Lista 1 de cálculo

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CCE
Departamento de Matema´tica
MAT 146 - CA´LCULO I
Professores: Ab´ılio, Anderson Tiago, Ariane (coordenadora), Gemma, Ma´ısa.
1a Lista de Exerc´ıcios: Pre´-requisitos para o ca´lculo1
1) Simplifique as seguintes expresso˜es:
a)
x− x2
1− x2 ;
b)
x2 − 1
x2 + 2x+ 1
;
c)
4x2 − 6x
4x2 − 9 ;
d)
x2 − 2x+ 1
x2 + 2x+ 1
2) Determine as ra´ızes das seguintes equac¸o˜es:
a) x2 − 3x+ 2 = 0;
b) x2 − 25 = 0;
c) x3 + 4x2 + 4x = 0
d) 4x4 − x2 = 0.
3) Deˆ o conjunto soluc¸a˜o das seguintes equac¸o˜es:
a)
2x
5
=
5
x
;
b) 3 +
5
x− 2 = −
x+ 1
x
;
c)
1
x
+
1
x− 1 = 3.
4) Fatore, colocando os termos comum em evideˆncia:
a) 4x4 + 4;
b) 3x3 + 6x2 + 9x;
c) (x2 − 1) + (4x3 − 4x).
5) Resolva:
a) |3x+ 12| < 7; b) |6 + 2x| = x; c) |5x− 5| = 15.
6) Se f(x) =
√
x− 4− 3x, determine o domı´nio de f e calcule f(4), f(8), f(13).
7) Dada a func¸a˜o f : R→ R definida por
f(x) =
{
4x+ 2, se x > 3
x2, se x 6 3 ,
determine f(1), f(5), f(3), f(4) e f(−6).
1Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
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MAT 146 - Ca´lculo I 2
8) Dada a func¸a˜o f(x) =
1
x
− 1
x+ 1
, determine o valor de f(1) + f(2) + f(3).
9) Uma loja de departamento vende CD por R$18, 00 a unidade. Seja x a quantidade de CD’s
vendida. Pede-se:
a) Encontre a func¸a˜o receita R(x) (a func¸a˜o em func¸a˜o da quantidade de CD’s vendidos).
b) Calcule R(40).
c) Qual a quantidade de CD’s vendia par dar uma receita igual a R$450, 00.
10) Um retaˆngulo tem per´ımetro de 20 metros. Expresse a a´rea do retaˆngulo como func¸a˜o do
comprimento de um de seus lados.
11) Considere uma caixa retangular aberta de volume 2 m3 cuja base seja quadrada. Expresse a
a´rea superficial desta caixa como uma func¸a˜o do comprimento de um de seus lados.
12) Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f(x) = 3, sendo o domı´nio de f todos os nu´meros reais.
13) Se f(x− 1) = x2, calcule o valor de f(2).
14) Determine o domı´nio das func¸o˜es a seguir.
a) y = 2x+ 7;
b) f(x) =
1
x− 2;
c) f(x) = x3;
d) y =
3x− 2
4x+ 3
;
e) f(x) =
x− 1
2x
;
f) f(x) =
3x
x2 + 4
;
g) f(x) =
√
x;
h) f(x) =
√
x− 2;
i) y = ex;
j) y = lnx (lnx = loge x).
15) Se f(x) = ax+ b, f(−2) = −5 e f(3) = 5, calcule f(1/2).
16) Seja f(x) uma func¸a˜o do primeiro grau. Escreva a func¸a˜o f sabendo que f(−1) = 2 e f(2) = 3.
17) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o constante e desenhe seu gra´fico.
18) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o do primeiro grau e desenhe seu gra´fico.
19) Dada a func¸a˜o f(x) =
1
x
, mostre que f(1 + h)− f(1) = − h
1 + h
. Calcule f(a+ h)− f(a).
20) Se a e h sa˜o nu´meros reais, com h na˜o nulo, determine e simplifique
f(a+ h)− f(a)
h
para cada
uma das seguintes func¸o˜es.
a) f(x) = 5x− 2,
b) f(x) = x2 − x+ 3,
c) f(x) =
√
x.
21) Obtenha a equac¸a˜o da reta que passa por P e tem o coeficiente angular m e fac¸a o gra´fico das
retas, nos seguintes casos:
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.
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a) P = (1, 3) e m = 2; b) P = (−2, 0) e m = −1.
22) Estude a variac¸a˜o do sinal das func¸o˜es:
a) f(x) = x2 − 2x+ 1;
b) f(x) = (2x− 3)(x+ 1)(x− 2);
c) f(x) =
x(2x− 1)
x+ 1
;
d) f(x) = 2− 1
x
− x.
23) Dadas as func¸o˜es g(x) = x2 − 2x e f(x) = 2x, determine:
a) f ◦ g(x),
b) g ◦ f(x),
c) f(g(1)) e g(f(1)),
d) f(g(−1)) e g(f(−1)).
24) Dadas as func¸o˜es f(x) = 3x2 + 2 e g(x) =
√
x, determine:
a) O domı´nio de f e o domı´nio de g;
b) f ◦ g;
c) g ◦ f ;
d) O esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es f , g, f ◦ g e g ◦ f .
25) Determine a inversa de cada uma das func¸o˜es.
a) f(x) = 2x+ 3; b) f(x) = x3 + 2; c) f(x) = 3
√
x+ 1.
26) Fac¸a o esboc¸o do gra´fico de cada uma das seguintes func¸o˜es.
a) f(x) = 2x+ 1;
b) f(x) = x2 + x− 2;
c) f(x) =
√
x, x ≥ 0;
d) y = x3;
e) y = 2x;
f) y = cos 2x, x ∈ [0, pi];
g) f(x) = |x+ 1|.
27) Fac¸a a divisa˜o do polinoˆmio p(x) pelo polinoˆmio q(x), nos seguintes casos.
a) p(x) = x2 − 4x+ 4 e q(x) = x− 2;
b) p(x) = 10x2 − 43x+ 40 e q(x) = 2x− 5;
c) p(x) = 12x3 − 19x2 + 15x− 3 e q(x) = 3x2 − x+ 2;
d) p(x) = 6x4 − 10x3 + 9x2 + 9x− 5 e q(x) = 2x2 − 4x+ 5 ;
Respostas
1) a)
x
1 + x
; b)
x− 1
x+ 1
; c)
2x
2x+ 3
; d)
(x− 1)2
(x+ 1)2
.
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2) a) x = 1 e x = 2; b) x = 5 e x = −5; c) x = 0 e x = −2; d) x = 0, x = 1/2 e x = −1/2.
3) a)
{
5
√
2
2
,−5
√
2
2
}
; b) {1,−1/2}; c)
{
5 +
√
13
6
,
5−√13
6
}
.
4) a) 4(x4 + 1); b) 3x(x2 + 2x+ 3); c) (x2 − 1)(1 + 4x).
5) a) −19
3
< x < −5
3
; b) x = −6, x = −2; c) x = −2, x = 4.
6) Df = {x ∈ R : x ≥ 4}, f(4) = −12, f(8) = −22, f(13) = −36.
7) f(1) = 1, f(5) = 22, f(3) = 9, f(4) = 20, f(−6) = 36.
8) 3/4.
9) a) R(x) = 18x, b) R(40) = 720, c) 25.
10) A(x) = 10x− x2, 0 ≤ x ≤ 10.
11) A(x) =
8
x
+ x2, x > 0.
13) f(2) = 9.
14) a) D = R; b) D = R − {2}; c) D = R; d) D = R − {−3/4}; e) D = R − {0}; f) D = R; g)
D = R+ ou [0,+∞); h) D = {x ∈ R;x ≥ 2} ou [2,+∞); i) D = R; j) D = (0,+∞).
15) f(1/2) = 0.
16) f(x) = 1/3x+ 7/3.
19) f(a+ h)− f(a) = − h
(a+ h)a
.
20) a) 5, b) h+ 2a− 1, c) 1√
a+ h+
√
a
.
21) a) y = 2x+ 1; b) y = −x− 2.
22) a) f e´ positiva em todo seu domı´nio; b) f e´ positiva nos intervalos (−1, 3/2) e (2,+∞), e
negativa nos intervalos (−∞,−1) e (3/2, 2); c) f e´ positiva nos intervalos (−1, 0) e (1/2,+∞),
e negativa nos intervalos (−∞,−1) e (0, 1/2); d) f e´ positiva no intervalo (−∞, 0), e negativa
no intervalo (0,+∞).
23) a) f ◦ g(x) = 2x2−2x; b) g ◦ f(x) = 4x − 2x+1; c) f(g(1)) = 1/2 e g(f(1)) = 0; d) f(g(−1)) = 8
e g(f(−1)) = −3/4.
24) a) Df = R, Dg = R+; b) f ◦ g(x) = 3x+ 2; c) g ◦ f(x) =
√
3x2 + 2; d)
25) a) f−1(x) =
x− 3
2
; b) f−1(x) = 3
√
x− 2; c) f−1(x) = x3 − 1.
27) a) x+ 2, com resto 0; b) 5x-9 com resto −5; c) 4x -5 com resto 2x+ 7; d) 3x2 +x+ 1 com resto
0.
Lista elaborada por Ariane P. Entringer, DMA - UFV.