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1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br Exercícios de Matemática Progressão Geométrica 1) (FUVEST-2010) Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 – 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a a) 33 b) 2 3 3 c) 4 3 3 d) 2 3 3 e) 33 2) (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: Dado: 1,01 361 36 a) 290,00. b) 286,00. c) 282,00. d) 278,00. e) 274,00. 3) (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é 2 1 . Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições, determine: a) A razão da PG. b) A soma dos três primeiros termos da PG. 4) (VUNESP-2009) Em uma determinada região de floresta na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de 3 km 2 e a partir daí, durante um determinado período, a quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a área total desmatada era de 3 + 2.3 = 9 km 2 . Se a área total desmatada nessa região atingiu 381 km 2 nos n anos em que ocorreram desmatamentos, determine o valor de n. 5) (Mack-2007) Em uma seqüência de quatro números, o primeiro é igual ao último; os três primeiros, em progressão geométrica, têm soma 6, e os três últimos estão em progressão aritmética. Um possível valor da soma dos quatro termos dessa seqüência é a) 10 b) 18 c) 12 d) 14 e) 20 6) (Mack-2007) cotg ... 1263 é igual a a) 3 b) 3 c) 3 3 d) 3 3 e) 3 32 7) (FUVEST-2008) Sabe-se sobre a progressão geométrica a1,a2,a3 , , , que a1 > a e a6 = –9 3 . Além disso, a progressão geométrica a1, a5, a9, ...tem razão igual a 9. Nessas condições, o produto a2a7 vale a) –27 3 b) –3 3 c) – 3 d) 3 3 e) 27 3 8) (UFC-2007) A seqüência (an)n1 tem seus termos dados pela fórmula an = 2 1n . Calcule a soma dos dez primeiros termos da seqüência (bn)n1, onde bn = na2 para n 1. 9) (UFC-2007) O último algarismo da soma 1 + 6 + 62 + 63 + ... + 6 2006 é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 10) (UNICAMP-2007) Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio, 2 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior dimensão resultante até a dobra anterior. a) Escreva a expressão do termo geral da progressão geométrica que representa a espessura do papel dobrado em função do número k de dobras feitas. b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o papel seis vezes, quais serão as dimensões do paralelepípedo? 11) (UFSCar-2007) O conjunto solução da equação sen ... 81 8 27 8 9 8 = cos x, com x [0,2[, é a) 3 4, 3 2 b) 6 7, 6 5 c) 4 5, 4 3 d) 6 11, 6 e) 3 5, 3 12) (VUNESP-2007) Devido ao aquecimento das águas, a ocorrência de furacões das categorias 4 e 5 — os mais intensos da escala Saffir-Simpson — dobrou nos últimos 35 anos (Veja, 21.06.2006). Seja x o número de furacões dessas categorias, ocorridos no período 1971-2005. Vamos supor que a quantidade de furacões a cada 35 anos continue dobrando em relação aos 35 anos anteriores, isto é, de 2006 a 2040 ocorrerão 2x furacões, de 2041 a 2075 ocorrerão 4x furacões, e assim por diante. Baseado nesta suposição, determine, em função de x, o número total de furacões que terão ocorrido no período de 1971 a 2320. 13) (FUVEST-2007) Um biólogo está analisando a reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou com 100 indivíduos. Admite- se que a taxa de mortalidade das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira hora, são: Tempo decorrido (minutos) Número de bactérias 0 100 20 200 40 400 60 800 Supondo-se que as condições de reprodução continuem válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do experimento, a população de bactérias será de a) 51.200 b) 102.400 c) 409.600 d) 819.200 e) 1.638.400 14) (Mack-2006) Dada a matriz A = 3 1 0 0 2 1 , considere a seqüência formada por todas as potências inteiras e positivas de A, isto é, A, A2, A3, ... An, ... . Somando-se todas as matrizes desta seqüência obtemos uma matriz, cujo determinante é a) 3 1 b) 4 1 c) 6 1 d) 5 1 e) 2 1 15) (Vunesp-2006) Dado x0 = 1, uma seqüência de números x1, x2, x3, ... satisfaz a condição xn = axn-1, para todo inteiro n1, em que a é uma constante não nula. a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa seqüência. b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + ... + x8. 16) (Mack-2006) Se (1 - senx, 1 - cos x, 1 + sen x), 0 < x < 2 , é uma progressão geométrica, cos2x vale a) 2 1 b) 2 3 c) - 2 1 d) - 2 3 e) - 2 2 17) (UFPB-2006) Socorro, apaixonada por Matemática, propôs para seu filho, João: “Você ganhará uma viagem de 3 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br presente, no final do ano, se suas notas, em todas as disciplinas, forem maiores ou iguais à quantidade de termos comuns nas progressões geométricas (1,2,4, ... ,4096) e (1,4,16, ... ,4096)”. De acordo com a proposta, João ganhará a viagem se não tiver nota inferior a: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 18) (UNIFESP-2004) Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada minuto, a metade da distância que o separa do ponto B, conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a distância entre A e B. Deste modo, ao final do primeiro minuto (1º período) ele deverá se encontrar no ponto A1; ao final do segundo minuto (2º período), no ponto A2; ao final do terceiro minuto (3º período), no ponto A3, e, assim, sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza linearmente em cada período considerado. a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10 primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua distância ao ponto B é inferior a 1 metro. b) Construa o gráfico da função definida por “f(t) = distância percorrida pelo objeto em t minutos”, a partir do instante t = 0. 19) (UFV-2005) O interior de uma jarra é um cilindro circular reto e contém V litros de água. Se fosse retirado 1 litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, nesta ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao contrário, fosse adicionado 1 litro de água na jarra, essas grandezas, na mesma ordem, formariam uma progressão geométrica. O valor de V é: a) 6b) 4 c) 9 d) 7 e) 5 20) (UFSCar-2006) Selecionando alguns termos da PA (0, 2, 4, 6, 8, ..., n), formamos a PG (2, 8, 32, 128, ..., p). Se a PG formada possui 100 termos, o número mínimo de termos da PA é a) 2 197 . b) 2 198 - 1. c) 2 198 . d) 2 198 + 1. e) 2 199 . 21) (Vunesp-2006) No início de janeiro de 2004, Fábio montou uma página na internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página. Supondo que o número de visitas à página, durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi a) 36. b) 24. c) 18. d) 16. e) 12. 22) (FUVEST-2006) Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é a) 9 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15 23) (IBMEC-2005) O departamento de arqueologia da Universidade de Oxford mantém em sua biblioteca uma coleção de aproximadamente 500.000 papiros, todos com mais de 1000 anos de idade, cujo conteúdo começou a ser desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnica chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela Nasa. Se um computador, munido de um sistema de inteligência artificial, conseguir decifrar o contéudo de cada um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10 anos, então toda a coleção de papiros citada será decifrada em a) aproximadamente 20 anos. b) aproximadamente 40 anos. c) aproximadamente 50 anos. d) aproximadamente 80 anos. e) aproximadamente 100 anos. 24) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero T1 de área 16 3 cm 2 Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T2, que tem os pontos médios dos lados de T1 como vértices. Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo triângulo obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero T3, e assim por diante, indefinidamente. Determine: a) as medidas do lado e da altura do triângulo T1, em centímetros; b) as áreas dos triângulos T2 e T7, em cm 2 . 4 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 25) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero cuja medida do lado é 4cm. Um segundo triângulo eqüilátero é construído, unindo-se os pontos médios dos lados do triângulo original. Novamente, unindo-se os pontos médios dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero, e assim por diante, infinitas vezes. A soma dos perímetros da infinidade de triângulos formados na seqüência, incluindo o triângulo original, é igual a a) 16cm. b) 18cm. c) 20cm. d) 24cm. e) 32cm. 26) (FMTM-2005) A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica crescente é igual a 13,5 e a soma dos dois primeiros termos é igual a 12. Nessas condições, o termo numericamente igual à razão da seqüência é o a) quarto. b) quinto. c) sexto. d) sétimo. e) oitavo. 27) (Fuvest-2005) Uma seqüência de números reais a1, a2, a3, … satisfaz à lei de formação an + 1 = 6an, se n é ímpar, an + 1 = 3 1 an, se n é par. Sabendo-se que a1 = 2 a) escreva os oito primeiros termos da seqüência. b) determine a37 e a38. 28) (Mack-2005) Um programa computacional, cada vez que é executado, reduz à metade o número de linhas verticais e de linhas horizontais que formam uma imagem digital. Uma imagem com 2048 linhas verticais e 1024 linhas horizontais sofreu uma redução para 256 linhas verticais e 128 linhas horizontais. Para que essa redução ocorresse, o programa foi executado k vezes. O valor de k é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 29) (FGV-2005) A figura indica infinitos triângulos isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ... Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos hachurados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a área do retângulo de lados h e d é igual a a) 68. b) 102. c) 136. d) 153. e) 192. 30) (UFRJ-1999) Uma progressão geométrica de 8 termos tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do produto de seus termos vale 36. Ache a razão da progressão. 31) (Fatec-1996) Num certo jogo de azar, apostando-se uma quantia X, tem-se uma das duas possibilidades seguintes: 1) perde-se a quantia X apostada; 2) recebe-se a quantia 2X. Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 2 centavos, na terceira vez, apostou 4 centavos e assim por diante, apostando em cada vez o dobro do que havia apostado na vez anterior. Nas 20 primeiras vezes, ela perdeu. Na 21ª vez, ela ganhou. Comparando-se a quantia total T por ela desembolsada e a quantia Q recebida na 21ª jogada, tem-se que Q é igual a: a) 2 T b) T c) 2T d) T-1 e) T+1 33) (UDESC-1996) Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3, então os termos gerais da Progressão Aritmética e da Progressão Geométrica correspondentes são: a) 2 + 3n e 3 2.3n b) 2 + 3n e 2 3 1n c) 3n - 1 e 2.3 n d) 3 + 2n e 3.2 n e) 3n - 1 e 3 2.3n 5 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 34) (PUC-SP-1997) O terceiro e o sétimo termos de uma progressão geométrica valem, respectivamente, 10 e 18. O quinto termo dessa progressão é: a) 14 b) 30 c) 2 7 d) 6 5 e) 30 35) (FGV-2004) Dois amigos, Alfredo e Bruno, combinam disputar a posse de um objeto num jogo de "cara ou coroa". Alfredo lança 3 moedas e Bruno 2 moedas, simultaneamente. Vence o jogo e, conseqüentemente, fica com o objeto, aquele que conseguir o maior número de caras. Ocorrendo empate, a experiência será repetida, tantas vezes quantas forem necessárias, até que haja um vencedor. Calcule: a) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa na primeira experiência. b) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa. 36) (Vunesp-2004) Considere os números complexos w = 2i e z = (1 + i). Determine: a) z 2 e (w 2 z + w), onde z indica o conjugado de z. b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w 2 |) é uma progressão geométrica, determinando todos os seus termos e a sua razão. 37) (Unicamp-2004) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule: a) O número total de questões da referida prova. b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova. 38) (FGV-2003) a) O 1º termo de uma progressão geométrica é A, a razão é q e o último termo é B. Obtenha o número de termos n desta progressão, em função de A, B e q. b) Um empréstimo de R$27.500,00 deve ser pago sem juros em parcelas mensais. A 1ª parcela vale R$500,00 e, cada parcela a partir da 2ª é R$50,00 superior à anterior. Quantas parcelas são necessárias para pagar a dívida? 39) (CPCAR-2002) Uma bola é abandonada de uma certa altura. Até que o movimento pare,a bola atinge o solo e volta a subir repetidas vezes. Em cada subida, alcança 2 1 da altura em que se encontrava anteriormente. Se, depois do terceiro choque com o solo, ela sobe 100 cm, a altura em que foi abandonada a bola é, em metros, igual a a) 0,8 b) 1 c) 8 d) 0,5 40) (CPCAR-2003) Um candidato do CPCAR 2003, preparando-se para o teste de aptidão física, exercita-se numa esteira percorrendo 3,8 km por dia. Para um treinamento menos cansativo, ele inicia correndo a uma velocidade de 12 km/h e a cada 10 minutos ele reduz a velocidade pela metade. É correto afirmar que a) o candidato completa o percurso de 3,8 km em menos de 45 minutos. b) para percorrer a metade do percurso de 3,8 km ele gasta mais de 10 minutos. c) após 30 minutos, a velocidade atingida é de 6 km/h no mínimo. d) aos 40 minutos ele percorreu 3,5 km exatamente. 41) (UEL-2002) A figura construída segundo a seqüência abaixo é denominada Esponja de Sierpinski ou Esponja de Menger. Representa um fractal gerado a partir de um cubo. Partindo-se do cubo inicial, obtêm-se outros cubos menores, com arestas iguais a 3 1 da aresta deste. O cubo central e os cubos do centro de cada face são removidos. O procedimento se repete em cada um dos cubos menores restantes. O processo é iterado infinitas vezes, gerando a Esponja. Supondo que a medida da aresta do cubo inicial seja igual a 1 m, qual é a área, em m 2 , de uma face da figura 30? 6 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br a) 30 9 8 b) 29 9 8 c) 30 8 9 d) 19 27 20 e) 19 20 27 42) (UFSCar-2001) Uma bola cai de uma altura de 30m e salta, cada vez que toca o chão, dois terços da altura da qual caiu. Seja h(n) a altura da bola no salto de número n. A expressão matemática para h(n) é: a) 30 n 3 2 b) n(30) 3 2 c) 20.n d) .n3 2 e) n 3 2 43) (Mack-2002) Se construímos um seqüência infinita de quadrados, sendo o primeiro de lado 1 e cada um dos outros com lado igual à metade do lado do quadrado anterior, então a soma das áreas desses quadrados é: a) 2 b) 4 3 c) 5 4 d) 4 5 e) 3 4 44) (UFSCar-2003) Numa progressão geométrica, o primeiro termo é 5 x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros termos é 3 900, pode-se afirmar que 5 5 2x , é igual a a) 25 1 b) 5 1 c) 1 d) 5 e) 25. 45) (UFES-1997) Em um rebanho de 15.000 reses, uma foi infectada pelo vírus "mc1". Cada animal infectado vive dois dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se cada rês é infectada uma única vez, em quanto tempo o "mc1" exterminará a metade do rebanho? 46) (Vunesp-2003) Várias tábuas iguais estão em uma madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente. Determine, ao final de 9 dessas operações, a) quantas tábuas terá a pilha. b) a altura, em metros, da pilha. 47) (FGV-2003) a) calcule 60 1j 1)(2j . b) Obtenha o 20 o termo da progressão geométrica ,... 4 x , 2 x 1, 2 . 48) (Unicamp-1994) Seja -1 um número complexo tal que n = 1, onde n é um número inteiro positivo. Prove que, se n for par, a expressão 1 - + 2 - 3 + ... + (-)n é igual a 1; e, se n for ímpar, essa expressão é igual a 1 1 . 49) (Fuvest-2003) No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale: 7 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br a) 4 12 p1 p1 b) 2 12 p1 p1 c) 2 16 p1 p1 d) 2 16 p1 p1 e) 4 20 p1 p1 50) (Mauá-2001) Determine x para que 4, x e 9 formem, nessa ordem, uma progressão geométrica. 51) (AFA-1998) Seja f uma função real que satisfaz as seguintes propriedades: I. f(0) = 1; II. 0 < f(1) < 1; e III. f(x + y) = f(x).f(y) x, yR. Então, a expressão f(0) + f(1) + f(2) + f(3) +...+ f(9) é equivalente a a) 1f(1) 1[f(1)]9 b) 1f(1) 1[f(1)]10 c) 1f(1) f(1)[f(1)]9 d) 1f(1) f(1)[f(1)]10 52) (ESPM-1995) O sétimo e o nono termos de uma progressão geométrica de razão positiva valem respectivamente 320 e 20. O oitavo termo dessa PG é: a) 170 b) 2 85 c) 80 d) 40 e) 4 53) (AFA-1999) Uma bola é solta de uma altura de 128 metros em relação ao solo, e, ao atingir o mesmo, ela sobe a metade da altura anterior. Esse movimento se repete até atingir o solo pela décima vez. Nesse momento, quanto a bola terá percorrido, em metros? a) 255,50 b) 383,00 c) 383,50 d) 383,63 54) (AFA-1999) Se a seqüência de inteiros positivos (2, x, y) é uma Progressão Geométrica e (x+1, y, 11) uma Progressão Aritmética, então, o valor de x + y é a) 11. b) 12. c) 13. d) 14. 55) (UFRN-2002) As áreas dos quadrados abaixo estão em progressão geométrica de razão 2. Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão em a) progressão aritmética de razão 2. b) progressão geométrica de razão 2. c) progressão aritmética de razão 2 . d) progressão geométrica de razão 2 . 56) (Unicamp-1998) Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores. a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão. b) Supondo que o primeiro termo seja 2 51 e q > 0, calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão. 57) (FMTM-2002) Dentre as seqüências dadas, aquela que forma uma progressão geométrica é a seqüência a) sen 6 , sen 4 , sen 3 b) sen 2 6 , sen 2 4 , sen 2 3 . 8 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br c) tg 6 , tg 4 , tg 3 d) cos 6 , cos 4 , cos 3 e) cos 2 6 , cos 2 4 , cos 2 3 . 58) (Vunesp-2000) No dia 1 de dezembro, uma pessoa enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia 1 enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também enviou a mesma para outras duas novas pessoas. E, assim, sucessivamente. Se, do dia 1 até o final do dia 6 de dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é: a) 12. b) 24. c) 52. d) 63. e) 126. 59) (UFC-2002) Considere a função real de variável real definida por f(x) = 2 -x . Calcule o valor de f(0) - f(1) + f(2) - f(3) + f(4) - f(5) + ... 60) (Unicamp-1990) Construir "fractais” no computador corresponde a um procedimento como o descrito a seguir.A partir de um triângulo eqüilátero, de área A, acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo eqüilátero de lado igual á um terço do anterior; aos lados livres destes triângulos acrescentamos triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim sucessivamente construímos uma figura com uma infinidade de triângulos (veja o desenho). Calcule a área, em termos de A, da região determinada por esse processo. 61) (Mack-1996) Num paralelepípedo retângulo a soma das medidas de todas as arestas é 52 e a diagonal mede 91 . Se as medidas das arestas estão em progressão geométrica, então o seu volume é: a) 216. b) 108. c) 81. d) 64. e) 27. 62) (Mack-1999) Seja a seqüência geométrica, de n termos positivos, que se obtém inserindo-se k meios geométricos entre 2 1 e 8. Se o produto de todos os termos é 32, então n vale: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 63) (UFPR-2002) Uma cidade cuja população vem diminuindo sistematicamente tem hoje 30000 habitantes. Se o ritmo de diminuição se mantiver, então o número de habitantes daqui a t anos, P(t), é calculado aplicando-se a fórmula: P(t) = 30000(0,9) t . Supondo que o ritmo de diminuição se mantenha, é correto afirmar: - Daqui a 2 anos, a população será menor que 24000. - Os números P(1), P(2), P(3), ... , nesta ordem, formam uma progressão geométrica. - O tempo necessário, em anos, para que a população se reduza à metade da atual é log0,9 log2log1 - P(20) = 0. - Em cada período de um ano a população diminui 10%. 64) (Unicamp-modificada-1990) Construir "fractais” no computador corresponde a um procedimento como o descrito a seguir. A partir de um triângulo eqüilátero, de área A, acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo eqüilátero de lado igual á um terço do anterior; aos segmentos livres destes triângulos acrescentamos triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim sucessivamente construímos uma figura com uma infinidade de triângulos (veja o desenho). Calcule a área, em termos de A, da região determinada por esse processo. 65) (Una-2001) Um funcionário de uma repartição pública inicia um trabalho. Conseguindo despachar no primeiro dia 320 documentos, percebe que seu trabalho no dia seguinte tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior, repetindo-se este fato dia após dia. Se, para terminar o trabalho, tem de despachar 3200 documentos, pode-se concluir que: a) O trabalho estará terminado em menos de 20 dias. b) O trabalho estará terminado em menos de 26 dias. c) O trabalho estará terminado em 58 dias. d) O funcionário nunca terminará o trabalho. 9 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 66) (desconhecida-0) Um funcionário de uma repartição pública inicia um trabalho. Consegue despachar, no primeiro dia, 210 documentos e percebe que seu trabalho, no dia seguinte, tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior, repetindo-se esse fato dia após dia. Se para terminar o trabalho tem de despachar 2100 documentos, pode-se concluir que: a) o trabalho estará terminado em menos de 20 dias; b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias; c) o trabalho estará terminado em 58 dias d) o funcionário nunca terminará o trabalho; e) o trabalho estará terminado em 60 dias; 67) (Fuvest-2002) Em um bloco retangular (isto é, paralelepípedo reto retângulo) de volume 8 27 , as medidas das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a medida da aresta menor é: a) 8 7 b) 8 8 c) 8 9 d) 8 10 e) 8 11 68) (UFSCar-0) A condição para que três números a,b e c estejam, simultaneamente em progressão aritmética e progressão geométrica é que: a) ac = b 2 b) a+c = 2b c) a + c =b 2 d) a = b = c e) ac = 2b 69) (Fuvest-1977) O quinto e o sétimo termos de uma PG valem, respectivamente, 10 e 16. O sexto termo dessa PG é: a) 14 b) 10 6 c) 4 d) 4 10 e) 10 70) (Cesgranrio-0) Adicionando-se uma mesma constante a cada um dos números 6, 10 e 15, nessa ordem, obtemos uma PG de razão a) 4 5 b) 2 3 c) 3 2 d) 4 e) 31 71) (Fuvest-1999) Seja (an) uma progressão geométrica de 1 o termo a1 = 1 e razão q 2 , onde q é um número inteiro maior que 1. Seja (bn) uma progressão geométrica cuja razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso: a) Determine o primeiro termo b1 em função de q. b) Existe algum valor de n para o qual na = bn ? c) Que condição n e m devem satisfazer para que an = bm ? 72) (Mack-2002) Numa seqüência infinita de círculos, cada círculo, a partir do segundo, tem raio igual à metade do raio do círculo anterior. Se o primeiro círculo tem raio 4, então a soma das áreas de todos os círculos é: a) 12 b) 15/4 c) 64/3 d) 32 e) 32/3 73) (Fuvest-1994) Na figura a seguir , A1B1=3, B1A2=2. Calcule a soma dos infinitos segmentos: A1B1+B1A2+A2B2+B2A3+... 10 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br Gabarito 1) Alternativa: E 2) Alternativa: B 3) a) -2 b) 22 3 4) Resposta: 7 5) Alternativa: D 6) Alternativa: D 7) Alternativa: A Como ),,( 951 aaa estão em PG de razão 9, logo: 9.15 aa . Da PG teremos: 33..9.39. 21156 aqaqaqaa 3.339. 4426 qqqaa , pois 01 a e 02 a . .27)3.(39. 7767 aaqaa Logo: 327. 72 aa . 8) S10 = 62 ( 2 + 1) 9) Alternativa: C 10) a) (0,1) 2kmm b) 37,125mm; 26,25mm e 6,4mm. 11) Alternativa: B 12) Resp: 1023x. 13) Alternativa: C 14) Alternativa: E 15) a) 2048 b) 9840 16) Alternativa: C 17) Alternativa: B 18) a) 799,2 metros portanto a distância que o separa de B é inferior a 1m. b) 19) Alternativa: D 20) Alternativa: D 21) Alternativa: E 22) Alternativa: C 23) Alternativa: A 24) a) O lado mede 8cm e a altura mede 4 3 cm. b) As áreas dos triângulos T2 e T7, em cm 2 , são respectivamente iguais a 4 3 e 256 3 25) Alternativa: D 26) Alternativa: A 27) a) 2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 ,4 2 ,24 2 ,8 2 e 48 2 b)a37= 2 18 . 2 e a38 = 6.2 18 2 28) Alternativa: A 29) Alternativa: C 11 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 30) Razão = 10 31) Alternativa: E 33) Alternativa: E 34) Alternativa: D 35) a) 8 1 + 8 3 . 4 3 + 8 3 . 4 1 = 2 1 b) 2 1 + 32 10 . 2 1 + ( 32 10 ) 2 . 2 1 + ... (soma infinita de PG) = 11 8 36) a) 2i e -4 + 6i b) |z| = 2 ,|w| = 2 e a seqüência é (1, 2 , 2, 2 2 , 4), que é uma progressão geométrica de razão 2 . 37) a) 8 questões. b) 127,5 minutos. 38) a) Supondo que seja possível determinar n, ou seja, supondo que q0, A0 e q1, então temos que n = 1 + A B logq . b) 25 parcelas. 39) Alternativa: C 40) Alternativa: A 41) Alternativa: B 42) Alternativa: A 43) Alternativa: E 44) Alternativa: B 45) A sequência de animais mortos segue uma PG de razão 3: 1, 3, 9, 27,... A soma dos n primeiros termos dessa PG é S = 13 1)1(3n > 7500 3n > 15001 n > log315001 n >8,75 Então, S é maior que 7500 para 9 termos, de modo que em 18 dias (9 x 2) mais da metade do rebanho terá morrido. Para 8 termos (16 dias) ainda não teremos metade do rebanho morto. 46) a) 256 tábuas b) 1,28m 47) a) S = 1 + 3 + ... + 119 = 3600 b) 19 19 2 x 48) 1 - + 2 - 3 + ... + (-)n é a soma dos n+1 primeiros termos da PG de a1 = 1 e q = -, portanto 1 - + 2 - 3 + ... + (-)n = 1 1 1n = 1 1()( n ) Assim, se n for par, 1 1()( n ) = 1 1()( n ) = 1 1 = 1 e se n for ímpar, 1 1()( n ) = 1 1()( n ) = 1 1 = 1 1 49) Alternativa: D 50) Resposta: x = 6 ou x = -6 51) Alternativa: B 52) Alternativa: C 53) Alternativa: C 54) Alternativa: B 55) Alternativa: D 56) a) q = 2 51 ou q = 2 51 b) S3 = -1- 5 57) Alternativa: C 58) Alternativa: A 59) R: S = q1 a1 = ) 2 1(1 1 = .3 2 60) Excetuando-se o 1o triângulo (de área A), as áreas dos demais formam uma PG infinita de razão 2/9 e cuja soma infinita é 3A/7. Desta forma, a soma total das áreas é A+ 3A/7 = 10A/7 61) Alternativa: E 12 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 62) Alternativa: A 63) F – V – V – F – V 64) Excetuando-se o 1o triângulo (de área A), as áreas dos demais formam uma PG infinita de razão 9 4 e cuja soma infinita é 3 5 A . Desta forma, a soma total das áreas é A+ 3 5 A = 8 5 A . 65) Alternativa: D 66) Alternativa: D 67) Alternativa: C Sejam x/q, x e xq as 3 arestas. Assim, o volume é x/q.x.xq = x 3 = 8 27 x = 2 3 . Como x é a aresta intermediária entre a maior e a menor, ela é a média geométrica dessas duas. Então, ( 2 3 ) 2 = 2.m m = 8 9 68) Alternativa: D 69) Alternativa: D 70) Alternativa: A 71) a) b1 = q 4 b) sim, n = 5 c) 2n – m = 5 72) Alternativa: C 73) Temos 2 PGs infinitas de razão 4/9, uma iniciando em A1B1 = 3 e englobando apenas os segmentos verticais e outra iniciando em B1A2 = 2 englobando os inclinados. A soma das duas PGs resulta em S = 9.
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