Unidade 1 Parte 1(3)

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
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DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 1: (Parte 1) 
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a 
área sob uma curva no plano cartesiano e também para solucionar dezenas de 
problemas relacionados às mais diversas áreas das ciências exatas. O processo de 
calcular a integral de uma função é chamado de integração. As integrais se dividem em 
indefinidas e definidas. 
1.1 Primitiva ou antiderivada de uma função 
Seja 𝑓 uma função definida num intervalo 𝐼. Uma primitiva de 𝑓 em 𝐼 é uma 
função 𝐹 definida em 𝐼 tal que 
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
para todo 𝑥 em 𝐼. 
 
Exemplos: 
1) 𝐹(𝑥) =
1 𝑥3 
3 
 é uma primitiva de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 em ℝ, pois ∀ 𝑥 ∈ ℝ, 𝐹′(𝑥) = [
1𝑥3 
3
]
′
=
𝑥2. 
OBS 1: Para toda constante C, a função 𝐺(𝑥) =
1 𝑥3 
3 
+ 𝐶 é também, primitiva de 
𝑓(𝑥) = 𝑥2, pois 𝐺′(𝑥) = (
1 𝑥3 
3 
+ 𝐶)
′
= 𝑥2. 
Proposição1: Se 𝐹(𝑥) é uma primitiva da função 𝑓(𝑥), então, se 𝐶 é uma constante 
qualquer, a função 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 também é primitiva de 𝑓(𝑥). 
 Dem.: Como 𝐹(𝑥) é primitiva de 𝑓(𝑥) , temos que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) . Assim, 𝐺′(𝑥) =
(𝑓(𝑥) + 𝐶)′ = 𝐹′(𝑥) + 0 = 𝑓(𝑥). 
Definição 1: Se 𝐹(𝑥) é uma primitiva de 𝑓(𝑥) , a expressão 𝐹(𝑥) + 𝐶 é chamada 
integral indefinida da função 𝑓(𝑥) e é denotada por 
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∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 Na notação ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, a função 𝑓 denomina-se integrando. O símbolo 𝑑𝑥 serve 
para indicar a variável de integração. Em outras palavras, a Integral Indefinida é o 
conjunto de todas as primitivas da função f. 
 Da definição de integral indefinida, decorre que: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ⇔ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) 
Exemplos: 
a) ∫ 1 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 
b) ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
c) ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 
 
1.2 Propriedades da Integral Indefinida 
Proposição 2: Sejam 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐼 → ℝ e 𝐾 uma constante, então: 
i. ∫ 𝐾 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐾 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
ii. ∫ 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
 
1.3 Regra para primitiva de Potências 
Se 𝑛 for um número racional, então 
∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶, onde 𝑛 ≠ −1. 
Exemplos: 
a) ∫(𝑥2 + 𝑥3) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 = (
𝑥3
3
+ 𝐶1) + (
𝑥4
4
+ 𝐶2) =
𝑥3
3
+
𝑥4
4
+
𝐶, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐶 = 𝐶1+𝐶2. 
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b) ∫ 3√𝑥3 𝑑𝑥 = 3 ∫ 3𝑥3/2 𝑑𝑥 = 3
𝑥5/2
5
2
+ 𝐶 =
6𝑥5/2
5
+ 𝐶 =
6𝑥5/2
5
+ 𝐶 =
6
5
√𝑥5 + 𝐶. 
1.4 Tabela de Integrais Imediatas 
1) ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 + 𝐶 
2) ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln|𝑢| + 𝐶 
3) ∫ 𝑢𝛼 𝑑𝑢 =
𝑢𝛼+1
𝛼+1
+ 𝐶 (𝛼 é 𝑐𝑡𝑒 ≠ −1) 
4) ∫ 𝑎𝑢𝑑𝑢 =
𝑎𝑢
ln 𝑎
+ 𝐶 
5) ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 
6) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 
7) ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 
8) ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡𝑔 𝑢 + 𝐶 
9) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 + 𝐶 
10) ∫ sec 𝑢 ∙ 𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶 
11) ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑢 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑢 + 𝐶 
12) ∫
𝑑𝑢
√1−𝑢2
= 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 
13) ∫
𝑑𝑢
1+𝑢2
= 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑢 + 𝐶 
Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos 
calcular a integral indefinida de algumas funções. 
Exemplos 
1. ∫(3𝑥2 + 5 + √𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 5 𝑑𝑥 + ∫ √𝑥 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 +
5 ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 = 3
𝑥3
3
+ 5𝑥 +
𝑥
3
2
3
2
+ 𝐶 = 𝑥3 + 5𝑥 + 
2
3
 𝑥
3
2 + 𝐶 
2. ∫(3 sec 𝑥 ∙ 𝑡𝑔 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 3 ∫ sec 𝑥 ∙ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 =
3 sec 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 
3. ∫(√𝑥2
3
+
1
3𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ √𝑥2
3
 𝑑𝑥 + ∫
1
3𝑥
 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥
2
3 𝑑𝑥 +
1
3
∫
𝑑𝑥
𝑥
=
𝑥
5
3⁄
5
3
+
1
3
ln|𝑥| +
𝐶 
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4. ∫(2 cos 𝑥 +
1
√𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ 2 cos 𝑥 𝑑𝑥 + ∫
1
√𝑥
 𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + ∫
1
𝑥
1
2 ⁄ 
 𝑑𝑥 =
2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + ∫ 𝑥
−1
2 ⁄ 𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 +
𝑥
1
2⁄ 
1
2
= 𝐶 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2√𝑥 + C. 
5. ∫ (9𝑡2 +
1
√𝑡3
) 𝑑𝑡 = ∫ 9𝑡2 𝑑𝑡 + ∫
1
√𝑡3
 𝑑𝑡 =
9𝑡3
3
+ ∫
1
𝑡
3
2 ⁄
 𝑑𝑡 = 3𝑡3 +
∫ 𝑡
−3
2⁄ 𝑑𝑡 = 3𝑡3 +
𝑡
−1
2⁄
−1
2
+ 𝐶 = 3𝑡3 −
2
√𝑡
+ 𝐶. 
6. ∫(𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 3𝑐) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎𝑥4 𝑑𝑥 + ∫ 𝑏𝑥3 𝑑𝑥 + ∫ 3𝑐 =
𝑎𝑥5
5
+
𝑏𝑥4
4
+ 3𝑐𝑥 + 𝐶. 
7. ∫ (
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ (
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 ∙
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫(𝑡𝑔 𝑥 ∙ sec 𝑥)𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶. 
 
8. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante 𝑡, 𝑡 ≥ 0, a 
velocidade é 𝑣(𝑡) = 2𝑡 + 1. Sabe-se ainda que no instante 𝑡 = 0 a partícula se encontra 
na posição 𝑥 = 1. Determine a posição 𝑥 = 𝑥(𝑡) da partícula no instante t. 
Solução: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2𝑡 + 1 , 𝑥(0) = 1 ⟹ 𝑥(𝑡) = ∫(2𝑡 + 1) 𝑑𝑡 = 𝑡2 + 𝑡 + 𝐶,
𝐶 = 1 ⟹ 𝑥(𝑡) = 𝑡2 + 𝑡 + 1