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Unidade 2 Parte 4

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 2: (Parte 4) 
 
2.5 Comprimento de Arco de uma Curva Plana Usando a sua Equação Cartesiana 
A representação gráfica de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥) num intervalo [𝑎, 𝑏] pode ser um 
segmento de reta ou uma curva qualquer. A porção da curva do ponto 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)) ao 
ponto 𝐵(𝑏, 𝑓(𝑏)) é chamada arco. 
 
Definição: Seja C uma curva de equação 𝑦 = 𝑓(𝑥), onde f é uma função contínua e 
derivável em [𝑎, 𝑏]. O comprimento do arco da curva C, do ponto A(𝑎, 𝑓(𝑎)) ao ponto 
B (𝑏, 𝑓(𝑏)), que denotamos por L, é dado por: 
𝐿 = lim
𝑚á𝑥 ∆𝑥𝑖→0
∑ √1 + [𝑓′(𝐶𝑖)]²
𝑛
𝑖=1
 ∆𝑥𝑖 
Pela definição da integral definida, temos: 
𝐿 = ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)]² 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
Exemplo 1: Calcular o comprimento do arco da curva dada por 𝑦 =
4
3
𝑥 + 3, 0 ≤ 𝑥 ≤
2. 
Temos que: 𝑦′ =
4
3
, assim: 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
𝐿 = ∫ √1 + (
4
3
) ² 𝑑𝑥 =
2
0
= ∫ √1 +
16
9
 𝑑𝑥
2
0
= ∫ √
25
9
 𝑑𝑥 = ∫
5
3
𝑑𝑥 =
5
3
𝑥 |
2
0
=
10
3
−
0
3
=
10
3
 𝑢. 𝑐
2
0
2
0
 
Exemplo 2: Encontrar o comprimento de arco da curva dada: 
𝑦 = 4√𝑥³ + 2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 
𝑦′ = ²4.
3
2
𝑥
1
2 = 6𝑥
1
2 
𝐿 = ∫ √1 + 36𝑥
1
0
 𝑑𝑥 = ∫ (1 + 36𝑥)
1
2 𝑑𝑥
1
0
 
 =
1
36
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
1
36
.
𝑢
3
2
3
2
1
0
|
1
0
=
1
36
.
2
3
(1 + 36𝑥)
3
2 |
1
0
=
1
54
(1 + 36)
3
2 |
1
0
 
=
1
54
. (37
3
2 − 1) 𝑢. 𝑐 
𝑢 = 1 + 36𝑥 
𝑑𝑢 = 36 𝑑𝑥 
1
36
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
Podem ocorrer situações em que a curva C é dada por 𝑥 = 𝑔(𝑦), em vez de 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
Neste caso, o comprimento do arco da curva C de 𝐴(𝑔(𝑐), 𝑐) até 𝐵(𝑔(𝑑), 𝑑), é dado 
por: 
 
 
 
 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
𝐿 = ∫ √1 + [𝑔′(𝑦)]²
𝑑
𝑐
 𝑑𝑦 
Exemplo 1: Calcular o comprimento do arco dado por 𝑥 = 𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ 4. 
Temos que, 𝑥′ = 1 𝑑𝑦, assim: 
𝐿 = ∫ √1 + 1² 𝑑𝑦 = ∫ √2
4
0
4
0
 𝑑𝑦 = √2𝑦 |
4
0
= 4√2 𝑢. 𝑐

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