝑄, à sua direita, pode ser deduzido utilizando 
como premissas somente as proposições que estão à sua 
esquerda: 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 . 
 
Formas de leitura: 
i. 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 acarretam 𝑄 
ii. 𝑄 decorre de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 
iii. 𝑄 se deduz de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 
iv. 𝑄 se infere de 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 
 
Um argumento de premissas 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 e conclusão 𝑄 
pode também ser indicado através da forma: 
 
 
𝑃1
𝑃2
⋮
𝑃𝑛
𝑄
 
 
Argumentos Válidos 
 
Def.: Um argumento 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 𝑄 diz-se 
válido se e somente se, a conclusão 𝑄 é verdadeira, todas as vezes 
que as premissas forem verdadeiras. 
Portanto, todo argumento válido goza das seguintes 
propriedades “A verdade das premissas é incompatível com a 
falsidade da conclusão”. 
Um argumento não válido é chamado de sofisma (ou 
falácia). 
A lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e 
não com a verdade ou falsidade das premissas e das conclusões. 
 
CRITÉRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO 
 
Teorema: Um argumento 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 𝑄 é válido 
se, e somente se a condicional (𝑃1 ˄ 𝑃2 ˄ 𝑃3 ˄ … ˄ 𝑃𝑛) → 𝑄 for 
tautológica. 
 
Dem. 
As premissas 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 são todas verdadeiras se e 
somente se a proposição (𝑃1 ˄ 𝑃2 ˄ 𝑃3 ˄ … ˄ 𝑃𝑛) é verdadeira. 
Logo, o argumento 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 𝑄 é válido se e 
somente se a conclusão 𝑄 é verdadeira todas as vezes que a 
proposição 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛 é verdadeira, ou seja, se e somente se 
a proposição (𝑃1 ˄ 𝑃2 ˄ 𝑃3 ˄ … ˄ 𝑃𝑛) implica logicamente a 
conclusão 𝑄. 
(𝑃1 ˄ 𝑃2 ˄ 𝑃3 ˄ … ˄ 𝑃𝑛) ⟹ 𝑄 
Ou, o que é equivalente a condicional ser tautológica. 
 
A validade de um argumento depende tão somente da 
relação existe entre as premissas e a conclusão. Logo, afirmar que 
um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas 
estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é 
possível ter a conclusão falsa se as premissas forem verdadeiras. 
Por exemplo, do argumento válido 𝑝 𝑝 ˅ 𝑞 segue-se 
a validade dos argumentos: 
(~𝑝 ˄ 𝑟) (~𝑝 ˄ 𝑟) ˅ (~𝑠 → 𝑟) 
(𝑝 → 𝑟 ˅ 𝑠) (𝑝 → 𝑟 ˅ 𝑠) ˅ (~𝑟 ˄ 𝑠) 
Pois, ambos tem a mesma forma de 𝑝 𝑝 ˅ 𝑞. 
 
Portanto, a validade ou não-validade de um argumento 
depende apenas de sua forma e não de seu conteúdo ou da 
verdade e falsidade das proposições que o integram. 
A validade de um argumento pode ser verificada, 
demonstrada ou testada através das tabelas-verdade ou com o uso 
das regras de inferência. 
 
 
CONDICIONAL ASSOCIADA A UM ARGUMENTO 
 
Dado um argumento qualquer 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 𝑄 a este 
argumento corresponde a condicional (𝑃1 ˄ 𝑃2 ˄ … ˄ 𝑃𝑛) → 𝑄, cujo 
antecedente é a conjunção das premissas e cujo consequente é a 
conclusão denominada “condicional associada” ao argumento 
dado. 
Reciprocamente, a toda condicional corresponde um 
argumento cujas premissas são as diferentes proposições cuja 
conjunção formam o antecedente e cuja conclusão é o 
consequente. Exemplificando: 
 A “condicional associada” ao argumento: 
𝑝 ˄ ~𝑞 , 𝑝 → ~𝑟, 𝑞 ˅ ~𝑠 ~(𝑟 ˅ 𝑠) 
É 
(𝑝 ˄ ~𝑞) ˄ ( 𝑝 → ~𝑟) ˄ (𝑞 ˅ ~𝑠) → ~(𝑟 ˅ 𝑠) 
 
E, o “argumento correspondente” à condicional: 
(𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟) ˄ ~𝑠 ˄ (𝑞 ˅ 𝑟 → 𝑠) → (𝑠 → 𝑝 ˄ ~𝑞) 
É 
𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟, ~𝑠, 𝑞 ˅ 𝑟 → 𝑠 𝑠 → 𝑝 ˄ ~𝑞 
 
 
ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS 
 
São argumentos válidos fundamentais ou básicos (de uso 
corrente): 
 
I. Adição AD i. 𝑝 𝑝 ˅ 𝑞 ii. 𝑝 𝑞 ˅ 𝑝 
 
II. Simplificação SIMP i. 𝑝 ˄ 𝑞 𝑝 ii. 𝑝 ˄ 𝑞 𝑞 
 
III. Conjunção CONJ i. 𝑝, 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 ii. 𝑝, 𝑞 𝑞 ˄ 𝑝 
 
IV. Absorção ABS 𝑝 → 𝑞 𝑝 → (𝑝 ˄ 𝑞 ) 
 
V. Modus ponens MP 𝑝 → 𝑞 , 𝑝 𝑞 
 
VI. Modus tollens MT 𝑝 → 𝑞 , ~𝑞 ~ 𝑝 
 
VII. Silogismo Disjuntivo SD i. 𝑝 ˅ 𝑞, ~𝑝 𝑞 ii. 𝑝 ˅ 𝑞, ~𝑞 𝑝 
 
VIII. Silogismo Hipotético SH 𝑝 → 𝑞, 𝑞 → 𝑟 𝑝 → 𝑟 
 
IX. Dilema Construtivo DC 𝑝 → 𝑞, 𝑟 → 𝑠, 𝑝 ˅ 𝑟 𝑞 ˅ 𝑠 
 
X. Dilema Destrutivo DD 𝑝 → 𝑞, 𝑟 → 𝑠, ~𝑞 ˅ ~𝑠 ~𝑝 ˅ ~𝑟 
 
Exercício 
1. Verifique a validade dos argumentos fundamentais pela 
condicional associada: 
a. 𝑝 𝑝 ˅ 𝑞 
b. 𝑝 𝑞 ˅ 𝑝 
c. 𝑝 ˄ 𝑞 𝑝 
d. 𝑝 ˄ 𝑞 𝑞 
e. 𝑝, 𝑞 𝑝 ˄ 𝑞 
f. 𝑝, 𝑞 𝑞 ˄ 𝑝 
g. 𝑝 → 𝑞 𝑝 → (𝑝 ˄ 𝑞 ) 
h. 𝑝 → 𝑞 , 𝑝 𝑞 
i. 𝑝 → 𝑞 , ~𝑞 ~ 𝑝 
j. 𝑝 ˅ 𝑞, ~𝑝 𝑞 
k. 𝑝 ˅ 𝑞, ~𝑞 𝑝 
l. 𝑝 → 𝑞, 𝑞 → 𝑟 𝑝 → 𝑟 
m. 𝑝 → 𝑞, 𝑟 → 𝑠, 𝑝 ˅ 𝑟 𝑞 ˅ 𝑠 
n. 𝑝 → 𝑞, 𝑟 → 𝑠, ~𝑞 ˅ ~𝑠 ~𝑝 ˅ ~𝑟 
 
Resolução: 
n. 𝑝 → 𝑞, 𝑟 → 𝑠, ~𝑞 ˅ ~𝑠 ~𝑝 ˅ ~𝑟 
(𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑟 → 𝑠) ˄ (~𝑞 ˅ ~𝑠) → (~𝑝 ˅ ~𝑟) 
 
Lembrando que: 𝑃1, 𝑃2, … , 𝑃𝑛 𝑄 
 (𝑃1 ˄ 𝑃2 ˄ … ˄ 𝑃𝑛) → 𝑄 
 
𝑃1: (𝑝 → 𝑞) 
𝑃2: (𝑟 → 𝑠) 
𝑃3: (~𝑞 ˅ ~𝑠) 
𝑄: (~𝑝 ˅ ~𝑟) 
 
(𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑟 → 𝑠) ˄(~𝑞 ˅ ~𝑠) → (~𝑝 ˅ ~𝑟) 
 
 𝑃1 𝑃2 𝑃3 𝑄 
𝑝 𝑞 𝑟 𝑠 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑟 ~𝑠 𝑝 → 𝑞 (𝑟 → 𝑠) (~𝑞 ˅ ~𝑠) (~𝑝 ˅ ~𝑟) 
V V V V F F F F V V F F 
V V V F F F F V V F V F 
V V F V F F V F V V F V 
V V F F F F V V V V V V 
V F V V F V F F F V V F 
V F V F F V F V F F V F 
V F F V F V V F F V V V 
V F F F F V V V F V V V 
F V V V V F F F V V F V 
F V V F V F F V V F V V 
F V F V V F V F V V F V 
F V F F V F V V V V V V 
F F V V V V F F V V V V 
F F V F V V F V V F V V 
F F F V V V V F V V V V 
F F F F V V V V V V V V 
 
Resposta: O argumento 𝑝 → 𝑞, 𝑟 → 𝑠, ~𝑞 ˅ ~𝑠 ~𝑝 ˅ ~𝑟 é 
válido, pois ~𝑝 ˅ ~𝑟 (a conclusão) é verdadeira todas as vezes 
que as premissas 𝑝 → 𝑞, 𝑟 → 𝑠, ~𝑞 ˅ ~𝑠 são verdadeiras. 
 
 
REGRAS DE INFERÊNCIA 
 
Os argumentos vistos anteriormente são usados para fazer 
inferências, ou seja, executar passos de uma dedução ou 
demonstração, por isso são chamadas de regras de inferência. 
Usualmente costuma-se escrevê-los colocando as premissassobre um traço horizontal e, em seguida, a conclusão sob o mesmo 
traço. 
 
I. Regra da Adição AD 𝑖. 
 𝑝 
𝑝 ˅ 𝑞 
 
 𝑖𝑖. 
 𝑝 
𝑞 ˅ 𝑝 
 
 
II. Regra da Simplificação SIMP 𝑖. 
 𝑝 ˄ 𝑞 
𝑝 
 
 𝑖𝑖. 
 𝑝 ˄ 𝑞 
𝑞 
 
 
III. Regra da Conjunção CONJ 𝑖. 
 
𝑝
𝑞 
 𝑝 ˄ 𝑞
 
 
 𝑖𝑖. 
 
𝑝
𝑞 
 𝑞 ˄ 𝑝
 
 
 
IV. Regra da Absorção ABS 
 𝑝 → 𝑞 
 𝑝 → (𝑝 ˄ 𝑞 ) 
 
 
 
V. Regra Modus ponens MP 
 
𝑝 → 𝑞
𝑝 
𝑞 
 
 
Forma de leitura: Se 𝑝 é verdade e 𝑝 → 𝑞 é verdade 
 então necessariamente 𝑞 é verdade. 
 
 
VI. Regra Modus tollens MT 
 
𝑝 → 𝑞 
~𝑞 
~𝑝 
 
 
Forma de leitura: Se ~𝑞 é verdade e 𝑝 → 𝑞 é verdade 
 então necessariamente ~𝑝 é verdade. 
 
VII. Regra do Silogismo Disjuntivo SD 𝑖. 
 
𝑝 ˅ 𝑞 
~𝑝 
𝑞 
 
 
 𝑖𝑖. 
 
𝑝 ˅ 𝑞 
~𝑞 
𝑝 
 
 
 
VIII. Regra do Silogismo Hipotético 
 
SH 
 
𝑝 → 𝑞
 𝑞 → 𝑟 
𝑝 → 𝑟 
 
 
IX. 
Regra do Dilema Construtivo 
 
DC 
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑠
 𝑝 ˅ 𝑟 
𝑞 ˅ 𝑠
 
 
 
X. 
Regra do Dilema Destrutivo 
 
DD 
𝑝 → 𝑞
𝑟 → 𝑠
 ~𝑞 ˅ ~𝑠 
~𝑝 ˅ ~𝑟
 
 
 
 
EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA 
 
I. REGRA DA ADIÇÃO (AD): Dada uma proposição 𝑝, dela pode-
se deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição. 
 
𝑖. 
𝑝 
𝑝 ˅ 𝑞 
 
𝑖𝑖. 
~𝑝 
𝑞 ˅ ~𝑝 
 
𝑖𝑖𝑖. 
𝑝 ˅ 𝑞 
(𝑟 ˄ 𝑠) ˅ (𝑝 ˅ 𝑞) 
 
 
𝑖𝑣. 
𝑝 ˄ 𝑞 
(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ 𝑟 
 
 
II. REGRA DA SIMPLIFICAÇÃO (SIMP): Da conjunção 𝑝 ˄ 𝑞 de 
duas proposições pode-se deduzir cada uma das seguintes 
proposições 𝑝 𝑜𝑢 𝑞 
 
 𝑖. 
(𝑝 ˅ 𝑞) ˄ 𝑟
(𝑝 ˅ 𝑞) 
 𝑜𝑢 
(𝑝 ˅ 𝑞) ˄ 𝑟
𝑟 
 
 
𝑖𝑖. 
𝑝 ˄ ~𝑞
𝑝 𝑜𝑢 
𝑝 ˄ ~𝑞
~𝑞 
 
𝑖𝑖𝑖. 
𝑥 > 0 ˄ 𝑥 ≠ 1
𝑥 ≠ 1 
 𝑜𝑢 
𝑥 > 0 ˄ 𝑥 ≠ 1
𝑥 > 0 
 
 
III. REGRA DA CONJUNÇÃO (CONJ): Permite deduzir de duas 
proposições dados 𝑝 𝑒 𝑞 (premissas) a sua conjunção 
𝑝 ˄ 𝑞 ou 𝑞 ˄ 𝑝 (conclusão) 
 
𝑖. 
 
𝑝 ˅ 𝑞
~𝑟 
 
(𝑝 ˅ 𝑞) ˄ ~𝑟
 
 
𝑖𝑖. 
 
𝑝 ˅ 𝑞
𝑞 ˅ 𝑟 
(𝑝 ˅ 𝑞) ˄ (𝑞 ˅ 𝑟)
 
 
𝑖𝑖𝑖. 
 
𝑥 < 5
𝑥 > 1
 
(𝑥 < 5) ˄ (𝑥 > 1)
 
 
IV. REGRA DA ABSORÇÃO (ABS): A partir de uma condicional 
(premissa) permite deduzir como conclusão uma outra 
condicional com o mesmo antecedente 𝑝 e cujo consequente 
é a conjunção 𝑝 ˄ 𝑞 das duas proposições que integram a 
premissa, isto é: 𝑝 → 𝑝 ˄ 𝑞 
 
𝑖. 
𝑥 = 2 → 𝑥 < 3 
𝑥 = 2 → (𝑥 = 2 ˄ 𝑥 < 3) 
 
 
𝑖𝑖. 
𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵 
𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑥 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵) 
 
 
V. REGRA MODUS PONENS (MP): Permite deduzir q (conclusão) 
a partir de 𝑝 → 𝑞 e 𝑝 (premissas) 
 
𝑖. 
 
~𝑝 → ~𝑞
~𝑝 
 ~𝑞 
 
 
𝑖𝑖. 
 
𝑝 ˄ 𝑞 → 𝑟
𝑝 ˄ 𝑞 
𝑟 
 
 
𝑖𝑖𝑖. 
 
𝑥 ≠ 0 → 𝑥 + 𝑦 > 1
𝑥 ≠ 0 
 
𝑥 + 𝑦 > 1 
 
 
VI. REGRA MODUS TOLENS (MT): Permite a partir das 
premissas 𝑝 → 𝑞 (condicional) a ~𝑞 (negação do 
consequente) deduzir como conclusão ~𝑝 (negação do 
antecedente). 
 
𝑖. 
 
𝑝 ˄ 𝑟 → 𝑠
~𝑠 
 
 ~(𝑝 ˄ 𝑟) 
 
 
𝑖𝑖. 
 
𝑝 → 𝑞 ˅ 𝑟 
~(𝑞 ˅ 𝑟) 
~𝑝 
 
 
𝑖𝑖𝑖. 
 
𝑥 ≠ 0 → 𝑥 = 𝑦 
𝑥 ≠ 𝑦 
 
𝑥 = 0 
 
 
VII. REGRA DO SILOGISMO DISJUNTIVO (SD): Permite deduzir da 
disjunção p v q de duas proposições e da negação 
~𝑝 (ou ~𝑞 ) de uma delas a outra proposição 𝑞 (ou p ). 
 
𝑖. 
 
(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ 𝑟
~𝑟 
 
 𝑝 ˄ 𝑞 
 
 
𝑖𝑖. 
 
~𝑝 ˅ ~𝑞 
~(~𝑝) 
~𝑞 
 
 
𝑖𝑖𝑖. 
 
𝑥 = 0 ˅ 𝑥 = 1 
𝑥 ≠ 1 
 
𝑥 = 0 
 
 
VIII. REGRA DO SILOGISMO HIPOTÉTICO (SH): Dadas duas 
condicionais 𝑝 → 𝑞 e q → 𝑟 (premissa) tais que o 
consequente da primeira coincide como antecedente da 
Segunda, esta regra permite deduzir uma terceira 
condicional 𝑝 → 𝑟 ( conclusão) cujo antecedente e 
consequente são respectivamente o antecedente da premissa 
𝑝 → 𝑞 e o consequente da outra premissa. 
 
𝑖. 
 
~𝑝 → ~𝑞 
~𝑞 → ~𝑟 
 ~𝑝 → ~𝑟 
 
 
𝑖𝑖. 
 
(𝑝 → 𝑞) → 𝑟 
𝑟 → (𝑞 ˄ 𝑠) 
 
(𝑝 → 𝑞) → (𝑞 ˄ 𝑠) 
 
 
IX. REGRA DO DILEMA CONSTRUTIVO (DC): Nesta regra as 
premissas são duas condicionais e a disjunção dos seus 
antecedentes, a conclusão é a disjunção dos consequentes 
dos condicionais. 
 
𝑖. 
 
(𝑝 ˄ 𝑞) → ~𝑟 
𝑠 → 𝑡 
(𝑝 ˄ 𝑞) ˅ 𝑠 
 
 ~𝑟 ˅ 𝑡 
 
 
𝑖𝑖. 
 
𝑥 < 𝑦 → 𝑥 = 2 
𝑥 ≮ 𝑦 → 𝑥 > 2 
𝑥 < 𝑦 ˅ 𝑥 ≮ 𝑦 
 
 𝑥 = 2 ˅ 𝑥 > 2 
 
 
X. REGRA DO DILEMA DESTRUTIVO (DD): As premissas são 
duas condicionais e a disjunção da negação dos seus 
consequentes, a conclusão é a disjunção da negação dos 
antecedentes desta condicional. 
 
𝑖. 
 
~𝑞 → 𝑟 
𝑝 → ~𝑠 
~𝑟 ˅ ~~𝑠 
 
 ~~𝑞 ˅ ~𝑝 
 
 
𝑖𝑖. 
 
𝑥 + 𝑦 = 7 → 𝑥 = 2 
𝑦 − 𝑥 = 2 → 𝑥 = 3 
𝑥 ≠ 2 ˅ 𝑥 ≠ 3 
 
 𝑥 + 𝑦 ≠ 7 ˅ 𝑦 − 𝑥 ≠ 2 
 
 
 
Exercícios: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resoluções: 
1) Construir a “condicional associada” a cada um dos seguintes argumentos: 
a) ~ p , ( ~ q → p) | q 
 ~ p  ( ~ q → p) →q 
b) p → q | ~ (p  ~ q) 
(p → q) → ~ (p  ~ q) 
c) p → q, ~ q  ( r  s) | r  s 
(p → q)  (~ q  ( r  s)) → r  s 
d) x = y → x = 5, x = 5 → x < z | x = y → x < z 
 (x = y → x = 5)  ( x = 5 → x < z) → (x = y → x < z) 
2) Construir o argumento (premissas e conclusão) correspondente a cada uma das seguintes 
condicionais: 
a) p  ( q  ~ p) → q 
p , ( q  ~ p) | q 
b) (p → q)  (p  ~q) → s 
(p → q) , (p  ~q) | s 
c) ~ ( x < 0  y≠ x) → x ≥ 0  y = x 
~ ( x < 0  y≠ x) | x ≥ 0  y = x 
3) Indicar a Regra de Inferência que justifica a validade dos seguintes argumentos: 
a) p → q | (p → q)  ~ r adição 
b) ~ p  (q → r) | ~p simplificação 
c) p → q, q → ~ r |p → ~r Silogismo Hipotético 
d) p → (q → r), p |q → r Modus Ponens 
e) (q  r) → ~ p, p | ~ (q  r) Modus Tollens 
f) p → q, r → ~s | (p → q)  (r → ~s) Conjunção 
g) (p  q)  ( ~ p  r), ~ (~ p  r) | p  q Silogismo Disjuntivo 
h) p → q  r | p → p  (q  r) Absorção 
i)x + y = z → y + x = z, x + y = z |y + x = z Modus Ponens 
j) x > y → x = z, x ≠ z | x ≤ y Modus Tollens 
k) x ≠ 0, x ≠ 1 | x ≠ 0  x ≠ 1 Conjunção 
l) 3 < 5 | 3 <5  3 < 2 Adição 
m) x < 0  x = 1, x ≠ 1 | x< 0 Silogismo Disjuntivo 
n) x = 1 → x < 3, x < 3 → x + y< 5 |x = 1 → x + y < 5 Silogismo Hipotético 
o) n > 3  n < 4 | n < 4 Simplificação 
4) Usar a regra “Modus Ponens” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de 
premissas: 
a) x = y  y = z b) x + y = 0 → x = 0 
 
(x = y  y = z ) → x = z x + y = 0 
 x = z x = 0 
 
c) ( x > y  y > z ) → x > z d) 2 > 1 → 3 > 1 
 
 x > y  y > z 2 >1 . 
 x > z 3 > 1 
 
 e) x + 1 = 2 f) x + 0 = y → x = y 
 x + 1 = 2 → y + 1 = 2 x + 0 = y . 
 y + 1 = 2 x = y 
 
5) Usar a regra “Modus tollens” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes pares de 
premissas: 
a) x ≠ 0 → x + y ≠ y b) x = z → x = 6 
 
 x + y = y x ≠ 6 
 x = 0 x ≠ z 
 
 
b) (p q) → ~ (r  s) d) x > 3 → x > y 
 (r s) x≤ y 
 ~ (p  q) x≤ 3 
 
6) Usar a regra do “Silogismo Disjuntivo” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes 
pares de premissas: 
a) x + 8 = 12  x ≠ 4 b) y < b  x + y < 10 
 
 x + 8 ≠ 12 . x + y ≥ 10 
 x ≠ 4 y < b 
b) s  (r  t) d) ~ p  ~ q 
 ~s . q 
 ( r  t ) ~ p 
7) Usar a regra do “Silogismo Hipotético” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes 
pares de premissas: 
a) p → r v ~s b) x = 3 → x < y 
 r  ~s → t x < y → x ≠ z 
 p → t x = 3 → x ≠ z 
 
 
c) s  t → r  q d) xy = 6 → xy + 5= 11 
 r  q → ~s → t xy + 5=11 → y = 2 
 s  t → (~s → t) xy = 6 → y = 2 
8) Usar a regra do “Dilema Construtivo” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes ternos 
de premissas: 
a) p → r b) x = 5  x < y 
 
 ~q→ ~s x = 5 → x > 3 
 
 p  ~q x < y → x < 2 . 
 
 r  ~ s x > 3  x < 2 
 
 
c) y = 0 → xy = 0 d) x = 2 → x2 = 4 
 y> 1 → xy> 3 x = 2  y = 3 
 y = 0  y > 1 y = 3 → y2 = 9 
 xy = 0  xy > 3 x2 = 4  y2 = 9 
 
 
9) Usar a regra do “Dilema Destrutivo” para deduzir a conclusão de cada um dos seguintes ternos 
de premissas: 
a) p  q → r b) p → ~ r  q 
 
 q → r  s ~(~r  q)  ~ s 
 
 ~ r  ~ (r  s) ~ q → s . 
 ~ (p  q)  ~ q ~ p  q 
 
 
 
c) x < 3 → x ≠ y d) y ≠ 9  y ≠ 18 
 x > 4 → x < y x = 2 → y = 9 
 x= y  x ≥ y . x = 8 → y = 18 
 x ≥ 3  x ≤ 4 x ≠ 2  x ± 8 
 
 
10) Demonstrar a não validade dos seguintes argumentos pelo 
“Método de atribuição de valores lógicos”: 
 
a) p → q, r → s, p  s | q  r 
b) (p  q), ~ p  ~q→ r  s, s→ r | r 
c) p  q  r, q  p  r, r  p  q, ~p | q  r 
d) p → q  r, s  r, ~p  q | ~ p  q 
e) (p→q) → r, r → ~ s  t, (s → t) → u, u | p → q 
f) p→(q→ r), s → (t→ v), q → s  t, ~ (q v) | p  r 
Os exercícios a seguir foram retirados de: 
http://www.ppgia.pucpr.br/~fabricio/ftp/Aulas/Engenharia%20da%20Computa%87%C6o/
Logica%20Matematica/Logica%20(Semanas%205%206%207%208).doc. Acesso em: 05 abr. 
2017. 
1. Verifique a validade de: (p  q)  (p  q), (p  q)  p  q 
 
𝑃1: (𝑝 ˄ 𝑞)˅(𝑝 → 𝑞) 
𝑃2: ~ (𝑝 ˄ 𝑞) 
𝑄: (𝑝 → 𝑞) 
 
Resposta: Q é dedutível de 𝑃1 𝑒 𝑃2 pela Regra do silogismo 
disjuntivo. 
 
2. Considere os argumentos a seguir e julgue sua validade. 
 
a. Se as uvas caem, então a raposa as come. 
Se a raposa as come, então estão maduras. 
As uvas estão verdes ou caem. 
Logo, 
A raposa come as uvas se e somente se as uvas caem. 
 
𝑝: as uvas caem 
𝑞: a raposa as come 
𝑟: estão maduras 
~𝑟: estão verdes 
 
𝑃1: 𝑝 → 𝑞 
𝑃2: 𝑞 → 𝑟 
𝑃3: ~𝑟 ˅ 𝑝 
𝑄: 𝑞 ↔ 𝑝 
 
1. 𝑝 → 𝑞 
2. 𝑞 → 𝑟 
3. ~𝑟 ˅ 𝑝 
4. 𝑟 → 𝑝 (𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 3) 
5. 𝑞 → 𝑝 (𝑠𝑖𝑙𝑜𝑔𝑖𝑠𝑚𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡é𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 2 𝑒 4) 
6. (𝑝 → 𝑞) ˄ (𝑞 → 𝑝) (𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 1 𝑒 5) 
7. 𝑝 ↔ 𝑞 (𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 6) 
 
 
b. Carlos estuda ou não está cansado. 
Se Carlos estuda, então dorme tarde. 
Carlos não dorme tarde ou está cansado. 
Logo, 
Carlos está cansado se e somente se estuda. 
 
p: Carlos estuda 
q: Carlos está cansado 
r: Carlos dorme tarde 
Tem-se: 
 1 p  q 
2 p  r 
3 r  q 
4 q  p Equivalência 1 
5 r  q Equivalência 3 
6 p  q Silogismo Hipotético 2,5 
7 (p  q)  (q  p) Conjunção 4,6 
8 p  q Equivalência 7 
 
 
3. Indicar a Regra de Inferência que justifica a validade dos 
seguintes argumentos: 
a) p  q  (p  q)  r 
b) p  (q  r)  p 
c) p  q, q  r  p  r 
d) p  (q  r), p  q  r 
e) (q  r)  p, p  (q  r) 
f) p  q, r  s  (p  q)  (r  s) 
g) (p  q)  (p  r), (p  r)  p  q 
h) x + y = z  y + x = z, x + y = z  y + x = z 
i) x  0, x  1  x 0  x  1 
 
4. A seguir são apresentadas premissas e suas conclusões em 
linguagem natural. Responda a conclusão obtida através das 
premissas e qual regra de inferência assegura a verdade das 
conclusões, admitindo a verdade das premissas. 
a) Se estou no Rio, fico em Copacabana. Estou no rio. 
A regra aplicada é Modus Ponens e a conclusão é “Fico em 
Copacabana”. 
b) Se não ensaio ou não estudo, então não obtenho bons 
resultados. Não ensaio ou não estudo. 
c) Se são 18 horas, o banco fechou. São 18 horas. 
d) Se tenho dinheiro, vou ao teatro ou ao cinema. Não vou ao 
teatro ou ao cinema. 
e) Se trabalho, consigo dinheiro para divertir-me. Não consigo 
dinheiro para divertir-me. 
f) Se o átomo fosse indivisível, não teríamos descoberto os 
prótons e elétrons. Estes últimos foram descobertos. 
g) Se estudo, não me sobra tempo para ganhar dinheiro. Se não 
me sobrar tempo para ganhar dinheiro, terei de viver com a 
mesada. 
h) Se resolver curar os livros indicados, não me sobra dinheiro 
para levar minha namorada ao cinema. Se não sobrar dinheiro 
para levar minha namorada ao cinema, ela ficará triste. 
 
5. Usar as regras de MP e MT para deduzir as conclusões a 
partir das premissas: 
a) p q, q, p r  r 
b) p  (q  s), (q  s),p  r, r  t  t 
c) r  s  t, (s  t), r  p, p  r 
 
6. Deduzir utilizando a regra de SH. 
a) p q, q  r, r  s  p  s 
b) (p  q)  (r  s), t  u,( r  s)  t  p  q  u 
c) p  r, s  t, r  u, u  s  p  t 
 
7. Deduzir a conclusão a partir das premissas utilizando MP e 
SH. 
a) p  q, p, q  r  r 
b) p  q  r, r  s, p  q, s  t  t 
c) t  p, p  s, t, s  q  q 
d) p  q  r, s  p, q  r  t, t  s 
 
8. Deduzir através de MT e SH 
a) p  q, q  r, r  p 
b) p  r  s, t  u, r  s t, u  p 
c) p  h  r, s  s  t, (s  t), p  u 
d) s, r  t, t  s, r s, p  t s 
 
9. Deduzir através de MP, MT e SH. 
a) p  q, q  r, r, p  s  s 
b) v  r, u  v, s  p, s  u, p  r 
c) r  t, p  (q  s), r  p, (q  s)  t 
d) t  u, s, (p  q)  r, r  s, (p  q)  t  u 
 
10. Deduzir através de MP, MT, SH, SD. 
a) p q, q r, r, p  s, s  t  t 
b) p  q, p  r, r  s, q, t  s  t 
c) p  q, p, q  (r  s), s  t, t  r 
 
11. Deduzir envolvendo MP, MT, SH, SD e equivalências. 
a) p  q, p  q 
b) p  q, p  r, r  s, q  s 
c) p  q, s r, q  s  r  p 
 
12. Indicar a conclusão que se pode obter a partir do conjunto 
de premissas a seguir aplicando-se a regra do Dilema 
Construtivo. 
a) (p  q)  ((r  s)  t), p  (r  s)  
b) (p  q)  (s  t), p  s  
c) (p  (r  (s  t)))  (q  (r  (t  u))), p  q  
 
13. Indicar em linguagem natural a conclusão que se pode 
obter a partir da aplicação do dilema construtivo sobre as 
seguintes premissas: 
a) Se vou ao cinema alegro-me e se vou ao concerto educo-me. 
Vou ao cinema ou vou ao concerto. 
b) Se o marido pagou a prestação, a apólice está em vigor e se a 
mulher perdeu o recibo o prêmio não será pago. O marido 
pagou a prestação ou a mulher perdeu o recibo. 
 
14. Deduzir a conclusão a partir das premissas através de MP, 
SD, e DC. 
a) (p  q)  (r  s), p  r, (q  s)  t  t 
b) p  ((q  r)  (s  t)), q  s, p  r  t 
c) ((p  q)  (r  s))  ((t  u)  (v  w)), (p  q)  (t  
u), (v  w)  r s 
 
15. Indicar em linguagem natural a conclusão obtida através da 
aplicação da regra de Dilema Destrutivo sobre as premissas 
a) Se fico em São Paulo vou ao teatro e se fico no Rio vou à praia. 
Não vou ao teatro ou não vou à praia. 
b) Se viajo para a Europa visito Paris e se viajo para os Estados 
Unidos visito New York. Não visito Paris ou não visito New 
York. 
 
16. Indicar a conclusão que se pode obter aplicando a regra do 
Dilema Destrutivo sobre as seguintes premissas: 
a) (p  q  r)  (s  t  r), (q  r)  (t  r)  
b) (p  (q  r))  ( s  t), (q  r)  t  
c) ( (s  t)  p)  (r  s), p  s  
 
17. Deduzir a conclusão das premissas através de DD e 
equivalências. 
a) (p  q)  (r  s), (q  s)  p  r 
b) (q  r  p)  (t  u  s), p  s  (q  r)  (t  u) 
c) (p  q)  (p  r), q  r  p 
d) (p  q)  (r  s), q  s  (p  r) 
 
18. Deduzir a conclusão a partir das premissas utilizando MP, 
MT, SD, SH, DC, DD e equivalências: 
a) ((q  r)  s)  (p  t), p, r  u, t  s  r 
b) ((p  q)  (r  s))  ((t  u)  (v  x)), p  t, (r  s) 
 (v  x)  u 
 
19. Deduzir as conclusões através do MP, Conjunções e 
Equivalências: 
a) p, q, (p  q)  (r  s)  r  s 
b) p  q, (p  r), r  q  r 
c) p, q  q, (p  q)  r  r 
 
20. Deduzir através de MP, MT, SH, Conjunções e Equivalências: 
a) ((p  q)  r)  s, (r  s)  (t  u), u  t 
b) (p  q)  r, s  t, (p  s), q  t, u  r  u 
c) (p  q), q  r, r  s  p  s 
 
21. Deduzir através de MP, MT, SH, SD, DC, DD, Conjunções e 
Equivalências: 
a) p  q, r  s, p  r, s  q  q 
b) p  q, r s, t  r, r, q  s  p 
c) p  q, p  r, p  p, r  q 
 
22. Deduzir utilizando qualquer Regra de Inferência: 
a) p  q, q  r, q  r  p 
b) p  q, t, r  s, q  r  (s  p)  t 
c) (p  q)  r, s, p, q  r 
 
21. Deduzir a conclusão a partir das premissas expressas em 
linguagem natural: 
a) A festa está animada, embora Mário esteja de saída e como 
ainda é cedo, Vera deverá chegar. Conclusão: Vera chegará, 
embora Mário esteja saindo. 
b) A teoria dos jogos e a teoria dos reticulados podem ser úteis 
para o aprendizado, embora alguns outros meios sejam 
igualmente interessantes. Conclusão: Mesmo havendo outros 
meios, os reticulados são de interesse para o aprendizado. 
c) Nosso aparelho de som funcionará à base de discos ou fiatas 
ou será quadrifônico e será o mais moderno existente. Não é 
fato que operará à base de discos ou será o mais moderno 
existente. Logo, funcionará com fitas. 
d) Se estudamos lógica, não se dá que: apreciemos o simbolismo 
e não nos impressionemos com a implicação material. Não 
acontece o seguinte: não apreciamos o simbolismo ou a 
simplificação obtida com os quantificadores, mas nos 
impressionamos com a implicação material. Estudamos lógica 
e não apreciamos a simplificação obtida com os 
quantificadores. Logo, ficamos impressionados com a 
implicação material se e somente se apreciamos o 
simbolismo. 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, Nobel, 2002. 
 
CARVALHO, Sérgio; CAMPOS, Weber. Raciocínio Lógico Simplificado. V. 1. Rio de Janeiro: 
Elsevier. 2010 
 
CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 6 ed. São Paulo: Nobel, 1984. 
 
GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, Valdeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma 
introdução à lógica matemática, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: 
Eduem, 2008. 
 
Exercícios de Lógica. Disponível em: < 
http://www.ppgia.pucpr.br/~fabricio/ftp/Aulas/Engenharia%20da%20Computa%87%C6o/
Logica%20Matematica/Logica%20(Semanas%205%206%207%208).doc.> Acesso em: 05 
abr. 2017. 
 
BENEVIDES. Paula Francis. Raciocínio Lógico. Disponível em: 
<http://paginapessoal.utfpr.edu.br/paulabenevides/raciocinio-logico-
quantitativo/raciocinio-logica-quantitativo/copy_of_RaciocinioLogicoQuantitativo.pdf> 
Acesso em: 06 abr. 2017.