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Exercícios com Gabarito Progressões Geométricas

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1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
Exercícios de Matemática 
Progressão Geométrica 
 
1) (FUVEST-2010) Os números a1, a2, a3 formam uma 
progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2 
– 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda 
que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a 
a) 
33
 
b) 
2
3
3
 
c) 
4
3
3
 
d) 
2
3
3
 
e) 
33
 
 
 
2) (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 
milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, 
que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de 
renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me 
aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e 
ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em 
reais, que devo disponibilizar mensalmente é: 
Dado: 1,01
361

36 
a) 290,00. 
b) 286,00. 
c) 282,00. 
d) 278,00. 
e) 274,00. 
 
3) (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de 
uma PG, de razão negativa, é 
2
1
. Além disso, a diferença 
entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. 
Nessas condições, determine: 
a) A razão da PG. 
b) A soma dos três primeiros termos da PG. 
 
4) (VUNESP-2009) Em uma determinada região de floresta 
na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, 
registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de 
3 km
2
 e a partir daí, durante um determinado período, a 
quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em 
progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a 
área total desmatada era de 3 + 2.3 = 9 km
2
. Se a área total 
desmatada nessa região atingiu 381 km
2
 nos n anos em que 
ocorreram desmatamentos, determine o valor de n. 
 
 
5) (Mack-2007) Em uma seqüência de quatro números, o 
primeiro é igual ao último; os três primeiros, em progressão 
geométrica, têm soma 6, e os três últimos estão em 
progressão aritmética. Um possível valor da soma dos 
quatro termos dessa seqüência é 
a) 10 
b) 18 
c) 12 
d) 14 
e) 20 
 
 
6) (Mack-2007) cotg 



  ...
1263 é igual a 
 
a) 3 
b) 3 
c) 3
3
 
d) 3
3
 
e) 3
32
 
 
7) (FUVEST-2008) Sabe-se sobre a progressão geométrica 
a1,a2,a3 , , , que a1 > a e a6 = –9 3 . Além disso, a 
progressão geométrica a1, a5, a9, ...tem razão igual a 9. 
Nessas condições, o produto a2a7 vale 
 
a) –27
3
 
b) –3
3
 
c) –
3
 
d) 3
3
 
e) 27
3
 
 
8) (UFC-2007) A seqüência (an)n1 tem seus termos dados 
pela fórmula an = 
2
1n
. Calcule a soma dos dez primeiros 
termos da seqüência (bn)n1, onde bn = na2
 
para n 1. 
 
 
9) (UFC-2007) O último algarismo da soma 1 + 6 + 62 + 63 + 
... + 6
2006
 é igual a: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
 
10) (UNICAMP-2007) Por norma, uma folha de papel A4 
deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 
com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio, 
 
 
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de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior 
dimensão resultante até a dobra anterior. 
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão 
geométrica que representa a espessura do papel dobrado em 
função do número k de dobras feitas. 
b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o 
formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o 
papel seis vezes, quais serão as dimensões do 
paralelepípedo? 
 
 
11) (UFSCar-2007) O conjunto solução da equação sen




  ...
81
8
27
8
9
8
= cos x, com x  [0,2[, é 
a)
 
3
4,
3
2 
 
b) 
 
6
7,
6
5 
 
c) 
 
4
5,
4
3 
 
d) 
 
6
11,
6

 
e) 
 
3
5,
3

 
 
 
 
12) (VUNESP-2007) Devido ao aquecimento das águas, a 
ocorrência de furacões das categorias 4 e 5 — os mais 
intensos da escala Saffir-Simpson — dobrou nos últimos 35 
anos (Veja, 21.06.2006). Seja x o número de furacões 
dessas categorias, ocorridos no período 1971-2005. Vamos 
supor que a quantidade de furacões a cada 35 anos continue 
dobrando em relação aos 35 anos anteriores, isto é, de 2006 
a 2040 ocorrerão 2x furacões, de 2041 a 2075 ocorrerão 4x 
furacões, e assim por diante. Baseado nesta suposição, 
determine, em função de x, o número total de furacões que 
terão ocorrido no período de 1971 a 2320. 
 
 
13) (FUVEST-2007) Um biólogo está analisando a 
reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou 
com 100 indivíduos. Admite- se que a taxa de mortalidade 
das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira 
hora, são: 
 
Tempo decorrido (minutos) Número de bactérias 
0 100 
20 200 
40 400 
60 800 
 
Supondo-se que as condições de reprodução continuem 
válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do 
experimento, a população de bactérias será de 
a) 51.200 
b) 102.400 
c) 409.600 
d) 819.200 
e) 1.638.400 
 
14) (Mack-2006) Dada a matriz A = 












3
1
0
0
2
1
, considere a 
seqüência formada por todas as potências inteiras e 
positivas de A, isto é, A, A2, A3, ... An, ... . Somando-se 
todas as matrizes desta seqüência obtemos uma matriz, cujo 
determinante é 
a) 3
1
 
b) 4
1
 
c) 6
1
 
d) 5
1
 
e) 2
1
 
 
 
15) (Vunesp-2006) Dado x0 = 1, uma seqüência de números 
x1, x2, x3, ... satisfaz a condição xn = axn-1, para todo inteiro 
n1, em que a é uma constante não nula. 
a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa seqüência. 
b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + ... + x8. 
 
 
16) (Mack-2006) Se (1 - senx, 1 - cos x, 1 + sen x), 0 < x < 
2

 , é uma progressão geométrica, cos2x vale 
a) 2
1
 
b) 2
3
 
c) - 2
1
 
d) - 2
3
 
e) - 2
2
 
 
 
17) (UFPB-2006) Socorro, apaixonada por Matemática, 
propôs para seu filho, João: “Você ganhará uma viagem de 
 
 
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presente, no final do ano, se suas notas, em todas as 
disciplinas, forem maiores ou iguais à quantidade de termos 
comuns nas progressões geométricas (1,2,4, ... ,4096) e 
(1,4,16, ... ,4096)”. De acordo com a proposta, João 
ganhará a viagem se não tiver nota inferior a: 
 
a) 6 
b) 7 
c) 8 
d) 9 
e) 10 
 
 
18) (UNIFESP-2004) Um objeto parte do ponto A, no 
instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada 
minuto, a metade da distância que o separa do ponto B, 
conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a 
distância entre A e B. Deste modo, ao final do primeiro 
minuto (1º período) ele deverá se encontrar no ponto A1; ao 
final do segundo minuto (2º período), no ponto A2; ao final 
do terceiro minuto (3º período), no ponto A3, e, assim, 
sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza 
linearmente em cada período considerado. 
 
a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10 
primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua 
distância ao ponto B é inferior a 1 metro. 
b) Construa o gráfico da função definida por “f(t) = 
distância percorrida pelo objeto em t minutos”, a partir do 
instante t = 0. 
 
 
19) (UFV-2005) O interior de uma jarra é um cilindro 
circular reto e contém V litros de água. Se fosse retirado 1 
litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, nesta 
ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao 
contrário, fosse adicionado 1 litro de água na jarra, essas 
grandezas, na mesma ordem, formariam uma progressão 
geométrica. O valor de V é: 
a) 6b) 4 
c) 9 
d) 7 
e) 5 
 
 
20) (UFSCar-2006) Selecionando alguns termos da PA (0, 2, 
4, 6, 8, ..., n), formamos a PG (2, 8, 32, 128, ..., p). Se a PG 
formada possui 100 termos, o número mínimo de termos da 
PA é 
a) 2
197
. 
b) 2
198
 - 1. 
c) 2
198
. 
d) 2
198
 + 1. 
e) 2
199
. 
21) (Vunesp-2006) No início de janeiro de 2004, Fábio 
montou uma página na internet sobre questões de 
vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página. 
Supondo que o número de visitas à página, durante o ano, 
dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de 
Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi 
a) 36. 
b) 24. 
c) 18. 
d) 16. 
e) 12. 
 
22) (FUVEST-2006) Três números positivos, cuja soma é 30, 
estão em progressão aritmética. Somando-se, 
respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro 
termos dessa progressão aritmética, obtemos três números 
em progressão geométrica. Então, um dos termos da 
progressão aritmética é 
a) 9 
b) 11 
c) 12 
d) 13 
e) 15 
 
 
23) (IBMEC-2005) O departamento de arqueologia da 
Universidade de Oxford mantém em sua biblioteca uma 
coleção de aproximadamente 500.000 papiros, todos com 
mais de 1000 anos de idade, cujo conteúdo começou a ser 
desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnica 
chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela 
Nasa. Se um computador, munido de um sistema de 
inteligência artificial, conseguir decifrar o contéudo de cada 
um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que 
precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que 
o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10 
anos, então toda a coleção de papiros citada será decifrada 
em 
a) aproximadamente 20 anos. 
b) aproximadamente 40 anos. 
c) aproximadamente 50 anos. 
d) aproximadamente 80 anos. 
e) aproximadamente 100 anos. 
 
 
24) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero T1 de 
área 16 3 cm
2
 Unindo-se os pontos médios dos lados 
desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero 
T2, que tem os pontos médios dos lados de T1 como 
vértices. Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo 
triângulo obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero T3, e 
assim por diante, indefinidamente. Determine: 
a) as medidas do lado e da altura do triângulo T1, em 
centímetros; 
b) as áreas dos triângulos T2 e T7, em cm
2
. 
 
 
 
 
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25) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero cuja 
medida do lado é 4cm. Um segundo triângulo eqüilátero é 
construído, unindo-se os pontos médios dos lados do 
triângulo original. Novamente, unindo-se os pontos médios 
dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro 
triângulo eqüilátero, e assim por diante, infinitas vezes. A 
soma dos perímetros da infinidade de triângulos formados 
na seqüência, incluindo o triângulo original, é igual a 
a) 16cm. 
b) 18cm. 
c) 20cm. 
d) 24cm. 
e) 32cm. 
 
 
26) (FMTM-2005) A soma dos infinitos termos de uma 
progressão geométrica crescente é igual a 13,5 e a soma dos 
dois primeiros termos é igual a 12. Nessas condições, o 
termo numericamente igual à razão da seqüência é o 
a) quarto. 
b) quinto. 
c) sexto. 
d) sétimo. 
e) oitavo. 
 
 
27) (Fuvest-2005) Uma seqüência de números reais a1, a2, 
a3, … satisfaz à lei de formação 
an + 1 = 6an, se n é ímpar, 
an + 1 = 
3
1
 an, se n é par. 
Sabendo-se que a1 = 2 
a) escreva os oito primeiros termos da seqüência. 
b) determine a37 e a38. 
 
 
 
28) (Mack-2005) Um programa computacional, cada vez 
que é executado, reduz à metade o número de linhas 
verticais e de linhas horizontais que formam uma imagem 
digital. Uma imagem com 2048 linhas verticais e 1024 
linhas horizontais sofreu uma redução para 256 linhas 
verticais e 128 linhas horizontais. Para que essa redução 
ocorresse, o programa foi executado k vezes. O valor de k 
é: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
29) (FGV-2005) A figura indica infinitos triângulos 
isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ... 
 
Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos 
hachurados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a 
área do retângulo de lados h e d é igual a 
a) 68. 
b) 102. 
c) 136. 
d) 153. 
e) 192. 
 
30) (UFRJ-1999) Uma progressão geométrica de 8 termos 
tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do 
produto de seus termos vale 36. Ache a razão da 
progressão. 
 
 
31) (Fatec-1996) Num certo jogo de azar, apostando-se uma 
quantia X, tem-se uma das duas possibilidades seguintes: 
1) perde-se a quantia X apostada; 
2) recebe-se a quantia 2X. 
Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na 
primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 2 
centavos, na terceira vez, apostou 4 centavos e assim por 
diante, apostando em cada vez o dobro do que havia 
apostado na vez anterior. Nas 20 primeiras vezes, ela 
perdeu. Na 21ª vez, ela ganhou. Comparando-se a quantia 
total T por ela desembolsada e a quantia Q recebida na 21ª 
jogada, tem-se que Q é igual a: 
a) 
2
T
 
b) T 
c) 2T 
d) T-1 
e) T+1 
 
33) (UDESC-1996) Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3, 
então os termos gerais da Progressão Aritmética e da 
Progressão Geométrica correspondentes são: 
a) 2 + 3n e 3
2.3n
 
b) 2 + 3n e 2
3 1n
 
c) 3n - 1 e 2.3
n
 
d) 3 + 2n e 3.2
n
 
e) 3n - 1 e 3
2.3n
 
 
 
 
5 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br 
 
 
34) (PUC-SP-1997) O terceiro e o sétimo termos de uma 
progressão geométrica valem, respectivamente, 10 e 18. O 
quinto termo dessa progressão é: 
a) 14 
b) 30 
c) 2 7 
d) 6 5 
e) 30 
 
 
35) (FGV-2004) Dois amigos, Alfredo e Bruno, combinam 
disputar a posse de um objeto num jogo de "cara ou coroa". 
Alfredo lança 3 moedas e Bruno 2 moedas, 
simultaneamente. Vence o jogo e, conseqüentemente, fica 
com o objeto, aquele que conseguir o maior número de 
caras. Ocorrendo empate, a experiência será repetida, tantas 
vezes quantas forem necessárias, até que haja um vencedor. 
Calcule: 
a) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa na 
primeira experiência. 
b) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa. 
 
36) (Vunesp-2004) Considere os números complexos w = 2i 
e z = (1 + i). 
Determine: 
a) z
2
 e (w
2
  z + w), onde z indica o conjugado de z. 
b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w
2
|) é 
uma progressão geométrica, determinando todos os seus 
termos e a sua razão. 
 
 
37) (Unicamp-2004) Suponha que, em uma prova, um aluno 
gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o 
dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. 
Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto 
a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas 
as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5 
minutos. Calcule: 
a) O número total de questões da referida prova. 
b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas 
as questões da prova. 
 
 
38) (FGV-2003) a) O 1º termo de uma progressão 
geométrica é A, a razão é q e o último termo é B. Obtenha o 
número de termos n desta progressão, em função de A, B e 
q. 
b) Um empréstimo de R$27.500,00 deve ser pago sem juros 
em parcelas mensais. A 1ª parcela vale R$500,00 e, cada 
parcela a partir da 2ª é R$50,00 superior à anterior. Quantas 
parcelas são necessárias para pagar a dívida? 
 
 
39) (CPCAR-2002) Uma bola é abandonada de uma certa 
altura. Até que o movimento pare,a bola atinge o solo e 
volta a subir repetidas vezes. Em cada subida, alcança 2
1
 
da altura em que se encontrava anteriormente. Se, depois do 
terceiro choque com o solo, ela sobe 100 cm, a altura em 
que foi abandonada a bola é, em metros, igual a 
 
a) 0,8 
b) 1 
c) 8 
d) 0,5 
 
40) (CPCAR-2003) Um candidato do CPCAR 2003, 
preparando-se para o teste de aptidão física, exercita-se 
numa esteira percorrendo 3,8 km por dia. Para um 
treinamento menos cansativo, ele inicia correndo a uma 
velocidade de 12 km/h e a cada 10 minutos ele reduz a 
velocidade pela metade. É correto afirmar que 
 
a) o candidato completa o percurso de 3,8 km em menos de 
45 minutos. 
b) para percorrer a metade do percurso de 3,8 km ele gasta 
mais de 10 minutos. 
c) após 30 minutos, a velocidade atingida é de 6 km/h no 
mínimo. 
d) aos 40 minutos ele percorreu 3,5 km exatamente. 
 
41) (UEL-2002) A figura construída segundo a seqüência 
abaixo é denominada Esponja de Sierpinski ou Esponja de 
Menger. Representa um fractal gerado a partir de um cubo. 
Partindo-se do cubo inicial, obtêm-se outros cubos 
menores, com arestas iguais a 
3
1
da aresta deste. O cubo 
central e os cubos do centro de cada face são removidos. O 
procedimento se repete em cada um dos cubos menores 
restantes. O processo é iterado infinitas vezes, gerando a 
Esponja. Supondo que a medida da aresta do cubo inicial 
seja igual a 1 m, qual é a área, em m
2
, de uma face da figura 
30? 
 
 
 
 
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a) 
30
9
8






 
b) 
29
9
8






 
c) 
30
8
9






 
d) 
19
27
20






 
e) 
19
20
27






 
 
 
 
42) (UFSCar-2001) Uma bola cai de uma altura de 30m e 
salta, cada vez que toca o chão, dois terços da altura da qual 
caiu. Seja h(n) a altura da bola no salto de número n. A 
expressão matemática para h(n) é: 
a) 30
n
3
2






 
b) 
n(30)
3
2
 
c) 20.n 
d) .n3
2
 
e) 
n
3
2






 
 
 
 
43) (Mack-2002) Se construímos um seqüência infinita de 
quadrados, sendo o primeiro de lado 1 e cada um dos outros 
com lado igual à metade do lado do quadrado anterior, 
então a soma das áreas desses quadrados é: 
a) 2 
b) 
4
3
 
c) 
5
4
 
d) 
4
5
 
e) 
3
4
 
 
 
44) (UFSCar-2003) Numa progressão geométrica, o primeiro 
termo é 5
x
 e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros 
termos é 3 900, pode-se afirmar que 5
5 2x
, é igual a 
a) 
25
1
 
b) 
5
1
 
c) 1 
d) 5 
e) 25. 
 
 
45) (UFES-1997) Em um rebanho de 15.000 reses, uma foi 
infectada pelo vírus "mc1". Cada animal infectado vive dois 
dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se 
cada rês é infectada uma única vez, em quanto tempo o 
"mc1" exterminará a metade do rebanho? 
 
 
46) (Vunesp-2003) Várias tábuas iguais estão em uma 
madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5cm. Forma-se 
uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira 
vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já 
houveram sido colocadas anteriormente. 
 
 
Determine, ao final de 9 dessas operações, 
a) quantas tábuas terá a pilha. 
b) a altura, em metros, da pilha. 
 
 
47) (FGV-2003) a) calcule 



60
1j
1)(2j
. 
b) Obtenha o 20
o
 termo da progressão geométrica 








 ,...
4
x
,
2
x
1,
2
. 
 
48) (Unicamp-1994) Seja   -1 um número complexo tal 
que n = 1, onde n é um número inteiro positivo. Prove que, 
se n for par, a expressão 1 -  + 2 - 3 + ... + (-)n é igual a 
1; e, se n for ímpar, essa expressão é igual a 

1
1
. 
 
 
49) (Fuvest-2003) No plano cartesiano, os comprimentos de 
segmentos consecutivos da poligonal, que começa na 
origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma 
progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois 
segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, 
se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale: 
 
 
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a) 4
12
p1
p1


 
b) 2
12
p1
p1


 
c) 2
16
p1
p1


 
d) 2
16
p1
p1


 
e) 4
20
p1
p1


 
 
 
 
 
50) (Mauá-2001) Determine x para que 4, x e 9 formem, 
nessa ordem, uma progressão geométrica. 
 
51) (AFA-1998) Seja f uma função real que satisfaz as 
seguintes propriedades: 
 I. f(0) = 1; 
 II. 0 < f(1) < 1; e 
 III. f(x + y) = f(x).f(y) x, yR. 
 
Então, a expressão f(0) + f(1) + f(2) + f(3) +...+ f(9) é 
equivalente a 
 
a) 1f(1)
1[f(1)]9


 
b) 1f(1)
1[f(1)]10


 
c) 1f(1)
f(1)[f(1)]9


 
d) 1f(1)
f(1)[f(1)]10


 
 
52) (ESPM-1995) O sétimo e o nono termos de uma 
progressão geométrica de razão positiva valem 
respectivamente 320 e 20. O oitavo termo dessa PG é: 
 
a) 170 
b) 2 85 
c) 80 
d) 40 
e) 4 
 
53) (AFA-1999) Uma bola é solta de uma altura de 128 
metros em relação ao solo, e, ao atingir o mesmo, ela sobe a 
metade da altura anterior. Esse movimento se repete até 
atingir o solo pela décima vez. Nesse momento, quanto a 
bola terá percorrido, em metros? 
 
a) 255,50 
b) 383,00 
c) 383,50 
d) 383,63 
 
54) (AFA-1999) Se a seqüência de inteiros positivos (2, x, y) 
é uma Progressão Geométrica e (x+1, y, 11) uma 
Progressão Aritmética, então, o valor de x + y é 
 
a) 11. 
b) 12. 
c) 13. 
d) 14. 
 
55) (UFRN-2002) As áreas dos quadrados abaixo estão em 
progressão geométrica de razão 2. 
Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão em 
 
a) progressão aritmética de razão 2. 
b) progressão geométrica de razão 2. 
c) progressão aritmética de razão 2 . 
d) progressão geométrica de razão 2 . 
 
 
56) (Unicamp-1998) Considere uma progressão geométrica 
de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do 
terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente 
anteriores. 
 
a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa 
progressão. 
b) Supondo que o primeiro termo seja 2
51
e q > 0, 
calcule a soma dos três primeiros 
termos dessa progressão. 
 
57) (FMTM-2002) Dentre as seqüências dadas, aquela que 
forma uma progressão geométrica é a seqüência 
 
a) sen 6

, sen 4

, sen 3

 
b) sen
2
6
 , sen
2
4
 , sen
2
3
 . 
 
 
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c) tg 6
 , tg 4
 , tg 3
 
d) cos 6
 , cos 4
 , cos 3
 
e) cos
2
6
 , cos
2
4
 , cos
2
3
 . 
 
58) (Vunesp-2000) No dia 1 de dezembro, uma pessoa 
enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia 
2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia 
1 enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3, 
cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também 
enviou a mesma para outras duas novas pessoas. E, assim, 
sucessivamente. Se, do dia 1 até o final do dia 6 de 
dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o 
valor de x é: 
a) 12. 
b) 24. 
c) 52. 
d) 63. 
e) 126. 
 
 
59) (UFC-2002) Considere a função real de variável real 
definida por f(x) = 2
-x
. Calcule o valor de 
f(0) - f(1) + f(2) - f(3) + f(4) - f(5) + ... 
 
60) (Unicamp-1990) Construir "fractais” no computador 
corresponde a um procedimento como o descrito a seguir.A partir de um triângulo eqüilátero, de área A, 
acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo 
eqüilátero de lado igual á um terço do anterior; aos lados 
livres destes triângulos acrescentamos triângulos de lados 
iguais a um terço dos anteriores e assim sucessivamente 
construímos uma figura com uma infinidade de triângulos 
(veja o desenho). Calcule a área, em termos de A, da região 
determinada por esse processo. 
 
 
61) (Mack-1996) Num paralelepípedo retângulo a soma das 
medidas de todas as arestas é 52 e a diagonal mede 91 . 
Se as medidas das arestas estão em progressão geométrica, 
então o seu volume é: 
a) 216. 
b) 108. 
c) 81. 
d) 64. 
e) 27. 
 
 
62) (Mack-1999) Seja a seqüência geométrica, de n termos 
positivos, que se obtém inserindo-se k meios geométricos 
entre 2
1
 e 8. Se o produto de todos os termos é 32, então n 
vale: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
63) (UFPR-2002) Uma cidade cuja população vem 
diminuindo sistematicamente tem hoje 30000 habitantes. Se 
o ritmo de diminuição se mantiver, então o número de 
habitantes daqui a t anos, P(t), é calculado aplicando-se a 
fórmula: P(t) = 30000(0,9)
t
. Supondo que o ritmo de 
diminuição se mantenha, é correto afirmar: 
 - Daqui a 2 anos, a população será menor que 24000. 
 - Os números P(1), P(2), P(3), ... , nesta ordem, formam 
uma progressão geométrica. 
 - O tempo necessário, em anos, para que a população se 
reduza à metade da atual é log0,9
log2log1
 
 - P(20) = 0. 
 - Em cada período de um ano a população diminui 
10%. 
 
 
64) (Unicamp-modificada-1990) Construir "fractais” no 
computador corresponde a um procedimento como o 
descrito a seguir. A partir de um triângulo eqüilátero, de 
área A, acrescentamos no meio de cada lado um outro 
triângulo eqüilátero de lado igual á um terço do anterior; 
aos segmentos livres destes triângulos acrescentamos 
triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim 
sucessivamente construímos uma figura com uma 
infinidade de triângulos (veja o desenho). Calcule a área, 
em termos de A, da região determinada por esse processo. 
 
65) (Una-2001) Um funcionário de uma repartição pública 
inicia um trabalho. Conseguindo despachar no primeiro dia 
320 documentos, percebe que seu trabalho no dia seguinte 
tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior, 
repetindo-se este fato dia após dia. Se, para terminar o 
trabalho, tem de despachar 3200 documentos, pode-se 
concluir que: 
a) O trabalho estará terminado em menos de 20 dias. 
b) O trabalho estará terminado em menos de 26 dias. 
c) O trabalho estará terminado em 58 dias. 
d) O funcionário nunca terminará o trabalho. 
 
 
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66) (desconhecida-0) Um funcionário de uma repartição 
pública inicia um trabalho. Consegue despachar, no 
primeiro dia, 210 documentos e percebe que seu trabalho, 
no dia seguinte, tem um rendimento de 90% em relação ao 
dia anterior, repetindo-se esse fato dia após dia. Se para 
terminar o trabalho tem de despachar 2100 documentos, 
pode-se concluir que: 
a) o trabalho estará terminado em menos de 20 dias; 
b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias; 
c) o trabalho estará terminado em 58 dias 
d) o funcionário nunca terminará o trabalho; 
e) o trabalho estará terminado em 60 dias; 
 
67) (Fuvest-2002) Em um bloco retangular (isto é, 
paralelepípedo reto retângulo) de volume 
8
27
, as medidas 
das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em 
progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a 
medida da aresta menor é: 
a) 
8
7
 
b) 
8
8
 
c) 
8
9
 
d) 
8
10
 
e) 
8
11
 
 
 
68) (UFSCar-0) A condição para que três números a,b e c 
estejam, simultaneamente em progressão aritmética e 
progressão geométrica é que: 
a) ac = b
2
 
b) a+c = 2b 
c) a + c =b
2
 
d) a = b = c 
e) ac = 2b 
 
69) (Fuvest-1977) O quinto e o sétimo termos de uma PG 
valem, respectivamente, 10 e 16. O sexto termo dessa PG é: 
a) 14 
b) 10 6 
c) 4 
d) 4 10 
e) 10 
 
70) (Cesgranrio-0) Adicionando-se uma mesma constante a 
cada um dos números 6, 10 e 15, nessa ordem, obtemos 
uma PG de razão 
a) 
4
5
 
b) 
2
3
 
c) 
3
2
 
d) 4 
e) 31 
 
71) (Fuvest-1999) Seja (an) uma progressão geométrica de 
1
o
 termo a1 = 1 e razão q
2
, onde q é um número inteiro 
maior que 1. Seja (bn) uma progressão geométrica cuja 
razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso: 
a) Determine o primeiro termo b1 em função de q. 
b) Existe algum valor de n para o qual na = bn ? 
c) Que condição n e m devem satisfazer para que an = bm ? 
 
72) (Mack-2002) Numa seqüência infinita de círculos, cada 
círculo, a partir do segundo, tem raio igual à metade do raio 
do círculo anterior. Se o primeiro círculo tem raio 4, então a 
soma das áreas de todos os círculos é: 
a) 12 
b) 15/4 
c) 64/3 
d) 32 
e) 32/3 
 
 
73) (Fuvest-1994) Na figura a seguir , A1B1=3, B1A2=2. 
 
 Calcule a soma dos infinitos segmentos: 
A1B1+B1A2+A2B2+B2A3+... 
 
 
 
 
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Gabarito 
 
1) Alternativa: E 
 
2) Alternativa: B 
 
3) a) -2 
b) 
22
3
 
 
 
4) Resposta: 7 
 
5) Alternativa: D 
 
6) Alternativa: D 
 
7) Alternativa: A 
Como
),,( 951 aaa
estão em PG de razão 9, logo: 
9.15 aa 
. 
Da PG teremos: 
33..9.39. 21156  aqaqaqaa
 
3.339. 4426  qqqaa
, pois 
01 a
e 
02 a
. 
.27)3.(39. 7767  aaqaa
 
Logo: 
327. 72 aa
. 
 
 
8) 
S10 = 62 ( 2 + 1) 
 
9) Alternativa: C 
 
10) a) (0,1) 2kmm 
 
b) 37,125mm; 26,25mm e 6,4mm. 
 
 
 
11) Alternativa: B 
 
12) Resp: 1023x. 
 
 
13) Alternativa: C 
 
14) Alternativa: E 
 
15) a) 2048 
b) 9840 
 
 
16) Alternativa: C 
 
17) Alternativa: B 
 
18) a) 799,2 metros portanto a distância que o separa de B é 
inferior a 1m. 
 
b) 
 
 
 
19) Alternativa: D 
 
20) Alternativa: D 
 
21) Alternativa: E 
 
22) Alternativa: C 
 
23) Alternativa: A 
 
24) a) O lado mede 8cm e a altura mede 4 3 cm. 
b) As áreas dos triângulos T2 e T7, em cm
2
, são 
respectivamente iguais a 4 3 e 256
3
 
 
 
 
25) Alternativa: D 
 
26) Alternativa: A 
 
27) a) 2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 ,4 2 ,24 2 ,8 2 e 48
2 
 
b)a37= 2
18
. 2 e a38 = 6.2
18
 2 
 
 
28) Alternativa: A 
 
29) Alternativa: C 
 
 
 
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30) Razão = 10 
 
31) Alternativa: E 
 
33) Alternativa: E 
 
34) Alternativa: D 
 
35) a) 
8
1
 + 
8
3
 .
4
3
 + 
8
3
.
4
1
 = 
2
1
 
b) 
2
1
+ 
32
10
. 
2
1
+ (
32
10
)
2
.
2
1
+ ... (soma infinita de PG) = 
11
8
 
 
36) a) 2i e -4 + 6i 
b) |z| = 2 ,|w| = 2 e a seqüência é (1, 2 , 2, 2 2 , 4), 
que é uma progressão geométrica de razão 2 . 
 
37) a) 8 questões. 
b) 127,5 minutos. 
 
38) a) Supondo que seja possível determinar n, ou seja, 
supondo que q0, A0 e q1, então temos que n = 1 + 
A
B
logq
. 
b) 25 parcelas. 
 
39) Alternativa: C 
 
40) Alternativa: A 
 
41) Alternativa: B 
 
42) Alternativa: A 
 
43) Alternativa: E 
 
44) Alternativa: B 
 
45) A sequência de animais mortos segue uma PG de razão 
3: 1, 3, 9, 27,... 
A soma dos n primeiros termos dessa PG é 
S = 
13
1)1(3n


> 7500  3n > 15001  n > log315001  n 
>8,75 
Então, S é maior que 7500 para 9 termos, de modo que em 
18 dias (9 x 2) mais da metade do rebanho terá morrido. 
Para 8 termos (16 dias) ainda não teremos metade do 
rebanho morto. 
 
46) a) 256 tábuas 
b) 1,28m 
 
47) a) S = 1 + 3 + ... + 119 = 3600 
b) 
19
19
2
x

 
 
48) 1 -  + 2 - 3 + ... + (-)n é a soma dos n+1 primeiros 
termos da PG de a1 = 1 e q = -, portanto 
1 -  + 2 - 3 + ... + (-)n = 
 
1
1
1n



 = 1
1()( n

 )
 
Assim, se n for par, 1
1()( n

 )
 
 = 1
1()( n

 )
 = 
1
1


= 1 e 
se n for ímpar, 1
1()( n

 )
 
 = 1
1()( n

 )
 = 1
1


= 

1
1
 
 
49) Alternativa: D 
 
50) Resposta: x = 6 ou x = -6 
 
51) Alternativa: B 
 
52) Alternativa: C 
 
53) Alternativa: C 
 
54) Alternativa: B 
 
55) Alternativa: D 
 
56) a) q = 2
51 ou q = 2
51
 
b) S3 = -1- 5 
 
57) Alternativa: C 
 
58) Alternativa: A 
 
59) R: S = q1
a1
 = 
)
2
1(1
1

 = .3
2
 
 
60) Excetuando-se o 1o triângulo (de área A), as áreas dos 
demais formam uma PG infinita de razão 2/9 e cuja soma 
infinita é 3A/7. Desta forma, a soma total das áreas é A+ 
3A/7 = 10A/7 
 
61) Alternativa: E 
 
 
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62) Alternativa: A 
 
63) F – V – V – F – V 
 
64) Excetuando-se o 1o triângulo (de área A), as áreas dos 
demais formam uma PG infinita de razão 
9
4
 e cuja soma 
infinita é 3
5
A
. Desta forma, a soma total das áreas é A+ 3
5
A
 = 8
5
A
. 
 
65) Alternativa: D 
 
66) Alternativa: D 
 
67) Alternativa: C 
Sejam x/q, x e xq as 3 arestas. Assim, o volume é x/q.x.xq 
= x
3
 = 
8
27
  x = 
2
3
 . Como x é a aresta intermediária 
entre a maior e a menor, ela é a média geométrica dessas 
duas. Então, (
2
3
 )
2
 = 2.m  m = 
8
9
 
 
68) Alternativa: D 
 
69) Alternativa: D 
 
70) Alternativa: A 
 
71) a) b1 = q
4 
b) sim, n = 5 
c) 2n – m = 5 
 
72) Alternativa: C 
 
73) Temos 2 PGs infinitas de razão 4/9, uma iniciando em 
A1B1 = 3 e englobando apenas os segmentos verticais e 
outra iniciando em B1A2 = 2 englobando os inclinados. A 
soma das duas PGs resulta em S = 9.

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