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Exercícios de Números Complexos com 
Gabarito 
 
1) (UNIFESP-2007) Quatro números complexos 
representam, no plano complexo, vértices de um 
paralelogramo. Três dos números são z1 = –3 –3i, z2 = 1 e z3 
= –1 + (
2
5
)i. O quarto número tem as partes real e 
imaginária positivas. Esse número é 
a) 2 + 3i. 
b) 3 + (11/2)i. 
c) 3 + 5i. 
d) 2 + (11/2)i. 
e) 4 + 5i. 
 
 
2) (Mack-2008) Sendo i2 = -1, o número complexo 
2
1 itgx
, com x não nulo e -
2

< x <
2

, tem módulo 
igual a 
a) 
2
1
 cotgx 
b) 
2
1
secx 
c) 
2
1 gxcot
 
d) 
2
1
 
xsec
 
e) 
2
1 xsec
 
 
3) (UFC-2007) Ao dividir 1-i
3
por –1 + i, obtém-se um 
complexo de argumento igual a: 
a) /4 
b) 5/12 
c) 7/12 
d) 3/4 
e) 11/12 
 
 
 
4) (VUNESP-2007) Considere os números complexos w = 4 
+ 2i e z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i 
indica a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de 
um triângulo é |z| e a base é a parte real de z w, determine 
a de modo que a área do triângulo seja 90 cm
2
. 
 
 
5) (FUVEST-2006) Determine os números complexos z que 
satisfazem, simultaneamente, |z| = 2 e Im 








i
iz
1 = 2
1
 
Lembretes: i
2
 = -1; se w = a + bi, 
com a e b reais, então |w| = 22 ba  e Im (w) = b. 
 
6) (UNIFESP-2006) Os números complexos z1, z2 = 2i e z3 =a
3 +ai, onde a é um número real positivo, representam no 
plano complexo vértices de um triângulo eqüilátero. Dado 
que |z2 - z1| = 2, o valor de a é: 
a) 2 
b) 1 
c) 3 
d) 2
3
 
e) 2
1
 
 
 
7) (Mack-2006) Se z = x + yi (i2 = -1) é tal que |z + i | = |z + 
2|, então os pontos de coordenadas (x; y), x e y reais, 
percorrem 
a) uma hipérbole. 
b) uma circunferência. 
c) uma elipse. 
d) uma reta. 
e) uma parábola. 
 
8) (PUC-SP-2006) Sabe-se que o polinômio f = x4 + 3x3 - 
3x
2
 - 11x - 6 admite a raiz -1 com multiplicidade 2 e que 
outra de suas raízes é igual ao módulo de um número 
complexo z cuja parte imaginária é igual a -1. A forma 
trigonométrica de z pode ser igual a 
a) 2.(cos 6
11
 + i.sen 6
11
) 
b) 2.(cos 6
5
 + i.sen 6
5
) 
c) 2.(cos 3
5
 + i.sen 3
5
) 
d) 2.(cos 3
4
 + i.sen 3
4
) 
e) 2.(cos 4
7
 + i.sen 4
7
) 
 
 
9) (Vunesp-2006) A figura representa, no plano complexo, 
um semicírculo de centro na origem e raio 1. Indique por 
Re(z), Im(z) e |z| a parte real, a parte imaginária e o módulo 
de um número complexo z = x + yi, respectivamente, onde i 
indica a unidade imaginária. A única alternativa que contém 
as condições que descrevem totalmente o subconjunto do 
plano que representa a região sombreada, incluindo sua 
fronteira, é 
 
 
 
 
 
 
 
a) Re(z)  0, Im(z)  0 e |z|  1. 
b) Re(z)  0, Im(z)  0 e |z|  1. 
c) Re(z)  0 e |z|  1. 
d) Im(z)  0 e |z|  1. 
e) Re(z)  0 e |z|  1. 
 
10) (UFRJ-2005) Um jantar secreto é marcado para a hora 
em que as extremidades dos ponteiros do relógio forem 
representadas pelos números complexos z e w a seguir: 
 z =  









 





 
2
isen
2
cos
, w = z
2
, sendo  um número 
real fixo, 0 < < 1 . 
 
Determine a hora do jantar. 
 
 
11) (IBMEC-2005) Considere a equação x2 - 2cos()x + 1 = 
0, com 0    . 
a) Determine os valores de  para os quais esta equação 
admite raízes reais. 
b) Resolvendo em C a equação dada, determine, em função 
de , suas raízes e represente-as no plano Argand-Gauss 
abaixo. 
 
 
12) (UERJ-2005) João desenhou um mapa do quintal de sua 
casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um sistema de 
coordenadas retangulares, colocando a origem O na base de 
uma mangueira, e os eixos OX e OY com sentidos oeste-
leste e sul-norte, respectivamente. Cada ponto (x, y), nesse 
sistema, é a representação de um número complexo z = x + 
iy , x IR, y IR e i2 = 1. 
Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d do cofre à 
origem, João escreveu a seguinte observação no canto do 
mapa: 
x1 + iy1 = (1+i)
9
 
Calcule: 
a) as coordenadas (x1, y1); 
b) o valor de d. 
 
 
13) (Vunesp-2005) Considere os números complexos z = 2 - 
i e w = -3 -i, sendo i a unidade imaginária. 
a) Determine z w e |w - z |. 
b) Represente z e w no plano complexo (Argand-Gauss) e 
determine b IR, b  0, de modo que os números 
complexos z, w e t = bi sejam vértices de um triângulo, no 
plano complexo, cuja área é 20. 
 
 
14) (Vunesp-2005) Seja o número complexo z = 10 + 10i, 
no qual i = 1 A forma trigonométrica que representa 
este número é 
a) 10 





 


2
isen
2
cos
 
b) 10 





 


4
isen
4
cos
 
c) 10 10





 


6
isen
6
cos
 
d) 10 2





 


2
isen
2
cos
 
e) 10 2





 


4
isen
4
cos
 
 
 
15) (Mack-2004) As representações gráficas dos complexos 
1 + i , (1 + i)
2
, -1 e (1 - i)
2
, com i
2
 = -1, são vértices de um 
polígono de área: 
a) 2 
b) 1 
c) 2
3
 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) (Unifesp-2004) Considere, no plano complexo, 
conforme a figura, o triângulo de vértices z1 = 2, z2 = 5 e z3 
= 6 + 2i. 
A área do triângulo de vértices w1 = iz1, w2 = iz2 e w3 = 2iz3 
é: 
 
a) 8 
b) 6 
c) 4 
d) 3 
e) 2 
 
 
17) (Unicamp-1988) Identifique o lugar geométrico dos 
pontos z = x + iy do plano complexo tais que Re( z
1
) = 4
1
. 
Determine a equação cartesiana e faça o gráfico desse 
lugar. 
 
18) (Fuvest-1978) O número complexo z0 e seu inverso 
z
1
 têm o mesmo módulo. Conclui-se que: 
a) z e 
z
1
são conjugados 
b) z + 
z
1
= i 
c) este módulo é 2 
d) z e 
z
1
são reais 
e) z
2
 = 1 
 
19) (Fuvest-1984) Os números complexos z e w têm 
12
5
 e 
3

 como argumentos, respectivamente. Ache u e v reais 
tais que zw = u + iv, sabendo que | zw | = 10. 
 
20) (FGV-1991) Dentre todos os números complexos, z = 
atisfazem a inequação 
|z - 
 
 
21) (Mack-2005) Dados os complexos z e w, tais que 2z + 
w = 2 e z + w = i
2i1
, i2 = -1, o módulo de w é igual a: 
a) 5 
b) 2 2 
c) 3 
d) 6 
e) 3 3 
 
 
 
 
22) (ITA-2005) Seja z  C com |z| = 1. Então, a expressão 
wa
wz1


 assume valor 
a) maior que 1, para todo w com |w| > 1. 
b) menor que 1, para todo w com |w| <1 
c) maior que 1, para todo w com w z. 
d) igual a 1, independente de w com w z. 
e) crescente para |w| crescente, com |w| < |z|. 
 
 
 
23) (FGV-2005) Admita que o centro do plano complexo 
Argand-Gauss coincida com o centro de um relógio de 
ponteiros, como indica a figura: 
 
Se o ponteiro dos minutos tem 2 unidades de comprimento, 
às 11h 55 sua ponta estará sobre o número complexo 
 
a) -1 + 3 i 
b) 1 + 3 i 
c) 1 - 3 i 
d) 3 - i 
e) 3 + i 
 
 
24) (PUCCamp-1998) Sejam x e y os números reais que 
satisfazem a igualdade i(x 2i) + (1 yi) = (x + y)  i, onde 
i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z 
= (x + yi)
2
 é igual a: 
 
a) 25 
b) 5 5 
c) 5 
d) 2 5 
e) 5 
 
 
 
 
 
 
25) (Unirio-1998) Sejam z1 e z2 números complexos 
representados pelos seus afixos na figura acima. Então, o 
produto de z1 pelo conjugado de z2 é: 
 
a) 19 + 10i 
b) 11 + 17i 
c) 10 
d) -19 + 17i 
e) -19 + 7i 
 
 
26) (Vunesp-1995) Seja L oafixo do número complexo a =
8 +i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. 
Determine o número complexo b, de módulo igual a 1, cujo 
afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo 
LOM é reto. 
 
 
27) (UEL-1995) Seja z um número complexo de módulo 2 e 
argumento principal 120
o
. O conjugado de z é: 
a) 2 - 2i 3 
b) 2 + 2i 3 
c) -1 - i 3 
d) -1 + i 3 
e) 1 + i 3 
 
 
28) (UEL-1995) Seja o número complexo z =  2
342
i1
2.i
 . A 
imagem de z no plano complexo é um ponto do plano que 
pertence ao 
a) eixo imaginário. 
b) eixo real. 
c) 2
o
 quadrante. 
d) 3
o
 quadrante. 
e) 4
o
 quadrante. 
 
29) (Mack-1997) A solução da equação |z| + z - 18 + 6i = 0 
é um complexo z de módulo: 
a) 6 
b) 8 
c) 18 
d) 12 
e) 10 
30) (Mack-1996) Considere todos os complexos z tais que 
|z| = 1. O imaginário puro w, onde w = 1+2.z, pode ser: 
a) 3 i 
b) 2 i 
c) i 
d) -2i 
e) -3i 
 
 
31) (FGV-1995) Seja o número complexo z=(x-2i)2, no qual 
x é um número real. Se o argumento principal de z é 90°, 
então 1/z é igual a: 
a) -
8
i
 
b) -8i 
c) 4i 
d) -1 + 4i 
e) 4 - i 
 
 
 
32) (Fatec-1997) Na figura a seguir, o ponto P é o afixo do 
número complexo z = x + yi no plano de Argand-Gauss. 
 
É verdade que: 
a) o argumento principal de z é 
6
5
 
b) a parte imaginária de z é i. 
c) o conjugado de z é 3 + i. 
d) a parte real de z é 1. 
e) o módulo de z é 4. 
 
 
33) (Cesgranrio-1995) O lugar geométrico das imagens dos 
complexos z, tais que z
2
 é real, é: 
a) um par de retas paralelas. 
b) um par de retas concorrentes. 
c) uma reta. 
d) uma circunferência. 
e) uma parábola. 
 
 
34) (ITA-2004) Considere todos os números z = x + iy que 
têm módulo 2
7
e estão na elipse x
2
 + 4y
2
 = 4. Então, o 
produto deles é igual a 
a)
9
25
 
 
 
 
 
 
 
b)
16
49
 
c)
25
81
 
d) 
7
25
 
e) 4 
 
35) (FGV-2004) a) Determine, no plano de Argand-Gauss, o 
lugar geométrico dos números complexos z representados 
pela equação: 025  zwzz , sendo w = - 2 + 5i. 
b) De todos os números complexos z de módulo 3, 
determine aqueles que satisfazem a igualdade 
| z - 2i | = 3 . | i - 2| 
 
 
36) (Cesgranrio-1994) A figura mostra, no plano complexo, 
o círculo de centro na origem e raio 1, e as imagens de 
cinco números complexos. O complexo 1/z é igual a: 
 
a) z 
b) w 
c) r 
d) s 
e) t 
 
 
 
 
 
37) (Fatec-2003) Na figura abaixo tem-se o ponto P, afixo 
do número complexo z, no plano de Argand-Gauss. 
 
 
Se -z é o complexo conjugado de z, então 
 
a) z = - 2 + 2 3 i 
b) z = - 2 + 2 3 i 
c) z = - 2 + 3 i 
d) z = - 2 + 3
3
i 
e) z = - 2 + 3
3
 
i 
 
 
38) (Vunesp-2003) Considere a variável complexa z dada 
por z = x + i y, onde i é o número imaginário 1 , e seja 
z o complexo conjugado de z. 
a) Dada a equação (z - a)( z - a) = r
2
, onde r e a  R, 
calcule e responda a qual configuração geométrica ela 
corresponde. 
b) Escreva a equação do círculo x
2
 + y
2
 = R
2
, R  R, em 
variáveis complexas. 
 
 
39) (Fatec-2003) Na figura abaixo, os pontos A, B e C 
são as imagens dos números complexos z1 , z2 e z3, no 
plano de Argand-Gauss. 
 
Se Iz1I = Iz2I = Iz3I = 3 e  = 60
o
 , então z1 + z2 + 
z3 é igual a 
 
a) i)33(  
b) i33  
c) i)33(  
d) i33  
e) 3i3  
 
40) (Mack-1996) A representação gráfica dos complexos 
x+yi tais que 1  | x+yi |  2, onde x  y  0, define uma 
região de área: 
a)  
b) 
2

 
 
 
 
 
 
 
c) 3
2

 
d) 2 
e) 3
4

 
 
41) (UEL-2002) Na figura abaixo, o ponto P representa um 
número complexo z no plano de Argand-Gauss. Qual dos 
números abaixo é z, sabendo-se que OP= 13 ? 
 
a) - 9 + 4i 
b) 2 + 3i 
c) 2 - 3i 
d) 13 
e) - 13 i 
 
42) (Unicamp-1997) Um triângulo eqüilátero, inscrito em 
uma circunferência de centro na origem, tem como um de 
seus vértices o ponto do plano associado ao número 
complexo 3 + i. 
a) Que números complexos estão associados aos outros dois 
vértices do mesmo triângulo? Faça a figura desse triângulo. 
b) Qual a medida do lado desse triângulo? 
 
 
43) (Unitau-1995) O módulo de z= 36i
1
é: 
a) 3. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 1/36. 
e) 36. 
 
 
44) (UNIUBE-2001) Considere os números complexos z = x 
+ iy, em que x, y e IR e i
2 
= -1, que têm módulo igual a 3 
e cujas representações geométricas encontram-se sobre a 
parábola y = x
2 
-1, contida no plano complexo. Se w é a 
soma desses números complexos, então |w| é igual a 
a) 3 
b) 3 
c) 2 
d) 6 
 
45) (UFC-2002) Sabendo que cos  = 2
3
 e que sen  = 
2
1 , podemos afirmar corretamente que 
cos( + 2

) + sen( + 2
 ) é igual a: 
 
a) 0 
b) 2
1
2
3  
c) 2
1
2
3  
d) 2
1
2
3  
e) 2
1
2
3  
 
46) (PUC-SP-2002) Geometricamente, o módulo de um 
número complexo z é dado pela distância da origem O do 
plano complexo ao ponto imagem de z. Assim, dado o 
complexo z = 3 + 2i, considere o triângulo ABO, cujos 
vértices A e B são os respectivos pontos imagem de z e z.i. 
É verdade que esse triângulo é 
a) eqüilátero. 
b) escaleno. 
c) retângulo e isósceles. 
d) retângulo e não isósceles. 
e) isósceles e não retângulo. 
 
 
47) (Fuvest-1998) Dentre os números complexos z = a + bi, 
não-nulos, que têm argumento igual a 
4

 , aquele cuja 
representação geométrica está sobre a parábola y = x
2
 é: 
a) 1 + i 
b) 1 – i 
c) – 1 + i 
d) 2 + 2i 
e) – 2 + 2i 
 
 
48) (Vunesp-2006) Se a, b, c são números inteiros positivos 
tais que c = (a + bi)
2
 - 14i, em que i
2
 = -1, o valor de c é 
a) 48. 
b) 36. 
c) 24. 
d) 14. 
e) 7. 
 
49) (UFPB-2006) Sejam x e y elementos quaisquer do 
conjunto G = { nimg  | m , n  Z }, onde 1i . 
Considere as seguintes proposições e assinale com V a(s) 
verdadeira(s) e com F, a(s) falsa(s). 
 
( ) Se y  0 , o quociente 
y
x
G. 
( ) O produto x y  G. 
( ) A soma yx   G. 
 
A seqüência correta é: 
 
a) VFF 
b) FVF 
c) FFV 
 
 
 
 
 
 
d) VVF 
e) VFV 
f) FVV 
 
 
50) (FMTM-2005) Sendo p e q números reais tais que 2

< 
p+q <  , e i a unidade imaginária, se os números 
complexos z1 = sen (p +q) + [log (p-q)]i e z2 = 2
1
 são 
iguais, então q é igual a 
a) 6
35 
 
b) 12
69 
 
c) 6
65 
 
d) 12
65 
 
e) 15
65 
 
 
 
 
51) (Fuvest-1983) 
- 
 
52) (UFSCar-2005) Sejam i a unidade imaginária e an o n-
ésimo termo de uma progressão geométrica com a2 = 2a1. 
Se a1 é um número ímpar, então 10321 aaaa i...iii  é 
igual a 
a) 9i ou - 9i. 
b) - 9 + i ou - 9 - i. 
c) 9 + i ou 9 - i. 
d) 8 + i ou 8 - i. 
e) 7 + i ou 7 - i. 
 
53) (Cesgranrio-1998) Dados os números complexos z1= 
1+i, z2 = 1-i e z3 =
4
2
3
1
z
z
 pode-se afirmar que a parte real de z3 
vale: 
a) 2
1
 
b) 4
1
 
c) - 4
1
 
d) - 2
1
 
e) -1 
 
54) (UEL-1996) Seja o número complexo z = x + yi, no qual 
x, y  R. Se z.(1 - i) = (1 + i)2, então: 
a) x = y 
b) x - y = 2 
c) x.y = 1 
d) x + y = 0 
e) y = 2x 
 
 
55) (Mack-1996) O complexo z = (a + bi)4 é um número 
real estritamente negativo. Então pode ocorrer: 
a) a + b = 0. 
b) a + 2b = 0. 
c) 2a + b = 0. 
d) a + 4b = 0. 
e) 4a + b = 0. 
 
 
56) (ITA-1996)O valor da potência 
93
i1
2








 é: 
a) 2
i1
 
b) 2
i1
 
c) 2
i1
 
d) 2
93
.i 
e) 2 
93
 + i 
 
 
57) (Uneb-1998) Se i é a unidade imaginária, então i25 + i39 
- i
108
 + i.i
50
 é igual a: 
 
a) -1 - i 
b) -1 + i 
c) 1 - i 
d) 1 + i 
e) 0 
 
 
58) (FEI-1997) Se a = 1 + 2i, b = 2 - i e 0c
b
b
a
 então o 
número complexo c é: 
a) 2i 
b) 1 - 2i 
c) 2 - i 
d) 1 + 2i 
e) 3i 
 
 
59) (Fatec-1995) O conjugado do número complexo z=(1 - 
i
-1
)
-1
 é igual a: 
a) 1 + i 
b) 1 - i 
c) 2
1
 (1 - i) 
 
 
 
 
 
 
d) 2
1
 (1 + i) 
e) i 
 
60) (UFC-1997) Se i representa o número complexo cujo 
quadrado é igual a 1, determine o valor numérico da soma 
1 + i + i
2
 + i
3
 + ... + i
27
. 
 
 
61) (UEL-1994) A forma algébrica do número complexo z =
i2
3i1


 é: 
a) 
2
1
  3i 
b) 
3
5
 + (
3
7i
) 
c) 
5
1
 + (
5
7i
) 
d) 
5
1
 + 7i 
e) 
5
3
 + (
5
4i
) 
 
62) (FEI-1996) Se z
2i
= 1 + i, então o número complexo z é: 
a) 1  2i 
b) 1 + i 
c) 1  i 
d) 1 + i 
e) 1 + 2i 
 
 
63) (FEI-1994) Escrevendo o número complexo z =
i1
1
i1
1


 na forma algébrica obtemos: 
a) 1 i 
b) i 1 
c) 1 + i 
d) i 
e) 1 
 
 
64) (Vunesp-2004) Considere os números complexos w = 2i 
e z = (1 + i). 
Determine: 
a) z
2
 e (w
2
  z + w), onde z indica o conjugado de z. 
b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w
2
|) é 
uma progressão geométrica, determinando todos os seus 
termos e a sua razão. 
 
 
65) (Fuvest-2004) Considere a 
equação z
2
 = z + (- 1) z , onde α é um número real e z 
indica o conjugado do número complexo z. 
 
a) Determinar os valores de  para os quais a equação tem 
quatro raízes distintas. 
b) Representar, no plano complexo, as raízes dessa equação 
quando  = 0. 
 
 
66) (Fatec-2002) Sabe-se que os números z1 = log(x - y) + 
(y + 10)i e z2 = y - xi, nos quais x e y são números reais, são 
complexos conjugados. É verdade que 
a) z1 + z2 = 1 
b) z1 - z2 = i 
c) z1.z2 = 122 
d) |z1 + z2| = 2 
e) |z1 - z2| = 11 
 
 
 
67) (Vunesp-2001) Considere os números complexos 
z1 = (2 + i) e z2 = (x + 2i), onde i é a unidade imaginária e x 
é um número real. Determine: 
a) o número complexo z1.z2 em função de x; 
b) os valores de x tais que Re (z1.z2)  Im (z1.z2), onde Re 
denota a parte real e Im denota a parte imaginária do 
número complexo. 
 
 
68) (Fuvest-2003) Nos itens abaixo, z denota um número 
complexo e i a unidade imaginária (i
2
 = -1). Suponha z  i. 
a) Para quais valores de z tem-se 2iz1
iz



? 
b) Determine o conjunto de todos os valores de z para os 
quais iz1
iz


é um número real. 
 
 
69) (Vunesp-2003) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então z , o 
conjugado de z, será dado por 
a) - 3 - i. 
b) 1 - 3i. 
c) 3 - i. 
d) - 3 + i. 
e) 3 + i. 
 
 
70) (AFA-1999) Os valores reais de x, para os quais a parte 
real do número complexo z =
x i
x i


2
 é negativa, pertencem 
ao conjunto (intervalo) 
 
a)   . 
 
 
 
 
 
 
b)  0 . 
c)  11, . 
d)   2 2, . 
 
71) (FAZU-2001) O quociente i2 i8  é igual a: 
 
a) 3 + 2i 
b) 2 + 2i 
c) 1 + 2i 
d) 2 + i 
e) 2 + 3i 
 
 
72) (Vunesp-1999) Considere o número complexo z = i, 
onde i é a unidade imaginária. O valor de 
z
4
 + z
3
 + z
2
 + z + 1/z é: 
 
a) -1. 
b) 0. 
c) 1. 
d) i. 
e) -i. 
 
 
73) (Unicamp-1999) Dado um número complexo z = x + iy, 
o seu conjugado é o número complexo z = x - iy. 
 
a) Resolva as equações: z. z = 4 e z 
2
 = z
2
. 
b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geométricos 
que representam as soluções dessas 
equações. 
 
74) (Unicamp-1998) Se z = x+iy é um número complexo, o 
número real x é chamado parte real de z e é indicado por 
Re(z), ou seja, Re(x+iy) = x. 
a) Mostre que o conjunto dos pontos que satisfazem à 
equação Re( 2z
2iz


) = 2
1
, ao qual se acrescenta o ponto 
(2,0), é uma circunferência. 
b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 0) e é 
tangente àquela circunferência. 
 
75) (UNIUBE-2001) Sejam a e b dois números naturais tais 
que 3  a  20 e 21  b  40. Se i é a unidade imaginária 
dos complexos, ou seja, i
2
 = -1 , então, o número de pares 
ordenados distintos (a, b) tais que i(i
a
 + i
b
) = 2 é igual a 
 
a) 25. 
b) 84. 
c) 21. 
d) 42. 
 
 
76) (UFSCar-2001) Sejam x, y  
N e z = x + yi um número complexo. 
 
a) Calcule o produto (x + yi).(1 + i). 
b) Determine x e y, para que se tenha (x + yi).(1 + i) = 
2. 
 
 
77) (IBMEC-2001) Sendo n ∈ IN, quais valores f(n) = in + i-
n 
assume, sendo i a unidade imaginária? 
a) 0 ou 1 
b) 0 ou i 
c) 0 ou 2i 
d) 0,2 ou –2 
e) 0,1 ou –1 
 
 
78) (Mack-2002) Se os pontos que representam os 
complexos z = a + bi e w = c + di, com a.b.c.d ≠ 0, 
pertencem a 
uma mesma reta que passa pela origem, então w
z
é sempre 
igual a: 
a) c
a
 
b) 1-2c
a
 
c) a.(c - 1) 
d) 2a
c
 
e) 2ac 
 
 
79) (Fuvest-2000) a) Determine todas as soluções, no 
campo complexo, da equação z = iz
2
, onde i é a unidade 
imaginária, isto é, i
2 
= - 1 e z é o conjugado de z. 
b) Represente essas soluções no plano complexo, usando o 
sistema de coordenadas desenhado abaixo. 
 
 
80) (Vunesp-2002) Seja z = x + yi um número complexo, 
com x e y números reais e i a unidade imaginária. 
 
 
 
 
 
 
a) Determine, em função de x e y, a parte real e a parte 
imaginária de 2z – i + z , com z indicando o conjugado de 
z. 
b) Determine z que seja solução da equação 2z – i + z = 0. 
 
81) (FGV-2002) No conjunto dos números complexos: 
a) Resolva a equação z
4
 = 1 
b) Obtenha o número z, tal que z . (1 + i) = 3 – i, onde i é a 
unidade imaginária. 
 
 
82) (Fuvest-1997) Sendo i a unidade imaginária (i2 = 1) 
pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais 
(a+i)
4
 é um número real? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) infinitos 
 
 
83) (Fuvest-1995) a) Determine os números complexos z 
tais que z+ z =4 e z. z =13, onde z é o conjugado de z. 
b) Resolva a equação x
45x3+13x2-19x+10=0, sabendo que 
o número complexo z=1+2i é uma das suas raízes. 
 
 
84) (Fuvest-1995) Sabendo que  é um número real e que a 
parte imaginária do número complexo 2i
i2


 é zero, então 
 é: 
a) -4. 
b) -2. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 4. 
 
 
85) (VUNESP-2009) O número complexo z = a + bi é vértice 
de um triângulo eqüilátero, como mostra a figura. 
 
Sabendo que a área desse triângulo é igual a 36
3
, 
determine z
2
. 
 
86) (FUVEST-2008) A figura na página de respostas 
representa o número  = 2
31 i
 no plano complexo, 
sendo i = 1- a unidade imaginária. Nessas condições, 
a) determine as partes real e 
imaginária de 
1
e de 
3
. 
b) represente 
1
e de 
3
 na figura ao lado. 
c) determine as raízes complexas da equação z
3
 - 1 = 0 
 
 
87) (VUNESP-2008) Considere o número complexo z = cos
6

 + isen 6

. O valor de z
3
 + z
6
 + z
12
 é: 
 
a) –i. 
b) 2
1
 + 2
3
i 
c) i –2. 
d) i. 
e) 2i. 
 
88) (Vunesp-2006) Seja z = 1 + i um número complexo. 
a) Escreva z e z
3
 na forma trigonométrica. 
b) Determineo polinômio de coeficientes reais, de menor 
grau, que tem z e |z|
2
 como raízes e coeficiente dominante 
igual a 1. 
 
 
89) (Cesgranrio-1982) O menor inteiro n > 0, de modo que 
n
i
2
1
2
3









seja real positivo, é: 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 8 
e) 12 
 
90) (Unicamp-2005) Um número complexo z = x + iy, z  0 
 pode ser escrito na forma trigonométrica: z = |z|(cos+ 
isen), onde |z| = 22 yx  , cos = x/|z| e sen = y/|z|. 
Essa forma de representar os números complexos não-nulos 
é muito conveniente, especialmente para o cálculo de 
potências inteiras de números complexos, em virtude da 
fórmula de De Moivre: 
 
 
 
 
 
 
[|z|(cos+ isen)]k = |z|k(cosk+ isenk) que é válida para 
todo k Z . Use essas informações para: 
a) Calcular  12i3  
b) Sendo z = 2
2
 + i 2
2
, calcular o valor de 1 + z + z2 + 
z3 + … + z15. 
 
 
 
 
91) (Mack-1996) Na figura a seguir, P e Q são, 
respectivamente, os afixos de dois complexos z1 e z2. Se a 
distância OQ é 22 , então é correto afirmar que: 
 
a) z2 = 3z1. 
b) z2 = 2z1. 
c) z2 = z1
3
. 
d) z2 = z1
2
. 
e) z2 = 3z1
3
. 
 
 
92) (ITA-1995) Seja z um número complexo satisfazendo 
Re(z) > 0 e (z + i)
2
+|z' + i|
2 
= 6, onde z' é o conjugado de z. 
Se n é o menor natural para o qual z
n
 é um imaginário puro, 
então n é igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
93) (FEI-1995) O módulo do número complexo (1 + i)-3 é: 
a) 2 
b) 1 
c) -3 
d) 4
2
 
e) 0 
 
 
94) (UFC-1999) Considere o número complexo z = (1+i).(
3 i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro 
positivo n, tal que z
n
 seja um número real positivo. 
 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24. 
e) 30. 
 
95) (UFMG-2003) Sejam n um número inteiro positivo e z 
um número complexo tal que |z| = 1 e 1 + z
2n
  0. 
CALCULE a parte imaginária de 2n
n
z1
z
 . 
 
96) (AFA-1999) A representação trigonométrica do 
conjugado do número complexo z = (1 + 3 i)
5
, sendo i a 
unidade imaginária e k  Z, é 
 
a) 32cos(/3 + 2k) - 32i.sen(/3 + 2k). 
b) 32cos(5/4 + 10k) - 32i.sen(5/4 + 10k). 
c) 32cos(5/6 + 10k) - 32i.sen(5/6 + 10k). 
d) 32cos(5/3 + 10k) - 32i.sen(5/3 + 10k). 
 
97) (UECE-2002) O valor de a , no intervalo 



 
2
,0
, para o 
qual o número complexo x = cosa + i .sena é tal que 
i
2
3
2
1x2  , satisfaz: 
a) 3

< a < 2

 
b) 6

< a < 3

 
c) 6

< a < 4

 
d) 10

< a < 5

 
 
98) (Fuvest-1994) a) Se z1=cos1+isen1 e z2=cos2+isen2, 
mostre que o produto z1z2 é igual a cos (1+2)+isen(1+2). 
b) Mostre que o número complexo z=cos48°+isen48° é raiz 
da equação z
10
+z
5
+1=0. 
 
99) (Fuvest-1996) Dado o número complexo z = 3 +i qual 
é o menor valor do inteiro n  1 para o qual zn é um número 
real? 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
 
100) (VUNESP-2010) As soluções da equação z3 = i, onde z 
é um número complexo e i
2
 = -1, são: 
a) 
iz
2
1
2
2

 ou z = -i. 
 
 
 
 
 
 
b) 
iz
2
1
2
3

 ou z = -i. 
c) 
iz
2
1
2
3

 ou z = -i. 
d) 
iz
2
1
2
2

 ou z = -i. 
e) 
iz
2
3
2
1

 ou z = -i. 
 
 
101) (Vunesp-1990) O diagrama que melhor representa as 
raízes cúbicas de -i é: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
102) (Mack-1998) Se 3 + 4i é raiz cúbica de um complexo 
z, então o produto das outras raízes cúbicas de z é: 
 
a) 24 + 7i 
b) -24 - 7i 
c) - 7 - 24i 
d) - 7 + 24i 
e) 7 - 24i 
 
 
103) (ITA-1998) Considere, no plano complexo, um 
polígono regular cujos vértices são as soluções da equação 
z
6
 = 1. A área deste polígono, em unidades de área, é igual 
a: 
a) 3 
b) 5 
c)  
d) 2
33
 
e) 2 
 
 
 
104) (UFPE-1996) As soluções complexas da equação z6 = 1 
são vértices de um polígono regular no plano complexo. 
Calcule o perímetro deste polígono. 
 
 
105) (Mack-1997) As representações gráficas dos 
complexos z tais que z
3
 = 8 são os vértices de um 
triângulo: 
a) inscrito numa circunferência de raio 1. 
b) que tem somente dois lados iguais. 
c) eqüilátero de lado 2. 
d) eqüilátero de altura 2 3 . 
e) de área 3 3 . 
 
106) (UFC-2003) A área do polígono cujos vértices são as 
representações geométricas das raízes do polinômio 
 
 
 
 
 
 
 p(x) = x
6
 - 1 é: 
a) 2
33
 
b) 3
32
 
c) 2
23
 
d) 3
22
 
e) 4
33
 
 
107) (Fuvest-2001) No plano complexo, cada ponto 
representa um número complexo. Nesse plano, considere o 
hexágono regular, com centro na origem, tendo i, a unidade 
imaginária, como um de seus vértices. 
a) Determine os vértices do hexágono. 
b) Determine os coeficientes de um polinômio de grau 6, 
cujas raízes sejam os vértices do hexágono. 
 
 
108) (ITA-2002) Seja a equação em C z4 – z2 + 1 = 0. Qual 
dentre as alternativas abaixo é igual à soma de 
duas das raízes dessa equação? 
a) 2 3 
b) – 2
3
 
c) 2
3 
d) – i 
e) 2i 
 
109) (Unicamp-1998) a) Qual é o valor de  na equação z3 
– 5z2 + 8z –  = 0 de modo que z = 3 seja uma raiz dessa 
equação? 
 
b) Para esse valor de  , ache as três raízes z1, z2, z3 dessa 
equação. 
 
c) Ache o volume do sólido obtido quando a região 
triangular cujos vértices são os pontos z1, z2, z3 gira em 
torno da reta de equação x = 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1) Alternativa: B 
 
2) Alternativa: D 
 
3) Alternativa: E 
 
4) Resposta: 3cm 
 
 
5) -2i e -2 
 
 
6) Alternativa: B 
 
7) Alternativa: D 
 
8) Alternativa: A 
 
9) Alternativa: E 
 
10) 21h. 
Resolução: z = i , w = ( i )2 = -2. Como  < 1, então 2 
<  de forma que o módulo de w é menor que o módulo de 
z, ou seja, w representa a extremidade do ponteiro das horas 
e z representa a extremidade do ponteiro dos minutos. 
Sendo jantar, entendemos que o horário é 21h (a mesma 
posição dos ponteiros também representaria 9h, que não 
condiz com jantar) 
 
 
11) a) 0 ou . 
b) cos  i.sen 
 
 
 
12) a) (1+i)9 = 16+16i = (16, 16) 
b) d = 16 2 
 
 
13) a) z w = -7 + i e |w - z| = 5 
b) b = 7. 
 
 
 
14) Alternativa: E 
 
15) Alternativa: E 
 
16) Alternativa: B 
 
17) (x-2)2 + y2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Alternativa: A 
 
19) u = -5 2 e v = 5 2 
 
 
20) 12 + 16i 
 
 
21) Alternativa: B 
 
22) Alternativa: D 
 
23) Alternativa: A 
 
24) Alternativa: C 
 
25) Alternativa: B 
 
26) b = 3
1
 - i3
8
 
 
 
27) Alternativa: C 
 
28) Alternativa: A 
 
29) Alternativa: E 
 
30) Alternativa: A 
 
31) Alternativa: A 
 
32) Alternativa: A 
OBS: b) é falsa pois a parte imaginária de z é 1 e não i. 
 
33) Alternativa: B 
 
34) Alternativa: B 
 
35) a) O lugar geométrico pedido é uma circunferência de 
centro (–2; 5) e raio 2. 
b) Os números são 
ii
2
1
2
35
;
2
1
2
35

 
 
 
36) Alternativa: E 
 
37) Alternativa: D 
 
 
 
 
 
 
 
38) a) existem duas opções para (x - a)2 + y2 = r2: o ponto 
de coordenadas (a; 0) se r = 0 ou a circunferência de centro 
(a; 0) e raio |r|, se r  0. 
 
b) x
2
 + y
2
 = R
2
  |z| = R2  z. z = R2, onde z = x + iy. 
 
 
 
39) Alternativa: A 
 
40) Alternativa: C 
(a área pedida é metadede uma coroa circular de raios 1 e 
2....) 
 
 
41) Alternativa: C 
 
42) a) - 3 +i e -2i 
 
b) 2 3 
 
 
43) Alternativa: B 
 
44) Alternativa: C 
 
45) Alternativa: C 
 
46) Alternativa: C 
 
47) Alternativa: A 
 
48) Alternativa: A 
 
49) Alternativa: F 
 
50) Alternativa: D 
 
51) Se / = i então  = i. Substituindo, temos que  -  = 
i -  = (i-1) = i. 
Então  = i/(i-1) = (1-i)/2 e  = i = (1+i)/2 e  +  = 1. 
 
 
52) Alternativa: E 
 
53) Alternativa: A 
 
54) Alternativa: D 
 
55) Alternativa: A 
 
56) Alternativa: C 
 
57) Alternativa: C 
 
58) Alternativa: D 
 
59) Alternativa: D 
 
60) Soma = 0 
 
61) Alternativa: C 
 
62) Alternativa: D 
 
63) Alternativa: E 
 
64) a) 2i e -4 + 6i 
b) |z| = 2 ,|w| = 2 e a seqüência é (1, 2 , 2, 2 2 , 4), 
que é uma progressão geométrica de razão 2 . 
 
65) a)  4
3

 e  2
1

 
 
b) 
 
 
66) Alternativa: C 
 
67) a) (2x - 2) + (x + 4)i 
b) x  6 
 
68) a) i5
3
5
4
 
b) São os complexos de módulo 1, exceto z = i, ou seja, os 
complexos da forma z = a + bi, com a
2
+b
2
 = 1 (seus afixos 
pertencem à circunferência de centro na origem e raio 1). 
 
69) Alternativa: A 
 
70) Alternativa: D 
 
71) Alternativa: A 
 
72) Alternativa: E 
 
73) a) S1 = {z  C | z=x+yi e x
2
+y
2
 = 4, x, y  R } e S2 = 
{z  C | z =  ou z = i, R } 
b) S = { -2, 2, -2i, 2i } 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: Note que S1 é uma circunferência de raio 2 centrada 
na origem (complexos com módulo 2) e S2 são os eixos 
coordenados (abscissa e ordenada) 
 
74) a) Se z = x+iy, então z+2i = x+i(y+2) e z-2 = (x-2)+iy. 
Então, dividindo 2z
2iz

 encontramos 
 
22 y2)(x
xy2)2)(y(xi2)y(y2)x(x


e assim a parte 
real é 22 y2)(x
2)y(y2)x(x


. Fazendo 22 y2)(x
2)y(y2)x(x


 
= 2
1 
de onde se chega em x
2
+(y+2)
2
 = 8 para x2 e y0. Note 
que x
2
+(y+2)
2
 = 8 seria a equação da circunferência de 
centro (0,-2) e raio 2 2 se não tivéssemos x2 e y0. 
Assim, acrescentando-se o ponto (2,0) temos a 
circunferência. 
 
b) y = x+2 
 
75) Alternativa: A 
 
76) a) (x-y) + (x+y)i 
b) x = 1 e y = -1 
 
77) Alternativa: D 
 
78) Alternativa: A 
 
79) a) 0, i, 
i
2
1
2
3

, 
i
2
1
2
3

 
b) 
 
 
80) a) Sendo z = x + yi e w = 2z – i + z tem-se: w = 2(x + 
yi) - i + (x – yi) = 3x + (y – 1)i 
Então: Re(w) = 3x e Im(w) = (y - 1)i 
b) 2z – i + z = 0 Û 3x + (y – 1)i  3x = 0 e y – 1 = 0  x 
= 0 e y = 1. Então: z =0 + 1i = i 
 
81) a) S = { 1, –1, i, – i } 
b) 1 – 2i 
 
82) Alternativa: C 
 
83) a) Z = 2+3i ou Z = 2-3i 
b) { 1, 2, 1+2i, 1-2i } 
 
84) Alternativa: B 
 
85) Resposta: -72 +72
3
i 
 
86) a) Re( -1) = 
2
1
 e Im(-1) =
2
3

; 
 Re(3) = 1 e Im(3) = 0 
b) 
c) 1; 
i
2
3
2
1 
; 
i
2
3
2
1 
 
 
87) Alternativa: D 
 
88) 
a) z = 2 







44
cos

isen
e z
3
 = 2 2 







4
3
4
3
cos

isen
 
b) x
3
 - 4x
2
 + 6x - 4 
 
 
89) Alternativa: E 
 
90) a) 4096 
 
b) 0 
 
 
91) Alternativa: C 
 
92) Alternativa: B 
 
93) Alternativa: D 
 
94) Alternativa: D 
 
95) A parte imaginária é zero. 
 
96) Alternativa: D 
 
97) Alternativa: D 
 
 
 
 
 
 
 
98) a) z1.z2 = (cos1+isen1) (cos2+isen2) = cos1.cos2 + 
isen1.cos2 + isen2.cos1 -sen1.sen2 = cos(1+2) + 
isen(1+2) 
 
b) se z= cos48
o
+isen48
o
 então z
10
 = cos480
o
+isen480
o
 = 
cos120
o
+isen120
o
 = - cos60
o
+isen60
o
 
z
5
 = cos240
o
+isen240
o
 = - cos60
o
-isen60
o
 
daí, z
10
+z
5
+1 = - cos60
o
+isen60
o
- cos60
o
-isen60
o
 + 1 = - 2
1 
- 2
1 +1 = 0. Como z verificou a equação, então ele é raiz. 
 
99) Alternativa: C 
 
100) Alternativa: C 
 
101) Alternativa: B 
 
102) Alternativa: D 
 
103) Alternativa: D 
 
104) Perímetro = 6 
 
105) Alternativa: E 
 
106) Alternativa: A 
As raízes do polinômio p(x) = x
6
 - 1 são as raízes sextas da 
unidade. As raízes sextas da unidade são números 
complexos cujo módulo é igual a 1 e, portanto, suas 
representações geométricas são pontos eqüidistantes sobre a 
circunferência de raio 1 e centro na origem. Como 1 é uma 
destas raízes, a representação geométrica destas raízes 
coincide com os vértices do hexágono regular (veja figura 
abaixo) inscrito na circunferência de raio 1 e centro na 
origem. A área de um hexágono regular inscrito em uma 
circunferência de raio r é 6. 4
3r 2
. Como neste caso r =1, a 
área deste hexágono é 2
33
 . 
 
 
107) a) (0,1), (0,-1), ( 3 /2, 1/2), (- 3 /2, 1/2), ( 3 /2, -
1/2), (- 3 /2, -1/2) 
b) qualquer k(x
6
+1) serve portanto os coeficientes são do 
tipo k,0,0,0,0,0,k com k0. 
 
108) Alternativa: E 
 
109) a)  = 6 
b) z1 = 3, z2 = 1 + i, z3 = 1 – i 
c) V = 
3
8