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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo DISCIPLINA: CÁLCULO II UNIDADE 2: (Parte 4) 2.5 Comprimento de Arco de uma Curva Plana Usando a sua Equação Cartesiana A representação gráfica de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) num intervalo [𝑎, 𝑏] pode ser um segmento de reta ou uma curva qualquer. A porção da curva do ponto 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)) ao ponto 𝐵(𝑏, 𝑓(𝑏)) é chamada arco. Definição: Seja C uma curva de equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), onde f é uma função contínua e derivável em [𝑎, 𝑏]. O comprimento do arco da curva C, do ponto A(𝑎, 𝑓(𝑎)) ao ponto B (𝑏, 𝑓(𝑏)), que denotamos por L, é dado por: 𝐿 = lim 𝑚á𝑥 ∆𝑥𝑖→0 ∑ √1 + [𝑓′(𝐶𝑖)]² 𝑛 𝑖=1 ∆𝑥𝑖 Pela definição da integral definida, temos: 𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]² 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 Exemplo 1: Calcular o comprimento do arco da curva dada por 𝑦 = 4 3 𝑥 + 3, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2. Temos que: 𝑦′ = 4 3 , assim: Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 𝐿 = ∫ √1 + ( 4 3 ) ² 𝑑𝑥 = 2 0 = ∫ √1 + 16 9 𝑑𝑥 2 0 = ∫ √ 25 9 𝑑𝑥 = ∫ 5 3 𝑑𝑥 = 5 3 𝑥 | 2 0 = 10 3 − 0 3 = 10 3 𝑢. 𝑐 2 0 2 0 Exemplo 2: Encontrar o comprimento de arco da curva dada: 𝑦 = 4√𝑥³ + 2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑦′ = ²4. 3 2 𝑥 1 2 = 6𝑥 1 2 𝐿 = ∫ √1 + 36𝑥 1 0 𝑑𝑥 = ∫ (1 + 36𝑥) 1 2 𝑑𝑥 1 0 = 1 36 ∫ 𝑢 1 2 𝑑𝑢 = 1 36 . 𝑢 3 2 3 2 1 0 | 1 0 = 1 36 . 2 3 (1 + 36𝑥) 3 2 | 1 0 = 1 54 (1 + 36) 3 2 | 1 0 = 1 54 . (37 3 2 − 1) 𝑢. 𝑐 𝑢 = 1 + 36𝑥 𝑑𝑢 = 36 𝑑𝑥 1 36 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Podem ocorrer situações em que a curva C é dada por 𝑥 = 𝑔(𝑦), em vez de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Neste caso, o comprimento do arco da curva C de 𝐴(𝑔(𝑐), 𝑐) até 𝐵(𝑔(𝑑), 𝑑), é dado por: Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 𝐿 = ∫ √1 + [𝑔′(𝑦)]² 𝑑 𝑐 𝑑𝑦 Exemplo 1: Calcular o comprimento do arco dado por 𝑥 = 𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ 4. Temos que, 𝑥′ = 1 𝑑𝑦, assim: 𝐿 = ∫ √1 + 1² 𝑑𝑦 = ∫ √2 4 0 4 0 𝑑𝑦 = √2𝑦 | 4 0 = 4√2 𝑢. 𝑐
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