MatematicaBasica-

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Matema´tica Ba´sica
Francisco Edson da Silva
Simone Batista
Conteu´do
1 Revisa˜o Elementar: Introduc¸a˜o aos Conjuntos 1
1.1 Noc¸o˜es iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Representac¸a˜o dos conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Relac¸a˜o de pertineˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Conjunto Universo - Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Operac¸o˜es com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Nu´mero de elementos do conjunto unia˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Modelagem de problemas usando teoria de conjuntos . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Revisa˜o Elementar: Conjuntos Nume´ricos e Operac¸o˜es Aritme´ticas 24
2.1 Conjunto dos Nu´meros Naturais, IN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Operac¸o˜es com nu´meros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Conjunto dos Nu´meros Inteiros, Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Operac¸o˜es com nu´meros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.3 Nu´meros opostos ou sime´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.4 Mo´dulo de um nu´mero inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Conjunto dos Nu´meros Racionais, IQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Operac¸o˜es com frac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.3 Representac¸a˜o decimal das frac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.4 Operac¸o˜es com nu´meros decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.5 Representac¸a˜o fraciona´ria dos nu´meros decimais . . . . . . . . . . . 47
2.4 Conjunto dos Nu´meros Irracionais, II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Conjunto dos Nu´meros Reais, IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ii
2.5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.2 A ordem na reta e a notac¸a˜o de intervalo . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.3 Potenciac¸a˜o com expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5.4 Radiciac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.5 Potenciac¸a˜o com expoente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 Trabalhando com Nu´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6.1 Algarismos significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6.2 Arredondamento de nu´meros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.6.3 Notac¸a˜o cient´ıfica e notac¸a˜o de engenharia . . . . . . . . . . . . . . 67
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Noc¸o˜es Iniciais de Func¸o˜es 76
3.1 Func¸a˜o: Definic¸a˜o e notac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Domı´nio e contra-domı´nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4 Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.5 Gra´ficos de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.6 Ana´lise visual de gra´ficos de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.6.1 Continuidade de uma func¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6.2 Func¸o˜es crescentes, decrescentes e constantes . . . . . . . . . . . . . 98
3.6.3 Func¸o˜es limitadas e extremos local e absoluto de func¸o˜es . . . . . . 101
3.6.4 Simetria: func¸a˜o par e func¸a˜o ı´mpar . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4 Polinoˆmios e Func¸o˜es Polinomiais 117
4.1 Polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.2 Valor nume´rico de um polinoˆmio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.1.3 Polinoˆmio nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1.4 Grau de um polinoˆmio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1.5 Igualdade de polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2 Operac¸o˜es com polinoˆmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3 Produtos nota´veis e fatorac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3.1 Produtos nota´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3.2 Completar quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.3 Fatorac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
iii
5 Func¸o˜es polinomiais 129
5.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.2 Func¸o˜es polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3 Func¸a˜o de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.2 Estudo de uma func¸a˜o de 1o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.3.3 Modelando problemas com func¸o˜es de 1o grau . . . . . . . . . . . . 137
5.4 Func¸a˜o de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.1 Definic¸a˜o e gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.2 Zeros da func¸a˜o de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.4.3 Coordenadas do ve´rtice do gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4.4 Imagem e estudo do sinal da func¸a˜o quadra´tica . . . . . . . . . . . 149
5.4.5 Gra´ficos func¸o˜es de 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.4.6 Modelando problemas com func¸o˜es de 2o grau . . . . . . . . . . . . 154
5.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6 Func¸a˜o Modular 162
6.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.2 A func¸a˜o modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.3 Domı´nio de func¸o˜es modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4 Imagem de func¸o˜es modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.5 Gra´fico de func¸o˜es modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.6 Equac¸o˜es modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.7 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7 Func¸a˜o Exponencial e Func¸a˜o Logar´ıtmica 183
7.1 A func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.1.1 Introduc¸a˜o e definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.1.2 Propriedades da func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.1.3 Construc¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o exponencial . . . . . . . . . . . . . 188
7.1.4 Equac¸o˜es exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2.1 Definic¸a˜o . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2.2 Consequeˆncias da definic¸a˜o do logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2.3 Sistemas de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2.4 Propriedades operato´rias dos logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.2.5 Mudanc¸a de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7.2.6 Equac¸o˜es exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
iv
7.2.7 Equac¸o˜es logar´ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.3 A func¸a˜o logar´ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.4 Func¸o˜es invers´ıveis e func¸o˜es inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.4.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.4.2 Gra´fico de func¸o˜es inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8 Operac¸o˜es com Func¸o˜es e Func¸a˜o Composta 219
8.1 Operac¸o˜es com func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.2 Func¸a˜o composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9 Trigonometria e Func¸o˜es Trigonome´tricas 226
9.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.2 Medidas de arcos e aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.3 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.4 Ciclo trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.5 Func¸o˜es perio´dicas e o ciclo trigonome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.6 Func¸a˜o seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.7 Func¸a˜o cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.8 Func¸a˜o tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.9 Func¸o˜es cotangente, secante e cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.10 Relac¸o˜es fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.11 Func¸o˜es trigonome´tricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.11.1 A Func¸a˜o arcosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.11.2 A Func¸a˜o arcocosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.11.3 A Func¸a˜o arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.11.4 A Func¸a˜o arcocotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.11.5 A Func¸a˜o arcossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.11.6 A Func¸a˜o arcocossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
v
Cap´ıtulo 1
Revisa˜o Elementar: Introduc¸a˜o aos
Conjuntos
Este livro tem por principal objetivo apresentar ao estudante um estudo pre´vio das
principais e mais simples func¸o˜es utilizadas nas a´reas de Matema´tica e F´ısica (a saber
func¸o˜es polinomiais de primeiro e segundo graus, func¸a˜o modular, func¸a˜o exponencial,
func¸a˜o logar´ıtmica e func¸o˜es trigonome´tricas) sem fazer uso dos conceitos e ferramentas
do ca´lculo diferencial e integral, mas aprendendo a operar com estas func¸o˜es e construindo
seus gra´ficos e os gra´ficos de combinac¸o˜es das mesmas.
Antes de comec¸armos o nosso estudo de func¸o˜es, no entanto, faz-se necessa´ria uma
breve revisa˜o de alguns conceitos de matema´tica elementar que sa˜o aprendidos no ensino
fundamental e me´dio e que, em muitos casos, os alunos ja´ esqueceram ao chegar ao ensino
universita´rio ou na˜o viram de forma adequada em seu ensino fundamental e me´dio.
Para trabalhar adequadamente com as func¸o˜es em geral precisamos conhecer os prin-
cipais conjuntos nume´ricos e aprender a trabalhar e operar matematicamente com os
elementos deste conjuntos.
Antes, pore´m, iremos fazer uma breve introduc¸a˜o sobre conjuntos para relembrarmos
algumas noc¸o˜es sobre conjuntos e para nos acostumarmos com a notac¸a˜o de conjuntos e
com as operac¸o˜es de unia˜o e intersecc¸a˜o de conjuntos que iremos utilizar bastante para,
por exemplo, determinarmos e escrevermos os domı´nios e imagens de func¸o˜es nos cap´ıtulos
a seguir.
1
1.1 Noc¸o˜es iniciais
Os conjuntos nume´ricos sa˜o conjuntos cujos elementos sa˜o nu´meros que guardam, entre
si, uma caracter´ıstica comum e, por isto, possuem elementos perfeitamente caracterizados.
Ao estudarmos e trabalharmos em Matema´tica, F´ısica e Engenharia, estamos fazendo
operac¸o˜es definidas dentro de um conjunto nume´rico. Por exemplo, ao fazermos uma
operac¸a˜o entre dois elementos de um conjunto nume´rico e obtendo como resultado um
outro elemento desse mesmo conjunto nume´rico, dizemos que a operac¸a˜o esta´ definida
dentro do conjunto nume´rico.
Assim, para contextualizar a revisa˜o acerca dos conjuntos nume´ricos, vamos apresentar
nesta sec¸a˜o uma breve revisa˜o dos principais conceitos da teoria de conjuntos que precis-
aremos no decorrer do cap´ıtulo e tambe´m do livro. Os primeiros conceitos que precisamos
relembrar/conhecer sa˜o as definic¸o˜es relacionadas a conjuntos e a seus elementos.
• Conjunto e´ uma colec¸a˜o bem definida de objetos.
• Os objetos de um conjunto sa˜o chamados de membros ou elementos.
• Classe, colec¸a˜o e famı´lia sa˜o sinoˆnimos para conjuntos.
• Para designar os conjuntos usamos, no geral, letras maiu´sculas.
Podemos tomar como exemplo os seguintes conjuntos:
1. A = {1, 3, 5, 7, . . . }.
2. B = {0, 2, 4, 6, . . . }.
3. IN = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }, conjunto dos nu´meros naturais.
4. W = {amarelo, branco, preto}.
5. V = {~v| ~v e´ um segmento orientado, horizontal,
orientado da esquerda para direita, de comprimento 2 }.
6. P = {x| x e´ aluno da Escola de Cieˆncias e Tecnologia}.
As definic¸o˜es e propriedades que vamos estudar nesta sec¸a˜o valem tambe´m para os
conjuntos nume´ricos.
Os Conjunto Nume´ricos, como ja´ foi dito, sa˜o conjuntos cujos elementos sa˜o
nu´meros que guardam entre si uma caracter´ıstica comum. Tais conjuntos possuem ele-
mentos muito bem caracterizados.
2
Os principais conjuntos nume´ricos sa˜o:
• IN: conjunto dos nu´meros naturais;
• Z: conjunto dos nu´meros inteiros;
• IQ: conjunto dos nu´meros racionais;
• II: conjunto dos nu´meros irracionais;
• IR: conjunto dos nu´meros reais;
• C: conjunto dos nu´meros complexos.
Estes conjuntos nume´ricos, excetuando-se o conjunto C, sera˜o revisados/estudados em
nosso livro e, mais especificamente, neste cap´ıtulo.
1.2 Representac¸a˜o dos conjuntos
Nos exemplos de conjuntos que vimos, usamos duas maneiras distintas para especificar
os conjuntos.
a) Listando seus elementos separados por v´ırgulas e entre chaves.
1. A = {1, 3, 5, 7, . . . }.
2. B = {0, 2, 4, 6, . . . }.
3. IN = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }.
4. W = {amarelo, branco, preto}.
b) Descrevendo as propriedades que caracterizam estes elementos.
5. V = {~v| ~v e´ um segmento orientado, horizontal,
orientado da esquerda para direita, de comprimento 2 }.
6. P = {x| x e´ aluno da Escola de Cieˆncias e Tecnologia}.
Um mesmo conjunto pode ser especificado por qualquer das duas maneiras. Assim,
por exemplo, podemos ter:
1. A = {1, 3, 5, 7, . . . }
A = {x| x e´ um nu´mero ı´mpar}
3
2. B = {0, 2, 4, 6, 8, . . . }
B = {x| x e´ um nu´mero par}
B = {x = 2k| x ∈ IN}
3. C = {1, 2, 3, 4, 5}
C = {x| x ∈ IN; 1 ≤ x ≤ 5}
Observac¸o˜es importantes
1. A ordem na qual os elementos sa˜o apresentados dentrodo conjunto na˜o e´ importante.
Assim, os conjuntos D = {a, b, c, d} e C = {b, d, c, a} sa˜o ideˆnticos.
2. O conjunto vazio e´, em nosso livro e na maioria dos livros dida´ticos, representado
pelo s´ımbolo ∅.
3. Usa-se, normalmente, o s´ımbolo ] para representar o nu´mero de elementos de um
conjunto.
4. Usamos retisceˆncias, apo´s indicar alguns elementos de um conjunto (como no con-
junto A = {1, 3, 5, 7, . . . }), para indicar que o conjunto e´ infinito. Por convenc¸a˜o,
so´ colocamos as retisceˆncias quando ja´ esta´ subentendido quais sa˜o os pro´ximos
elementos do conjunto (no caso do conjunto A, ja´ se percebeu que os elementos a
seguir sa˜o 9, 11, 13 e os demais nu´meros ı´mpares).
5. Conjuntos que na˜o tem elementos em comum sa˜o ditos disjuntos.
Vamos ao exemplo a seguir para fixar melhor alguns destes conceitos.
Exemplo: Determine o nu´mero de elementos dos conjuntos enunciados a seguir.
a) P = {x| x ∈ IN; 0 < x < 1}
Resposta: Na˜o ha´ nenhum nu´mero natural que obedec¸a a` condic¸a˜o 0 < x < 1, ou
seja, P = ∅ =⇒ ]P = 0.
b) C = {amarelo, azul, vermelho, branco}
Resposta: O nu´mero de elementos de C e´ 4, ou seja, ]C = 4.
c) IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
Resposta: O conjunto dos nu´meros naturais tem infinitos elementos, ou seja, ]IN =
+∞.
4
1.3 Relac¸a˜o de pertineˆncia
A letra grega ∈ da´ a relac¸a˜o de pertineˆncia entre elementos e conjuntos. Por exemplo,
dado o conjunto A = {1, 3, 5, 7, . . . }, podemos escrever que: 1 ∈ A; e 2 /∈ A.
Vamos entender melhor o uso da relac¸a˜o de pertineˆncia com o exemplo a seguir.
Exemplo: Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, . . . } e B = {0, 2, 4, 6, . . . }. Pode-
mos escrever que:
a) 0 ∈ A?
Resposta: Na˜o, pois o conjunto A e´ o conjunto dos nu´meros ı´mpares e o zero
e´ par. Podemos escrever que 0 /∈ A.
b) 7 ∈ A?
Resposta: Sim, pois o conjunto A e´ o conjunto dos nu´meros ı´mpares e o
nu´mero sete e´ ı´mpar e, portanto, pertence ao conjunto A.
c) 1 ∈ B?
Resposta: Na˜o, pois o conjunto B e´ o conjuntos dos nu´meros pares e o
nu´mero um e´ ı´mpar. Podemos escrever que 1 /∈ B.
d) 3 ∈ B?
Resposta: Na˜o, pois o conjunto B e´ o conjuntos dos nu´meros pares e o
nu´mero treˆs e´ ı´mpar. Podemos escrever que 3 /∈ B.
Devemos ressaltar que, de forma alguma, pode-se usar ∈ para relacionar um conjunto
a outro. Por exemplo, se A = {1, 3, 5, 7, . . . } e C = {1, 3, 5}, NA˜O podemos escrever
que C ∈ A.
1.4 Subconjuntos
Consideremos dois conjuntos A e B. Esses conjuntos sa˜o tais que todos os elementos
do conjunto A sa˜o tambe´m elementos do conjunto B.
Dizemos que o conjunto A e´ subconjunto de B e escrevemos:
A ⊂ B ou A ⊆ B
Tambe´m podemos dizer que B conte´m A e escrever:
B ⊇ A
5
Se A ⊆ B e existe pelo menos um elemento de B que na˜o pertence a A, dizemos que
A e´ subconjunto pro´prio de B e escrevemos:
A B
Para que dois conjuntos sejam iguais devemos ter a seguinte condic¸a˜o:
A = B ⇔ A ⊆ B; B ⊆ A
Exemplo: Considere o conjunto dos nu´meros naturais IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}, o
conjunto A = {1, 3, 5, 7, . . .} e o conjunto vazio ∅. Podemos escrever que:
i) A IN?
Resposta: Sim, pois todo elemento de A tambe´m e´ elemento de IN e em IN
ha´ elementos que na˜o pertencem a A.
ii) ∅ A?
Resposta: Sim, pois todo elemento de ∅ tambe´m e´ elemento de A e ha´
elementos de A que na˜o pertencem ao conjunto ∅.
iii) ∅ ∈ A ?
Resposta: Na˜o, ∅ na˜o e´ elemento do conjunto A.
iv) {∅} ⊂ A ?
Resposta: Na˜o, pois ∅ na˜o e´ elemento do conjunto A.
v) ∅ ⊂ ∅ ?
Resposta: Sim, pois todo elemento do conjunto ∅ pertence ao conjunto ∅.
Importante: Sejam A, B e C treˆs conjuntos. Enta˜o, e´ sempre verdade que:
1. A ⊆ A.
2. Se A ⊆ B e B ⊆ A, enta˜o A = B.
3. Se A ⊆ B e B ⊆ C, enta˜o A ⊆ C.
6
1.5 Conjunto Universo - Ω
Uma teoria e´ desenvolvida, em geral, usando subconjuntos de um dado conjunto. O
conjunto de todos os subconjuntos usados na teoria e´ denominado conjunto universo.
Normalmente, usamos a letra grega Ω (Omega maiu´scula) para indicar este conjunto.
Exemplos:
1. Ao estudarmos populac¸o˜es ou ao fazermos contagem de elementos, o conjunto uni-
verso e´ o conjunto dos nu´meros naturais, ou seja,
Ω = IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
2. Em nosso livro o conjunto universo sera´ o conjunto dos nu´meros reais, Ω = IR.
3. Na maioria dos componentes curriculares e textos da a´rea de exatas, o conjunto
universo e´ o conjunto dos nu´meors reais (IR), mas em alguns poucos casos e´ o
conjunto dos nu´meros complexos (C).
1.6 Diagrama de Venn
O chamado diagrama de Venn e´ uma representac¸a˜o gra´fica de um ou mais conjuntos.
Nela, os conjuntos sa˜o representados por a´reas fechadas dentro de um plano.
Assim, o conjunto A = {a, b, c, d}, tem como diagrama de Venn qualquer uma das
representac¸o˜es mostradas na figura 1.1:
Figura 1.1: Representac¸a˜o do conjunto A = {a, b, c, d} em
termos de sue diagrama de Venn. As duas representac¸o˜es da
figura sa˜o completamente equivalentes.
O conjunto universo Ω e´ representado, no geral, pelo interior de um retaˆngulo. Assim,
o conjunto A, subconjunto do conjunto universo Ω e este pro´prio, teˆm como representac¸a˜o
o diagrama de Venn mostrado na figura 1.2.
7
Figura 1.2: Representac¸a˜o em diagrama de Venn do con-
junto universo Ω e de seu subconjunto A.
Vamos fazer o seguinte exemplo para nos ajudar a fixar melhor a representac¸a˜o de
conjuntos em termos de diagramas de Venn.
Exemplo: Considere os conjuntos representados na figura 1.3.
Figura 1.3: Representac¸a˜o, em (a), (b) e (c), do diagrama de Venn do conjunto universo
Ω e de seus subconjuntos A e B.
O que podemos afirmar sobre os conjuntos A e B nas situac¸o˜es representadas na
figura 1.3?
Resposta: Na figura 1.3.(a) temos que A ⊆ B. Na figura 1.3.(b) os conjuntos A
e B tem alguns elementos em comum. E na figura 1.3.(c) os conjuntos A e B sa˜o
disjuntos.
1.7 Operac¸o˜es com conjuntos
Agora que revisamos os principais conceitos e definic¸o˜es relacionados aos conjuntos
vamos estudar/relembrar duas das principais operac¸o˜es entre conjuntos, que sa˜o a unia˜o
de conjuntos e a intersecc¸a˜o de conjuntos. As outras operac¸o˜es entre conjuntos
(subtrac¸a˜o, diferenc¸a sime´trica e complementac¸a˜o) ficam a cargo do estudante pesquisar
e estudar em material complementar.
8
• Unia˜o
A primeira operac¸a˜o que vamos estudar e´ a unia˜o entre conjuntos. Vamos a` sua
definic¸a˜o.
Dados dois conjuntos A e B indicaremos por A∪B a unia˜o dos conjuntos A e B, que
e´ o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B. Ou seja:
A ∪B = {x| x ∈ A ou x ∈ B}.
A unia˜o de dois conjuntos A e B e´ representada, em termos de diagrama de Venn, na
figura 1.4.
Figura 1.4: Diagrama de Venn do conjunto A ∪B.
Assim, o conjunto A ∪ B e´ representado, no diagrama de Venn, pela a´rea de A e de
B, incluindo a a´rea comum a estes dois conjuntos.
A unia˜o de treˆs conjuntos sera´ indicada por: A ∪B ∪ C.
Generalizando, a unia˜o dos n conjuntos A1, A2, A3, . . . , An sera´ indicada por
n⋃
k=1
Ak.
Ou seja:
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ · · · ∪ An =
n⋃
k=1
Ak
Nos exemplos a seguir ilustramos a realizac¸a˜o desta operac¸a˜o entre conjuntos, de forma
que o estudante possa compreendeˆ-la e executa´-la nos exerc´ıcios deste cap´ıtulo.
9
Exemplos:
1. Considere os conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Determine o conjunto
C = A ∪B e represente-o em termos de seu diagrama de Venn.
Resposta: O conjunto C, dado pela unia˜o entre os conjuntos A e B e´ o conjunto
de todos os elementos que pertencem a A ou a B, incluindo os elementos comuns a
A e B. Assim:
C = A ∪B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}
Em termos do diagram de Venn. o conjunto C pode ser representado como na figura
1.5, que esta´ logo abaixo.
Figura 1.5: Representac¸a˜o em diagramade Venn do con-
junto C = A ∪B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}.
2. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 2, 4, 6, 8} e C = {3, 5, 7}. De-
termine cada conjunto pedido a seguir e represente-os em termos de seus diagramas
de Venn.
a) A ∪B
Resposta: O conjunto A ∪B e´ dado por:
A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
E seu diagrama de Venn esta´ representado na figura 1.6.
Figura 1.6: Representac¸a˜o em diagrama de Venn do con-
junto A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
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b) A ∪ C
Resposta: Neste caso temos que C A, portanto:
A ∪ C = A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
E o diagrama de Venn de A ∪ C esta´ representado na figura 1.7.
Figura 1.7: Representac¸a˜o em diagrama de Venn do con-
junto A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} onde C A.
c) B ∪ C
Resposta: Neste caso temos que:
B ∪ C = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
Os conjuntos B e C sa˜o disjuntos e, portanto, a representac¸a˜o em diagrama de
Venn de B ∪ C e´ a representac¸a˜o mostrada na figura 1.8.
Figura 1.8: Representac¸a˜o em diagrama de Venn do con-
junto B ∪ C = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} com B e C conjuntos dis-
juntos.
3. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, ...}, B = {0, 2, 4, 6, 8, ...} e IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...},
determine:
a) A ∪B.
Resposta: O conjunto A∪B, que e´ o conjunto dos elementos que pertencem
a A ou a B e´ dado por:
A ∪B = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = IN
11
b) B ∪ IN.
Resposta: Todos os elementos de B tambe´m sa˜o elementos de IN, assim temos
que:
B ∪ IN = IN
4. Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9} e D =
{7, 8, 9, 10}. Determine os conjuntos a seguir:
a) A ∪B.
Resposta: O conjunto A ∪B e´ dado por:
A ∪B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}
b) B ∪ C.
Resposta: O conjunto B ∪ C e´ o conjunto:
B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
c) A ∪B ∪D.
Resposta: O conjunto A ∪B ∪D e´ o conjunto:
A ∪B ∪D = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}
d) A ∪B ∪ C ∪D.
Resposta: O conjunto A ∪B ∪ C ∪D e´ :
A ∪B ∪D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
• Intersecc¸a˜o
A intersecc¸a˜o de conjuntos e´ considerada a operac¸a˜o inversa da unia˜o de conjuntos.
Vamos a` sua definic¸a˜o.
Dados dois conjuntos A e B, indicaremos por A ∩ B a intersecc¸a˜o entre os conjuntos
A e B, que e´ o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Ou
seja:
A ∩B = {x| x ∈ A e x ∈ B}.
Em termos dos diagramas de Venn, a intersecc¸a˜o de dois conjuntos A e B e´ represen-
tada pela a´rea que pertence tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. A representac¸a˜o
da intersecc¸a˜o dos conjuntos A e B no diagrama de Venn e´ mostrada na figura 1.9.
A intersecc¸a˜o de treˆs conjuntos sera´ indicada por: A ∩B ∩ C.
12
Figura 1.9: Representac¸a˜o em diagrama de Venn do con-
junto A ∩ B. Somente a a´rea comum a A e a B pertence ao
conjunto A ∩B.
Generalizando, a intersecc¸a˜o dos n conjuntos A1, A2, A3, . . . , An sera´ indicada por:
n⋂
k=1
Ak. Ou seja,
A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ · · · ∩ An =
n⋂
k=1
Ak.
Como ja´ foi dito antes, dois conjuntos sa˜o disjuntos se na˜o possuem elementos em
comum. Assim, a intersecc¸a˜o de dois conjuntos disjuntos e´ vazia. Ou seja, dados os
conjuntos A e B, se A ∩B = ∅ dizemos que A e B sa˜o disjuntos.
Vamos aos exemplos a seguir para entendermos melhor a intersecc¸a˜o de conjuntos.
Exemplos
1. Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 2, 4, 6, 8} e C = {3, 5, 7}. De-
termine cada conjunto pedido a seguir e represente-os em termos de seus diagramas
de Venn.
a) A ∩B
Resposta: O conjunto A ∩ B e´ o conjunto que conte´m todos os elementos
que pertencem, simultaneamente, ao conjunto A e ao conjunto B. Assim, o
conjunto A ∩B pode ser escrito como:
A ∩B = {2, 4, 6}
Sua representac¸a˜o em diagrama de Venn esta´ mostrada na figura 1.10, onde
vemos que o conjunto A ∩ B e´ representado apenas pela a´rea comum a A e a
B.
13
Figura 1.10: Representac¸a˜o em diagrama de Venn do con-
junto A ∩B = {2, 4, 6}.
b) A ∩ C
Resposta: Neste caso temos que todos os elementos do conjunto C tambe´m
sa˜o elementos do conjunto A, ou seja C A. Assim:
A ∩ C = C = {3, 5, 7}
O diagrama de Venn de A ∩ C esta´ representado na figura 1.11.
Figura 1.11: Representac¸a˜o em diagrama de Venn do con-
junto A ∩ C = C = {3, 5, 7}, pois C A.
c) B ∩ C
Resposta: Neste caso, os conjuntos B e C na˜o tem elementos em comum (sa˜o
disjuntos). Portanto:
B ∩ C = ∅
Por ser um conjunto sem elementos, o conjunto vazio na˜o tem uma repre-
sentac¸a˜o pro´pria no diagrama de Venn, onde ele seria um c´ırculo vazio.
14
2. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, ...}, B = {0, 2, 4, 6, 8, ...} e IN = {0, 1, 2, 3, 4, ...},
determine:
a) A ∩B.
Resposta: O conjunto A ∩ B e´ o conjunto dos elementos que pertencem a
A e, ao mesmo tempo, pertencem a B. Como os conjuntos A e B na˜o tem
elementos em comum (A e B sa˜o disjuntos), temos que:
A ∩B = ∅
b) B ∩ IN.
Resposta: Todos os elementos de B tambe´m sa˜o elementos de IN (B e´ sub-
conjunto de IN). Desta forma temos que:
B ∩ IN = B ⇒ B ⊂ IN
Ha´ outras operac¸o˜es entre conjuntos (subtrac¸a˜o, diferenc¸a sime´trica e comple-
mentac¸a˜o) mas na˜o vamos relembra´-las e nem estuda´-las aqui, pois estamos interessa-
dos em estudar, especificamente, os conjuntos nume´ricos e as operac¸o˜es entre elementos
destes conjuntos e na˜o entre os conjuntos. Sendo que as operac¸o˜es de unia˜o e intersecc¸a˜o
de conjuntos foram relembradas pois sera˜o extremamente u´teis e necessa´rias quando es-
tivermos estudando os domı´nios e imagens de func¸o˜es em geral e, mesmo antes disso,
elas sera˜o necessa´rias para podermos expressar alguns intervalos de nu´meros reais em
termos da notac¸a˜o de conjuntos. Ou seja, foi imprescind´ıvel, no contexto deste livro, ter-
mos revisado as operac¸o˜es de unia˜o e intersecc¸a˜o de conjuntos e, embora existam outras
operac¸o˜es envolvendo conjunto, na˜o precisamos relembra´-las em nosso livro.
1.8 Nu´mero de elementos do conjunto unia˜o
Dada a unia˜o entre dois ou mais conjuntos finitos, muitas vezes, mesmo sem conhecer-
mos os elementos de cada conjunto, precisamos saber o nu´mero de elementos do conjunto
unia˜o.
Para tanto, precisamos definir uma expressa˜o matema´tica para calcular o nu´mero de
elelemtos do conjunto unia˜o em termos do nu´mero de elementos de cada um dos conjuntos
individuais e do nu´mero de elementos das intersecc¸o˜es entre eles.
Vamos primeiro considerar a unia˜o entre os conjuntos A e B finitos, de forma que ]A
seja o nu´mero de elementos do conjunto A, ]B o nu´mero de elementos de B e ](A∩B) o
15
nu´mero de elementos do conjunto A ∩ B. Desta forma, o nu´mero de elelemtos de A ∪ B
sera´ dado por:
](A ∪B) = ]A+ ]B − ](A ∩B)
onde foi subtra´ıdo o ](A ∩ B) pois, por serem os elementos comuns aos conjuntos A e B
sa˜o somados duas vezes quando contamos os elementos de A e depois os elementos de B.
Analogamente, podemos obter o nu´mero de elementos do conjunto A ∪ B ∪ C, onde
A, B e C sa˜o conjuntos finitos, como:
](A ∪B ∪ C) = ]A+ ]B + ]C − ](A ∩B)− ](A ∩ C)− ](B ∩ C) + ](A ∩B ∩ C)
Vamos ao exemplo a seguir para fixarmos melhor em nossa mente o conceito acima.
Exemplos
1. Se A, B e A∩B sa˜o conjuntos com 50, 34 e 12 elementos, respectivamente. Qual o
nu´mero de elementos do conjunto A ∪B?
Resoluc¸a˜o: Podemos resolver este problema diretamente da expressa˜o para o
nu´mero de elementos do conjunto unia˜o:
](A ∪B) = ]A+ ]B − ](A ∩B) = 50 + 34− 12 = 72
Portanto, o conjunto A ∪B tem 72 elementos.
Tambe´m poder´ıamos ter resolvido este problema a partir de sua representac¸a˜o no
diagrama de Venn. Para ilustrar, vamos resolveˆ-lo tambe´m desta maneira.
O diagrama de Venn dos conjuntos A e B que possuem elementos em comum pode
ser representado como na figura 1.12.(a). Para preencher o diagrama vamos: (i)
comec¸ar com o nu´merode elementos da intersecc¸a˜o entre os dois conjuntos, que e´
](A ∩ B) = 12; (ii) em seguida preenchemos o nu´mero de elementos restantes do
conjunto A que e´ ]A− ](A ∩B) = 50− 12 = 38; e, por u´ltimo, (iii) preenchemos o
nu´mero de elementos restantes do conjunto B, que e´ ]B− ](A∩B) = 34− 12 = 22.
O diagrama de Venn dos conjuntos A e B e os nu´meros de seus respectivos elementos
e de sua intersecc¸a˜o, e´ mostrado na figura 1.12.(b), onde, somando-se os nu´meros de
elementos qeu aparecem no diagrama temos que ](A∪B) = 38+12+22 = 72. Assim,
pelo diagrama de Venn temos tambe´m que o conjunto A ∪B tem 72 elementos.
16
Figura 1.12: Representac¸a˜o em diagrama de Venn do con-
junto A ∪ B. Na figura (a) temos a forma do diagrama de
Venn dos conjuntos A e B que possuem elementos em co-
mum. E na figura (b) temos o mesmo diagrama, onde foram
preenchidos o nu´mero de elementos que pertencem somente a
A, o nu´mero de elementos que pertencem a A∩B e o nu´mero
de elementos que pertence somente a B.
2. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O nu´mero de elementos de A∩B e´ 30, o nu´mero
de elementos de A∩C e´ 20 e o nu´mero de elementos de A∩B ∩C e´ 15. Determine
o nu´mero de elementos de A ∩ (B ∪ C).
Resoluc¸a˜o: O diagrama de Venn dos conjuntos A, B e C tem a forma repre-
sentada na figura 1.13.(a). Na figura 1.13.(b) destacamos a regia˜o do diagrama
correspondente ao conjunto A ∩ (B ∪C), que e´ a regia˜o hachurada no diagrama de
Venn. Na figura 1.13.(c) temos o mesmo diagrama de Venn preenchido com as in-
formac¸o˜es do enunciado, sendo que, para preencheˆ-lo, seguimos os seguintes passos:
(i) comec¸amos com o nu´mero de elementos da intersecc¸a˜o mu´tua entre os treˆs con-
juntos, que e´ ](A∩B∩C) = 15; (ii) em seguida preenchemos o nu´mero de elementos
da intersecc¸a˜o exclusiva entre A e B que e´ ](A∩B)− ](A∩B ∩C) = 30− 15 = 15;
e (iii) preenchemos o nu´mero de elementos da intersecc¸a˜o exclusiva entre A e C que
e´ ](A ∩ C)− ](A ∩B ∩ C) = 20− 15 = 5.
Somando, a partir da figura 1.13.(c), o nu´mero de elementos da regia˜o do diagrama
que esta´ hachurada em 1.13.(b), temos que ][A ∩ (B ∪ C)] = 35.
17
Figura 1.13: Representac¸a˜o em diagrama de Venn do con-
junto A ∪ B ∪ C. Na figura (a) temos a forma do diagrama
de Venn dos conjuntos A, B e C que possuem elementos em
comum. Na figura (b) temos o mesmo diagrama o mesmo
diagrama de Venn onde a regia˜o hachurada corresponde ao
conjunto A ∩ (B ∪ C). E na figura (c) foram preenchidos os
nu´meros de elementos em algumas regio˜es do diagrama de
acordo com os dados do enunciado.
1.9 Modelagem de problemas usando teoria de con-
juntos
Alguns problemas simples de nosso cotidiano podem ser modelados e representados em
termos da teoria de conjuntos. Mais especificamente, podemos modelar e resolver alguns
problemas usando a representac¸a˜o em diagram de Venn dos conjuntos, as operac¸o˜es de
unia˜o e intersecc¸a˜o de conjuntos e o nu´mero de elementos em um conjunto que e´ unia˜o
de outros conjuntos.
Vamos resolver o exemplo a seguir para ilustrar o procedimento e, ao entender este
exemplo, o aluno devera´ estar apto a resolver os problemas contidos na lista de exerc´ıcios
deste cap´ıtulo.
Exemplo: A lanchonete da Escola de Cieˆncias e Tecnologia fez uma pesquisa com
seus consumidores sobre o sabor do suco que eles preferem tomar. Na pesquisa foi
constatado que, dos consumidores entrevistados, 582 tomam suco de laranja, 498
tomam suco de manga e 452 tomam suco de caja´. Constatou-se tambe´m que 1102
preferem na˜o tomar suco, que 135 tomam os sucos de laranja e de manga, que 123
tomam suco de laranja e de caja´, que 201 tomam suco de manga e de caja´ e que
48 entrevistados tomam os treˆs sabores de suco. Considerando os resultados da
pesquisa, determine:
18
a) o diagrama de Venn que representa o conjunto de consumidores entrevistados
pela pesquisa e suas prefereˆncias;
Resoluc¸a˜o: O diagrama de Venn que representa os conjuntos L, M e C do
exemplo tem a forma mostrada na figura 1.14.(a), onde L e´ o conjunto dos
entrevistados que tomam suco de laranja, M e´ o conjunto dos entrevistados
que tomam suco de manga e C e´ o conjunto dos entrevistados que tomam suco
de caja´.
Figura 1.14: Representac¸a˜o em diagrama de Venn dos con-
juntos L, M e C. Em (a) temos os conjuntos e suas partes
dentro do quadrado que representa o conjunto universo do
problema; e em (b) temos o mesmo diagrama de Venn mas
com o nu´mero de elementos em cada parte do diagrama ja´
preenchido.
Para preencher o diagrama da figura 1.14.(a) e obtermos o diagrama de Venn da
figura 1.14.(b) vamos: (i) comec¸ar com o nu´mero de elementos da intersecc¸a˜o
mu´tua entre os treˆs conjuntos, que e´ ](L ∩ M ∩ C) = 48; (ii) em seguida
preenchemos o nu´mero de elementos da intersecc¸a˜o exclusiva entre o conjunto
L e o conjunto M , que e´ ](L ∩M) − ](L ∩M ∩ C) = 135 − 48 = 87; (iii)
preenchemos o nu´mero de elementos da intersecc¸a˜o exclusiva entre o conjunto
L e o conjunto C, que e´ ](L ∩ C) − ](L ∩ M ∩ C) = 123 − 48 = 75; (iv)
preenchemos o nu´mero de elementos da intersecc¸a˜o exclusiva entre o conjunto
M e o conjunto C, que e´ ](M ∩ C) − ](L ∩M ∩ C) = 201 − 48 = 153; (v)
preenchemos o nu´mero de elementos da a´rea restante do conjunto L, que que
e´ o nu´mero de consumidores que so´ toma suco de laranja e vale o nu´mero total
de consumidores que toma suco de laranja menos os consumidores que tomam,
tambe´m, algum outro suco (582− 48− 87− 75 = 372); e (vi) preenchemos, de
maneira ana´loga, o nu´mero de elementos da a´rea restante de M e de C.
Assim, na figura 1.14.(b) temos o diagrama de Venn do problema totalmente
preenchido a partir dos dados da pesquisa. E, a partir dele, podemos responder
as perguntas dos pro´ximos itens de nosso exemplo.
19
b) o nu´mero de consumidores consultados na pesquisa;
Resoluc¸a˜o: O nu´mero de consumidores consultados, que e´ o nu´mero de ele-
mentos do conjunto universo mostrado na figura 1.14.(b) e´ a soma dos ele-
mentos de todas as regio˜es do diagrama de Venn. Ou seja, na pesquisa foram
consultados 2223 consumidores.
c) o nu´mero de consumidores que tomam suco;
Resoluc¸a˜o: O nu´mero de consumidores que tomam suco e´ o nu´mero total
de consumidores menos o nu´mero de pessoas que na˜o tomam suco. Assim:
Ns = 2223− 1102 = 1121 consumidores.
d) o nu´mero de consumidores que tomam suco ou so´ de caja´ ou so´ de manga;
Resoluc¸a˜o: Pelo diagrama de Venn, vemos que o nu´mero de consumidores que
tomam suco somente de caja´ e´ 176 e o nu´mero de consumidores que tomam
suco somente de manga e´ igual a 210, portanto, o nu´mero de consumidores
quetomam suco ou so´ de caja´ ou so´ de manga e´ igual a 386.
Para que o estudante possa verificar e relembrar o seu aprendizado referente a essas
noc¸o˜es iniciais de conjuntos, ele deve refazer todos os exemplos do cap´ıtulo que acabamos
de finalizar e, em seguida, fazer os exerc´ıcios da lista a seguir.
1.10 Exerc´ıcios
1. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentec¸as a seguir:
a) ( ) {1} ∈ {1}
b) ( ) {1} ⊆ {1}
c) ( ) 1 ∈ {1}
d) ( ) ∅ ∈ {1}
e) ( ) ∅ ⊆ {1}
2. Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 2, 3} e C = {0, 1, 2, 3}, classifique em
verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmac¸a˜o abaixo.
a) ( ) A ⊂ B
b) ( ) {1} ⊂ A
c) ( ) A ⊂ C
20
d) ( ) B ⊃ C
e) ( ) B ⊂ C
f) ( ) {0, 2} ∈ B
3. Se A ⊂ B ⊂ C e x /∈ B, enta˜o, necessariamente:
a) ( ) x /∈ C
b) ( ) x ∈ A
c) ( ) x ∈ C
d) ( ) x /∈ A
e) ( ) x ∈ A ou x ∈ C
4. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = {3, 6, 9, 12, 15} e C =
{0, 5, 10, 15, 20}, determine:
a) A ∪B
b) A ∩B
c) A ∩ C
d) A ∪ C
e) B ∪ C
f) A ∩B ∩ C
g) A ∪B ∪ C
h) A ∩ (B ∪ C)
i) (A ∩B) ∩ (B ∪ C)
5. Dados os conjuntos abaixo: A = {1, 3, 4, 7, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5} e C ={1, 3},
podemos fazer as seguintes afirmac¸o˜es sobre eles: i) C ⊆ A; ii) C ⊆ B; iii) B * A;
e iv) A * B. Usando as noc¸o˜es de subconjuntos, podemos fazer outras afirmac¸o˜es
sobre os conjuntos A, B e C? Quais?
6. Se A, B e A ∩ B sa˜o conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, qual o
nu´mero de elementos do conjunto A ∪B?
7. Sabendo-se que {a, b, c, d}∪X = {a, b, c, d, e}, {c, d}∪X = {a, c, d, e} e {b, c, d}∩X =
{c}, determine o conjunto X?
8. Sejam ]A = 2, ]B = 3 e ]C = 4, enta˜o e´ verdadeiro que:
21
a) ](A ∩B) ≤ 1
b) ](A ∪ C) ≤ 5
c) ]((A ∩B) ∩ C) ≤ 2
d) ]((A ∪ C) ∩ C) ≤ 2
e) ](A ∩ ∅) ≥ 2
9. Sejam A, B e C conjuntos finitos. O nu´mero de elementos de B ∩C e´ 45; o nu´mero
de elementos de A∩C e´ 40 e o nu´mero de elementos de A∩B∩C e´ 25. Determinar
o nu´mero de C ∩ (A ∪B).
10. Numa pesquisa com jovens, foram feitas as seguintes perguntas para que se respon-
dessem sim ou na˜o: voceˆ gosta de danc¸ar? voceˆ pratica algum esporte? Respon-
deram sim a` primeira pergunta 136 jovens; 92 responderam sim a` segunda pergunta;
48 responderam sim a ambas; e 30 na˜o a ambas. Qual o total de jovens entrevista-
dos?
11. Em uma academia que tem 380 alunos, 212 praticam corrida, 170 praticam spin-
ning e 76 praticam ambos. Quantos alunos praticam spinning ou corrida? Quantos
alunos na˜o praticam nenhuma das duas?
12. Fez-se uma pesquisa com os frequentadores de um cinema sobre os estilos de filmes
favoritos entre ac¸a˜o, come´dia e romance. Na tabela abaixo sa˜o mostrados os resul-
tados da pesquisa em relac¸a˜o ao pu´blico consultado.
Estilos No frequentadores
Ac¸a˜o 1120
Come´dia 1708
Romance 1480
Ac¸a˜o e Come´dia 386
Ac¸a˜o e Romance 272
Come´dia e Romance 450
Ac¸a˜o, Come´dia e Romance 112
Nenhum 58
Determine o nu´mero de pessoas:
a) consultadas;
22
b) que na˜o preferem ac¸a˜o ou romance;
c) que tem prefereˆncia por pelo menos dois estilos;
d) que tem prefereˆncia por ac¸a˜o e come´dia mas na˜o por romance;
e) que tem prefereˆncia apenas por romance.
∗ ∗ ∗
23
Cap´ıtulo 2
Revisa˜o Elementar: Conjuntos
Nume´ricos e Operac¸o˜es Aritme´ticas
E´ imprescind´ıvel ao estudante da a´rea de exatas saber realizar as seis operac¸o˜es ar-
itme´ticas ba´sicas (adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o, divisa˜o, potenciac¸a˜o e radiciac¸a˜o) com
nu´meros reais sem fazer uso de calculadoras. Mesmo que, ao trabalhar com nu´meros reais
com muitos algarismos significativos, o estudante necessite fazer uso de calculadoras, e´
necessa´rio que ele saiba realizar as operac¸o˜es sem esta. A habilidade e competeˆncia que
se adquire operando manualmente com nu´meros reais faz parte das habilidades a serem
desenvolvidas pelo estudante da a´rea de exatas.
Levando-se em considerac¸a˜o que muitos estudantes, ao entrarem no ensino superior,
ainda apresentam alguma dificuldade para operar com nu´meros reais ou na˜o tem seguranc¸a
ao realizar operac¸o˜es como a potenciac¸a˜o e a radiciac¸a˜o, setimos a necessidade de fazer
uma breve revisa˜o dos conjuntos nume´ricos e das operac¸o˜es aritme´ticas definidas nestes
conjuntos.
Por isto, neste segundo cap´ıtulo de nosso livro iremos revisar as operac¸o˜es aritme´ticas
fundamentais no contexto dos conjuntos nume´ricos. Para tanto, vamos estudar/revisar
os principais conjuntos nume´ricos, desde o conjunto dos nu´meros naturais ate´ o conjunto
dos nu´meros reais, e as operac¸o˜es aritme´ticas que esta˜o definidas dentro desses conjuntos,
que sa˜o a adic¸a˜o, a subtrac¸a˜o, a multiplicac¸a˜o, a divisa˜o, a potenciac¸a˜o e a radiciac¸a˜o.
Vale ressaltar que o conhecimento acerca deste cap´ıtulo e´ imprescind´ıvel para o estudo
e entendimento do restante do livro, mas se o estudante se sente completamente seguro e
ciente do conteu´do deste cap´ıtulo, ele pode passar ao estudo do cap´ıtulo seguinte do livro.
24
2.1 Conjunto dos Nu´meros Naturais, IN
2.1.1 Introduc¸a˜o
O conjunto IN, que ja´ foi utilizado em alguns exemplos do cap´ıtulo anterior, e´ o
conjunto dos nu´meros naturais.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
O conjunto IN e´ um conjunto infinito e surgiu da necessidade natural de se contar
objetos (dedos, ovelhas do rebanho, filhos, dias, etc.). Os outros conjuntos nume´ricos sa˜o
ampliac¸o˜es do conjunto dos nu´meros naturais.
O conjunto N pode ser representado geometricamente por uma reta numerada. Na
figura 2.1 temos a representac¸a˜o do conjunto IN na reta numerada e nesta reta cada
elemento marcado e´ um elemento do conjunto IN.
Figura 2.1: Reta numerada representado o conjunto dos
nu´meros naturais, conjunto IN. Cada elemento marcado na
reta acima corresponde a um elemento de IN.
O conjunto IN possui alguns subconjuntos importantes:
1. O conjunto dos nu´meros naturais na˜o nulos.
IN∗ = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } ⇒ IN∗ = IN− {0}
Atualmente alguns autores usam como convenc¸a˜o que IN∗ e´ conjunto dos nu´meros
naturais. Neste caso, o conjunto IN = IN∗ ∪ {0}, chamado de conjunto dos nu´meros
naturais estendidos, corresponde ao nosso conjunto dos nu´meros naturais. Na˜o
usaremos esta convenc¸a˜o em nosso livro!
2. O conjunto dos nu´meros naturais pares.
INp = {0, 2, 4, 6, . . . } ⇒ INp = {n = 2k| k ∈ IN}
3. O conjunto dos nu´meros naturais ı´mpares.
INi = {1, 3, 5, 7, . . . } ⇒ INi = {n = 2k + 1| k ∈ IN}
4. O conjunto dos nu´meros primos:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }
25
2.1.2 Operac¸o˜es com nu´meros naturais
No conjunto IN esta˜o definidas duas operac¸o˜es aritme´ticas: adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o.
Isto quer dizer que: i) adicionando-se dois elementos quaisquer de IN, a soma e´ elemento
de IN; ii) multiplicando-se dois elementos quaisquer de IN, o produto e´ elemento de IN.
Ou seja:
∀m,n ∈ IN
{
m+ n ∈ IN
m · n ∈ IN
onde ∀m,n ∈ IR significa “para todo m e n pertencentes aos nu´meros naturais”.
Podemos dizer, equivalentemente, que:
O conjunto IN e´ fechado em relac¸a˜o
a` adic¸a˜o e a` multiplicac¸a˜o.
Efetuar as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o dentro do conjunto dos nu´meros naturais
e´ bem simples, mas devemos efetua´-las com cuidado para evitar erros e enganos.
Vamos resolver algumas expresso˜es alge´bricas simples dentro do conjunto IN para
treinar.
Exemplo: Obtenha os resultados das expresso˜es nume´ricas a seguir.
a) x = 1 + 2 + 3 + 4
Resoluc¸a˜o: Neste caso, somamos os nu´meros diretamente e obtemos:
x = 1 + 2 + 3 + 4
x = 10
b) x = 2 + 3 · 5.
Resoluc¸a˜o: Neste caso, efetuamos a multiplicac¸a˜o antes da soma. Assim:
x = 2 + 3 · 5
x = 2 + 15
x = 17
c) x = 2 + 2 · 7 + 3 + 4 · 1.
Resoluc¸a˜o: Neste caso, temos:
x = 2 + 2 · 7 + 3 + 4 · 1
x = 2 + 14 + 3 + 4
x = 23
26
Ao trabalharmos com expresso˜es nume´ricas e expresso˜es alge´bricas, devemos lembrar
sempre que:
A multiplicac¸a˜o precede a soma!!!
No caso de algumas operac¸o˜es virem entre pareˆnteses (ou colchetes ou chaves), efe-
tuamos primeiro as operac¸o˜es entre pareˆnteses para elimina´-los. Vejamos o exemplo a
seguir.
Exemplo: Obtenha os resultados das seguintes expresso˜es nume´ricas.
a) x = 2 + 3 · 5 + 6
Resoluc¸a˜o:
x = 2 + 3 · 5 + 6
x = 2 + 15 + 6
x = 23
b) x = (2 + 3) · 4
Resoluc¸a˜o:
x = (2 + 3) · 4
x = 5 · 4
x = 20
c) x = (5 + 3) · (3 + 2) + 3.
Resoluc¸a˜o:
x = (5 + 3) · (3 + 2) + 3
x = 15 · 6 + 3
x = 90 + 3
x = 93
O conjunto IN e´ fechado em relac¸a˜o a` adic¸a˜o e a` multiplicac¸a˜o, mas o mesmo na˜o
ocorre para a subtrac¸a˜o. Isto e´, o conjunto IN na˜o e´ fechado em relac¸a˜o a` subtrac¸a˜o. Por
exemplo, se tenho duas ovelhas e prometi duas para minha esposa e treˆs para meu filho,
na˜o poderei quitar minhas promessas.
x = 2− 5 = −3⇒ x /∈ IN
27
Assim, teve-se a necessidade de ampliar o conjunto N e surgiu o conjunto dos nu´meros
inteiros Z que estudaremosna pro´xima secc¸a˜o.
Embora conjunto IN na˜o seja fechado em relac¸a˜o a` subtrac¸a˜o, podemos realizar esta
operac¸a˜o entre nu´meros naturais e, em muitos caso, obter resultados dentro do conjunto
dos nu´meros naturais.
Do estudo/revisa˜o deste conjunto dos nu´meros naturais, ale´m da breve revisa˜o das
operac¸o˜es aritme´ticas de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, ficam as regras que sa˜o va´lidas para
quaisquer expresso˜es alge´bricas e nume´ricas:
1. Ao efetuar as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o, a multiplicac¸a˜o e´ feita
antes da adic¸a˜o.
2. Os pareˆnteses, colchetes e chaves sa˜o usados para separar operac¸o˜es ar-
itme´ticas. As operac¸o˜es entre pareˆnteses sa˜o feitas antes das operac¸o˜es
entre colchetes, que sa˜o feitas antes das operac¸o˜es entre chaves, que sa˜o
feitas antes das operac¸o˜es fora dos pareˆnteses, colchetes e chaves.
Em expresso˜es nume´ricas e alge´bricas, e´ muito importante colocar pareˆnteses, colchetes
e chaves para separar as operac¸o˜es e indicar a ordem certa de se efetua´-las.
O uso de pareˆnteses ou o seu na˜o uso em expresso˜es alge´bricas e nume´ricas pode alterar
dastricamente o resultado da expressa˜o. Podemos verificar este fato no exemplo a seguir.
Exemplo: Obtenha o valor de x nas seguintes expresso˜es nume´ricas.
a) x = 18 + 2 · 7− 4 · 8
Resoluc¸a˜o:
x = 18 + 2 · 7− 4 · 8
x = 18 + 14− 32
x = 0
b) x = 18 + 2 · (7− 4) · 8.
Resoluc¸a˜o:
x = 18 + 2 · (7− 4) · 8
x = 18 + 2 · 3 · 8
x = 18 + 48
x = 66
28
c) x = (18 + 2) · (7− 4) · 8.
Resoluc¸a˜o:
x = (18 + 2) · (7− 4) · 8
x = 20 · 3 · 8
x = 480
2.2 Conjunto dos Nu´meros Inteiros, Z
2.2.1 Introduc¸a˜o
A primeira extensa˜o do conjunto dos nu´meros naturais e´ o conjunto dos nu´meros
inteiros ou conjunto Z, que esta´ explicitado a seguir:
Z = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
Da representac¸a˜o acima vemos que todos os elementos de IN pertencem tambe´m a Z.
Ou seja:
IN Z
A representac¸a˜o geome´trica de Z e´ feita a partir da representac¸a˜o de IN. Basta acres-
centarmos os pontos correspondentes aos nu´meros negativos. Na figura 2.2 temos a re-
presentac¸a˜o geome´trica de Z.
Figura 2.2: Representac¸a˜o geome´trica do conjunto dos
nu´meros inteiros, conjunto Z. Cada elemento marcado na
reta e´ elemento de Z. Os elementos de Z que tambe´m per-
tencem a IN esta˜o em preto e os que pertencem a Z mas na˜o
pertencem a IN esta˜o em vermelho.
O conjunto Z possui alguns subconjuntos nota´veis:
1. O conjunto dos nu´meros inteiros na˜o nulos.
Z∗ = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
Z∗ = Z− {0}
29
2. O conjuntos dos nu´meros inteiros na˜o negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } ⇒ Z+ = IN
3. O conjunto dos nu´meros inteiros positivos:
Z∗+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } ⇒ Z∗+ = IN∗
4. O conjunto dos nu´meros inteiros na˜o positivos:
Z− = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0}
5. O conjunto dos nu´meros inteiros negativos:
Z∗− = {. . . ,−5,−4,−3,−2,−1}
2.2.2 Operac¸o˜es com nu´meros inteiros
No conjunto Z esta˜o definidas treˆs operac¸o˜es: adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o e subtrac¸a˜o.
Assim, fazendo-se a adic¸a˜o, multiplicac¸a˜o ou subtrac¸a˜o entre dois elementos quaisquer de
Z, o resultado e´ elemento de Z. Ou seja:
∀m,n ∈ Z

m+ n ∈ Z
m · n ∈ Z
m− n ∈ Z
Ou podemos dizer, equivalentemente, que:
O conjunto Z e´ fechado em relac¸a˜o
a` adic¸a˜o, a` multiplicac¸a˜o e a` subtrac¸a˜o.
No conjunto Z podemos e devemos estar habilitados a fazer as operac¸o˜es de adic¸a˜o,
multiplicac¸a˜o e subtrac¸a˜o entre seus elementos.
Ao efetuar estas operac¸o˜es em expresso˜es nume´ricas devemos lembrar que:
1. A multiplicac¸a˜o e´ feita antes da adic¸a˜o e da subtrac¸a˜o.
2. A adic¸a˜o e a subtrac¸a˜o sa˜o efetuadas ao mesmo tempo.
3. As operac¸o˜es entre pareˆnteses sa˜o feitas antes das operac¸o˜es entre
colchetes, que sa˜o feitas antes das operac¸o˜es entre chaves e que sa˜o feitas
antes das operac¸o˜es que esta˜o fora destes.
Vamos treinar um pouco resolvendo o exemplo a seguir.
30
Exemplo: Obtenha os resultados das seguintes expresso˜es nume´ricas.
a) x = 3 · (4− 1) + 4
Resoluc¸a˜o:
x = 3 · (4− 1) + 4
x = 3 · 3 + 4
x = 9 + 4
x = 13
b) x = −2 · [(5− 3) + (3− 8) · (6− 9)] + 3.
Resoluc¸a˜o:
x = −2 · [(5− 3) + (3− 8) · (6− 9)] + 3
x = −2 · [2 + (−5) · (−3)] + 3
x = −2 · [2 + 15] + 3
x = −2 · [17] + 3
x = −34 + 3
x = −31
No exemplo acima usamos, implicitamente, a regra dos sinais para a soma/subtrac¸a˜o
e tambe´m a regra dos sinais para a multiplicac¸a˜o/divisa˜o. Estas regras valem sempre e
podem ser enunciadas da seguinte maneira:
1. Regra dos sinais para a soma/subtrac¸a˜o:
a) para dois nu´meros com sinais iguais, somamos os coeficientes e mantemos o
sinal;
b) para dois nu´meros com sinais diferentes, subtraimos os coeficientes e man-
temos o sinal do maior.
2. Regra dos sinais para a multiplicac¸a˜o/divisa˜o (e eliminac¸a˜o de
pareˆnteses):
a) para dois nu´meros com sinais iguais, o resultado e´ sempre positivo;
b) para dois nu´meros com sinais diferentes, o resultado e´ sempre negativo.
31
O conjunto Z e´ fechado em relac¸a˜o a` adic¸a˜o, a` multiplicac¸a˜o e a` subttrac¸a˜o, mas o
mesmo na˜o ocorre em relac¸a˜o a` divisa˜o, ou seja, o conjunto Z na˜o e´ fechado em relac¸a˜o
a` divisa˜o.
Por exemplo, se dividimos (-5) por 10, na˜o existe nu´mero inteiro que seja resultado
desta operac¸a˜o, ou seja,
x =
(−5)
10
= −1
2
x /∈ Z
Assim, teve-se uma necessidade de ampliar o conjunto Z e surgiu o conjunto dos
nu´meros racionais, IQ, que sera´ estudado na pro´xima sec¸a˜o. Por hora, vamos fazer o
exemplo abaixo para fixarmos melhor as ide´ias e conhecimentos acerca dos conjuntos IN
e Z.
Exemplo: Classifique as sentenc¸as como verdadeiras ou falsa, para ∀m,n, p ∈ IN
a) [(m+ n) · p] ∈ IN
Resposta: Como o conjunto IN e´ fechado em relac¸a˜o a` adic¸a˜o e a` multi-
plicac¸a˜o, temos que (m + n) ∈ IN e, por conseguinte, [(m + n) · p] ∈ IN, o que
torna a sentenc¸a VERDADEIRA.
b) [m · (n− p)] ∈ Z
Resposta: Como o conjunto Z e´ fechado em relac¸a˜o a` adic¸a˜o, a` multiplicac¸a˜o
e a` subtrac¸a˜o, e como todo elemento de IN tambe´m pertence a Z, temos que
(n − p) ∈ Z e, por conseguinte, [m · (n − p)] ∈ Z, o que torna a sentenc¸a
VERDADEIRA.
c) [(m+ n) · (n+ p)] > 0
Resposta: Como m,n, p ∈ IN, as adic¸o˜es (m+n) e (n+p) podem ser maiores
que zero ou mesmo iguais a zero, desta forma sua multiplicac¸a˜o pode ser pos-
itiva ou igual a zero, o que torna a sentenc¸a FALSA. Tome, por exemplo,
m = 0, n = 0 e p = 1, neste caso temos que o resultado da sentenc¸a e´
[(m+ n) · (n+ p)] = [(0 + 0) · (0 + 1)] = 0.
d) (mp−m) ∈ IN
Resposta: Temos que mp − m = m(p − 1), como m, p ∈ IN, temos que
m(p − 1) ∈ IN ⇔ p ≥ 1, mas como o p tambe´m pode ser igual a zero, temos
que a expressa˜o e´ FALSA.
32
Antes de estudarmos o conjunto dos nu´meros racionais, vamos estudar dois impor-
tantes conceitos que surgem ao estudarmos o conjunto Z e que, por serem conceitos gerais,
tambe´m sera˜o va´lidos para os outros conjuntos nume´ricos estudados neste cap´ıtulo. Estes
conceitos sa˜o: a noc¸a˜o de nu´meros opostos ou sime´tricos; e o conceito de mo´dulo de um
nu´mero.
2.2.3 Nu´meros opostos ou sime´tricos
Dois nu´meros inteiros sa˜o ditos opostos ou sime´tricos quando apresentam soma igual
a zero ou esta˜o igualmente distantes da origem.
Como exemplo podemos visualizar dois nu´meros opostos (−5 e 5) na figura 2.3.
Figura 2.3: Representac¸a˜o, na reta dos nu´meros inteiros, de
dois nu´meros opostos: −5 e 5. Da figura podemos perceber
que a soma de dois nu´meros opostos e´ zero e, portanto, suas
distaˆncias ate´ a origem da reta sa˜o iguais.
Da definic¸a˜o de nu´mero oposto, temos que o oposto dem e´ −m, e vice-versa. Devemos
ressaltar que o oposto de zeroe´ o pro´prio zero.
Para fixarmos melhor este conceito vamos ao exemplo a seguir.
Exemplo: Determine quantas unidades devemos diminuir de:
a) 5 para chegar a −9;
Resposta: So´ temos que resolver a equac¸a˜o 5− x = −9⇒ x = 14. Portanto,
temos que diminuir 14 unidades de 5 para chegar a −9.
b) −2 para chegar a −8;
Resposta: Neste caso, temos que resolver a equac¸a˜o −2 − x = −8 ⇒ x = 6.
Portanto, temos que diminuir 6 unidades de −2 para chegar a −8.
c) 5 para chegar a 12.
Resposta: Pela equac¸a˜o, 5 − x = 12 ⇒ x = −7, portanto para sairmos de 5
e chegar a 12 temos que somar (e na˜o diminuir) 7 unidades.
33
2.2.4 Mo´dulo de um nu´mero inteiro
O mo´dulo ou o valor absoluto de um nu´mero inteiro e´ a distaˆncia da origem ao
ponto que o representa na reta. Assim, dizemos que o mo´dulo de -5 e´ 5. E o mo´dulo de
5 e´ 5.
Indicamos o mo´dulo de um nu´mero inteiro, pelo nu´mero inteiro entre barras verticas.
Ou seja, o mo´dulo de −m e´ dado por:
| −m| = m ∀m ∈ IN
e o mo´dulo de m e´ dado por:
|m| = m; ∀m ∈ IN
Em alguns textos o mo´dulo de um nu´mero e´ representado pelo nu´mero entre barras
verticais duplas, ou seja, nesses textos tem-se que |m| = ||m||. Na˜o vamos usar a notac¸a˜o
de mo´dulo com barras duplas em nosso livro.
Vamos ao exemplo a seguir para nos ajudar a fixar em mente o conceito de mo´dulo.
Exemplos: Calcule:
a) x = |10− 7|;
Resoluc¸a˜o: Resolvendo a expressa˜o, temos:
x = |10− 7| = |3| = 3
b) x =
∣∣∣10− |5 + 7|∣∣∣;
Resoluc¸a˜o:
x =
∣∣∣10− |5 + 7|∣∣∣ = ∣∣∣10− |12|∣∣∣ = ∣∣∣10− 12∣∣∣ = | − 2| = 2
c) x = 5−
∣∣∣5 + | − 5|+ |5|∣∣∣;
Resoluc¸a˜o:
x = −
∣∣∣5 + | − 5|+ |5|∣∣∣ = 5− ∣∣∣5 + 5 + 5∣∣∣ = 5− |15| = 5− 15 = −10
d) x =
∣∣∣|7− 5| − 2 + | − 8|+ |2|∣∣∣− 1.
Resoluc¸a˜o:
x =
∣∣∣|7− 5| − 2+ | − 8|+ |2|∣∣∣− 1 = ∣∣∣|2| − 2+8+2∣∣∣− 1 = |10| − 1 = 10− 1 = 9
34
2.3 Conjunto dos Nu´meros Racionais, IQ
2.3.1 Introduc¸a˜o
A extensa˜o do conjunto dos nu´meros inteiros e´ o conjunto dos nu´meros racionais
ou conjunto dos nu´meros fraciona´rios ou conjunto IQ.
IQ =
{
0, . . . ,±1
3
, . . . ,±1
2
, . . . ,±1, . . .
}
Ou seja:
IQ =
{
p
q
∣∣∣∣ p ∈ Z e q ∈ Z∗}
Assim, vemos que todos os elementos de Z pertencem tambe´m a IQ. Ou seja:
Z IQ
A representac¸a˜o de IQ na reta numerada e´ feita a partir da representac¸a˜o de Z, como
mostrado na figura 2.4, onde marcamos os nu´meros inteiros mais pro´ximos a` origem e
alguns dos racionais entre esses. Devemos ressaltar que entre cada elemento de Z marcado
na reta ha´ infinitos elementos de IQ e que entre cada elemento de IQ marcado na reta ha´
outros infinitos elementos de IQ.
Figura 2.4: Representac¸a˜o do conjunto dos nu´meros
racionais, conjunto IQ, na reta numerada. Entre cada ele-
mento de Z marcado na reta ha´ infinitos elementos de IQ.
O conjunto nume´rico IQ possui alguns subconjuntos nota´veis:
1. IQ∗: O conjunto dos nu´meros racionais na˜o nulos;
2. IQ+: O conjuntos dos nu´meros racionais na˜o negativos;
3. IQ∗+: O conjunto dos nu´meros racionais positivos;
4. IQ−: O conjunto dos nu´meros racionais na˜o positivos;
5. IQ∗−: O conjunto dos nu´meros racionais negativos.
Em relac¸a˜o aos conjuntos nume´ricos apresentados ate´ o momento, podemos escrever
que IN Z IQ. Desta forma, podemos montar o diagrama de Venn da figura 2.5.
35
Figura 2.5: Diagrama de Venn representando o conjunto IQ e
seus principais subconjuntos, onde reiteramos que IN Z 
IQ.
2.3.2 Operac¸o˜es com frac¸o˜es
Ao estudarmos o conjunto dos nu´meros fraciona´rios, IQ, vemos a necessidade de relem-
brar os principais conceitos e definic¸o˜es e as operac¸o˜es aritme´ticas relacionadas a`s frac¸o˜es.
Esta necessidade vem do fato de que muitos estudantes, ao iniciarem um curso superior
na a´rea de exatas, encontram certa dificuldade ao operar com frac¸o˜es devido ao tempo
decorrido desde que estudaram tais operac¸o˜es aritme´ticas em sua vida acadeˆmica. Para
sanarmos estas dificuldades e propiciarmos ao aluno uma ra´pida revisa˜o sobre o assunto,
vamos apresentar os conceitos, definic¸o˜es e operac¸o˜es relacionados a`s frac¸o˜es de forma
pra´tica e suscinta nesta sec¸a˜o.
Para alguns alunos esta sec¸a˜o pode parecer trivial, mas em muitas provas e teste feitos
por alunos universita´rios nos primeiros componentes curriculares da a´rea de Matema´tica
aparecem erros de alunos que se equivocam ao realizar as operac¸o˜es aritme´ticas ba´sicas
com frac¸o˜es e tambe´m com nu´meros decimais. Em alguns casos os alunos realmente
apresentam dificuldades em trabalhar com os nu´meros em sua forma decimal ou fraciona´ria
sem o uso de calculadora e em outros casos isto ocorre devido ao nervosismo de se estar
fazendo uma prova ou teste. Em qualquer destes dois casos, e´ importante que o aluno
fac¸a esta revisa˜o, quer seja para relembrar o que esta´ guardado no fundo de sua mente
ou para treinar um pouco e, desta forma, diminuir o poss´ıvel nervosismo na hora de fazer
testes e provas.
Voltando a` nossa revisa˜o das operac¸o˜es aritme´ticas envolvendo frac¸o˜es vamos, antes,
relembrar algumas definic¸o˜es e conceito acerca de frac¸o˜es.
1. Uma frac¸a˜o e´ uma forma picto´rica usada para representar uma divisa˜o entre dois
nu´meros. Assim, por exemplo, a divisa˜o entre os nu´meros 22 e 7 pode ser represen-
tada como a frac¸a˜o
22
7
, que tambe´m pode ser denotada por 22/7.
36
2. Numa frac¸a˜o a/b temos que o nu´mero a, que e´ o dividendo da frac¸a˜o, e´ chamado de
numerador e o nu´mero b, que e´ o divisor da frac¸a˜o, e´ chamado de denominador.
3. Uma frac¸a˜o e´, normalmente, usada para representar o nu´mero de partes tomadas
de um objeto ou de um segmento (uma pizza ou uma re´gua, por exemplo) que
foi dividido em partes iguais. Numa frac¸a˜o temos que o denominador da frac¸a˜o
representa o nu´mero de partes iguais em que o segmento foi dividido e o numerador
da frac¸a˜o representa o nu´mero de partes deste segmento que foram destacadas.
Assim, a frac¸a˜o 3/4 nos diz que o nosso objeto ou segmento foi dividido em 4 partes
iguais e que dele foram destacadas 3 partes.
4. As frac¸o˜es podem ser classificadas como pro´prias ou impro´prias.
4.1. Numa frac¸a˜o pro´pria o numerador e´ menor que o denominador (3/5, 4/9 e 1/2,
por exemplo).
4.2. Numa frac¸a˜o impro´pria o numerador e´ maior que o denominador (5/2, 22/7 e
4/3, por exemplo).
5. Todos os nu´meros inteiros sa˜o tambe´m nu´meros fraciona´rios. Um nu´mero inteiro e´,
na verdade, uma frac¸a˜o com denominador igual a 1. Ou seja, 3 = 3/1 e −4 = −4/1,
por exemplo.
6. Ao estudarmos frac¸o˜es costumamos falar de frac¸a˜o inversa ou inverso de uma
frac¸a˜o. Dada uma frac¸a˜o a/b, a sua frac¸a˜o inversa e´ a frac¸a˜o b/a.
Apo´s relembrarmos estes conceitos e definic¸o˜es, podemos passar a` nossa revisa˜o das
operac¸o˜es aritme´ticas envolvendo frac¸o˜es e a forma como estas operac¸o˜es devem ser rea-
lizadas sem o aux´ılio de calculadoras.
As operac¸o˜es aritme´ticas envolvendo frac¸o˜es esta˜o listadas e explicadas a` seguir.
a) Simplificac¸a˜o
A`s vezes, duas frac¸o˜es aparentemente diferentes representam o mesmo nu´mero. Por
exemplo, as frac¸o˜es 8/12 e 6/9 representam o mesmo nu´mero e sa˜o ditas equivalentes.
Assim, cabe a pergunta: quando duas frac¸o˜es sa˜o equivalentes?
Podemos dar a seguinte resposta a` pergunta acima: duas frac¸o˜es sa˜o equivalentes
quando podem ser simplificadas em uma mesma frac¸a˜o reduzida.
A resposta acima pode ter gerado outras duas perguntas: i) como simplificar uma
frac¸a˜o? ii) o que e´ uma frac¸a˜o reduzida?
37
Vamos responder a estas perguntas aprendendo/relembrando a simplificac¸a˜o de
frac¸o˜es.
Para simplificarmos uma frac¸a˜o devemos verificar se numerador e denominador da
frac¸a˜o possuem divisores em comum, ou seja, devemosdecompor o numerador e o deno-
minador da frac¸a˜o em seus fatores primos e simplificarmos os que forem comuns.
Ha´ treˆs maneiras simples e completamente equivalentes para se simplificar uma frac¸a˜o.
Vamos a elas no exemplo a seguir.
Exemplo: Simplifique a frac¸a˜o x = 8/12.
Resoluc¸a˜o 1: Decompondo os nu´meros 8 e 12 em seus fatores primos podemos
reescrever esta frac¸a˜o como:
x =
8
12
=
2 · 2 · 2
2 · 2 · 3
Simplificando os termos em comum nos numerador e denominador, ou seja, cortando
no numerador e denominador os termos que sa˜o comuns a ambos, ficamos com:
x =
8
12
=
2
3
Resoluc¸a˜o 2: Uma forma completamente equivalente de simplificarmos uma frac¸a˜o
e´ dividindo numerador e denominador, pelo maior divisor comum entre eles. Ou seja,
o exemplo acima pode ser refeito da seguinte maneira:
Vendo que o maior divisor comum entre 8 e 12 e´ o nu´mero 4, podemos fazer:
x =
8
12
=
8 : 4
12 : 4
=
2
3
Resoluc¸a˜o 3: Tambe´m pode-se simplificar a frac¸a˜o dividindo-se, simultaneamente,
numerador e denominador por divisores que sejam comum aos dois. Este proce-
dimento deve ser realizado ate´ que na˜o hajam mais divisores comuns. Ou seja, o
exemplo acima pode ainda ser refeito como a seguir.
Podemos simplificar esta frac¸a˜o fazendo:
x =
8
12
=
8 : 2
12 : 2
=
4
6
=
4 : 2
6 : 2
=
2
3
38
A frac¸a˜o 2/3 obtida nas treˆs verso˜es do exemplo acima e´ chamada de frac¸a˜o re-
duzida ou de frac¸a˜o irredut´ıvel, pois ela na˜o pode mais ser simplificada. Como
pode ser facilmente verificado, a frac¸a˜o 6/9 tambe´m tem como frac¸a˜o reduzida a
frac¸a˜o 2/3, por isto dizemos que ela e´ equivalente ou igual a` frac¸a˜o 8/12 e tambe´m
a` frac¸a˜o 2/3.
b) Adic¸a˜o
Para adicionarmos frac¸o˜es devemos seguir uma regra simples e pra´tica que vamos
explicar fazendo o exemplo a seguir.
Exemplo: Determine a soma entre as frac¸o˜es 8/12 e 5/4.
Resoluc¸a˜o: Para fazermos esta soma:
x =
8
12
+
5
4
=?
Devemos tirar o MMC (mı´nimo mu´ltiplo comum) entre os denominadores das
frac¸o˜es. Ou seja, tirar o MMC entre 12 e 4 que, neste caso, e´ 12. Este sera´ o
denominador da frac¸a˜o que e´ a soma das anteriores.
x =
8
12
+
5
4
=
?
12
Para obtermos o numerador, dividimos o novo denominador pelo denominador de
cada frac¸a˜o e multiplicamos pelo numerador correspondente e somamos os valores
encontrados. Ou seja, temos que 12 dividido por 12 e´ igual a 1 que multiplicado por
8 da´ 8; e 12 dividido por 4 e´ 3 que multiplicado por 5 vale 15. Assim:
x =
8
12
+
5
4
=
8 + 15
12
=
23
12
Quando for poss´ıvel, devemos simplificar a frac¸a˜o obtida como soma de outras
frac¸o˜es.
A regra usada para somar duas frac¸o˜es e´ a mesma usada para somar treˆs ou mais
frac¸o˜es.
Exemplo: Determine as somas a seguir:
a) x =
1
3
+
2
5
+
4
6
Resoluc¸a˜o: Somando estas frac¸o˜es:
x =
1
3
+
2
5
+
4
6
=
10 + 12 + 20
30
=
42
30
=
42 : 6
30 : 6
=
7
5
39
b) x =
7
4
+
1
5
+ 3
Resoluc¸a˜o: Somando estas frac¸o˜es, temos:
x =
7
4
+
1
5
+ 3 =
35 + 4 + 60
20
=
99
20
c) Subtrac¸a˜o
O procedimento usado na adic¸a˜o de frac¸o˜es e´ o mesmo usado na subtrac¸a˜o de frac¸o˜es.
Vamos aos exemplos:
Exemplo: Determine as frac¸o˜es reduzidas resultantes das subtrac¸o˜es ou somas a
seguir:
a) x =
1
3
− 2
5
Resoluc¸a˜o: Fazendo a subtrac¸a˜o:
x =
1
3
− 2
5
=
5− 6
15
=
−1
15
= − 1
15
b) x =
2
3
− 5
6
+
1
4
Resoluc¸a˜o: Determinando a frac¸a˜o resultante:
x =
2
3
− 5
6
+
1
4
=
8− 10 + 3
12
=
1
12
d) Multiplicac¸a˜o
Realizar a multiplicac¸a˜o entre duas ou mais frac¸o˜es e´ bastante simples.
Suponha dadas duas ou mais frac¸o˜es e que queiramos obter a frac¸a˜o que e´ resultante de
sua multiplicac¸a˜o. A frac¸a˜o resultante tem como numerador o produto dos numeradores
das frac¸o˜es que sa˜o os fatores desta multiplicac¸a˜o e o denominador da frac¸a˜o resultante
e´ igual ao produto dos denominadores das frac¸o˜es fatores. Quando poss´ıvel devemos
simplificar a frac¸a˜o resultante.
Vejamos alguns exemplos.
40
Exemplo: Determine as frac¸o˜es reduzidas resultantes das multiplicac¸o˜es abaixo:
a) x =
1
3
· 2
5
Resoluc¸a˜o: Fazendo a multiplicac¸a˜o:
x =
1
3
· 2
5
=
1 · 2
3 · 5 =
2
15
b) x =
2
3
·
(
−5
6
)
·
(
−1
4
)
Resoluc¸a˜o: Determinando a frac¸a˜o resultante:
x =
2
3
·
(
−5
6
)
·
(
−1
4
)
=
2 · (−5) · (−1)
3 · 6 · 4 =
10
72
=
10 : 2
72 : 2
=
5
36
c) x =
1
3
· 7 ·
(
−5
4
)
Resoluc¸a˜o: Determinando a frac¸a˜o resultante:
x =
1
3
· 7 ·
(
−5
4
)
=
1 · 7 · (−5)
3 · 1 · 4 =
−35
12
= −35
12
e) Divisa˜o
A divisa˜o entre duas frac¸o˜es tambe´m pode ser feita com uma regra bastante simples.
Para fazermos a divisa˜o entre duas frac¸o˜es multiplicamos a primeira frac¸a˜o pelo in-
verso da segunda frac¸a˜o, ou seja, a frac¸a˜o resultante tem como numerador o produto do
numerador da primeira pelo denominador da segunda frac¸a˜o e o denominador da frac¸a˜o
resultante e´ o produto do denominador da primeira pelo numerador da segunda frac¸a˜o.
Vamos a alguns exemplos para ilustrar a divisa˜o entre frac¸o˜es.
Exemplo: Determine as frac¸o˜es reduzidas resultantes das diviso˜es abaixo:
a) x =
1
3
:
2
5
Resoluc¸a˜o: Multiplicando a primeira frac¸a˜o pelo inverso da segunda temos:
x =
1
3
:
2
5
=
1
3
· 5
2
=
1 · 5
3 · 2 =
5
6
b) x =
2
3
:
(
−5
6
)
Resoluc¸a˜o: Determinando a frac¸a˜o resultante:
x =
2
3
:
(
−5
6
)
=
2
3
·
(
−6
5
)
=
2 · (−6)
3 · 5 =
−12
15
= −12
15
= −12 : 3
15 : 3
= −4
5
41
c) x =
3
4
5
7
Resoluc¸a˜o: Note que, como uma frac¸a˜o representa a divisa˜o entre dois
nu´meros, uma divisa˜o entre frac¸o˜es pode ser escrita como uma frac¸a˜o onde
o numerador e o denominador sa˜o frac¸o˜es. Assim, realizando a divisa˜o:
x =
3
4
5
7
=
3
4
:
5
7
=
3
4
· 7
5
=
3 · 7
4 · 5 =
21
20
Entre os exerc´ıcios deste cap´ıtulo ha´ alguns para ajudar o estudante a refamiliarizar-se
com as operac¸o˜es com frac¸o˜es. E´ essencial para um bom aprendizado de todo o conteu´do
deste livro que o estudante esteja bem treinado na ra´pida execuc¸a˜o deste tipo de operac¸a˜o
sem fazer uso de calculadora.
2.3.3 Representac¸a˜o decimal das frac¸o˜es
Tomemos um nu´mero racional do tipo
x =
{
p
q
∣∣∣∣ p ∈ Z; q ∈ Z∗; p 6= m q | m ∈ IN}
Podemos escreveˆ-lo na forma decimal efetuando a divisa˜o do numerador pelo denomi-
nador. Nesta divisa˜o podem ocorrer dois casos.
1o caso: O numeral decimal encontrado possui, apo´s a v´ırgula, um nu´mero finito de
algarismos na˜o nulos.
Exs.:
1
5
= 0, 2;
8
50
= 0, 16;
30
4
= 7, 5; etc.
Tais racionais sa˜o chamados de decimais exatos.
2o caso: O numeral decimal encontrado possui, apo´s a v´ırgula, infinitos algarismos
(nem todos nulos), que se repetem periodicamente:
Exs.:
1
3
= 0, 333 · · · = 0, 3; 7
9
= 0, 777 · · · = 0, 7;
1
22
= 0, 0454545 · · · = 0, 045; etc.
Tais racionais sa˜o chamados de decimais perio´dicos ou d´ızimas perio´dicas. Os
nu´meros que se repetem sa˜o chamados de per´ıodo da d´ızima.
42
As d´ızimas perio´dicas, como pode ser observado nos exemplos acima, podem ser re-
presentadas na forma decimal escrevendo-se o nu´mero e colocando-se retisceˆncias para se
indicar que os algarismos apo´s a v´ırgula continuam indefinidamente ou com uma ‘barra’
sobre o per´ıodo da d´ızima, indicando que e´ esta partedo nu´mero que esta´ se repetindo.
A frac¸a˜o que e´ equivalente a uma d´ızima perio´dica e´ chamada de frac¸a˜o geratriz.
Para sabermos se uma frac¸a˜o irredut´ıvel e´ equivalente a um decimal exato ou a uma
d´ızima perio´dica sem efetuar a divisa˜o basta decompormos o denominador em fatores
primos. Ela sera´:
1. Decimal exato: se o denominador contiver apenas os fatores 2 ou 5
Exemplo: As frac¸o˜es 7/50, 3/4 e 11/160, sa˜o decimais exatos, pois seus denomi-
nadores (50 = 2 · 5 · 5; 4 = 2 · 2; 160 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5) possuem apenas os fatores
primos 2 e 5.
2. Dı´zima perio´dica: se o denominador contiver outros fatores primos diferentes de
2 ou 5.
Exemplo: As frac¸o˜es 4/9, 13/42 e 25/48, sa˜o d´ızimas perio´dicas pois seus denomi-
nadores (9 = 3 · 3; 42 = 2 · 3 · 7; 48 = 2 · 2 · 2 · 3) possuem fatores primos diferentes
de 2 e 5.
2.3.4 Operac¸o˜es com nu´meros decimais
Ao trabalharmos ou fazermos operac¸o˜es com nu´meros, muitas vezes e´ mais conveniente
trabalhar com os nu´meros em sua forma decimal no lugar de os mantermos em sua forma
fraciona´ria.
Tomemos como exemplo o caso de um atleta em preparac¸a˜o para uma prova de ve-
locidade que quer calcular sua velocidade me´dia em certo percurso sabendo a distaˆncia
percorrida e o tempo usado para percorrer esta distaˆncia. Este atleta esta´ percorrendo
um percurso de 400 metros em exatos 42 segundos. Sabendo que a velocidade me´dia e´
definida como sendo a raza˜o entre a distaˆncia percorrida e o tempo usado para percorreˆ-la,
o atleta calcula sua velocidade me´dia como:
vm =
∆s
∆t
=
400
42
m/s = 9, 523809 m/s ∼= 9, 52 m/s
O atleta na˜o diz que percorre 400/42 m/s ou mesmo 200/21 m/s, ele dira´ que sua
velocidade me´dia e´, aproximadamente, igual a 9,52 m/s. Neste e em va´rios outros casos e´
43
mais conveniente trabalhar com os nu´meros em sua forma decimal do que com os nu´meros
em sua forma fraciona´ria.
Nesta sec¸a˜o revisaremos as operac¸o˜es com nu´meros decimais exatos, pois precisamos
saber como realizar as diferentes operac¸o˜es aritme´ticas com nu´meros decimais sem precisar
reescreveˆ-los antes em sua forma fraciona´ria e sem fazer uso de calculadoras.
a) Adic¸a˜o
Vamos comec¸ar relembrando a regra pra´tica para se somar nu´meros decimais (sem o
uso de calculadoras).
Suponha que voceˆ queira somar os nu´meros 8,45 e 27,5. Como proceder?
No caso da adic¸a˜o, igualamos o nu´mero de casas decimais e armamos a operac¸a˜o de
soma colocando a v´ırgula de um nu´mero embaixo da v´ırgula do outro e fazemos a soma
dos nu´meros igual faz´ıamos, no ensino fundamental, a soma de nu´meros inteiros.
Desta forma, temos que:
8, 45
+27, 50
35, 95
Assim, temos como resposta para esta soma o valor 35,95.
Este e´ o procedimento para se somar qualquer nu´mero de parcelas.
Exemplo: Quanto vale a soma x = 0, 27 + 11, 3 + 15, 075 ?
Resoluc¸a˜o: Igualando o nu´mero de casas decimais e armando a conta temos que:
0, 270
11, 300
+15, 075
26, 645
b) Subtrac¸a˜o
A regra para realizar uma subtrac¸a˜o entre nu´meros decimais e´ a mesma que para a
adic¸a˜o, com a diferenc¸a que, no caso da subtrac¸a˜o, so´ podemos subtrair (manualmente)
um nu´mero de outro. Por isto, quando ha´ va´rias parcelas devemos, primeiro, somar
as parcelas de mesmo sinal antes de fazermos a subtrac¸a˜o entre as parcelas de sinais
diferentes. Vamos aos exemplos para ilustrar melhor o que estamos falando.
44
Exemplo: Calcule o resultado de cada conta a seguir:
a) x = 32, 5− 7, 753
Resoluc¸a˜o: Igualando o nu´mero de casas decimais e armando a conta temos
que:
32, 500
− 7, 753
24, 747
b) x = 23, 54− 47, 3
Resoluc¸a˜o: Como o nu´mero negativo tem maior mo´dulo, vamos igualar o
nu´mero de cassas decimais e subtrair o menor nu´mero do maior e manter o
sinal (negativo, no caso) do nu´mero de maior valor absoluto. Assim:
− 47, 30
+ 23, 54
− 23, 76
c) x = 23, 541− 47, 3 + 12, 54 + 45− 2, 755
Resoluc¸a˜o: Neste caso somamos, separadamente, as parcelas positivas e as
negativas:
− 47, 300 + 23, 541
− 2, 755 + 12, 540
− 50, 055 + 45, 000
+ 81, 081
E, enta˜o, subtraimos a parcela negativa da positiva:
+ 81, 081
− 50, 055
+ 31, 026
45
c) Multiplicac¸a˜o
No caso da multiplicac¸a˜o, fazemos a conta como se os nu´meros na˜o fossem decimais
e, apo´s, contamos o nu´mero total de casas decimais dos fatores e colocamos este mesmo
nu´mero de casas decimais no produto. Vejamos o exemplo:
Exemplo: Determine o valor de x = 5, 86× 1, 2.
Resoluc¸a˜o: O fator 5,86 tem duas casas decimais e o fator 1,2 tem uma casa
decimal, logo o produto tera´ treˆs casas decimais. Fazendo a multiplicac¸a˜o como se
fossem nu´meros inteiros temos:
5, 8 6
× 1, 2
1 1 7 2
5 8 6
7, 0 3 2
Onde o resultado ja´ foi expresso com o nu´mero correto de casas decimais (treˆs casas
decimais).
d) Divisa˜o
No caso da divisa˜o envolvendo nu´meros decimais, temos treˆs passos a seguir: i)
igualamos o nu´mero de casas decimais do dividendo e do divisor; ii) retiramos a v´ırgula
de ambos os nu´meros; iii) fazemos a divisa˜o dos nu´meros inteiros que apareceram.
Vamos ao exemplo para ilustrar este procedimento.
Exemplo: Determine o valor de x = 15÷ 1, 2.
Resoluc¸a˜o: Igualando o nu´mero de casas decimais temos que a nossa divisa˜o pode
ser escrita como: x = 15, 0÷ 1, 2.
Retirando a v´ırgula de ambos, dividendo e divisor, temos que a nossa divisa˜o e´ a
mesma que: x = 150÷ 12. E´ esta conta que devemos fazer.
Armando e fazendo a conta temos que:
150 | 12
30 12, 5
60
0
Ou seja, x = 15÷ 1, 2 = 12, 5.
46
Devemos lembrar que operac¸o˜es aritme´ticas envolvendo frac¸o˜es e nu´meros decimais
aparecem em diversos exemplos e exerc´ıcios de nosso livro. Tais contas podem, no dia-
a-dia, ser feitas com o uso de calculadoras, mas e´ importante para o estudante ter a
habilidade e traquejo para conseguir reproduzir boa parte destas contas sem a ajuda de
calculadoras. Estes ca´lculos, no geral, ficam em nossos rascunhos e na˜o aparecem na
resoluc¸a˜o dos exemplos e exerc´ıcios mas e´ muito importante que saibamos fazeˆ-los de
forma praticamente automa´tica.
2.3.5 Representac¸a˜o fraciona´ria dos nu´meros decimais
Fazer a representac¸a˜o fraciona´ria dos nu´meros decimais e´ o problema inverso do dis-
cutido em sec¸a˜o anterior. Estando o nu´mero racional escrito na forma decimal, vamos
escreveˆ-lo na forma de frac¸a˜o por convenieˆncia ou mesmo necessidade.
Temos dois casos:
1o caso: O nu´mero e´ decimal exato.
Assim transformamos o nu´mero em uma frac¸a˜o cujo numerador e´ o nu´mero decimal
sem a v´ırgula. E o denominador e´ o numeral 1 seguido de tantos zeros quantas
forem as casas decimais do nu´mero original. A frac¸a˜o resultante, em alguns casos,
pode ainda ser simplificada.
Exemplo: Escreva na forma de frac¸a˜o os nu´meros decimais a seguir.
1. x = 0, 7.
Resposta: Este nu´mero decimal pode ser escrito como:
x = 0, 7 =
7
10
2. x = 2, 35.
Resposta: Este nu´mero decimal pode ser escrito como:
x = 2, 35 =
235
100
=
47
20
47
2o caso: O nu´mero e´ uma d´ızima perio´dica.
Neste caso, devemos achar a frac¸a˜o geratriz da d´ızima. Vamos explicar o procedi-
mento com dois exemplos.
Exemplos:
1. Seja a d´ızima perio´dica 0, 3 = 0, 333 . . . , qual a sua frac¸a˜o geratriz?
Resoluc¸a˜o: Fac¸amos x = 0, 333 . . . .
Multipliquemos os dois lados da equac¸a˜o por 10, de forma que 10x = 3, 333 . . . .
Subtraindo, membro a membro a primeira igualdade da segunda:
10x− x = 3, 333 · · · − 0, 333 · · · ⇒ 9x = 3⇒ x = 3
9
=
1
3
Assim, a frac¸a˜o geratriz de 0, 3 = 1/3.
2. Seja a d´ızima perio´dica 0, 4231 . . . , qual a sua frac¸a˜o geratriz?
Resoluc¸a˜o: Fac¸amos x = 0, 423131 . . .
Multipliquemos os dois