Apostila CA 3a Edição

Prévia do material em texto

2  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
    
   3  
  
Silva,  Ricardo  José  Carvalho  
Concreto  Armado  
3a  Edição  (Março/2017)  
Sobral:  Universidade  Estadual  vale  do  Acaraú,  Centro  de  Ciências  Exatas  e  
Tecnologia,  Engenharia  Civil,  2017.  
  
1.  Ações                                2.  Dimensionamento                                3.  Detalhamento      
4.  Verificações                                    5.  Estruturas  de  concreto  armado  
  
  
  
  
  
  
  
Capa:  A  foto  da  capa  mostra  o  edifício  SHAMS  ABU  DHABI  de  75  andares  em  Abu  
Dhabi  (próximo  a  Dubai)  que  foi  calculado  em  2008  pelo  Prof.  Ricardo  Carvalho,  
prestando  serviço  através  do  escritório  Hepta  Engenharia  Estrutural  (Fortaleza-­CE)  
ao  escritório  Adapt  (Nova  Iorque-­EUA)  do  Eng.  Bijan  Alami.  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
CONCRETO  ARMADO  
  (3a  Edição  –  Março/2017)  
  
  
  
  
  
  
Ricardo  José  Carvalho  Silva  
Professor  Efetivo  da  Universidade  Estadual  Vale  do  Acaraú  
Engenheiro  Civil  (Unifor)  
Mestre  em  Estruturas  (UnB)  
Doutor  em  Estruturas  (UnB  /  Imperial  College  –  London)  
    
   4  
APRESENTAÇÃO  
  
  
  
  
Elaborei   esta   apostila   com   o   objetivo   de   servir   de   notas   de   aula   para   as  
disciplinas   de  Concreto   Armado   I   e   Concreto   Armado   II,   do   curso   de   Engenharia  
Civil   da   Universidade   Estadual   Vale   do   Acaraú,   em   Sobral-­CE.   Este   material   é  
necessário   para   que   os   alunos   acompanhem   as   aulas   e   anotem   informações  
complementares  discutidas  em  sala  de  aula.  
O   concreto   armado   é   o  material   estrutural  mais   utilizado   no  mundo.  Desde  
pequenas   obras,   como   pequenas   casas   residenciais,   até   grandes   obras,   como  
edifícios   altos,   estádios   de   futebol,   entre   outros,   geralmente   são   projetados   com  
peças  estruturais  de  concreto  armado  e  (ou)  protendido.  
Essa  apostila  visa  auxiliar  os  que  se  iniciam  na  arte  de  projetar  estruturas  de  
concreto,  introduzindo  os  fundamentos  do  projeto  de  estruturas  de  concreto  armado  
de  acordo  com  as   recomendações  normativas.  A  análise,  o  dimensionamento  e  o  
detalhamento  das  armaduras  dos  elementos  estruturais  como  vigas,   lajes,  pilares,  
escadas  e  caixa  d’água  são  discutidos  nos  capítulos  dessa  apostila.    
Para  que  o  aluno  tenha  um  aprendizado  bem  fundamentado,  sugiro  que  não  
se   limite   a   estudar   somente   por   esta   apostila.   Quanto   mais   livros   de   diferentes  
autores  o  aluno  conseguir  estudar,  melhor  será  para  compreensão  do  assunto.  
     Quaisquer  críticas  ou  sugestões,  com  o  intuito  de  melhorar  as  notas  de  aula,  
serão  bem-­vindas.  
  
  
  
Ricardo  José  Carvalho  Silva  
  
  
  
  
  
  
  
   5  
SUMÁRIO  
  
  
1.  INTRODUÇÃO  AO  CONCRETO  ARMADO  ...........................................................  7  
2.  CONCEPÇÃO  ESTRUTURAL  ................................................................................  9  
3.  MATERIAIS  ...........................................................................................................  29  
4.  AÇÕES  E  COMBINAÇÕES  ..................................................................................  37  
5.  ESTADO  LIMITE  ÚLTIMO  ....................................................................................  43  
6.  VIGAS  DE  CONCRETO  ARMADO  .......................................................................  51  
7.  LAJES  DE  CONCRETO  ARMADO  ......................................................................  93  
8.  PILARES  .............................................................................................................  137  
9.  ESCADAS  ...........................................................................................................  189  
10.  CAIXAS  D`ÁGUA,  CISTERNAS  E  PISCINAS  .................................................  195  
11.  FUNDAÇÕES  ....................................................................................................  203  
12.  ANCORAGEM,  TRANSPASSE  E  RAIO  DE  CURVATURA  DAS  BARRAS  ....  229  
REFERÊNCIAS  BIBLIOGRÁFICAS  .......................................................................  237  
ANEXO  1  –  Lista  de  cargas  para  cálculo  de  estruturas  de  edificações  segundo  
a  NBR6120  (1980)  ..................................................................................................  239  
ANEXO  2  –  Tabelas  para  cálculo  dos  esforços  de  lajes  pelo  Método  de  Marcus
.................................................................................................................................  243  
ANEXO  3  –  Tabelas  para  cálculo  dos  esforços  de  lajes  pelo  Método  das  
Grelhas  ...................................................................................................................  249  
ANEXO  4  –  Tabelas  para  cálculo  dos  esforços  de  lajes  pela  Teoria  das  Placas  
via  Kalmanok  .........................................................................................................  255  
ANEXO  5  –  Tabelas  para  dimensionamento  de  pilar  à  flexão  composta  normal
.................................................................................................................................  257  
ANEXO  6  –  Tabelas  para  dimensionamento  de  pilar  à  flexão  composta  oblíqua
.................................................................................................................................  289  
ANEXO  7  –  Tabelas  de  aços  da  Gerdau  ..............................................................  313  
ANEXO  8  –  Fôrmas  de  plástico  para  lajes  nervuradas  da  Impacto  ..................  323  
  
  
  
    
   6  
    
   7  
CAPÍTULO  1  
  
INTRODUÇÃO  AO  CONCRETO  ARMADO  
  
Concreto   Armado   é   o   material   estrutural   composto   pela   associação   do  
concreto  com  barras  de  aço,  de  modo  que  constituam  um  sólido  único,  do  ponto  de  
vista  mecânico,  quando  submetido  às  ações  externas.  
Dessa   forma,   o   concreto   armado,   acaba   sendo   uma   união   quase   que  
perfeita,  adquirindo  as  melhores  características  do  concreto  e  do  aço:  
  
(1)  o  concreto  tem  boa  resistência  à  compressão;;  
(2)  o  aço  tem  elevada  resistência  à  tração  e  à  compressão;;  
(3)  boa  aderência  entre  o  aço  e  o  concreto;;  
(4)  o  concreto  protege  o  aço  contra  a  corrosão;;  
(5)  o  aço  e  o  concreto  têm  coeficientes  de  dilatação  térmica  muito  parecidos.  
  
As  principais  vantagens  do  Concreto  Armado  são:  
  
(1)  maior  liberdade  de  formas;;  
(2)  baixo  custo  quando  comparado  com  outros  sistemas  estruturais;;  
(3)  boa  resistência  a  choques,  vibrações  e  altas  temperaturas;;  
(4)  resistência  à  compressão  do  concreto  aumenta  com  a  idade.  
  
E  as  principais  desvantagens  do  Concreto  Armado  são:  
  
(1)  peso  próprio  elevado  (25  kN/m3);;  
(2)  peça  sujeita  à  fissuração;;  
(3)  necessidade  de  fôrmas  e  escoramentos;;  
(4)  dificuldade  em  adaptações  posteriores.  
  
Os  primeiros   registros  de  concreto  armado  datam  de  1855,  quando  Lambot  
construiu   um   barco   com   argamassa   de   cimento   reforçada   com   ferro.   Em   1861,  
Monier  construiu  um  vaso  de  flores  de  concretocom  armadura  de  arame  (concreto  
Monier),  em  1861,  Coignet  publicou  os  princípios  básicos  para  as  construções  em  
concreto  armado,  e  apresentou  na  Exposição  Internacional  de  Paris,  em  1867,  vigas  
e  tubos  de  concreto  armado.  
  
  
  
    
   8  
    
   9  
CAPÍTULO  2  
  
CONCEPÇÃO  ESTRUTURAL  
  
Como   o   próprio   nome   diz,   a   concepção   estrutural   se   refere   a   criação   da  
estrutura   da   edificação.   A   definição   de   uma   estrutura   adequada   para   uma  
determinada  arquitetura  é  de  fundamental  importância  para  reduzir  custos  e  facilitar  
a  execução  da  edificação.  
O   primeiro   passo   para   a   concepção   estrutural   está   na   definição   do   arranjo  
estrutural  da  edificação.  O  arranjo  estrutural  é  composto  de  elementos  estruturais,  
tais  como  lajes,  vigas,  pilares  e  fundações,  escolhidos  para  um  determinado  sistema  
estrutural  que  melhor  se  adeque  àquela  arquitetura.  
A   concepção   estrutural   é   subjetiva   e   independe   de   qualquer   regra  
matemática.  O  bom  senso  é  o  principal  orientador  de  uma  boa  criação.  Geralmente,  
estruturas  mais  simples  são  as  melhores  opções.  
A   escolha   do   arranjo   estrutural   é   também   denominado   de   lançamento  
estrutural,  onde  o  engenheiro  define  para  uma  determinada  arquitetura  os  locais  das  
vigas   e   pilares.   Um   bom   lançamento   estrutural   propicia   facilidade   de   execução   e  
economia   na   construção.   Estruturas   mal   lançadas   costumam   ser   caras   e  
trabalhosas.  
Evidentemente,   deve-­se   definir   prioridades   para   o   tipo   de   edificação.   Por  
exemplo,  um  edifício  residencial  com  muitos  pavimentos  tipos  iguais,  recomenda-­se  
iniciar  o  lançamento  com  a  colocação  das  vigas  acompanhando  algumas  alvenarias  
e   a   partir   disso,   locam-­se   os   pilares   e   definem-­se   as   lajes.   Já   para   um   edifício  
garagem,   a   prioridade   são   as   vagas   de   estacionamento,   então,   dessa   maneira,  
inicia-­se  com  a  colocação  dos  pilares  e  a  partir  disso,  locam-­se  as  vigas  e  definem-­
se  as  lajes.  
Depois  de   lançada  a  estrutura,  deve-­se  haver  uma  compatibilização  com  os  
projetos   instalações   para   que   não   haja   improvisações   por   alguma  
incompatibilidades  entre  os  projetos.  
  
  
2.1.  ELEMENTOS  ESTRUTURAIS  
  
  
As  estruturas  das  edificações  são  basicamente  compostas  por   lajes  que  se  
apoiam  em  vigas  que  se  apoiam  em  pilares  que  se  apoiam  nas  fundações  que  se  
apoiam  no  solo  (Figura  2.1).  As  lajes,  as  vigas  e  os  pilares  são  classificados  como  
superestruturas.  As  fundações  e  o  solo  são  classificados  como  infraestruturas.  
  
   10  
  
Figura  2.1  –  Elementos  estruturais  de  uma  edificação  
  
As  lajes  fazem  a  função  de  piso  e  de  teto.  Elas  podem  ser  maciça,  nervurada  
ou  pré-­moldada   (Figura  2.2).  As   lajes  maciças  são  mais   tradicionais  e   fornecem  à  
edificação  maior   rigidez   às   cargas   de   vento,   porém   são   lajes   mais   caras   porque  
exigem  maior  quantidade  de   fôrmas.  Com  a   repetição  da  mesma   fôrma  em  vários  
andares,   o   custo   da   edificação   reduz.   As   lajes   nervuradas   são   uma   ótima   opção  
para   edificações   com   maiores   vãos.   Redução   de   concreto   e   fôrma   é   uma  
característica  desse  tipo  de  laje,  porém  geralmente  há  um  aumento  na  taxa  de  aço  
onerando   os   custos.   As   lajes   pré-­moldadas,   volterrana   ou   treliçada,   são   ótimas  
soluções   para   pequenas   edificações.   Sem   a   necessidade   de   fôrmas   e   com   a  
utilização  de  baixa   taxa  de  aço   tornam  esse   tipo  de   laje  simples  de  executar  e  de  
baixo  custo.  Porém  esse   tipo  de   laje   tem  algumas   limitações.  Para  edifícios  altos,  
esse  tipo  de  laje  não  fornece  uma  boa  rigidez  lateral.  Para  grandes  vãos  esse  tipo  
de  laje  apresenta  grande  flecha  e  vibra  muito.  O  tipo  de  laje  a  ser  escolhida  é  opção  
do   projetista   e   deve   ser   observada   o   tipo   de   edificação   e   comparada   as  
características   de   cada   sistema   para   escolher   a   melhor   opção   para   aquela  
edificação   específica.   Cada   construção   tem   suas   peculiaridades   e   por   isso   nem  
sempre  o  melhor  tipo  de  laje  é  o  mesmo.  
  
   11  
  
Figura  2.2  -­  Lajes  
  
  
As  vigas  podem  ser  classificadas  em  vigas  ou  vigas-­paredes  (Figura  2.3).  As  
vigas   possuem   relação   L/h   ≥   2   para   vigas   bi-­apoiadas   e   L/h   ≥   3   para   vigas  
contínuas.  Esse  tipo  de  viga  obedece  a  teoria  de  Bernoulli-­Navier,  onde  as  seções  
transversais  planas  permanecem  planas  após  deformadas.  Essa  teoria  é  base  para  
as  fórmulas  de  dimensionamento  de  vigas.  Já  as  vigas-­parede  são  vigas  altas,  com  
a  relação  L/h  <  2  para  vigas  bi-­apoiadas  e  L/h  <  3  para  vigas  contínuas.  As  vigas-­
paredes   não   obedecem   a   teoria   de   Bernoulli-­Navier.   Suas   seções   transversais  
depois   de   deformadas   se   arqueiam.   Por   esse  motivo,   as   vigas-­paredes   são  mais  
adequadamente  dimensionadas  através  da  teoria  do  modelo  de  bielas  e  tirantes.          
  
  
Figura  2.3  -­  Vigas  
  
Os  pilares  podem  ser  classificados  em  pilares  e  pilares-­parede  (Figura  2.4).  
Os   pilares   possuem   a   relação   b   ≥   h/5   e   são   dimensionados   a   flexão   composta  
normal  ou  flexão  composta  oblíqua,  enquanto  os  pilares-­parede,  com  a  relação  b  <  
h/5,  são  dimensionados  por   trecho  de  seção  a  compressão  simples.  Normalmente  
se  usam  os  pilares-­paredes  em  regiões  onde  de  precisa  enrijecer  a  edificação  para  
   12  
cargas   de   vento.   Geralmente   são   os   pilares   na   caixa   de   escada   e   elevador   que  
apoiam  a  caixa  d`água.  
  
  
Figura  2.4  –  Pilares  
  
As   fundações   podem   ser   rasas   (diretas)   ou   profundas   (indiretas).   As   rasas  
mais   comuns   são   blocos,   sapatas,   sapatas   excêntricas   com   vigas   de   equilíbrio,  
sapatas  corrida  com  viga  de  rigidez  e  radier  (Figura  2.5).  As  profundas  mais  comuns  
são  as  estacas  (Figura  2.6).  Sejam  pré-­moldadas,  tipo  franki,  tipo  raiz  e  tipo  hélice  
contínua.  
Nas  fundações  rasas,  o  uso  dos  blocos  se  limitam  a  pilares  com  pouca  carga,  
geralmente  menos  de  500  kN,  a  satapa  para  pilares  com  mais  cargas,  a  sapata  com  
viga   de   equilíbrio   seria   uma   solução   para   evitar   a   sapata   excêntrica   onde   se  
transferiria  momento  fletor  para  o  pilar  e  a  sapata  associada  é  quando  se  tem  uma  
fileira   de   pilares   próximos   para   se   fazer   somente   uma   sapata.   Em   algumas  
situações   onde   pudesse   haver   sobreposição   de   sapatas   recomenda-­se   o   uso   do  
radier.  
  
  
  
  
  
  
  
  
   13  
  
  
  
  
Figura  2.5  –  Fundações  rasas  
  
Nas   fundações  profundas,   o  uso  de  estacas   com  o  bloco  de   coroamento  é  
muito   comum   quando   há   grandes   cargas   e   o   solo   não   encontra   resistência   a  
pequenas   profundidades.   Nesse   caso,   as   estacas   são   cravadas   até   uma   “nega”,  
onde  a  tensão  normal  em  baixo  da  estaca  e  o  atrito  nas  laterais  da  estaca  fornecem  
resistência  para  absorver  grandes  cargas.    
  
  
Figura  2.6  –  Fundações  profundas  
  
  
2.2.  SISTEMAS  ESTRUTURAIS  
  
O   sistemaestrutural   de   uma   edificação   é   definido   como   o   conjunto   de  
elementos  estruturais   usados  para   criar   o   “esqueleto”   da  própria   edificação.  Cada  
sistema   possui   vantagens   e   desvantagens,   dessa  maneira,   o  mais   conveniente   é  
   14  
conhecer  as  características  de  cada  sistema  e  escolher  um  que  melhor  se  encaixe  
com  a  arquitetura  a  ser  construída.  A  seguir  são  apresentados  características  de  7  
diferentes  sistemas  estruturais.  
  
(1)  Sistema  com  Laje  Volterrana  apoiada  em  vigas  ou  cintas:  
  
O  tipo  de  laje  em  combinação  com  o  tipo  de  apoio,  seja  na  viga,  seja  no  pilar,  
faz   o   sistema   estrutural   da   edificação.   Dependendo   do   tipo   da   edificação,   um  
sistema  estrutural  ou  outro  se  adéqua  melhor  ao  edifício.  
O  sistema  com  lajes  volterrana  apoiadas  em  vigas  ou  cintas  (Figura  2.7)  é  um  
tipo   de   sistema   simples,   de   fácil   execução.   Tão   simples   que   o   projetista   deve  
cuidadosamente   detalhar   os   trilhos   da   laje   ancorando   dentro   da   viga   em  
aproximadamente  8  cm  para  que  não  haja  erro.  Normalmente  esse  sistema  é  usado  
para  pequenas  edificações  porque  a  ligação  entre  a  laje  volterrana  com  a  viga  não  
dá  uma  boa  solidariedade  que  enrijeça  a  edificação  sob  efeito  de  vento.  Além  disso,  
a   laje   volterrana   de   não   vence   grandes   vãos,   limitando-­se   em   média   4   m   para  
concreto  armado  e  7  m  para  concreto  protendido.  Os  trilhos  de  volterrana  protendido  
devem  ter  bom  controle  tecnológico  para  que  não  haja  empenamento.  
  
  
Figura  2.7  –  Laje  Volterrana  (Laje  Pré-­moldada)  
  
  
(2)  Sistema  com  laje  treliçada  apoiada  em  vigas  ou  cintas:  
  
   O  sistema  de   laje   treliçada  apoiada  em  vigas  ou  cintas   (Figura  2.8)  é  muito  
parecido   com   o   de   laje   volterrana.   Simples   e   prático.   O   projetista   também   deve  
   15  
detalhar  a  ancoragem  dos  trilhos  ancorados  nas  vigas.  O  sistema  é  um  pouco  mais  
rígido   a   cargas   de   ventos   que   o   da   laje   volterrana,  mas   ainda   tem   pouca   rigidez  
quando   se   compara   com   os   sistemas   mais   convencionais   de   lajes   maciças   e  
nervuradas.  Normalmente  utiliza-­se  vãos  de  até  10  m  de  comprimento,  seja  a  treliça  
de   concreto   armado   ou   concreto   protendido.   O   trilho   de   10   m   é   muito   flexível   e  
muitas   vezes   quebra   durante   o   transporte   ou   na   montagem.   Nesse   caso   o   trilho  
protendido  passa  a  ser  mais  vantajoso  por  ser  mais  rígido.  
  
  
Figura  2.8  –  Laje  Treliçada  (Laje  Pré-­moldada)  
  
  
(3)  Sistema  com  lajes  maciças  apoiadas  em  vigas:  
  
   O   sistema   de   laje  maciça   apoiada   em   vigas   (Figura   2.9)   é   o   sistema  mais  
tradicional.   Consomem   altas   taxas   de   fôrmas.   É  muito   boa   quando   o   cliente   não  
quer   usar   forro   falso   de   gesso.   Possuem   boa   rigidez   quanto   a   cargas   pontuais.  
Também  são  mais  solidária  que  a  laje  volterrana  e  a  treliçada.  Geralmente  esse  tipo  
de   laje   limita-­se  a  vãos  de  5  m  x  5  m  para   lajes  de  concreto  armado  e  6  m  x  6  m  
para  lajes  de  concreto  protendido.      
  
  
   16  
  
Figura  2.9  –  Laje  Maciça  apoiada  em  vigas  
  
  
(4)  Sistema  com  laje  nervurada  apoiada  em  vigas:  
  
O   sistema   de   laje   nervurada   apoiada   em   vigas   (Figura   2.10)   caracterizam-­se  
pelo  baixo  consumo  de  concreto.  Maior   rigidez  por  apresentar  maior  altura  útil   (d).  
Também  são  mais  solidária  que  a  laje  volterrana  e  a  treliçada.  E,  além  disso,  é  um  
sistema  muito  bom  quando  o  cliente  não  se  importa  em  usar  forro  falso  de  gesso.      
Como  nesse  sistema  é  necessário  o  uso  do  forro  falso  de  gesso  e  a  laje  é  mais  
espessa   que   a   laje  maciça,   há   uma   perda   de   altura   livre   por   pavimento   se   o   pé  
direito  for  mantido.  
Normalmente  os  vãos  limitam-­se  em  8  m  x  8  m  para  lajes  de  concreto  armado  e  
9  m  x  9  m  para  lajes  de  concreto  protendido.  
  
   17  
  
Figura  2.10  –  Laje  Nervurada  apoiada  em  vigas  
  
(5)  Sistema  com  laje  lisa  ou  laje  cogumelo  apoiada  em  pilares:  
  
   O  sistema  de   laje   lisa  apoiada  em  pilares   (Figura  2.11)  e  o  sistema  de   laje  
cogumelo   apoiada   em   pilares   (Figura   2.12)   difere-­se   somente   por   que   a   laje  
cogumelo   possui   um   engrossamento   da   laje   na   região   do   encontro   com   o   pilar,  
denominado  de  capitel.  Ambos  os  sistemas  são  de  fácil  execução  por  terem  fôrmas  
simples  sem  os  recortes  de  vigas  que  normalmente  dão  mais  trabalho.  É  muito  boa  
quando  o  cliente  não  quer  usar  forro  falso  de  gesso.  
   Nesse  sistema  ao  contrário  do  que  muitos  pensam,  há  um  aumento  do  peso  
do   edifício.   E,   além   disso,   há   a   possibilidade   da   ruptura   por   punção.  O   projetista  
deve  verificar  isso  nos  cálculos.  
   Essas  lajes  apresentam  um  bom  efeito  de  travamento  lateral  quanto  a  cargas  
de   vento,  mas   apresentam  maiores   flechas   e   por   esse  motivo,   o  mais   indicado   é  
usar  a  laje  protendida.  
   Há   uma  maior   liberdade   do   layout   da   arquitetura   por   se   tratar   de   uma   laje  
única  por  pavimento.  Ou  seja,  as  alvenarias  podem  ser  alteradas  de  posição  sem  
prejudicar  a  laje.  
   Os  vãos  geralmente  limitam-­se  em  7  m  para  lajes  de  concreto  armado  e  8  m  
para  lajes  de  concreto  protendido.  
    
   18  
  
Figura  2.11  –  Laje  Lisa  (Laje  Plana)  
  
  
Figura  2.12  –  Laje  Cogumelo  (Laje  Plana)  
  
  
  (6)  Sistema  com  laje  nervurada  apoiada  em  pilares:    
  
   O  sistema  de  laje  nervurada  apoiada  em  pilares  (Figura  2.13)  é  uma  mistura  
do   sistema   de   lajes   nervuradas   com   o   sistema   de   laje   cogumelo.   Há   uma  maior  
   19  
liberdade  do  layout  da  arquitetura  por  se  tratar  de  uma  laje  única  por  pavimento.  Há  
altas   taxas  de  armadura.  Há  maior   rigidez  que  a   laje   lisa  ou  cogumelo  por  que  há  
uma  maior  altura  útil  (d).  Além  de  existir  um  bom  travamento  lateral  para  cargas  de  
ventos.  Além  disso,  esse  tipo  de   laje  também  pode  romper  por  punção  e  deve  ser  
verificada  pelo  projetista  durante  o  cálculo.  
   Normalmente  limita-­se  o  vão  dessa  laje  em  8  m  para  concreto  armado  e  9  m  
para  concreto  protendido.  
  
  
Figura  2.13  –  Laje  Nervurada  apoiada  em  Pilares  (Laje  Plana)  
  
  (7)  Sistema  com  laje  nervurada  apoiada  em  vigas-­faixa  protendidas:  
  
   O  sistema  de  laje  nervurada  apoiada  em  vigas-­faixa  protendidas  (Figura  2.14)  
é  o  mesmo  sistema  de  laje  nervurada  apoiada  em  vigas,  porém  nesse  caso,  a  viga  
protendida   é   embutida   na   laje   nervurada   com   grande   vão.   Esse   sistema   vem   se  
popularizando  bastante  no  Brasil.  Como  é  laje  nervurada,  há  um  baixo  consumo  de  
concreto  e  por  ser  uma  solução  parecida  com  as  anteriores,  há  um  bom  travamento  
lateral  quanto  a  carga  de  vento.  
   Normalmente,  o  vão  da  viga  protendida   limita-­se  por  volta  de  10  m.  Apesar  
desse  valor  do  vão  poder  aumentar  quando  se  aumenta  a  altura  da  viga.  
  
    
  
   20  
  
Figura  2.14  –  Laje  Nervurada  apoiada  em  Vigas-­Faixa  Protendidas  (Laje  Plana)2.3.  DIRETRIZES  PARA  A  CONCEPÇÃO  ESTRUTURAL  
  
A  concepção  estrutural  é  algo  pessoal  e  intuitivo.  Não  existem  regras.  Alguns  
projetistas   preferem   um   lançamento   com   mais   vigas,   dando   mais   rigidez   ao  
pavimento,   outros   preferem  um   lançamento  mais   limpo,   com  menos   vigas   e   lajes  
maiores,   dando   maior   simplicidade   à   execução   da   obra.   Caso   um   determinado  
projeto  de  arquitetura   seja  distribuído  para  dezenas  de  calculistas,  é  possível   que  
apareçam  dezenas  de  diferentes  lançamentos  estruturais  para  a  mesma  arquitetura.  
Em  resumo,  deve-­se  lançar  a  estrutura  de  maneira  simples  que  as  cargas  venham  
das   lajes  para  as  vigas  e  das  vigas  para  os  pilares,  como  se  faz  na   fabricação  de  
uma  mesa  rígida.  De  preferência  que  as  vigas  amarrem  os  pilares  nos  dois  sentidos.    
Mesmo   não   existindo   regras   para   o   lançamento   estrutural,   podem-­se   citar  
algumas  diretrizes  que  tornam  o  projeto  eficiente,  tais  como:  
  
(1)  Vazios  ou  extremidades  enrijecidos  por  vigas;;  
(2)  Lajes  em  formato  retangular  ou  quadrado  com  vãos  razoáveis;;  
(3)  Vigas  apoiadas  em  pilares  com  vãos  razoáveis;;  
(4)  Pilares  alinhados  e  amarrados  por  vigas  nos  dois  sentidos.  
  
Evidentemente   nem   todos   esses   itens   acima   vão   constar   em   um   projeto  
estrutural   por   conta   das   peculiaridades   da   arquitetura,   mas   quanto   mais   itens  
desses  constarem  no  lançamento  estrutural,  melhor  ficará  o  lançamento.  
Uma  outra  preocupação  é  o   lançamento  dos  pilares  que  estejam  alinhados,  
amarrados,   bem   distribuídos   e   que   possam   ir   desde   a   fundação   até   o   último  
pavimento,  evitando  assim  a  viga  de  transição  (Figura  2.15).  
  
  
   21  
  
Figura  2.15  –  Viga  de  transição  recebendo  pilar  
  
   Esse   tipo   de   viga   só   deve   ser   utilizada   quando   não   houver   outra   solução.  
Primeiro   por   que   é   uma   viga   que   vai   receber   um   carregamento   muito   grande.  
Segundo  por  que  é  uma  viga  que  deve   ter  o  mínimo  possível  de   flecha,  pois  uma  
deflexão   nessa   viga   puxa   o   pilar   para   baixo   e   interfere   em   todo   o   equilíbrio   da  
edificação.  
  
2.4.  LANÇAMENTO  E  PRÉ-­DIMENSIONAMENTO  ESTRUTURAL  
  
   Para  a  planta  baixa  apresentada  na  Figura  2.16,  decidiu-­se  optar  por  priorizar  
o  lançamento  das  vigas  e  depois  colocar  os  pilares,  por  se  tratar  de  uma  edificação  
residencial.  Nesse  caso,  inicialmente  fez-­se  um  primeiro  esboço  das  vigas  seguindo  
as  alvenarias  principais,  conforme  Figura  2.17.  Em  seguida,  resolveu-­se  aprimorar  o  
primeiro   esboço   retirando   algumas   vigas   e   aumentando   vãos.   Assim,   algumas  
alvenarias   ficaram   sobre   as   lajes.   Dessa  maneira   apareceu   o   segundo   esboço   já  
com  os  pilares  locados  (Figura  2.18).  
   Limpando  o  desenho,  aparece  na  Figura  2.19  o  esboço  definitivo  com  uma  
contagem  de  pilares,  vigas  e  lajes  ainda  não  revisada.  E  por  fim,  transforma-­se  esse  
esboço  numa  planta  de  fôrma  (Figura  2.20)  do  pavimento  tipo  da  edificação  com  as  
numerações  de  pilares,   vigas  e   lajes   já  definidas   iniciando-­se  da  esquerda  para  a  
direita,  de  cima  para  baixo.  No  caso  de  vigas,  primeiro  as  vigas  horizontais,  depois  
as  verticais.  Também  pode  ser  vista  na  figura  dois  cortes  horizontais  e  dois  cortes  
verticais  rebatido  em  cima  do  próprio  desenho  da  fôrma.  
   Observe  que  o  projeto  é  simétrico,  ou  seja,  a  contagem  de  pilares,   vigas  e  
lajes  continua  para  a  outra  parte  do  pavimento  que  não  aparece  na  figura.  
    
   22  
  
Figura  2.16  –  Projeto  de  arquitetura  –  Planta  baixa  
  
  
Figura  2.17  –  Primeiro  esboço  das  vigas  e  lajes  
  
  
   23  
  
Figura  2.18  –  Segundo  esboço  de  pilares,  vigas  e  lajes  
  
  
  
Figura  2.19  –  Esboço  definitivo  da  fôrma  do  pavimento  
  
   24  
  
Figura  2.20  –  Projeto  de  estruturas  -­  Fôrma  do  pavimento  
  
O  chamado  “pré-­dimensionamento”  é  uma  estimativa  de  que  medidas  serão  
necessárias   para   as   peças   estruturais.   Logicamente   que   são   estimativas   bem  
simplificadas,   baseadas   principalmente   nos   vãos.  Quando   o   engenheiro   calculista  
for   fazer   o   dimensionamento   utilizando   os   carregamentos   e   as   deflexões   reais,  
obviamente,   essas   dimensões   podem   ser   alteradas.   Por   esse   motivo,   esse   pré-­
dimensionamento  é  mais  usado  por  arquitetos  que  não  se  aprofundam  na  teoria  das  
estruturas.  A   tabela  2.1   traz  as  equações  simplificadas  para  que  se  possa   fazer  o  
pré-­dimensionamento.  Seria  o  “chute  inicial”.  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   25  
Tabela  2.1  –  Pré-­dimensionamentos  (Simplificação  mais  usual  para  arquitetos)  
Lajes  
ü   Laje  maciça  de  Concreto  Armado  em  1  direção  è  h  =  2%  .  Vão  Menor  
ü   Laje  nervurada  de  Concreto  Armado  em  1  direção  è  h  =  3%  .  Vão  Menor  
ü   Laje  maciça  de  Concreto  Armado  em  cruz  è  h  =  2%  .  Vão  Médio  
ü   Laje  nervurada  de  Concreto  Armado  em  cruz  è  h  =  3%  .  Vão  Médio  
ü   Laje  lisa  de  Concreto  Protendido  è  h  =  2,5%  .  Vão  Maior  entre  2  pilares  
OBS:  No  caso  de  balanço,  utiliza-­se  o  dobro  das  percentagens.  
Vigas  
ü   Viga  de  Concreto  Armado  bi-­apoiada  è  h  =  10%  .  Vão  
ü   Viga  de  Concreto  Armado  contínua  è  h  =  8%  .  Vão  
OBS:  No  caso  de  balanço,  utiliza-­se  o  dobro  das  percentagens.  
Pilares  
ü   Área  da  Seção  (m2)  =  P  (kN)  /  (10000  kN/m2)  
ü   P  (kN)  =  Ainfluência  (m2)  .  10  kN/m2  .  (no  de  repetições)  
OBS:  As  repetições  são    “os  pavimentos”  e  “a  coberta”.  
  
Utilizando-­se  as  relações  da  Tabela  2.1  com  as  medidas  apresentadas  na  
Figura  2.21,  estimam-­se  as  medidas  das  vigas  e  lajes  conforme  mostrado  a  seguir.  
  
  
Figura  2.21  –  medidas  para  pré-­dimensionamento  de  lajes  e  vigas  
  
V2  è  maior  vão  =  590  cm  è  h  =  8%  .  590  =  47,2  cm  
V4  è  maior  vão  =  465  cm  è  h  =  8%  .  465  =  37,2  cm  
V5  è  maior  vão  =  170  cm  è  h  =  10%  .  170  =  17  cm  
   26  
V7  è  maior  vão  =  597,5  cm  è  h  =  8%  .  597,5  =  47,8  cm  
V8  è  maior  vão  =  545  cm  è  h  =  10%  .  545  =  54,5  cm  
V9  =  V10  è  maior  vão  =  685  cm  è  h  =  10%  .  685  =  68,5  cm  
  
   Padronizando-­se   as   vigas   em   três   tipos   de   seção:   15x50,   15x60   e   15x70,  
adota-­se  15x50  para  V2,  V4,  V5  e  V7,  15x60  para  V8  e  15x70  para  V9  e  V10.  
  
Laje  em  1  direção  (vão  maior/vão  menor  ≥  2):  
L1  è  menor  vão  =  170  cm  è  h  =  2%  .  170  =  3,4  cm  
L2  è  menor  vão  =  420  cm  è  h  =  2%  .  420  =  8,4  cm  
  
Laje  em  cruz  (vão  maior/vão  menor  <  2):  
L3  è  vão  médio  =  402,5  cm  è  h  =  2%  .  402,5  =  8,05  cm  
L7  è  vão  médio  =  471,25  cm  è  h  =  2%  .  471,25  =  9,43  cm  
  
   Padronizando-­se   as   lajes   em   duas   espessuras:   8cm   e   10cm,   adota-­se   h   =  
8cm  para  L1  e  h  =  10cm  para  L2,  L3  e  L7.  
  
Novamente  utilizando-­se  as   relações  da  Tabela  2.1,  agora  com  as  medidas  
da   área   de   influência   do   pilar   com   maior   carregamento,   apresentadas   na   Figura  
2.22,  estimam-­se  as  medidas  dos  pilaresconforme  mostrado  a  seguir.  
  
  
Figura  2.22  –  medidas  para  pré-­dimensionamento  dos  pilares  
  
Pilar  com  mais  carga  è  área  de  influência  =  18,07  m2    
Carga  por  pavimento  =  10  kN/m2  .  18,07  m2  .  3  repetições  =  542,10  kN    
Área  Seção  do  Pilar  =  542,10  kN/10000  kPa  =  0,0542  m2  =  542,1  cm2    
(Adota-­se  20  cm  x  40  cm)  
  
   27  
Dessa  maneira  a  planta  de  fôrma  definitiva  ficou  como  apresentada  na  figura  
2.23.  
  
  
Figura  2.23  –  Planta  de  fôrma  com  lajes,  vigas  e  pilares  pré-­dimensionadas  
  
  
  
  
    
   28  
    
   29  
CAPÍTULO  3  
  
MATERIAIS  
  
3.1.  MATERIAL  CONCRETO  
  
3.1.1.  CLASSES  
  
A  norma  NBR6118:2014  se  aplica  aos  concretos  compreendidos  nas  classes  
de   resistência   até   C90.   A   classe   C20,   ou   superior,   se   aplica   ao   CONCRETO  
ARMADO.  A  classe  C25,  ou  superior,  ao  CONCRETO  PROTENDIDO.  E  a  classe  
C15   pode   ser   usada   somente   em   obras   provisórias   ou   em   concretos   sem   fins  
estruturais.  
  
3.1.2.  MASSA  ESPECÍFICA  
  
Quando   a   massa   específica   do   concreto   não   for   conhecida,   para   efeito   de  
cálculo,  pode-­se  adotar  24  kN/m3  para  concreto  simples  e  25  kN/m3  para  concreto  
armado.  
  
3.1.3.  COEFICIENTE  DE  DILATAÇÃO  TÉRMICA  
  
O  coeficiente  de  dilatação  térmica  do  concreto  pode  ser  adotado  igual  a  10-­5  /  
oC.  
    
3.1.4.  MÓDULO  DE  ELASTICIDADE  
  
O  Módulo  de  Elasticidade  Eci  (Módulo  de  Deformação  Tangente  Inicial),  
quando  não  houver  ensaio,  pode  ser  estimado  pela  fórmula:  
  
f5600E ckEci a=                                                                                    para  20  MPa  ≤  fck  ≤  50  MPa  
÷
ø
ö
ç
è
æ +a= 25,1
10
f
10.5,21E ck
3/1
3
Eci                                            para  55  MPa  ≤  fck  ≤  90  MPa  
Sendo:    
αE  =  1,2  para  basalto  e  diabásio;;  
αE  =  1,0  para  granito  e  gnaisse;;  
  
αE  =  0,9  para  calcário;;  
αE  =  0,7  para  arenito.  
  
O  Módulo  de  Elasticidade  Ecs  (Módulo  de  Deformação  Secante),  quando  não  
houver  ensaio,  pode  ser  estimado  pela  fórmula:  
  
EE ciics a=  
Sendo:  
0,1
80
f2,08,0 cki £+=a  
  
   30  
Tabela  3.1  –  Valores  estimados  de  módulo  de  elasticidade  em  função  da  resistência  
característica  à  compressão  do  concreto  (considerando  o  uso  de  granito  como  
agregado  graúdo)  (NBR6118:2014)  
Classe  de  
Resistência  
C20   C25   C30   C35   C40   C45   C50   C60   C70   C80   C90  
Eci  
(GPa)  
25   28   31   33   35   38   40   42   43   45   47  
Ecs  
(GPa)  
21   24   27   29   32   34   37   40   42   45   47  
αi   0,85   0,86   0,88   0,89   0,90   0,91   0,93   0,95   0,98   1,00   1,00  
  
A   deformação   elástica   do   concreto   depende   da   composição   do   traço   do  
concreto,   especialmente   da   natureza   dos   agregados.   Na   avaliação   do  
comportamento  de  um  elemento  estrutural  ou  seção  transversal,  pode  ser  adotado  
módulo   de   elasticidade   único,   à   tração   e   à   compressão,   igual   ao   módulo   de  
deformação  secante  (Ecs).  
    
3.1.5.   COEFICIENTE   DE   POISSON   E   MÓDULO   DE   ELASTICIDADE  
TRANSVERSAL  
  
Para   tensões   de   compressão   menores   que   0,5fc   e   tensões   de   tração  
menores  que  fct,  o  coeficiente  de  Poisson  ν  pode  ser  tomado  como  igual  a  0,2  e  o  
módulo  de  elasticidade  transversal  Gc  igual  a  Ecs/2,4.  
  
3.1.6.  COMPRESSÃO  –  DIAGRAMA  TENSÃO  X  DEFORMAÇÃO  
  
Para   tensões   de   compressão   menores   que   0,5   fc,   admite-­se   uma   relação  
linear   entre   as   tensões   e   as   deformações,   utilizando-­se   o  módulo   de   deformação  
secante.   Para   análises   no   estado   limite   último   emprega-­se   o   diagrama   tensão   x  
deformação  idealizado  (Figura  3.1).    
  
  
  
Figura  3.1  –  Diagrama  tensão  x  deformação  idealizado  de  compressão  
(NBR6118:2014)  
   31  
  
Os  valores  dos  parâmetros  ec2  (deformação  específica  de  encurtamento  do  
concreto  no  início  do  patamar  plástico)  e  ecu  (deformação  específica  de  
encurtamento  do  concreto  na  ruptura)  devem  ser  definidos  assim:  
  
*  Para  concretos  de  classes  até  C50:   **  Para  concretos  de  classes  C55  até  
C90:  
o%0,22c =e  
o%5,3cu =e  
)50f(o%085,0o%0,2 ck
53,0
2c -+=e  
]100/)f90[(o%35o%6,2 ck
4
cu -+=e  
  
   Apesar   da  NBR6118:2014   trazer   o   diagrama   da   Figura   3.1   como   exemplo,  
essa  figura    
  
3.1.7.  TRAÇÃO  –  DIAGRAMA  TENSÃO  X  DEFORMAÇÃO  
  
Para  o  concreto  sob  tração  não  fissurado,  pode-­se  adotar  o  diagrama  tensão-­
deformação  bilinear  da  Figura  3.2.  
  
  
Figura  3.2  –  Diagrama  tensão  x  deformação  bilinear  de  tração  (NBR6118:2014)  
  
Sendo:  𝑓"#$,&'( = 0,7	
  𝑓"#,-  𝑓"#$,./0 = 1,3	
  𝑓"#,-  
  
*  Para  concretos  de  classes  até  C50:   **  Para  concretos  de  classes  C55  até  C90:  𝑓"#,- = 0,3	
  𝑓"$3/5  
  
𝑓"#,- = 2,12	
  ln	
  (1 + 0,11	
  𝑓"$)  
  
3.2.  MATERIAL  AÇO  PASSIVO  
  
3.2.1.  CATEGORIAS  
  
Aço  Categoria  CA-­25  è  Aço  com  o  valor  da  resistência  característica  da  tensão  de  
escoamento  (fyk)  igual  a  25  kgf/mm2  (250  MPa).  
Aço  Categoria  CA-­50  è  Aço  com  o  valor  da  resistência  característica  da  tensão  de  
escoamento  (fyk)  igual  a  50  kgf/mm2  (500  MPa).  
   32  
Aço  Categoria  CA-­60  è  Aço  com  o  valor  da  resistência  característica  da  tensão  de  
escoamento  (fyk)  igual  a  60  kgf/mm2  (600  MPa).  
  
As   bitolas   comerciais   mais   usadas   nas   estruturas   de   edificações   são  
apresentadas  na  Tabela  3.2.  
  
Tabela  3.2  –  Aços  mais  utilizados  na  construção  civil  
AÇOS  MAIS  USADOS  :  
Categoria  CA-­60   Categoria  CA-­50  
Φ  5  mm  
  
Φ  6,3  mm  (1/4”)  
Φ  8  mm  (5/16”)  
Φ  10  mm  (3/8”)  
Φ  12,5  mm  (1/2”)  
Φ  16  mm  (5/8”)  
Φ  20  mm  (3/4”)  
Φ  25  mm  (1”)  
Φ  32  mm  (1    1/4")  
Φ  40  mm  (1    9/16”)  
  
3.2.2.  TIPO  DE  SUPERFÍCIE  ADERENTE  
  
A  capacidade  aderente  entre  o  aço  e  o  concreto  está  relacionada  ao  tipo  de  
superfície   da   armadura.   Quanto   melhor   a   aderência,   maior   o   coeficiente   de  
aderência  (η1)  apresentado  na  Tabela  3.3.  
  
Tabela  3.3  –  Valor  do  coeficiente  de  aderência  η1  (NBR6118:2014)  
Tipo  de  Superfície   η1  
Lisa   1,0  
Entalhada   1,4  
Nervurada   2,25  
  
3.2.3.  MASSA  ESPECÍFICA  
  
A   massa   específica   do   aço   de   armadura   passiva   pode   ser   adotado   78,50  
kN/m3.  
  
3.2.4.  COEFICIENTE  DE  DILATAÇÃO  TÉRMICA  
  
O   coeficiente   de   dilatação   térmica   do   aço   pode   ser   adotado   igual   ao   do  
concreto,  10-­5/oC.  
  
3.2.5.  MÓDULO  DE  ELASTICIDADE  
  
Na  ausência  de  ensaios  ou  valores  informados  pelo  fabricante,  o  módulo  de  
elasticidade  do  aço  pode  ser  considerado  210  GPa.  
  
3.2.6.  TRAÇÃO  –  DIAGRAMA  TENSÃO  X  DEFORMAÇÃO  
  
O    aço  é  uma  liga  metálica  de  ferro  e  carbono,  com  um  percentual  de  0,03%  
a   2,00%   de   carbono   para   fornecer   maior   ductilidade.   Existem   dois   tipos   de  
fabricação  de  aço.  Tipo  A  e  Tipo  B  (Figuras  3.3  e  3.4).  
  
Aços  Tipo  A  (CA-­25  e  CA-­50)  
-­        Fabricados  pelo  processo  de  laminação  a  quente.  
-­      O  gráfico  de  tensão  x  deformação  apresenta  um  patamar  de  escoamento  bem  
definido.  
   33-­      São  denominados  BARRAS  de  aço.  
    
Aços  Tipo  B  (CA-­60)  
-­      Fabricados  pelo  processo  de  laminação  a  quente  com  posterior  deformação  a  
frio.  
-­      O  gráfico  de  tensão  x  deformação  não  apresenta  um  patamar  de  escoamento  
bem  definido.  
-­      São  denominados  FIOS  de  aço.  
  
AÇOS  COM  PATAMAR  DE  ESCOAMENTO  DEFINIDO  (TIPO  A)  
(CA-­50)  
  
Figura  3.3  –  Diagrama  tensão  x  deformação  dos  aços  CA-­50  
  
AÇOS  SEM  PATAMAR  DE  ESCOAMENTO  DEFINIDO  (TIPO  B)  
(CA-­60)  
  
Figura  3.4  –  Diagrama  tensão  x  deformação  do  aço  CA-­60  
  
   34  
  
A   NBR6118:2014   traz   um   diagrama   simplificado   que   pode   ser   usado   para  
aços  com  ou  sem  patamar  de  escoamento.  Ou  seja,  para   tipo  A  ou   tipo  B  (Figura  
2.5).   Para   o   aço   tipo   B,   o   diagrama   é   adaptado   do   diagrama   real   da   Figura   2.4.  
Utiliza-­se  a   tensão  de  escoamento   (fyk)   e  a   respectiva  deformação  específica   (εyk)  
através  de  uma  paralela  a  2%  como  feito  na  Figura  3.4.  
  
  
  
  
Figura  3.4  –  Diagrama  tensão  x  deformação  para  aços  de  armaduras  passivas  
(NBR6118:2014)  
  
  
  
3.3.  MATERIAL  CONCRETO  ARMADO  E  PROTENDIDO  
  
   A  união  do  concreto  com  o  aço  origina  um  material  composto  denominado  de  
concreto  armado.  Quando  se  adiciona  uma  força  de  protensão  ao  concreto  armado,  
origina-­se   um   novo   material   composto   denominado   concreto   protendido.   A  
NBR6118:2014  traz  recomendações  como  cobrimentos  mínimos,  fator  a/c  máximo,  
classe  de  concreto  mínimo,  etc...  com  o  objetivo  de  melhorar  a  durabilidade  da  peça  
estrutural.    
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   35  
3.4.1.  CLASSE  DE  AGRESSIVIDADE  AMBIENTAL  
  
Tabela  3.4  –  Classe  de  agressividade  ambiental  (NBR6118:2014)  
Classe  de  
agressividade  
ambiental  
  
Agressividade  
Classe  geral  do  tipo  de  
ambiente  para  efeito  de  
projeto  
Risco  de  
deterioração  da  
estrutura  
I   Fraca   Rural   Insignificante  
Submersa  
II   Moderada   Urbana  a,  b   Pequeno  
III   Forte   Marinha  a   Grande  
Industrial  a,  b  
IV   Muito  Forte   Industrial  a,  c   Elevado  
Respingos  de  maré  
a  Pode-­se  admitir  um  microclima  com  uma  classe  de  agressividade  mais  branda  (uma  classe  acima)  
para   ambientes   internos   secos   (salas,   dormitórios,   banheiros,   cozinhas   e   áreas   de   serviço   de  
apartamentos   residenciais   e   conjuntos   comerciais   ou   ambientes   com   concreto   revestido   com  
argamassa  e  pintura).    
  
b   Pode-­se   admitir   uma   classe   de   agressividade   mais   branda   (uma   classe   acima)   em   obras   em  
regiões  de  clima  seco,  com  umidade  média  relativa  do  ar  menor  ou  igual  a  65  %,  partes  da  estrutura  
protegidas  de  chuva  em  ambientes  predominantemente  secos  ou  regiões  onde  raramente  chove.    
  
c   Ambientes   quimicamente   agressivos,   tanques   industriais,   galvanoplastia,   branqueamento   em  
indústrias  de  celulose  e  papel,  armazéns  de  fertilizantes,  indústrias  químicas.  
  
  
3.4.2.  COBRIMENTOS  MÍNIMOS  
  
Tabela  3.5  –  Cobrimentos  mínimos  (NBR6118:2014)  
Tipo  de  
estrutura  
Componente  ou  
elemento  
Classe  de  agressividade  ambiental  
I   II   III   IV  
Cobrimento  nominal  (mm)  
  
Concreto  
Armado  
Laje   20   25   35   45  
Viga  /  Pilar   25   30   40   50  
Elemento  estruturais  em  
contato  com  o  solo  
30   40   50  
Concreto  
Protendido  
Laje   25   30   40   50  
Viga  /  Pilar   30   35   45   55  
  
  
3.4.3.  FATOR  ÁGUA/CIMENTO  MÁXIMO  
  
Tabela  3.6  –  Fator  água/cimento  máximo  (NBR6118:2014)  
Concreto   Tipo   Classe  de  agressividade  
I   II   III   IV  
Relação  água/cimento  
em  massa  
Concr  Armado   £  0,65   £  0,60   £  0,55   £  0,45  
Concr  Protendido   £  0,60   £  0,55   £  0,50   £  0,45  
  
  
  
  
   36  
3.4.4.  CLASSE  DE  CONCRETO  MÍNIMO  
  
Tabela  3.7  –  Classe  de  concreto  mínimo  (NBR6118:2014)  
Concreto   Tipo   Classe  de  agressividade  
I   II   III   IV  
Classe  de  concreto   Concr  Armado   ³  C20   ³  C25   ³  C30   ³  C40  
Concr  Protendido   ³  C25   ³  C30   ³  C35   ³  C40  
  
3.4.4.  DIMENSÕES  MÍNIMAS  
  
Lajes   ü   7cm  para  lajes  de  cobertura  não  em  balanço;;  
ü   8cm  para  lajes  de  piso  não  em  balanço;;  
ü   10  cm  para  lajes  em  balanço;;  
ü   10cm  para  lajes  que  suportem  veículos  até  30  kN;;  
ü   12cm  para  lajes  que  suportem  veículos  com  peso  maior  que  30  
kN;;  
ü   15cm   para   lajes   com   protensão   apoiadas   em   vigas,   com  
mínimo  de  L/42  para  lajes  de  pisos  biapoiadas  e  L/50  para  lajes  
de  piso  contínuas;;  
ü   16cm   para   lajes   lisas   e   14cm   para   lajes   cogumelo,   fora   do  
capitel.  
Vigas   ü   Largura  mínima  para  vigas  é  de  12  cm.  
ü   Largura  mínima  para  vigas  parede  é  de  15  cm.    
Esses   limites   podem   ser   reduzidos   para   10   cm   em   casos  
excepcionais,   desde   que   se   respeite:   os   cobrimentos   mínimos   e   as  
condições  de  concretagem  de  acordo  com  a  NBR14931.  
Pilares   ü   Dimensão  mínima  para  seção  qualquer  forma  é  19  cm.  
ü   Em  casos  especiais,   permite-­se  dimensões  entre  14  e  19  cm,  
desde  que  se  multiplique  a  carga  por  um  coeficiente  adicional  
gn.    
1,0  ≤  gn  =  1,95  –  0,05  .  (menor  dimensão  da  seção)  ≤1,25  
Em  qualquer  caso  não  se  permite  área  de  seção  transversal  inferior  a  
360  cm2.  
    
   37  
CAPÍTULO  4  
  
AÇÕES  E  COMBINAÇÕES  
  
As   ações   nas   edificações,   segundo   a   NBR   6118   e   a   NBR   8681,   são  
classificadas  em  Permanentes,  Variáveis   e  Excepcionais.  As   permanentes   são  as  
que   vão   sempre  existir   na  estruturas  de   forma   invariável,   as   variáveis   são   cargas  
que   dependem   da   ocupação   e   de   outros   fatores   que   oscilam   para  mais   ou   para  
menos   e   as   excepcionais   são   de   difícil   previsão,   geralmente   relacionadas   a  
acidentes,   terrorismos,   etc.   As   combinações   de   ações   são   estimativas   de   como  
estarão  os  carregamentos  agindo  na  estrutura  no  Estado  Limite  Último  (ELU)  ou  nos  
Estados  Limites  de  Serviço  (ELS).    
  
  
4.1.  AÇÕES  
  
As  ações  podem  ser  melhor  entendidas  como  expostas  nas  classificações  
abaixo.  
  
  
  
  
  
  
  
   38  
4.2.  COMBINAÇÕES  ÚLTIMAS  (ELU)  
  
Para   concreto   armado,   calcula-­se   as   ações   para   combinações   últimas  
normais  conforme  a  seguinte  equação:  
   𝐹= = 𝛾?	
  𝐹?$ +	
  𝛾@?	
  𝐹@?$ +	
  𝛾A 	
   𝐹AB$ +	
   ΨDE 	
  𝐹AE$ + 	
  𝛾@A	
  ΨD@	
  𝐹@A$  
  
Sendo:  𝐹=  =  ações  para  combinações  últimas;;  𝐹?$  =  ações  permanentes  diretas;;  𝐹@?$=  ações  permanentes  indiretas  vinda  da  retração;;  𝐹AB$  =  ação  variável  direta  principal  𝐹AE$  =  demais  ações  variáveis  diretas  𝐹@A$  =  ações  variáveis  indiretas  vindo  das  variações  da  temperatura;;  𝛾?  =   coeficiente   de   ponderação   para   ações   permanentes   (separadamente   ou  
conjuntamente);;  𝛾@?  =   coeficiente   de   ponderação   para   ações   permanentes   indiretas   vinda   da  
retração;;  𝛾A  =   coeficiente   de   ponderação   para   ações   variáveis   (separadamente   ou  
conjuntamente);;  	
  𝛾@A  =  coeficiente  de  ponderação  para  ações  variáveis  indiretas  vinda  das  variaçõesda  temperatura;;  ΨDE  =  fator  de  redução  de  combinação  para  as  ações  variáveis  diretas;;  ΨD@  =  fator  de  redução  de  combinação  para  as  ações  variáveis  indiretas.  
  
Considerando   que   a   maioria   das   edificações   não   têm   ações   variáveis  
secundárias   e   que   a   retração   e   efeito   de   temperatura   pouco   influenciam   uma  
estrutura  isostática,  como  as  do  exemplo  do  curso  de  concreto  armado  e  protendido,  
pode-­se  simplificar  a  equação  conforme  apresentado  a  seguir.  
   𝐹= = 𝛾?	
  𝐹?$ +	
  𝛾A	
  𝐹AB$  
   𝐹= = 	
  𝛾?	
  𝑔 +	
  𝛾A	
  𝑞  
  
Sendo:  𝑔  =  valor  característico  das  ações  permanentes  diretas;;  𝑞  =  valor  característico  da  única  ação  variável  direta.  
  
  
Para   concreto  protendido,   deve-­se  acrescentar   como  carregamento  externo  
as   cargas   equilibrantes,   decorrente   da   carga   de   protensão   e   da   curvatura   dos  
cabos.    
  
Os   coeficientes   de   ponderação   de   ações   permanentes   diretas   podem   ser  
encontrados  na  Tabela  4.1,  se  o  calculista  optar  em  considerar  um  coeficiente  para  
cada   ação,   ou   na   Tabela   4.2,   se   o   calculista   optar   em   considerar   somente   um  
coeficiente  para  todas  as  ações  permanentes  diretas  consideradas  conjuntamente.    
  
   39  
Tabela  4.1  -­  Ações  permanentes  diretas  consideradas  separadamente  
Combinação   Tipo  de  ação   Efeito  
Desfavorável   Favorável  
Normal   Peso  próprio  de  estruturas  metálicas  
Peso  próprio  de  estruturas  pré-­moldadas  
Peso  próprio  de  estruturas  moldadas  no  local  
Elementos  construtivos  industrializados(1)  
Elementos  construtivos  industrializados  com  adições  in  loco  
Elementos  construtivos  em  geral  e  equipamentos(2)  
1,25  
1,30  
1,35  
1,35  
1,40  
1,50  
1,0  
1,0  
1,0  
1,0  
1,0  
1,0  
Especial  ou  
de  
construção  
Peso  próprio  de  estruturas  metálicas  
Peso  próprio  de  estruturas  pré-­moldadas  
Peso  próprio  de  estruturas  moldadas  no  local  
Elementos  construtivos  industrializados(1)  
Elementos  construtivos  industrializados  com  adições  in  loco  
Elementos  construtivos  em  geral  e  equipamentos(2)  
1,15  
1,20  
1,25  
1,25  
1,30  
1,40  
1,0  
1,0  
1,0  
1,0  
1,0  
1,0  
Excepcional   Peso  próprio  de  estruturas  metálicas  
Peso  próprio  de  estruturas  pré-­moldadas  
Peso  próprio  de  estruturas  moldadas  no  local  
Elementos  construtivos  industrializados(1)  
Elementos  construtivos  industrializados  com  adições  in  loco  
Elementos  construtivos  em  geral  e  equipamentos(2)  
1,10  
1,15  
1,15  
1,15  
1,20  
1,30  
1,0  
1,0  
1,0  
1,0  
1,0  
1,0  
(1)  Por  exemplo:  paredes  e  fachadas  pré-­moldadas,  gesso  acartonado.  
(2)  Por  exemplo:  paredes  de  alvenaria  e  seus  revestimentos,  contrapisos.  
  
Tabela  4.2  -­  Ações  permanentes  diretas  consideradas  conjuntamente  
Combinação   Tipo  de  ação   Efeito  
Desfavorável   Favorável  
Normal   Grandes  pontes(1)  
Edificações  tipo  1  e  pontes  em  geral(2)  
Edificação  tipo  2(3)  
1,30  
1,35  
1,40  
1,0  
1,0  
1,0  
Especial  ou  
de  
construção  
Grandes  pontes(1)  
Edificações  tipo  1  e  pontes  em  geral(2)  
Edificação  tipo  2(3)  
1,20  
1,25  
1,30  
1,0  
1,0  
1,0  
Excepcional   Grandes  pontes(1)  
Edificações  tipo  1  e  pontes  em  geral(2)  
Edificação  tipo  2(3)  
1,10  
1,15  
1,20  
1,0  
1,0  
1,0  
(1)  Grandes  pontes  são  aquelas  em  que  o  peso  próprio  da  estrutura  supera  75%  da  totalidade  das  ações  
permanentes.  
(2)  Edificações  tipo  1  são  aquelas  onde  as  cargas  acidentais  superam  5  kN/m2.  
(3)  Edificações  tipo  2  são  aquelas  onde  as  cargas  acidentais  não  superam  5  kN/m2.  
  
Os   coeficientes   de   ponderação   de   ações   variáveis   diretas   podem   ser  
encontrados  na  Tabela  4.3,  se  o  calculista  optar  em  considerar  um  coeficiente  para  
cada   ação,   ou   na   Tabela   4.4,   se   o   calculista   optar   em   considerar   somente   um  
coeficiente  para  todas  as  ações  permanentes  diretas  consideradas  conjuntamente.    
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   40  
Tabela  4.3  -­  Ações  variáveis  diretas  consideradas  separadamente  
Combinação   Tipo  de  ação   Coeficiente  de  
Ponderação  
Normal   Ações  truncadas(1)  
Efeito  de  temperatura  
Ação  do  vento  
Ações  variáveis  em  geral  
1,2  
1,2  
1,4  
1,5  
Especial  ou  
de  
construção  
Ações  truncadas(1)  
Efeito  de  temperatura  
Ação  do  vento  
Ações  variáveis  em  geral  
1,1  
1,0  
1,2  
1,3  
Excepcional   Ações  variáveis  em  geral   1,0  
(1)  Ações  truncadas  são  consideradas  ações  variáveis  cuja  distribuição  de  máximos  é  truncada  por  um  
dispositivo  físico  de  modo  que  o  valor  dessa  ação  não  pode  superar  o  limite  correspondente.  O  coeficiente  
de  ponderação  mostrado  na  nessa  tabela  se  aplica  a  esse  valor  limite.  
  
Tabela  4.4  -­  Ações  variáveis  diretas  consideradas  conjuntamente(1)  
Combinação   Tipo  de  estrutura   Coeficiente  de  
Ponderação  
Normal   Pontes  e  edificações  tipo  1  
Edificações  tipo  2  
1,5  
1,4  
Especial  ou  
de  
construção  
Pontes  e  edificações  tipo  1  
Edificações  tipo  2  
1,3  
1,2  
Excepcional   Estruturas  em  geral   1,0  
(1)  Quando  a  ações  variáveis  forem  consideradas  conjuntamente,  o  coeficiente  de  ponderação  mostrado  na  
nessa  tabela  se  aplica  a  todas  as  ações,  devendo-­se  considerar  também  conjuntamente  as  ações  
permanentes  diretas.  Nesse  caso  permite-­se  considerar  separadamente  as  ações  indiretas  como  recalque  
de  apoio  e  retração  dos  materiais  e  o  efeito  de  temperatura  conforme  define  a  NBR8681.  
  
Como   a   maioria   das   edificações   possuem   cargas   acidentais   que   não  
superam   5   kN/m2   (Edificações   tipo   2),   quando   consideradas   as   ações  
conjuntamente,   pode-­se   simplificar   a   equação   da   combinação   das   ações   para   o  
ELU  mais  ainda,  como  mostrado  a  seguir.  
   𝐹= = 	
  𝛾?	
  𝑔 +	
  𝛾A	
  𝑞 = 1,4	
  𝑔 + 	
  1,4𝑞    
  𝐹= = 	
  1,4(𝑔 + 	
  𝑞)  
  
Para  cálculo  das  paredes  e  fundo  da  caixa  d`água  de  médio  ou  grande  porte  
como   lajes   engastadas,   deve-­se   lembrar   que   o   carregamento   da   água   (variáveis  
diretas)  geralmente  ultrapassam  5  kN/m2.  Nesse  caso,  não  se  pode  calcular  como  
edificação   tipo  2.  Se  considerado  com  ações  conjuntas  como  edificações   tipo  1,  a  
combinação  ficaria:  
   𝐹= = 	
  𝛾?	
  𝑔 +	
  𝛾A	
  𝑞 = 1,35	
  𝑔 + 	
  1,5	
  𝑞    
  
Caso  a  opção  seja  a  consideração  de  ações  separadamente,  o  coeficiente  de  
ponderação  da  água  será  1,2  (ações  truncadas).  
  
  
  
  
  
   41  
4.3.  COMBINAÇÕES  DE  SERVIÇO  (ELS)  
  
  
(a)  Combinações  Quase  Permanentes  de  Serviço  (CQP):  Todas  as  ações  
variáveis  são  consideradas  com  seus  valores  quase  permanentes  Ψ3	
  𝐹A$.  
   𝐹=,.JK = 𝐹?&$ +	
  Ψ3E	
  𝐹AE$  
Ou  seja:  
   𝐹=,.JK = 𝑔 +	
  Ψ3	
  𝑞  
  
  
(b)  Combinações  Frequentes  de  Serviço  (CF):  A  ação  variável  principal  𝐹AB  
é  tomada  com  seu  valor  frequente  ΨB	
  𝐹AB$  e  todas  as  demais  ações  variáveis  são  
tomadas  com  seus  valores  quase  permanentes  Ψ3	
  𝐹A$.  
   𝐹=,.JK = 𝐹?&$ +	
  ΨB	
  𝐹AB$ +	
  	
   Ψ3E	
  𝐹AE$  
  
Levando-­se  em  conta  que  na  maioria  das  edificações  só  existe  uma  carga  
acidental,que  é  a  carga  variável  principal:  
   𝐹=,.JK = 𝑔 +	
  ΨB	
  𝑞  
  
  
(c)  Combinações  Raras  de  Serviço  (CF):  A  ação  variável  principal  𝐹AB  é  
tomada  com  seu  valor  característico  𝐹AB$  e  todas  as  demais  ações  variáveis  são  
tomadas  com  seus  valores  frequentes  ΨB	
  𝐹A$.  
   𝐹=,.JK = 𝐹?&$ +	
  𝐹AB$ +	
  	
   ΨBE	
  𝐹AE$  
  
Novamente   levando-­se   em   conta   que   na  maioria   das   edificações   só   existe  
uma  carga  acidental,  que  é  a  carga  variável  principal:  
   𝐹=,.JK = 𝑔 + 	
  𝑞  
  
Sendo:  𝐹=,.JK  =  valor  de  cálculo  das  ações  para  combinações  de  serviço;;  𝐹?&$  =  valor  característico  das  ações  permanentes  diretas;;  𝐹AB$  =  valor  característico  das  ações  variável  direta  principal;;  𝐹AE$  =  valor  característico  das  demais  ações  variáveis  diretas;;  𝑔  =  valor  característico  das  ações  permanentes  diretas;;  𝑞  =  valor  característico  da  única  ação  variável  direta;;  ΨB	
  =  fator  de  redução  de  combinação  frequente  para  ELS;;  Ψ3	
  =  fator  de  redução  de  combinação  quase  permanente  para  ELS.  
  
  
   42  
Os   fatores   de   combinação   ψ0,   salvo   indicação   em   contrário,   expressa   em  
norma  relativa  ao  tipo  de  construção  e  de  material  considerados,  estão  indicados  na  
Tabela   4.5,   juntamente   com   os   fatores   de   redução   ψ1   e   ψ2   referentes   às  
combinações  de  serviço.  
  
Tabela  4.5  -­  Valores  dos  fatores  de  combinação  (ψ0)  e  de  redução  (ψ1  e  ψ2)  para  as  
ações  variáveis  
Ações   Y0   Y1   Y2  3),  4)  
Cargas  acidentais  de  edifícios:  
Locais  em  que  não  há  predominância  de  pesos  e  de  equipamentos  que  
permanecem  fixos  
por  longos  períodos  de  tempo,  nem  de  elevadas  concentrações  de  
pessoas(1)  
Locais  em  que  há  predominância  de  pesos  de  equipamentos  que  
permanecem  fixos  por  
longos  períodos  de  tempo,  ou  de  elevadas  concentrações  de  pessoas(2)  
Bibliotecas,  arquivos,  depósitos,  oficinas  e  garagens  
  
  
0,5  
  
0,7  
0,8  
  
  
0,4  
  
0,6  
0,7  
  
  
0,3  
  
0,4  
0,6  
Vento:  
Pressão  dinâmica  do  vento  nas  estruturas  em  geral  
  
0,6  
  
0,3  
  
0  
Temperatura:  
Variações  uniformes  de  temperatura  em  relação  à  média  anual  local  
  
0,6  
  
0,5  
  
0,3  
Cargas  móveis  e  seus  efeitos  dinâmicos:  
Passarelas  de  pedestres  
Pontes  rodoviárias  
Pontes  ferroviárias  não  especializadas  
Pontes  ferroviárias  especializadas  
Vigas  de  rolamentos  de  pontes  rolantes  
  
0,6  
0,7  
0,8  
1,0  
1,0  
  
0,4  
0,5  
0,7  
1,0  
0,8  
  
0,3  
0,3  
0,5  
0,6  
0,5  
(1)  Edificações  residenciais,  de  acesso  restrito.  
(2)  Edificações  comerciais,  de  escritórios  e  de  acesso  público.  
(3)  Para  combinações  excepcionais  onde  a  ação  principal  for  sismo,  admite-­se  adotar  para  ψ2  o  valor  
zero.  
(4)  Para  combinações  excepcionais  onde  a  ação  principal  for  o  fogo,  o  fator  de  redução  ψ2  pode  ser  
reduzido,  multiplicando-­o  por  0,7.  
  
    
   43  
CAPÍTULO  5  
  
ESTADO  LIMITE  ÚLTIMO  
  
5.1.  INTRODUÇÃO  
  
O  estado  limite  último  (ELU)  se  refere  ao  colapso,  ou  a  qualquer  outra  forma  
de  ruína  estrutural,  que  determine  a  paralisação  do  uso  da  estrutura.  As  peças  de  
concreto  armado  e  concreto  protendido  são  dimensionadas  no  estado   limite  último  
(ELU),  ou  seja,  são  dimensionadas  prevendo  uma  possível  ruptura.  
A  vantagem  de  se  dimensionar  a  peça  na  ruptura  é  que  pode-­se  escolher  as  
deformações  que  essa  peça  vai  ter  no  caso  de  uma  ruína.  Quanto  mais  deformada  
ficar  a  peça,  melhor.  Diz-­se  que  a  peça  “avisou”  que  ia  romper,  ou  seja,  a  peça  teve  
ductilidade.  
No   caso   de   peças   com   visíveis   crescimentos   de   deformações   e   fissuras,  
sabe-­se  que  a  estrutura  está  “avisando”  que  vai  romper.  Nesse  caso,  há  tempo  para  
fazer   uma   recuperação   estrutural   antes   que   essa   ruína   aconteça.   Essa   é   uma  
grande  vantagem  de  se  dimensionar  no  estado  limite  último  (ELU).  
Antes   de   se   discutir   os   estádios   de   carregamentos   e   os   domínios   de  
deformação,  é  necessário  apresentar  um   fundamento   importante  que  é  a  hipótese  
de  Bernoulli.  
A  Teoria  da  Flexão  ou  Hipótese  de  Bernoulli   ou  Teoria  de  Bernoulli-­Navier,  
utilizadas   para   vigas   não-­paredes   (L/h   ≥   3),   considera   que   as   seções   das   vigas  
indeformadas  permanecem  planas  após  deformadas  (Figura  5.1).  
  
  
Figura  5.1  –  Hipótese  de  Bernoulli  (Seções  Planas)  
5.2.  ESTÁDIOS  DE  CARREGAMENTO  
  
   Os  estádios  de  carregamentos  são  as  etapas  que  uma  peça  sob  flexão  passa  
desde   as   primeiras   cargas,   quando   a   peça   nem   fissurada   está,   até   as   cargas  
últimas,  quando  a  viga  estaria  no  estado  limite  último  (ELU).  
   A  Figura  5.2  apresenta  os  diagramas  dos  esforços  na  seção   transversal  de  
uma  viga  sob  flexão.  Para  o  Estádio  Ia,  as  zonas  comprimidas  e  tracionadas  ainda  
estão  no  regime  linear  elástico.  Para  o  Estádio  Ib,  a  zona  tracionada  torna-­se  não-­
linear,   na   iminência   de   fissurar.   Para   o   Estádio   II,   já   há   fissura   e   o   aço   se  
responsabiliza   pelos   esforços   de   tração.   No   Estádio   III,   também   denominado   de  
estado  limite  último  (ELU),  a  seção  está  na  ruína.  A  zona  comprimida  se  apresenta  
não-­linear,  na  iminência  do  esmagamento,  e  a  zona  tracionada  é  resistida  pelo  aço  
escoando.  
   44  
  
Figura  5.2  –  Estádios  de  carregamento  
  
   A  Figura  5.3  mostra  a   relação  do  aumento  das  ações  com  a  mudança  dos  
estádios.   Observe   que   a   viga   sujeita   a   pouca   carga   ainda   está   não   fissurada  
(Estádio  I).  Posteriormente  aumenta-­se  o  carregamento,  aqui  denominado  de  carga  
maior,   e   na   região   de   maior   momento   fletor   aparecem   fissuras,   indicando   a  
passagem   para   o   Estádio   II   naquela   região.   E   por   fim,   aumenta-­se  mais   ainda   o  
carregamento  até  a  carga  de  ruptura.  Nesse  instante,  na  região  de  maior  momento  
fletor  ocorre  a  ruína  (Estádio  III  ou  ELU).  
   A  NBR6118:2014   recomenda   que   se   dimensione   as   peças   estruturais   para  
uma  situação  hipotética  de  ruína  (Estádio  III  ou  ELU)  com  ductilidade.  Essas  peças  
trabalham   em   serviço   (Estádios   I   e   II)   e   devem   respeitar   os   Estados   Limites   de  
Serviço  que  será  discutido  no  capítulo  9.    
  
  
  
Figura  5.3  –  Relação  do  aumento  das  cargas  com  os  Estádios  
   45  
  
5.3.  ANÁLISE  NA  RUÍNA  (ELU)  –  PEÇAS  DE  CONCRETO  ARMADO  
  
   Peças   sob   flexão   na   ruína   apresentam   uma   tensão   de   compressão   no  
formato   de   parábola-­retângulo   e,   de   acordo   com   a   NBR6118:2014,   podem   ser  
simplificadamente   retangularizada   conforme   mostrada   na   Figura   5.4.   A   força   de  
tração  é  representada  pela  carga  Rst  agindo  no  aço.  
  
Figura  5.4  –  Diagrama  de  esforços  no  ELU  
  
   O  processo  de   retangularização  é  muito  simples  de  se  entender.  A  área  da  
parábola-­retângulo  é  exatamente  a  mesma  da  área  do  retângulo  com  o  valor  de  x  
adaptada  para  lx  (Figura  5.5).  Com  essa  adaptação,  fica  mais  fácil  desenvolver  as  
equações  de  equilíbrio  no  ELU.  
  
  
Figura  5.5  –  Relação  entre  asdistribuições  de  tensão  parábola-­retângulo  e  a  
distribuição  de  tensões  retangularizado  
  
   Pelo  equilíbrio  das  forças  horizontais,  Rcc  é  igual  ao  Rst.  E  os  valores  para  o  
cálculo  do  Rcc  podem  ser  usados  conforme  as   recomendações  da  NBR6118:2014  
quando  se  retangulariza  o  diagrama  de  tensões  normais,  descritas  na  Figura  5.6.  
  
  
  
   46  
  
Figura  5.6  –  Diagrama  tensão-­deformação  para  as  tensões  normais  
retangularizadas  
  
Sendo  para  classes  de  concreto  até  C50:  𝑛 = 2  𝜆 = 0,8  
  
Sendo  para  classes  de  C55  até  C90:  𝑛 = 1,4 + 23,4 90 − 𝑓"$100 Q  𝜆 = 0,8 − 𝑓"$ − 50400  
  
O   coeficiente   de   redução   0,85,   também   denominado   Efeito   de   Rüch,   visa  
estabelecer   a   tensão   máxima   de   compressão   do   concreto   para   ações   de   longa  
duração.  O  Efeito  de  Rüch  vem  da  multiplicação  de  três  fatores:  
  
Efeito  de  Rüch  =  F1  .  F2  .  F3  =  0,75  .  1,20  .  0,95  =  0,85  
  
(a)  Fator  de  correção  para  cargas  de  longa  duração  è  F1  =  0,75  
  
Ensaios  com  cargas  aplicadas  de  forma  lenta  apresentam  resistência  25%  menores  
que  ensaios  usuais  com  cargas  de  curta  duração.  
  
(b)  Fator  de  correção  para  concretos  após  28  dias  è  F2  =  1,20  
  
O  aumento  médio  de  resistência  do  concreto  após  28  dias  pode  chegar  até  a  20%  
em  um  ano.  
  
(c)  Fator  de  correção  em  relação  aos  corpos  de  provas  è  F3  =  0,95  
   47  
  
Ensaios  mostram  que  corpos  de  provas  mais  esbeltos  que  os  cilindros  usuais   (15  
cm  x  30  cm)  apresentam  uma  redução  média  de  5%  nas  resistências  à  compressão.  
  
  
5.4.  DOMÍNIOS  DE  DEFORMAÇÃO  NO  ESTADO  LIMITE  ÚLTIMO  
  
   Os  domínios  de  deformação  são  as  possíveis  configurações  de  deformação  
no   ELU   da   seção   transversal   de   uma   peça   estrutural   analisada   sob   solicitações  
normais.   A   Figura   5.7   apresenta   os   domínios   de   deformação   definidos   pela  
NBR6118:2014.  
  
  
Figura  5.7  –  Domínios  de  deformação  de  ELU  de  uma  seção  transversal  
(NBR6118:2014)  
  
   Considera-­se   que   a   peça   chegou   a   ruína   quando   o   concreto   é   esmagado  
com   a   deformação   (ecu)   ou   quando   a   armadura   atingiu   uma   deformação   plástica  
excessiva   (esd   =   10%o).   Nesse   caso,   a   armadura   não   rompeu,  mas   considera-­se  
que   a   deformação   foi   tão   grande   que   a   estrutura   de   concreto   já   estaria   em   uma  
condição  inutilizável  (ruína).  
   No  domínio  1,  a  peça  rompe  totalmente  tracionada,  com  as  armaduras  de  um  
dos   lados   chegando   a   deformação   de   10%o.  Esse   seria   o   caso   de   um   tirante   de  
concreto  armado.  
   No  domínio  2,  a  peça  chega  a  ruína  com  deformação  plástica  excessiva  na  
armadura  (esd  =  10%o)  e  na  outra  extremidade  o  concreto  sofre  compressão.  
   No   domínio   3,   a   peça   rompe   por   esmagamento   do   concreto   e   na   outra  
extremidade,  as  armaduras  já  estão  escoando  (esd  >  eyd).  
   No  domínio  4,  a  peça  chega  a  ruptura  por  esmagamento  do  concreto,  mas  na  
outra   extremidade   as   armaduras   não   chegam   nem   a   escoar.   Para   o   ELU   essa  
situação   chega   a   ser   perigosa   porque   como   as   armaduras   possuem   pouca  
   48  
deformação,   a   peça   de   concreto   praticamente   não   fissura   e,   assim,   não   há  
ductilidade  (aviso  de  ruptura).  Essa  situação  para  vigas  deve  ser  evitada.  
   No  domínio  4a  e  domínio  5,  a  seção  praticamente  toda  está  sob  compressão.  
No   domínio   4a   há   ruptura   por   esmagamento   em   uma   das   extremidades   com  
deformação   (ecd   =   ecu),   enquanto   que   no   domínio   5   há   ruptura   por   esmagamento  
com   deformações   menores   que   essa.   No   domínio   5,   a   uma   distância   da  
extremidade   mais   comprimida   de   [(ecu-­ec2)h   /ecu],   acontece   a   ruptura   quando   a  
deformação  chega  a  ec2.  Os  domínios  4a  e  5  são  comuns  em  pilares.    
  
5.5.  ANÁLISE  NOS  LIMITES  DOS  DOMÍNIOS    
  
   Analisando   as   deformações   apresentadas   na   Figura   5.8,   referentes   aos  
limites  dos  domínios  de  deformação,  pode-­se  observar  que  a  peça  no  limite  1-­2  está  
toda   tracionada,   como   um   tirante.   A   peça   nos   limites   2-­3   e   3-­4   possuem   zona  
tracionada  e  zona  comprimida  como  uma  viga  ou  uma  faixa  de  uma  laje.  Nos  limites  
4-­4a  e  4a-­5  possuem  praticamente  só  compressão  como  um  pilar.  
  
  
  
Figura  5.8  –  Relação  x/d  para  os  limites  dos  domínios  
  
   Com  a  relação  x/d  (ou  kx  =  x/d)  de  uma  determinada  peça  estrutural  no  ELU,  
pode-­se   identificar  o  domínio  de  deformação  dessa  peça.  Basta  correlacionar  com  
as  relações  dos  limites  de  deformação  (Figura  5.9).    
   49  
  
Figura  5.9  –  Valores  de  kx  para  encontrar  os  domínios  
  
   Transformando  os  valores  dos  kx  da  Figura  5.4  em  valores  numérico,  tem-­se  
a  Tabela  5.1.  
  
Tabela  5.1  –  Valores  de  kx  para  os  limites  dos  domínios  
   Kx  =  x/d  
   fck  (MPa)  
   20  -­  50   55   60   65   70   75   80   85   90  
ec2  (%o)   2,00   2,20   2,29   2,36   2,42   2,47   2,52   2,56   2,60  
ecu  (%o)   3,50   3,13   2,88   2,74   2,66   2,62   2,60   2,60   2,60  
Domínio  1  
Lim  1-­2   0,000  
Domínio  2  
Lim  2-­3   0,259   0,238   0,224   0,215   0,210   0,207   0,207   0,206   0,206  
Domínio  3  
Lim  3-­4                    
CA-­50  (1)     0,628   0,602   0,582   0,569   0,562   0,558   0,557   0,557   0,557  
CA-­60  (2)   0,585   0,558   0,538   0,525   0,517   0,514   0,512   0,512   0,512  
CP1900RB  (3)   0,324   0,300   0,283   0,273   0,267   0,264   0,263   0,263   0,263  
Domínio  4  
Lim  4-­4a   1,000  
Domínio  4a  e  Domínio  5  
����eyd  =  2,07%o  
�2��eyd  =  2,48%o  
�3��eyd  =  7,30%o  
  
  
  
  
  
   50  
5.6.  DUCTILIDADE    
  
   A  capacidade  de  rotação  das  seções  transversais  dos  elementos  estruturais  
é  função  da  posição  da  linha  neutra  no  ELU.  Quanto  menor  for  x/d,  maior  será  essa  
capacidade   de   rotação.   Em   outras   palavras,   quando  menor   for   x/d,   maior   será   a  
ductilidade  desse  elemento.  
   Para   proporcionar   o   adequado   comportamento   dúctil   em   vigas   e   lajes,   a  
NBR6118:2014  estabeleceu  que  a  posição  da  linha  neutra  no  ELU  deve  respeitar  os  
seguintes   limites   (Figura   5.10).   Esses   limites   são   válidos   tanto   para   concreto  
armado  quanto  para  concreto  protendido.  
  
Figura  5.10  –  Relação  x/d  limite  para  comportamento  dúctil  em  vigas  
  
   Comparando   as   relações   x/d   limites   estabelecidas   pela   NBR6118:2014  
(Figura   5.9)   com   as   relações   x/d   da   Tabela   5.1,   observa-­se   que   pode-­se  
dimensionar   vigas   de   concreto   armado   somente   para   o   domínio   2   e   parte   do  
domínio  3,  enquanto  que  para  vigas  de  concreto  protendido,  pode-­se  dimensionar  
para  o  domínio  2,   o  domínio  3  e  parte  do  domínio  4.  Porque  existe  uma   faixa  do  
domínio  4  de  vigas  de  concreto  protendido  que  têm  ductilidade.  
  
    
   51  
CAPÍTULO  6  
  
VIGAS  DE  CONCRETO  ARMADO  
  
6.1.  INTRODUÇÃO  
  
A  NBR6118:2014   define   viga   como   um   elemento   linear   em   que   a   flexão   é  
preponderante.  As  vigas  podem  estar  em  balanço,  bi-­apoiadas  ou  contínuas  como  
as   teorias   daisostática   e   da   hiperestática   costumam   discutir.   As   vigas   também  
podem   ser   classificadas   quanto   ao   tipo,   como   apresentado   na   Figura   6.1.   A   viga  
retangular  com  armadura  simples  normalmente  é  a  solução  mais  econômica,  onde  o  
aço  resiste  os  esforços  de  tração  e  o  concreto  resiste  os  esforços  de  compressão.  A  
viga   retangular   com   armadura   dupla   é   uma   solução   alternativa   onde   a   região  
comprimida   é   também   resistida   por   armaduras   de   compressão.   A   viga   “T”   com  
armaduras   simples   é   uma   outra   alternativa   que   se   reforça   a   zona   comprimida,  
sendo   que   nesse   caso,   com   área   de   concreto.   As   vigas   com   armadura   duplas   e  
vigas  “T”  são  geralmente  utilizadas  quando  a  viga  com  armadura  simples  cai  em  um  
domínio  3  sem  ductilidade  ou  em  um  domínio  4.  Nesse  caso,  reforçando-­se  a  zona  
comprimida,  as  vigas  com  armadura  dupla  ou  “T”  são  dimensionadas  respeitando  os  
limites  de  ductilidades  com  uma  altura  inferior  a  viga  com  armadura  simples.  
  
  
Figura  6.1  –  Tipos  de  viga  
  
6.2.  CARREGAMENTO  DAS  VIGAS  
  
A   NBR6120:1980   fornece   vários   valores   de   cargas   para   que   o   calculista  
possa  considerar  em  suas  análises  estruturais.  Os  carregamentos  mais  comumente  
utilizados  nas  edificações  estão  listados  abaixo.  
  
ü  Cargas  Permanentes  (g)  
Por  Volume   Concreto  armado   25  kN/m3  
Tijolo  furado   13  kN/m3  
Tijolo  maciço   18  kN/m3  
  
Por  Área   Pavimentação   1,0  kN/m2  
   52  
Revestimento   1,0  kN/m2  
  
ü  Cargas  Acidentais  (q)  
Por  Área   Residência   (dormitório,   sala,   copa,   cozinha,  
banheiro)  
1,5  kN/m2  
Residência  (despensa,  área  de  serviço,  lavanderia)   2,0  kN/m2  
Escritórios  comerciais  (salas,  banheiros)   2,0  kN/m2  
Biblioteca  (sala  de  leitura)   2,5  kN/m2  
Biblioteca  (sala  para  depósito  de  livros)   4,0  kN/m2  
Biblioteca  (sala  com  estante  de  livros)   6,0  kN/m2  
Escadas  (com  acesso  ao  público)   3,0  kN/m2  
Escadas  (sem  acesso  ao  público)   2,5  kN/m2  
  
A  Transferência  de  cargas  das  lajes  para  as  vigas  dependem  das  condições  
dos  apoios  dessas  lajes.  O  tradicional  Método  das  Linhas  de  Ruptura  é  um  método  
simples  e  eficiente  para  transferir  as  cargas  das  lajes  para  as  vigas.  Esse  método  é  
baseado  nas  rótulas  plásticas  que  surgem  de  baixo  da  laje  quando  essa  laje  rompe.  
Considera-­se  que  cada  área  limitada  pelas  rótulas  plásticas  transfere  cargas  para  as  
vigas  mais  próximas  (Figura  6.2).  
  
Figura  6.2-­  Área  de  transferência  de  carga  para  as  vigas  
  
  
   Com   as   ações   conhecidas,   traça-­se   o   diagrama   dos  momentos   fletores   da  
viga   analisada   (Figura   6.3).   A   NBR6118:2014   recomenda   que   nenhum   momento  
fletor  positivo  deve  ser  menor  que  o  momento  fletor  positivo  de  um  vão  bi-­engastado  
para  dimensionamento  no  ELU.    
   53  
  
Figura  6.3  –  Momentos  fletores  para  dimensionamento  da  viga  
  
   A  NBR6118:2014  permite  a  opção  do  calculista  reduzir  os  momentos  fletores  
negativos   através   de   arredondamento   do   diagrama   sobre   os   apoios.   Esse  
arredondamento  pode  ser   feito  de  maneira  aproximada,   conforme  apresentado  na  
Figura  6.4.  
  
   54  
  
Figura  6.4  –  Arredondamento  do  diagrama  do  momento  fletor  negativo  
  
  
EXEMPLO  RESOLVIDO:  
  
Considerando  a  planta  de  fôrma  da  Figura  6.5,  encontra-­se  os  carregamentos  
das  vigas  V1  e  V3  da  seguinte  forma:  
  
   55  
  
Figura  6.5  –  Planta  de  fôrma    
  
  (a)  Carregamento  das  lajes  L1  e  L3:  
Carga  Permanente  (g):    
Peso  Próprio  =  25  kN/m3  .  0,10  m  =     2,50  kN/m2  
Pavimentação  =   1,00  kN/m2  
Revestimento  =   1,00  kN/m2  
Alvenaria  =     0,00  kN/m2  
Carga  Variável  (q):    
Sobre-­carga  de  varanda  residencial  =   1,50  kN/m2  
Total  =   6,00  kN/m2  
Obs:  Não  existe  alvenaria  sobre  as  lajes  L1  e  L3.  
  
(b)  Carregamento  da  laje  L2:  
Carga  Permanente  (g):    
Peso  Próprio  =  25  kN/m3  .  0,10  m  =     2,50  kN/m2  
Pavimentação  =   1,00  kN/m2  
Revestimento  =   1,00  kN/m2  
Alvenaria  =  13  kN/m3  .  (0,15  .  2,90  .  4)  m3  /  (4  .  6)  m2  =   0,94  kN/m2  
Carga  Variável  (q):    
Sobre-­carga  de  sala  residencial  =   1,50  kN/m2  
Total  =   6,94  kN/m2  
Obs:  Existe  4m  de  alvenaria  de  tijolo  cerâmico  sobre  a  laje  L2.  
  
(c)  Carregamento  e  diagrama  do  momento  fletor  da  viga  V3  (Figuras  6.6  e  6.7):  
  
   56  
  
Figura  6.6  –  Ações  e  diagrama  do  momento  fletor  na  viga  V3  
  
  
  
  
Figura  6.7  –  Área  de  influência  da  reação  da  laje  L1  na  viga  V3    
  
  
(d)   Carregamento   e   diagrama   do   momento   fletor   da   viga   V1   (Figuras   6.8,   6.9   e  
6.10):  
  
   57  
  
Figura  6.8  –  Ações  na  viga  V1    
  
  
  
Figura  6.9  –  Ações  e  diagrama  do  momento  fletor  na  viga  V1    
  
  
   58  
  
Figura  6.10  –  Áreas  de  influência  da  reações  das  lajes  L1  e  L2  na  viga  V1    
  
  
6.3.   DIMENSIONAMENTO   À   FLEXÃO   DE   VIGA   RETANGULAR   COM  
ARMADURA  SIMPLES  NO  ESTADO  LIMITE  ÚLTIMO  
  
   Uma  seção  de  uma  viga  de  concreto  armado  no  ELU  apresenta  os  esforços  
mostrados  na  Figura  6.11.  
  
  
Figura  6.11  –  Seção  de  viga  no  ELU  
  
Rcc  =  σc  .  b  .  λx  
Rst  =  As  .  σsd  =  As  .  fyd  
z  =  d  –  0,5  .  y  =  d  –  0,5  .  λ  .  x  
  
Equilíbrio:  
Md  =  Rcc  z  =  (σcd  .  b  .  λ  .  x)  .  (d  –  0,5  .  λ  .  x)  =  σcd  .  b  .  λ  .  (x/d)  .  (1  –  0,5  λ  .  (x/d))  .  d2    
Md  =  λ.  kx  .  (1  –  0,5  λ  .  kx)  .  b  .  d2  .  σcd  
Sendo:  kmd  =  λ  .  kx  .  (1  –  0,5  λ  .  kx)      
Md  =  kmd  .  b  .  d2  .  σcd  
kmd  =  Md  /  (b  .  d2  .  σcd) 
   59  
*  Na  fórmula  do  kmd,  considerou-­se  esmagamento  do  concreto  (σc  =  σcd  e  εc  =  εcu  è  
domínio  3)  no  ELU.  
kmd  =  λ  .  kx  .  (1  –  0,5  λ  .  kx)    
kmd  =  λ  .  kx  –  0,5  λ  2  .  kx2    
(0,5  λ2)  .  kx2  +  (-­λ)  .  kx  +  (kmd)  =  0  
(A)  .  kx2  +  (B)  .  kx  +  C  =  0  
kx  =  [-­B  ±  (B2  –  4AC)1/2]/(2  A)  
kx  =  {-­  (-­λ)  ±  [(-­λ)2  –  4.(0,5  λ2).  (kmd)]1/2}/[2  (0,5  λ2)]  
kx  =  {λ  ±  [  λ2  –  2  .  λ2.  kmd]1/2}/(  λ2)  
kx  =  {λ  ±  [λ2  (1  –  2  .  kmd)]1/2}/(  λ2)  
kx  =  {λ  ±  λ  [1  –  2  .  kmd]1/2}/(  λ2)  
kx  =  (1/  λ)  .  [1  ±  (1  –  2  .  kmd)1/2]  
kx  =  (1/  λ)  .  [1  -­  (1  –  2  .  kmd)1/2]  
kx  =  [1  -­  (1  –  2  .  kmd)1/2]/  λ  
z  =  d  –  0,5  .  y  
z  =  d  –  0,5  .  λ  .  x  
(z/d)  =  1  –  0,5  .  λ  .  (x/d)  
kz  =  1  –  0,5  .  λ  .  kx  
Md  =  Rst  z  =  As  .  fyd  .  z  
Md/d  =  As  .  fyd  .  (z/d)  
Md/d  =  As  .  fyd  .  kz  
As  =  Md  /(  kz  .  d  .  fyd)  
*  Na   fórmula  do  As,  considerou-­se  escoamento  das  armaduras   longitudinais   (σsd  =  
fyd  è  domínios  2  ou  3)  no  ELU.  
  
   O  roteiro  do  cálculo  da  NBR6118:2014  do  dimensionamento  de  uma  viga  de  
concreto  armado  no  ELU  foi  organizado  na  Figura  6.12.  
  
  
   60  
  
Figura  6.12  –  Roteiro  de  dimensionamento  de  uma  viga  de  concreto  armado  no  ELU  
  
   Observe  que  para  a  condição  As  ≥  As,  mín  ser  atendida,  basta  respeitar  essa  
outra  condição  Md  ≥  Md,  mín  no  dimensionamento  no  ELU.  
   O  valor  da  área  das  barras  de  aço  adotadas  (As,  adotada),