Circuitos Elétricos - Prof. Paulo Cardieri

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Circuitos
Elétricos
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 2 
 1 
Esta aula: 
ƒ Conceitos fundamentais: bipolos, tensão e 
corrente 
ƒ Geradores de tensão e de corrente 
ƒ Convenções 
ƒ Transferência de energia 
ƒ Resistores 
 
TEORIA DE CIRCUITOS 
 
Circuito elétrico: 
• Coleção de dispositivos elétricos 
conectados de uma forma particular. 
• Permite mover ou transferir cargas elétricas 
por um percurso especificado. 
 
Exemplos de dispositivos elétricos: Bipolos 
(dois terminais) 
 
Capacitor Indutor Resistor Gerador de 
tensão 
Gerador de 
corrente
CapacitorCapacitor IndutorIndutor ResistorResistor Gerador de 
tensão 
Gerador de 
corrente 
 
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 2 
Corrente elétrica: movimentação de cargas 
elétricas livres 
• Nos materiais condutores: elétrons 
• Em gases ionizados, semicondutores, 
soluções eletrolíticas: cargas positivas 
fazem parte da corrente também. 
 
 
Átomos: prótons + nêutrons + elétrons 
1 elétron: 191024,6 −×− coulomb (C) 
 
Corrente elétrica: carga em movimento 
Formalmente: taxa de variação da carga no 
tempo 
 
dt
dqi = ampère (A) (ou C/s) 
 
Convenção: 
• Corrente convencional: movimento de 
cargas positivas 
• Corrente eletrônica: movimento de 
elétrons 
 
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 3 
Tensão elétrica: trabalho para mover uma 
unidade de carga (1 coulomb) através de um 
bipolo, de um terminal a outro. 
Tensão: 1 volt = 1 joule/Coulomb 
 
0>V
I
+
−
Gerador de
tensão 0>V
I
+
−
Gerador de
tensão 
 
 
Consideremos um bipolo passivo, mostrado na 
figura, atravessado por um corrente I. A 
movimentação dessa carga requer uma certa 
quantidade de energia, fornecida por um 
gerador externo, conectado ao bipolo. 
Convenção: 
V5
+
−
A3
V5−
+
−
A3−Mesmo circuito
V5
+
−
A3
V5
+
−
A3
V5−
+
−
A3−
V5−
+
−
A3−Mesmo circuito
 
 
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 4 
Geradores e receptores de energia 
 
I
V
I
VOU
Absorvendo energia: bipolos passivos
I
V
I
VOU
Absorvendo energia: bipolos passivos
I
V
I
V
I
VOU
Absorvendo energia: bipolos passivos
 
 
 
I
V
I
VOU
Entregando energia: geradores
I
V
I
VOU
Entregando energia: geradores
I
V
I
VOU
Entregando energia: geradores
 
 
 
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 5 
Energia e Potência 
 
Consideremos o circuito com um gerador de 
tensão de v volts, que estabelece uma corrente i 
através do bipolo. 
v
+
−
i
0>v v
+
−
i
0>v
 
 
Supondo que a corrente i desloca a carga dq no 
intervalo dt , ou seja, dtidq = , então a energia 
transferida ao bipolo no intervalo dt é 
 
dqvdw = . 
 
A taxa de transferência de energia é, portanto, 
 
piv
dt
dqv
dt
dw === (watt, W) 
 
p é a potência instantânea dissipada no bipolo 
 
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 6 
i
v
i
v
i
v
Note-se que a energia entregue pelo gerador ao 
bipolo no intervalo ],[ 21 tt é dado por 
 
∫=− 2
1
)()( 12
t
t
dtivtwtw (joule, J) 
 
Considere a convenção ao 
lado para a indicação das 
polaridades da tensão e da 
corrente em um bipolo 
genérico. 
 
 
• Se 0>= vip , então diz-se que bipolo 
absorve energia, 
• Se 0<= vip , então diz-se que bipolo 
fornece energia. 
 
Seja ( ) ( )∫
∞−
=
t
divtw τττ)( 
• Se 0)( ≥tw para todo t, então o bipolo é 
dito passivo, 
• Caso contrário, é dito ativo. 
 
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 7 
Fontes ideais de tensão e de corrente 
 
Fonte de tensão: Tensão independe da corrente 
nos seus terminais. 
I
V
0V
I
V
0V
 
Símbolos: 
)(0 tvVariávelno tempo
Fixa ou 
constante 0V
+
)(0 tvVariávelno tempo
Fixa ou 
constante 0V
+
0V
+
 
 
 
Fonte de corrente: corrente independe da 
tensão entre seus terminais. 
I
V
0I
I
V
0I
 
Símbolos: 
Variável no
tempo
Fixa ou 
constante 0
I)(0 ti
Variável no
tempo
Fixa ou 
constante 0
I0I)(0 ti )(0 ti
 
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 8 
Resistor 
 
• Elemento elétrico que apresenta (apenas) 
resistência à passagem de corrente elétrica. 
• Resistência: colisão dos elétrons livres da 
corrente nos átomos do material. 
• Equação que modela a resistência de um 
material: 
 
iRv = Lei de Ohm 
 
• R = Resistência elétrica do material, medida 
em ohms [Ω] ou V/A. 
• Um resistor não armazena energia, mas 
absorve potência, dissipando-a na forma de 
calor. 
• RG 1= : condutância, medida em siemens (S) 
 
v
+
−
i
R R
vRiivp
2
2 ===v
+
−
i
R R
vRiivp
2
2 ===
 
 
 
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 9 
Resistor linear: O valor da resistência 
independe do valor da corrente e da tensão. 
 
i
v
θ
R=θtan
i
v
θ
R=θtan
 
 
Exemplo de resistores não-lineares: 
• Diodo semicondutor 
i
v
0,2 0,4 0,6
i
v
0,2 0,4 0,6
 
 ( ) ]1[exp0 −= TVvIi 
 
ƒ I0 = corrente de saturação reversa (mA) 
ƒ VT = tensão de transição (~ 25mV) 
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 10 
Código de cores para resistor: 
 
 
 
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 11 
Prefixos-padrão do Sistema Internacional 
 
Múltiplo Prefixo Símbolo 
1012 Terá T 
109 Giga G 
106 Mega M 
103 Quilo k 
10-3 mili m 
10-6 micro µ 
10-9 nano n 
10-12 pico p 
10-15 femto f 
 
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 1 
Esta aula: 
ƒ Indutor e capacitor 
ƒ Fontes dependentes 
 
 
Indutor 
 
• Inicio de 1800’s: Cientista dinamarquês 
Oersted mostrou que uma corrente 
percorrendo um condutor produz um campo 
magnético. 
• Ampère realiza experimentos que mostram 
que o campo magnético e a corrente que o 
produz seguem uma relação linear. 
• Michael Farad e Joseph Henry: descobrem 
que campos magnéticos variantes produzem 
(indução) tensão em um circuito próximo. 
• Intensidade da tensão induzida é proporcional 
ao taxa de variação temporal da corrente que 
produz o campo magnético 
 
dt
tdiLtv )()( = 
 
• L: constante de proporcionalidade chamada 
indutância, medida em Henry (H). 
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 2 
Corrente elétrica I atravessando um condutor 
leva ao aparecimento de um campo magnético, 
ou densidade de fluxo magnético B
r
 
I
B
r
C I
B
r
C
S
I
B
r
C I
B
r
C
S
 
Fluxo magnético: ∫ ⋅=
S
sdB r
rφ 
Fluxo magnético )(tφ em um indutor linear de 
indutância L atravessado por uma corrente )(ti 
vale 
dt
tdtvtiLt )()()()( φφ =→= 
 
I
B
r
I
B
r
 
 
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 3 
Exemplo de indutor: 
L espiras
Área da seção 
transversal A
µPermeabilidade
Comprimento s L espiras
Área da seção 
transversal A
µPermeabilidade
Comprimento s
 
 
s
ANL
2µ= H 
Ar: 70 104
−×== πµµ H/m 
 
Característica geral de um indutor 
 
i
φFluxo magnético 
i
φFluxo magnético φFluxo magnético 
 
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 4 
Consideremos um indutor linear de 2 H, 
atravessado por uma corrente )(ti variante 
mostrada abaixo. 
)(tv
)(ti
HL 2=
)(tv
)(ti
HL 2= 
 
)(ti
t
1− 0 1 2 3
)(tv
t
1− 0 1 2 3
1
2
2−
1=
dt
di 1−=
dt
di
0=
dt
di
)(ti
t
1− 0 1 2 3
)(tv
t
1− 0 1 2 3
1
2
2−
1=
dt
di 1−=
dt
di
0=
dt
di
 
 
 
 
 
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 5 
Se aumentarmos a taxa de variação da corrente, 
teremos: 
 
)(ti
t
1− 0 1 2 3
)(tv
t
1− 0 1 2 3
1
8
8−
)(ti
t
1− 0 1 2 3
)(tv
t
1− 0 1 2 3
1
∞
∞−
)(ti
t
1− 0 1 2 3
)(tv
t
1− 0 1 2 3
1
8
8−
)(ti
t
1− 0 1 2 3
)(tv
t
1− 0 1 2 3
1
∞
∞−
)(ti
t
1− 0 1 2 3
)(tv
t
1− 0 1 2 3
1
∞
∞−
 
 
Note que: 
• Para correntes constantes, indutor é um curto. 
• Esse modelo para o indutor não permite 
variações abruptas da corrente, pois tal 
situação leva à tensão e potencia infinitas. 
 
 
 
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 6 
Retomando a expressão que relaciona a tensão e 
a corrente em um indutor: 
 
dttv
L
tdi
dt
tdiLtv )(1)()()( =→= 
 
 
A corrente no indutor no instante t pode ser 
obtida através da integral: 
 
)()(1)(
)(1)()(
)(1
0
0
)(
)(
0
0
0
0
tidv
L
ti
dv
L
titi
dv
L
id
t
t
t
t
t
t
ti
ti
+=
=−
=
∫
∫
∫∫
ττ
ττ
ττ
 
 
 
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 7 
Energia armazenada em um indutor 
 
Potência instantânea em um indutor: 
dt
tidiLtitvp )()()( == W 
 
Energia armazenada: 
})]([)]({[
2
1
)(
2
0
2
)(
)( 0
00
titiL
diiL
dt
dt
tidiLdtp
ti
ti
t
t
t
t
−=
=
=
∫
∫∫
 
 
Se 0)( 0 =ti , então 
2)]([
2
1)( tiLtwL = joules 
 
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 8 
Esse modelo (matemático) é válido para 
indutores ideais (sem perdas resistivas). 
 
Indutor real: 
 
L LRL LR 
 
RL: Resistência do condutor usado para 
construir o indutor – dissipa energia na 
forma de calor 
 
Resumo: 
 
• Variação da corrente que atravessa um 
indutor induz tensão entre seus terminais 
• Corrente constante: indutor é um curto-
circuito 
• Indutor armazena energia no campo 
magnético, mesmo quando a corrente é 
constante 
• Variação abrupta de corrente não são 
permitidas (pois requer tensão infinita) 
• Um indutor ideal não dissipa energia, apenas 
armazena-a. 
 
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 9 
Capacitor 
 
Dispositivo elétrico capaz de armazenar cargas 
elétricas. 
Área A
d
Material dielétrico
Permissividade ε
Carga +q
Carga –q
v
Área A
d
Material dielétrico
Permissividade ε
Material dielétrico
Permissividade ε
Carga +q
Carga –q
v
 
 
• Carga +q é movida para a placa superiora, 
deixando a carga –q na placa superiora. 
• Trabalho realizado é v, proporcional à carga 
armazenada: 
 
Cvq = 
C = Capacitância Coulomb/volt ou Farad (F) 
 
Para capacitores de placas paralelas 
d
AC ε= 
Ar: 854,8=ε pF/m 
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 10 
Corrente no capacitor: 
 
dt
dvCi
dt
dqi =→= 
 
 
 
0=i se v for constante. 
 
Tensão no capacitor 
 
{
)(1)(1 0
Acumulada
 Carga
0
tvdti
C
tvdti
C
dv
dt
dvCi
t
t
+=→=→= ∫
 
 
)(tvC
)(ti
+
−
)(tvC
)(ti
+
−
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Capacitor de 5µF alimentado por um gerador de 
corrente. 
 
)(tvFC µ5= )(ti+− )(tvFC µ5= )(ti
+
−
 
 
)(ti
t
0 1 2 3
)(tv
t
0 1 2 3
20
8
(mA)
(ms)
(ms)
(V)
)(ti
t
0 1 2 3
)(tv
t
0 1 2 3
20
8
(mA)
(ms)
(ms)
(V)
 
 
Note que a mudança abrupta da tensão no 
capacitor requer uma corrente de intensidade 
infinita. 
 
 
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 12 
Energia armazenada em um capacitor 
 
Potência instantânea em um capacitor: 
dt
tvdCvtitvp )()()( == watts 
 
 
Energia armazenada: 
 
joule})]([)]({[
2
1 2
0
2
)(
)( 0
00
tvtvC
dvvC
dt
dt
dvvCdtp
tv
tv
t
t
t
t
−=
=
=
∫
∫∫
 
 
Se capacitor está descarregado, ou seja 0)( 0 =tv 
 
joule)]([
2
1 2tvCwC = 
 
 
 
 
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 13 
Capacitor ideal: 
• Material dielétrico é ideal, de resistência 
infinita (sem corrente eletrônica entre as 
placas do capacitor): 
• Toda energia entregue ao capacitor é 
armazenada na forma de campo elétrico. 
 
Capacitor real: material dielétrico apresenta 
resitencia alta, mas finita 
 
C
+
− CRC
+
− CR
 
 
RC: Resistência do dielétrico usado para 
construir o capacitor – dissipa energia na 
forma de calor 
 
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 14 
Resumo (capacitor) 
 
• Variação da tensão em um capacitor induz 
uma corrente entre seus terminais 
• Tensão constante: capacitor é um curto-
circuito 
• Indutor armazena energia no campo elétrico, 
mesmo quando a corrente é constante 
• Variação abrupta de tensão não são 
permitidas (pois requer corrente infinita) 
• Um capacitor ideal não dissipa energia, 
apenas armazena-a. 
 
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 15 
Fontes dependentes 
 
Fonte de tensão dependente: 
A tensão entre seus terminais depende da 
corrente ou da tensão em um outro bipolo 
 
0v 0vv α= 0iv β=0
i
0v 0vv α= 0iv β=0
i0i
 
 
 
Fonte de corrente dependente: 
A corrente que atravessa seus terminais 
depende da corrente ou da tensão em um outro 
bipolo 
 
0v 0vi κ= 0ii ρ=0
i
0v 0vi κ= 0ii ρ=0
i0i
 
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 1 
Esta aula: 
ƒ Circuito elétrico: nó, laço 
ƒ Leis de Kirchhoff das correntes e das 
tensões 
ƒ Associação de bipolos resistivos: serie e 
paralelo 
 
 
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 2 
Circuitos elétricos 
Conjunto de bipolos conectados de uma forma 
particular. 
 
Análise de um circuito: determinação das 
correntes e tensões em cada bipolo do circuito. 
 
Usando: 
ƒ Relações entre tensão e corrente dos 
bipolos, 
ƒ Leis de Kirchhoff. 
 
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti
)(5 ti)(4 ti
C
2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti
)(5 ti)(4 ti
C
2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
 
 
Conhecido: )(te , 1R , 2R , L e C 
Desconhecido: )(1 ti , )(2 tv , )(2 ti , )(3 tv , )(3 ti , 
)(4 tv , )(4 ti , )(5 tv e )(5 ti . 
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 3 
Dos modelos de funcionamento dos bipolos, 
sabemos que: 
 
ƒ )()(1 tetv = 
ƒ )()( 212 tiRtv = 
ƒ 
dt
tdiLtv )()( 33 = 
ƒ 
dt
tdvCti )()( 44 = 
ƒ )()( 525 tiRtv = 
 
Outras equações são necessárias para resolver o 
problema: 
 
• Lei de Kirchhoff das correntes, 
• Lei de Kirchhoff das tensões. 
 
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 4 
Lei de Kirchhoff das correntes: 
 
Nó: ponto de ligação entre dois ou mais bipolos 
 
• A soma algébricadas correntes que saem de 
um nó é nula, ou 
• A soma das correntes que chegam a um nó é 
igual à soma das correntes que saem daquele 
nó. 
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti
)(5 ti)(4 ti
C
2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
Nó A
Nó B Nó C
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti
)(5 ti)(4 ti
C
2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
)(1 ti )(2 ti
)(5 ti)(4 ti
C
2R
1R L)(3 ti
)(5 tv)(te
Nó A
Nó B Nó C
 
 
Nó A: 0)()( 21 =− titi 
Nó B: 0)()( 32 =− titi 
Nó C: 0)()()( 542 =−− tititi 
 
Para um circuito com n nós, podemos escrever 
(n – 1) equações independentes de corrente. 
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 5 
Lei de Kirchhoff das tensões: 
 
Laço: percurso fechado formado por bipolos e 
que não passe duas ou mais vezes pelo mesmo 
bipolo. 
Circuito Plano: Um circuito é dito plano se 
pudermos desenha-los em um plano sem 
cruzamento de bipolos. 
Malhas: laços em um circuito plano que não 
contém bipolos em seu interior. 
 
A soma algébrica das tensões 
ao longo de um laço é nula. 
 
Para um circuito de b bipolos e n nós, podemos 
escrever b – (n – 1) equações independentes 
relacionando as tensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 6 
Considerando novamente o circuito anterior: 
 
)(1 tv
)(2 tv )(3 tv
)(4 tv
C
2R
1R L
)(5 tv)(te
Laço II
Laço I Laço III
 
 
2)14(54,5 =−−→== nb 
 
• Laço I: 0)()()()( 432 =−++ tvtvtvte 
 
• Laço II: 0)()()()( 532 =−++ tvtvtvte , 
desnecessária, pois é redundante. 
 
• Laço III: 0)()( 54 =− tvtv 
 
 
 
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 7 
Associação de bipolos resistivos 
 
Consideremos o circuito resistivo: 
2R
1R
1i
2i
2v
1v
E
i
2R
1R
1i
2i
2v
1v
E
i
 
 
São n = 3 nós, b = 3 bipolos: 
• b – (n – 1) = 1 equação de tensões, 
• n – 1 = 2 equações de correntes. 
 
021 =−− vvE , 1ii = e 2ii = 
 
Equações dos bipolos: 111 Riv = e 222 Riv = 
Resolvendo para i: 
→−= iRiRE 21
21 RR
Ei += 
 
Portanto: 
21
1
1 RR
REv += e 21
2
2 RR
REv += 
 
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 8 
Note que: 
ƒ Os resistores 1R e 2R podem ser 
representados por um resistor equivalente 
21 RRRT += : Associação em série de 
resistores. 
ƒ Os resistores 1R e 2R podem ser vistos como 
um divisor de tensão. 
 
1R
1R
nR
∑
=
=
n
i
iT RR
1
1R
1R
nR
∑
=
=
n
i
iT RR
1
 
Consideremos agora o circuito: 
 
2i
2v
1i
1v
i
I v 1R 2R
2i
2v
1i
1v
i
I v 1R 2R
 
 
b = 3, n = 2: 
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 9 
ƒ Uma equações de corrente: 21 iii += 
ƒ Duas equações de tensão: 1vv = e 2vv = 
 
Bipolos: 111 Riv = , 222 Riv = e Ii = 
 
Então, 

 +=+=
212
2
1
1 11
RR
v
R
v
R
vI 
 
Ou, 
21
11
1
RR
Iv +×= 
 
21
21
21
11
1
RR
RR
RR
RT +=+= 
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 10 
Portanto: 
21
2
1 RR
RIi += e 21
1
2 RR
RIi += 
 
Note-se que: 
ƒ A combinação dos resistores 1R e 2R pode ser 
substituída por 
21
21
RR
RRRT += : Associação em 
paralelo. 
ƒ A combinação dos resistores pode ser vista 
como um divisor de corrente 
 
1R 1R nR TR1R 1R nR TR
 
 
nT RRRR
1111
21
+++= K 
 
RG
1= é a condutância. Então, para 
associação em paralelo de resistores, temos 
 
nT GGGG +++= K21 
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 1 
Esta aula: 
ƒ Análise nodal, 
ƒ Análise de malha. 
 
Análise Nodal 
Consideremos o circuito abaixo: 
1R 3R
2R
1I 2I
3
1 2
3
1R 3R
2R
1I 2I
3
1 2
3 
Redesenhando e designando o nó 3 como nó de 
referência, temos: 
1R 3R
2R
Ref
1v 2v
21 vv −
1I 2I
1R 3R
2R
Ref
1v 2v
21 vv −
1I 2I
 
Designamos uma tensão para cada nó, com 
relação ao nó de referência. 
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 2 
Usando agora a Lei de Kirchhoff das correntes: 
 
Nó 1: 
1
2
21
1
1 I
R
vv
R
v =−+ ou ( ) 121211 IvvGvG =−+ 
 
Nó 2: ( ) 232212 vGIvvG +=− 
 
Sistema de duas equações e duas incógnitas: 
 ( )
( )

=+−
=−+
223212
122121
IvGGvG
IvGvGG
 
 
Exemplo numérico: 
 
Para Ω= 21R , Ω= 52R e Ω=13R ; AI 31 = e 
AI 22 −= , teremos: 
Vv 51 = e Vv 5,22 = 
 
 
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 3 
Outro exemplo: 
S3
S1
S2
S4
S5A8− A25−
A3−
S3
S1
S2
S4
S5A8− A25−
A3−
 
 
Redesenhando 
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
S2
1v 2v 3v
Ref
A3−
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
S2
1v 2v 3v
Ref
A3−
 
 
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 4 
Escrevendo a Lei de Kirchhoff das correntes 
para os três nós, temos: 
 



−=−+
−=+−
−=−−
251124
3263
11437
321
321
321
vvv
vvv
vvv
 
 
Resolvendo esse sistema de equações, 
chegamos à 
 
Vv 11 = , Vv 22 = e Vv 33 = 
 
Note que podemos reescrever o sistema da 
seguinte forma: 
 



=+−−
=−+−
−=−−
251124
3263
11437
321
321
321
vvv
vvv
vvv
 
ou 







−
=
















−−
−−
−−
25
3
11
1124
263
437
3
2
1
v
v
v
 
 
A matriz é simétrica! Isso pode ser usado na 
verificação das equações. 
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 5 
Consideremos agora esse mesmo circuito, mas 
com uma fonte de tensão entre os nós 2 e 3: 
 
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
V22
Super nó
A3−
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
V22
Super nó
A3−
 
 
Dificuldade: não podemos associar a corrente 
entre os nós 2 e 3 à tensão do gerador de 22 V 
(a tensão do gerador independe da corrente). 
• Portanto, não podemos aplicar a Lei de 
Kirchhoff das correntes nos nós 2 e 3. 
• No entanto: Se a soma algébrica das correntes 
que saem de um nó é nula, então a soma 
algébrica das correntes que saem dos nós 2 e 
3 (dito super-nó) também deve ser nula (Lei 
de Kirchhoff Generalizada) 
 
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 6 
Para o nó 1: 
 
11437 321 −=−− vvv . 
 
Para super-nó (nós 2 e 3): 
 
0255)(43)(3 231312 =+−+−+−− vvvvvv 
ou 
28947 321 =++− vvv . 
 
Além disso, sabemos que 
 
2223 =− vv . 
 
Finalmente: 



=+−
=++−
−=−−
22
28947
11437
32
321
321
vv
vvv
vvv
 
 
Resolvendo, temos 
 
Vv 5,41 −= , Vv 5,152 −= e Vv 5,63 −= . 
 
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 7 
Consideremos agora a presença de um gerador 
de tensão dependente: 
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
8xi
Super nó
A3−
xi
A8−
S4
S3
S1
A25−
S5
1v 2v 3v
Ref
8xi
Super nó
A3−
xi
 
Novamente, como temos um gerador de tensão 
entre os nós 2 e 3, consideraremos este par de 
nós como um super-nó. Aplicando a Lei de 
Kirchhoff, temos, como antes, 
 
Super-nó: 28947 321 =++−vvv 
Nó 1: 11437 321 −=−− vvv 
 
Entre os nós 2 e 3: 
8
)(4
8
13
23
vvivv x −==− 
Ou 05,05,0 321 =−+− vvv 
 
Resulta: Vv 11 = , Vv 22 = e Vv 33 = 
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 8 
Resumo – Análise nodal 
 
Procedimento 
 
• Redesenhe o circuito, escolhendo um nó 
como referência, 
• Atribua uma variável para cada um dos outros 
nós, para indicar a tensão daquele nó com 
relação ao nó de referencia, 
• Se o circuito contiver apenas fontes de 
corrente, escreva a Lei de Kirchhoff das 
correntes para cada um dos nós, com exceção 
do nó de referência; resolva o sistema de 
equações para obter as tensões nos nós. 
• Se o circuito contiver fontes de tensão, 
escreva a Lei de Kirchhoff generalizada das 
correntes para os super-nós formados; além 
disso, relacione as tensões dos geradores às 
tensões dos nós; resolva o sistema de 
equações para obter as tensões nos nós. 
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 9 
Análise de malhas 
 
Algumas definições (revisão): 
Circuito planar: Pode ser desenhado em um 
plano, sem que um ramo cruze outro. 
 
Exemplo de circuito não planar: 
 
 
 
Laço: percurso fechado formado por bipolos e 
que não passe duas ou mais vezes pelo mesmo 
bipolo ou nó. 
 
Malhas: laços em um circuito plano que não 
contém outros laços em seu interior. 
 
Corrente de malha: corrente que circula nos 
perímetro de uma malha 
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 10 
Exemplos: 
 
Não é laçoNão é laço Não é laçoNão é laço 
 
 
É laço, mas não é malhaÉ malha É laço, mas não é malhaÉ laço, mas não é malhaÉ malhaÉ malha 
 
 
 
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 11 
Análise de malhas: Aplicação da Lei de 
Kirchhoff das tensões nas malhas do circuito, 
para obter as correntes de malha. 
 
Consideremos o circuito abaixo: 
 
2i
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω31i
2i
3i
V6
1i
21 ii −
32 ii −
31 ii −
2i
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω31i
2i
3i
V6
1i
21 ii −
32 ii −
31 ii − 
 
Três malhas = três equações a partir da Lei de 
Kirchhoff das tensões: 
 
Para a malha I: ( ) ( ) 0267 2121 =−−−−− iiii 
ou 123 321 =−− iii 
 
 
 
 
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 12 
Repetindo para as outras malhas, chegamos ao 
sistema: 



=+−−
=−+−
=−−
6632
036
123
321
321
321
iii
iii
iii
 
 
que resulta em: Ai 31 = , Ai 22 = e Ai 33 = . 
 
Note que podemos escrever o sistema de 
equação por meio de uma equação matricial: 
 








=
















−−
−−
−−
6
0
1
632
361
213
3
2
1
i
i
i
 
 
Matriz de resistência 








−−
−−
−−
=
632
361
213
R 
 
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 13 
Se: 
• Circuito contiver apenas fontes de tensão 
independentes, 
• Correntes de malhas são indicadas no sentido 
horário, 
• Linhas de R contiverem os coeficientes de 
K21,ii , (ordenados), 
• i-ésima linha corresponde à i-ésima malha, 
 
então, R será uma matriz simétrica (teste para 
verificar a correção da matriz). 
 
Consideremos agora a presença de um gerador 
de corrente no circuito anterior, ou seja: 
 
V7
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3i
A7
31 ii −
V7
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3i
A7
31 ii − 
 
 
 
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 14 
Não podemos escrever a Lei de Kirchhoff das 
tensões para as malhas 1 e 3 (não sabemos 
relacionar sua tensão à sua corrente.) 
 
Porém, sabemos que 731 =− ii . 
 
Da 2a. malha, temos 036 321 =−+− iii 
 
Precisamos de mais uma equação: obtida pela 
aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões para 
o laço formado pelas malhas 1 e 3: 
V7
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3i
A7
V7
Ω1 Ω2
Ω1Ω2
Ω31i
2i
3i
A7
 
 ( ) ( ) 037 33221 =−−+−− iiiii 
 
AiAiAi
ii
iii
iii
2,5,2,9
7
036
744
321
31
321
321
===⇒



=−
=−+−
=+−
 
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 15 
Consideremos, por fim, a presença de um 
gerador dependente: 
 
A15
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
1i
2i
3i9
xv xv
A15
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
1i
2i
3i9
xv xv
 
 
Com antes, precisamos de três equações 
relacionando as correntes de malha. A primeira 
pode ser obtida da malha 2: 
 
0)(32)(1 32212 =−++− iiiii 
 ou 
036 321 =−+− iii 
 
Seguindo o procedimento adotado para o caso 
da presença de gerador de corrente (abrir o 
circuito naquele ponto), resulta em um circuito 
com apenas a malha 2, de onde já extraímos 
uma equação. 
 
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 16 
Porém, por inspeção, temos que Ai 151 = e 
 
03
2
3
1
9 32113
=++−→=− iiivii x , 
 
completando o conjunto de equações 
necessário, resultando em: 
 
Ai 151 = , Ai 112 = e Ai 173 = . 
 
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 17 
Resumo – Análise de mlaha 
 
Procedimento 
 
Esse método é válido apenas para circuitos 
planos. 
 
• Indique as correntes de malha, 
• Se o circuito contiver apenas geradores de 
tensão, escreva a Lei de Kirchhoff das tensões 
para cada uma das malhas e resolva o sistema 
de equações obtido. 
• Se o circuito contiver geradores de corrente, 
substitua-os por circuitos abertos (o que reduz 
o número de malhas), escreva a Lei de 
Kirchhoff para as malhas restantes e resolva o 
sistema de equações obtido. 
 
 
 
 
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 1 
Esta aula: 
ƒ Fontes reais, 
ƒ Linearidade e circuitos lineares, 
ƒ Superposição. 
 
Fontes Reais 
Fonte de tensão ideal: a tensão entre seus 
terminais é fixa e não depende da corrente em 
seus terminais. 
 
No entanto, fontes reais apresentam uma 
diminuição na tensão de saída com o aumento 
da corrente nos seus terminais. 
 
Exemplo: 
V12
V12 Sem carga
0=i
V12
V11 Com carga
A100=i
V12
V12 Sem carga
0=i
V12
V11 Com carga
A100=i
 
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 2 
 
Podemos modelar essa fonte 
como a associação série de 
uma fonte ideal com um 
resistor (resistência interna): 
 
 
De uma forma geral, o modelo de uma fonte de 
tensão real consiste em uma fonte ideal em 
série com um resistor de resistência svR . 
 
sv
svR
LR Lv
Li
sv
svR
LR Lv
Li
 
 
A corrente e a tensão na carga são: 
Lsv
S
L RR
vi += e SLsv
L
L vRR
Rv += 
 
 
 
 
 
V12 Ω0,01
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 3 
Da mesma forma, não existem fontes de 
correntes ideais, pois a potência disponível é 
sempre finita. Uma fonte de corrente real é 
modelada como a associação paralelo entre uma 
fonte ideal e um resistor. 
 
si siR LR Lv
Li
si siR LR Lv
Li
 
 
A corrente e a tensão na carga são: 
 
S
Lsi
si
L iRR
Ri += e SLsi
Lsi
L iRR
RRv += 
 
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 4 
Equivalência entre fontes reais: duas fontes 
(uma de tensão e outra de corrente) são ditas 
equivalentes se produzirem valores idênticos de 
corrente e de tensão para dada (qualquer) 
resistência de carga.Portanto: 
Lsi
s
Lsv
ssi
L RR
v
RR
iRi +=+= para qualquer LR 
 
ssisv RRR ==⇒ e sss iRv = 
 
Importante: 
Note que as relações de equivalência entre duas 
fontes nos permitem transformar uma fonte de 
tensão em uma fonte de corrente (e vice-versa). 
 
Exemplo de equivalência entre fontes: 
 
V12 Ω100
Lv
Li
A12,0
Ω100 Lv
Li
V12 Ω100
Lv
Li
Lv
Li
A12,0
Ω100 Lv
Li
Lv
Li
 
 
 
 
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 5 
A potência absorvida por uma carga: 
 
0 200 400
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Fonte de tensão
RL (ohm)
P
L 
(W
)
0 200 400
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Fonte de corrente
RL (ohm)
P
L 
(W
)
 
 
Como esperado, as duas fontes entregam à 
carga a mesma potência, independentemente do 
valor da carga. 
 
No entanto, as potências dissipadas nos 
resistores internos são diferentes, bem como as 
potências que as fontes ideais entregam, como 
mostram as figuras a seguir. 
 
 
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 6 
100 101 102 103 104
0
0.5
1
1.5
Fonte de tensão
RL (ohm)
P
ot
ên
ci
a 
(W
)
Fonte ideal
Dissip. Rs
Dissip. carga
 
 
100 101 102 103 104
0
0.5
1
1.5
Fonte de corrente
RL (ohm)
P
ot
ên
ci
a 
(W
)
Fonte ideal
Dissip. Rs
Dissip. carga
 
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 7 
Para pensar: Determine a potência entregue 
pela fonte ideal de tensão quando 0=LR . 
Repita agora para a fonte de corrente, quando 
∞=LR . Compare esses valores de potência. 
 
Não coincidentemente, a máxima potência 
absorvida pela carga ocorre quando sL RR = . 
 
De fato, se diferenciarmos a expressão da 
potência na carga com relação à LR e 
igualarmos a expressão resultante à zero, temos: 
 
Lsv
LS
LLL RR
RvRip +==
2 
0
)(
)(2)(
4
222
=+
+−+=
LS
LSLSSLS
l
L
RR
RRRvvRR
dR
dp 
 
que resulta em sL RR = . 
 
Teorema da máxima transferência de 
potência: uma fonte independente de tensão ou 
de corrente, ambas com resistência interna sR , 
entrega a máxima potência a uma carga 
resistiva quando essa tem resistência sL RR = .
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 8 
Linearidade 
 
Definições importantes: 
 
Elemento (bipolo) linear: apresenta uma 
relação tensão – corrente linear. 
 
Ou seja, a multiplicação por K da corrente que 
atravessa o elemento resulta também na 
multiplicação por K da tensão sobre o elemento. 
 
Exemplos de relações lineares: 
• iRvxcy ×=→×= Resistor 
• 
dt
diLv
dt
dxcy ×=→×= Indutor 
• i
Cdt
dvxc
dt
dy ×=→×= 1 Capacitor 
 
Fonte dependente linear: aquela cuja tensão 
(ou corrente) é proporcional apenas à primeira 
potência de alguma tensão ou corrente do 
circuito (ou à soma de termos de primeira 
potência). 
 
Exemplo: 13ivx −= ou 21 212 vvix −= 
 
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 9 
Circuito linear: contém apenas elementos 
lineares, fontes independentes e fontes 
dependentes lineares. 
 
Em circuitos lineares: a multiplicação de todas 
as fontes independentes por K resulta na 
multiplicação por K de todas as tensões e 
correntes do circuito. 
 
Teorema da Superposição: Em qualquer 
circuito resistivo contendo diversas fontes, a 
tensão (ou corrente) em qualquer resistor pode 
ser calculada pela soma algébrica das tensões 
(ou correntes) causadas por cada fonte 
independente atuando isoladamente (ou seja, 
com todas as fontes de tensão substituídas por 
curtos-circuitos e todas as fontes de corrente 
substituídas por circuitos abertos). 
 
Implicação: Considere que um circuito tenha N 
fontes independentes e que desejemos 
determinar a tensão em um dado bipolo. 
Realizamos, então, N experimentos nos quais 
apenas uma das fontes é ativada, determinando 
o valor da tensão sobre o bipolo em questão. A 
tensão procurada é a soma dos valores de tensão 
obtidos em cada experimento. 
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 10 
Consideremos o exemplo abaixo, em que 
desejamos determinar a corrente xi . 
 
V3=sv A2=si
Ω9
xi
Ω6
V3=sv A2=si
Ω9
xi
Ω6
 
 
Aplicando o principio da sobreposição, temos: 
 
A2
Ω9
1,xi
Ω6
V2,7
96
962 =+
××=ABv
A
B
A8,0
9
2,7
01, === =svxx ii
V3
Ω9
2,xi
Ω6
A2,0
96
3
02, =+== =sixx ii
A2
Ω9
1,xi
Ω6
V2,7
96
962 =+
××=ABv
A
B
A8,0
9
2,7
01, === =svxx ii
V3
Ω9
2,xi
Ω6
A2,0
96
3
02, =+== =sixx ii
 
 
 
Portanto, A0,12,1, =+= xxx iii 
 
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 11 
Tomemos um caso com fonte dependente: 
V10
A3
xi
Ω2 Ω1
xi2
V10
A3
xi
Ω2 Ω1
xi2
 
 
1) Retirando o gerador de corrente, temos: 
V10 1,xi
Ω2 Ω1
xi2
1022 1,1,1, =++ xxx iii
A21, =xi
V10 1,xi
Ω2 Ω1
xi2
1022 1,1,1, =++ xxx iii
A21, =xi
 
 
2) Retirando o gerador de tensão: 
A3
2,xi
Ω2 Ω1
xi2
Av Bv
A3
2,xi
Ω2 Ω1
xi2
Av Bv
 
Pela análise nodal: 
0)(3
2
=−++− ABA vvv e 2,2 xB iv = 
Mas, sabemos também que )(2 2,xA iv −= , o que 
resulta em 532, −=xi 
Finalmente: A572,1, =+= xxx iii . 
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 1 
Esta aula: 
ƒ Teorema de Thévenin, 
ƒ Teorema de Norton. 
 
Suponha que desejamos determinar a tensão (ou 
a corrente) em um único bipolo de um circuito, 
constituído por qualquer número de fontes e de 
outros resistores. 
 
R
i
vR
i
vR
i
v
 
 
 
O Teorema de Thévenin nos diz que podemos 
substituir todo o circuito, com exceção ao 
bipolo em questão, por um circuito equivalente 
contendo uma fonte de tensão em série com um 
resistor. 
 
Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que 
podemos substituir todo o circuito, com 
exceção ao bipolo em questão, por circuito 
equivalente contendo uma fonte de corrente em 
paralelo com um resistor. 
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 2 
 
R
i
v
Teorema de 
Thevenin
Teorema de 
Norton
R
i
vThv
ThR
R
i
vNi NR
R
i
vR
i
vR
i
v
Teorema de 
Thevenin
Teorema de 
Norton
R
i
vThv
ThR
R
i
vThv
ThR
R
i
vNi NR R
i
vNi NR
 
 
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 3 
Consideremos um circuito elétrico que foi 
rearranjado na forma de outros dois circuitos, 
denotados por A e B. 
 
Circuito A: deve ser um circuito linear: 
• fontes independentes, 
• bipolos lineares e 
• fontes dependentes lineares. 
 
Circuito B: pode conter também elementos não 
– lineares. 
 
Restrição importante: Nenhuma fonte 
dependente do circuito A pode ser controlada 
por uma corrente ou tensão do circuito B e vice 
versa. 
 
Circuito
B
Circuito
B
Circuito 
Equivalente 
Thèvenin do 
circuito A
Circuito
A
Circuito
B
Circuito
B
Circuito 
Equivalente 
Thèvenin do 
circuito A
Circuito
A
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
B
Circuito 
Equivalente 
Thèvenin do 
circuito A
Circuito
A
Circuito
A
 
 
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 4 
Teorema de Thévenin: 
Defina uma tensão cav como a tensão que 
aparece nos terminais de A se o circuito B é 
desconectado, de forma que nenhuma corrente 
fluí do circuito A para o circuito B. Então, as 
tensões e correntes em B permanecerãoinalteradas se desativarmos todas as fontes 
independentes de A e uma fonte de tensão cav 
for conectada em série com o circuito A 
“desativado”. 
 
Desativar fontes: 
• Substituir fontes independentes de corrente 
por circuitos abertos, 
• Substituir fontes independentes de tensão 
por curto-circuitos. 
 
Circuito
B
Circuito A 
desativado
ccv
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente
Circuito
B
Circuito
B
Circuito A 
desativado
Circuito A 
desativado
ccv
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente 
 
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 5 
Teorema de Norton 
Defina uma corrente cci como a corrente que 
flui nos terminais de A se os pontos de conexão 
entre A e B são curto-circuitados, de forma que 
nenhuma tensão é fornecida por A. Então, as 
tensões e correntes em B permanecerão 
inalteradas se desativarmos todas as fontes 
independentes de A e uma fonte de corrente cci 
for conectada em paralelo com o circuito A 
“desativado”. 
 
Circuito
B
Circuito A 
desativado cc
i
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente
Circuito
B
Circuito
B
Circuito A 
desativado
Circuito A 
desativado cc
i
Nenhuma fonte de 
tensão ou corrente 
 
Consideremos o circuito abaixo, para o qual 
desejamos determinar os equivalentes de 
Thévenin e de Norton sob o ponto de vista o 
resistor 1R . 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 
 6 
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
Ω= k11R
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
Ω= k11R
 
Tensão em aberto: 
 
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
cav1i
mA21 =i ( )( )
V8
1021024 33
=
××+= −cav
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
cav1i
mA21 =i ( )( )
V8
1021024 33
=
××+= −cav
 
 
Resistência do circuito desativado: 
 
Ωk2 Ωk3
⇒ Ωk5
Ωk2 Ωk3
⇒ Ωk5
 
 
Portanto, o circuito redesenhado com o 
equivalente de Thévenin é: 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 
 7 
V8
Ωk5
Ω= k11R
V8
Ωk5
Ω= k11R
 
Para construir o equivalente de Norton, 
precisamos determinar a corrente de curto-
circuito: 
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
1i 2i
212 =− ii
0324 21 =−− ii
mA6,12 == ccii
cci
V4
mA2
Ωk2 Ωk3
1i 2i
212 =− ii
0324 21 =−− ii
mA6,12 == ccii
212 =− ii
0324 21 =−− ii
mA6,12 == ccii
cci
 
 
Finalmente, o circuito com o equivalente de 
Norton é: 
 
Ωk5 Ω= k11R
,6mA1
Ωk5 Ω= k11R
,6mA1
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 7 
 8 
Note que o equivalente de Norton pode ser 
obtido a partir do equivalente de Thévenin (e 
vice-versa) por meio de princípio da 
equivalência entre fontes de tensão e de 
corrente reais. 
 
Consideremos agora um circuito com uma fonte 
de corrente dependente linear, cujo equivalente 
de Thévenin estamos interessados: 
 
V4
4000
xv
Ωk2 Ωk3
xv
A
B
V4
4000
xv
Ωk2 Ωk3
xv
A
B 
 
Tensão em aberto: 
A tensão de circuito aberto é a própria tensão de 
controle da fonte de corrente, ou seja xca vv = . 
 
Então, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões 
na malha (note que há apenas uma!), temos: 
 
V80
4000
k24 ==→=−×+ caxxx vvvv 
 
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 9 
 
Resistência do circuito desativado, entre A e 
B: 
4000
xv
Ωk2 Ωk3
xv
?=ThR
A
B
4000
xv
Ωk2 Ωk3
xv
?=ThR
A
B
 
 
Note que não conseguimos calcular a 
resistência entre A e B devido à presença do 
gerador de corrente. 
 
Porém, podemos determinar essa resistência 
indiretamente, por meio da relação entre os 
equivalentes de Thévenin e de Norton: 
 
cav R cci
R
cc
ca
i
vR =
cav R cci
R
cc
ca
i
vR =
 
 
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 10 
Portanto, precisamos determinar cci . 
 
V4
0
4000
=xv
Ωk2 Ωk3
0=xv
V4
Ωk2 Ωk3
cci
mA8,0
A
5000
4
=
=cci
V4
0
4000
=xv
Ωk2 Ωk3
0=xv
V4
Ωk2 Ωk3
cci
mA8,0
A
5000
4
=
=cci
 
 
Finalmente, Ω=Ω×= − k10108,0
8
3R , e 
 
V8 Ωk10 mA8,0
Ωk10
V8 Ωk10 mA8,0
Ωk10
 
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 1 
Esta aula: 
ƒ Amplificador operacional, 
ƒ Análise de circuitos com AO. 
 
Amplificador operacional 
Símbolo: 
Entrada não-inversora
Entrada inversora
Saída1
2
3
Entrada não-inversora
Entrada inversora
Saída1
2
3
 
 
Características principais de um amplificador 
operacional ideal: 
• As correntes de entrada são nulas, 
• A diferença de potencial entre os terminais 
de entrada é nula. 
01 =i
02 =i
0=v
03 ≠i
01 =i
02 =i
0=v
03 ≠i
 
 
A Lei de Kirchhoff das correntes não pode ser 
aplicada no terminal 3, pois o amplificador 
operacional tem outros terminais não 
mostrados, cujas correntes desconhecemos. 
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 2 
Consideremos o seguinte circuito empregando 
um amplificador operacional: 
 
gv
1R
2R
3R
gi
i
3v
a
b
c
d
gv
1R
2R
3R
gi
i
3v
a
b
c
d
 
 
Buscaremos uma relação entre a tensão 3v , no 
resistor 3R , e a tensão do gerador gv . 
 
Começaremos 
pela malha com o 
gerador. Usando 
a LKT, temos: 
 
01 =− vvg 
 
ou gvv =1 (1) 
 
 
gv
1R
2R
3R
0=gi
1v
0=v
a
b
c
d
gv
1R
2R
3R
0=gi
1v
0=v
a
b
c
d
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 3 
Em seguida, 
aplicamos a LKC 
no nó b: 
 
0
2
2
1
1 =+
R
v
R
v
 
 
 
ou gvR
Rv
1
2
2 −= (2) 
 
Finalmente, 
aplicamos a 
LKT na malha 
com 3R : 
 
0321 =−− vvv 
ou 
 
213 vvv −= (3) 
 
Substituindo (1) e (2) em (3), tem-se 
 
gvR
Rv 

 +=
1
2
3 1 
gv
1R
2R
3R
a
b
c
d
1v 2v
0=igv
1R
2R
3R
a
b
c
d
1v 2v
0=i
gv
1R
2R
3R
1v 2
v 3
v
a
b
d
gv
1R
2R
3R
1v 2
v 3
v
a
b
d
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 4 
Portanto, podemos interpretar esse circuito 
como contendo uma fonte de tensão 
dependente, controlada por outra tensão ( gv ): 
 
gv
3R 3v
i
0=gi
gvR
R 

 +
1
21
gv
3R 3v
i
0=gi
gvR
R 

 +
1
21
 
 
De fato, esse circuito é um amplificador de 
tensão não-inversor de ganho 121 RR+=µ . 
 
Se fizermos ∞=1R e 02 =R , o ganho é 
unitário, e teremos um “seguidor de tensão”, 
que isola o circuito conectado à entrada do 
circuito conectado à saída. 
 
Ev
Sv
0=Ei
Ev
Sv
0=Ei
 
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 5 
Consideremos uma outra configuração 
envolvendo um amplificador operacional: 
 
1R
2R
Ev
Sv
1R
2R
Ev
Sv
 
 
Estamos novamente procurando uma expressão 
para a relação ES vv . 
 
Aplicando a LKT na 
malha na entrada: 
 
1vvE = (1) 
 
 
 
LKT para a malha 
envolvendo ambos 
resistores: 
021 =−−− SE vvvv 
 
ou 2vvS −= (2) 
1R
2R
Ev
Sv
1v
0=1R
2R
Ev
Sv
1v
0=
1R
2R
Ev
Sv
1v
2v
1R
2R
Ev
Sv
1v
2v
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 6 
LKC no nó a: 
 
21 ii = , pois 0=ei . 
 
Ou: 
2
2
1
1
R
v
R
v = (3) 
 
Aplicando (1) e (2) em (3), temos: 
 
→−=
21 R
v
R
v SE 
1
2
R
R
v
v
E
S −= ou ES vR
Rv
12−= 
 
Portanto, esse circuito pode ser interpretado 
como um amplificador inversor de tensão, de 
ganho 12 RR− . 
 
Note a corrente de entrada nesse circuito (vista 
pelo circuito acoplado à entrada) não é nula, e 
vale 11 Rvi E= . 
 
 
 
1R
2R2i
1i ei
a1
v
2v
1R
2R2i
1i ei
a1
v
2v
1R
2R2i
1i ei
a1
v
2v
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 8 
 7 
Portanto, um modelo para esse circuito inclui 
uma fonte de tensão dependente controlada 
por tensão, como mostrado a seguir: 
 
Sv
1i
EvR
R
1
2
1REv Sv
1i
EvR
R
1
2
1REv
 
 
 
Note que podemos também escrever 
12
1
2 iRR
vRv ES −=−= , 
 
o que nos leva a um modelo com uma fonte de 
tensão dependente controlada por corrente: 
 
Sv
1i
12 iR1REv Sv
1i
12 iR1REv
 
 
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 8 
Vamos agora tomar os terminais 3 e 4 
(indicados no circuito) como sendo os terminais 
de saída: 
1R 2
R
Ev
1i 0=ei
2i
Sv 34
1
2
1R 2
R
Ev
1i 0=ei
2i
Sv 34
1
2 
Relembrando, temos 
1
12 R
vii E== . 
Portanto, sob o ponto de vista dos terminais 3 e 
4, temos um resistor de valor 2R em paralelo 
com um gerador de corrente 12 Rvi E= : 
Sv
1i
1R
vE
1REv
1
2
2R
3
4
Sv
1i
1R
vE
1REv
1
2
2R
3
4 
 
Portanto, podemos construir um modelo 
envolvendo na saída uma fonte de corrente 
dependente controlada por tensão (a de entrada, 
Ev ). 
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 9 
Podemos também obter um modelo envolvendo 
um gerador de corrente agora controlado por 
corrente, usando simplesmente 12 ii = : 
Sv
1i
1i1REv
1
2
2R
3
4
Sv
1i
1i1REv
1
2
2R
3
4 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 
 1 
Esta aula: 
ƒ Análise nodal geral, 
ƒ Análise de laço, 
ƒ Independência de equações. 
 
ƒ Em todos os tipos de análises apresentados 
até agora, buscamos inicialmente um 
conjunto de equações independentes 
envolvendo correntes de malhas ou tensões 
de nós. 
ƒ Em circuitos complexos (não – planares): 
temos que selecionar, dentre o conjunto de 
equações, um sub-conjunto de equações 
independentes. Laços 
Exemplo: 
 
1R
2R
3R
6R
5R
7R
9R
4R
8R
gv
a
b
d
c
e
f
Laços (15)
1 – 3 – 7 – 8 – 6 – 4 
1 – 3 – 4 – 5
1 – 3 – 7 – 9
2 – 3 – 5 – 6 
1 – 2 – 8 – 9 
1 – 2 – 6 – 4
…
1R
2R
3R
6R
5R
7R
9R
4R
8R
gv
a
b
d
c
e
f
Laços (15)
1 – 3 – 7 – 8 – 6 – 4 
1 – 3 – 4 – 5
1 – 3 – 7 – 9
2 – 3 – 5 – 6 
1 – 2 – 8 – 9 
1 – 2 – 6 – 4
…
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 
 2 
Destes 15 laços, estamos procurando o conjunto 
mínimo (suficiente) de laços que levam a 
equações independentes. 
 
Para determinar esse conjunto de laços, 
descreveremos duas técnicas baseadas nas Leis 
de Kirchhoff e em conceitos de grafos. 
 
Alguns conceitos importantes de grafos: 
 
Grafos: conjunto de nós e ramos 
Exemplo: 
 
a d
c
e
f
b
1 3
2
4
6
79
5
8
Ramo
Nó
a d
c
e
f
a d
c
e
f
b
1 3
2
4
6
79
5
8
Ramo
Nó
 
 
 
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 3 
Grafo conexo: existe um percurso composto de 
um ou mais ramos entre quaisquer dois nós do 
grafo. Grafo não-conexo 
 
Grafo não-conexo
Grafo conexo
Grafo não-conexo
Grafo conexo
 
 
 
Árvore: porção (ou sub-grafo) conexa de um 
grafo que: (i) contem todos os nós do grafo, (ii) 
mas não contem nenhum laço. 
 
1
2
4
1
2
4
2 3
5
Grafo Árvore Árvore
76
1
2
4
1
2
4
2 3
5
Grafo Árvore Árvore
76
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 
 4 
Nesse exemplo: 
ƒ Todas as árvores tem 3 ramos (necessário 
para conectar 4 nós) 
ƒ Se incluirmos mais um ramo, criamos um 
laço. 
 
Co-árvore (correspondente a uma árvore): é o 
conjunto de ramos (e seus nós) que não estão 
em uma dada árvore. 
Enlace: dada uma árvore, enlace é qualquer 
ramo que não pertença àquela árvore. 
 
3
65
Co-árvore
7
3
65 7
2
4
Árvore
1
3
65
Co-árvore
7
3
65 7
2
4
Árvore
1
2
4
Árvore
1
 
 
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 5 
Surge neste ponto a seguinte questão: Dado um 
circuito com B ramos e N nós, quantos ramos e 
nós uma árvore desse grafo terá? 
1) Pela definição de árvore, qualquer árvore 
deverá conter N nós. 
2) Quanto ao número de ramos: Considere que 
vamos construir uma árvore, partindo de 
um ramo e seus dois nós (1 ramo, 2 nós). A 
cada novo ramo adicionado, adicionamos 
também um nó. Portanto, ao final: 
 
Qualquer árvore: N nós e N – 1 ramos, 
Qualquer co-árvore: L = B – N + 1 enlaces. 
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 
 6 
Análise Nodal 
Vamos agora apresentar um método para que 
nos permite escrever um conjunto de equações 
nodais (ou seja, baseada na LKC) 
independentes e que sejam suficientes. 
 
Procedimento: 
1. Dado o circuito com B ramos e N nós, 
desenhamos o grafo correspondente e 
escolhemos uma das suas árvores, 
2. Atribuímos a cada ramo da árvore uma tensão 
(são, portanto, N – 1 tensões), 
3. Escrevemos a LKC para cada um dos N – 1 
nós do grafo, em função das tensões dos 
ramos. 
 
Regras para a construção da árvore: 
• Fontes de tensão devem estar associadas a 
ramos da árvore (obrigatório). 
• As tensões que controlem fontes dependentes 
devem estar associadas a ramos da árvore 
(desejável). 
• Fontes de corrente deve ser associadas a 
enlaces, ou seja, os ramos dessas fontes não 
devem aparecem na árvore (obrigatório). 
• Correntes que controlem fontes dependentes 
dever estar associadas a enlace (desejável). 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 
 7 
Consideremos o exemplo: 
yv4S2
S2
S1
A2
S1
xv2
V1
yv
xv
a
b
c d
e
yv4S2
S2
S1
A2
S1
xv2
V1
yv
xv
yv4S2
S2
S1
A2
S1
xv2
V1
yv
xv
a
b
c d
e 
 
O grafo correspondente está mostrado abaixo, 
como a árvore selecionada, seguindo as regras 
de construção. 
 
yv
xv
0v
1v
a
b c d
e
yv
xv
0v
1v
a
b c d
e 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 
 8 
• Note que temos, à primeira vista, quatro 
tensões de ramo: xv , yv , 0v e 1v . 
• Com essas quatro tensões, podemos 
determinar a tensão de qualquer outro ramo 
(dos outros quatro restantes) – suficiência. 
• No entanto, como V10 =v e yvv 41 = , temos, 
na realidade, duas incógnitas ( xv e yv ). 
• Portanto, precisamos de duas equações 
independentes, obtidas a partir da aplicação 
da LKC em dois nós. 
• Como os ramos b–c e d–e contem fontes de 
tensão, não poderemos aplicar a LKC nos nós 
b, c, d e e. De fato, b–c e d–e tornam-se 
super-nós. Portanto, das 5 equações nodais 
possíveis, restarão apenas 3. 
 
 
Escolhemos o nó a 
e o super-nó d–e. 
 
 
 
 
 
 
 
yv
xv
0v
1v
a
b c
d
e
yv
xv
0v
1v
a
b c
d
e
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 9 
Voltando ao circuito original: para o nó a, 
temos 
yv4
S2
S2
S1
A2 S1
xv2
V1
yv
xv 2v
yv4
S2
S2
S1
A2 S1
xv2V1
yv
xv 2v
 
 
Aplicando a LKC no nó a temos: 
 
022 2 =−+− vvx 
 
Note que a tensão 2v pode ser escrita como: 
 
yyx vvvv 42 −−= 
 
Portanto, 0)4(22 =−−−+− yyxx vvvv 
 
ou 253 =− yx vv 
 
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 10 
Para o super-nó, temos 
yv4S2
S2
S1
A2 S1
xv2
V1
yv
xv 2v
3v yv4S2
S2
S1
A2 S1
xv2
V1
yv
xv 2v
3v
 
 
Aplicando a LKC no super-nó: 
022 32 =−++ yx vvvv , 
em que yvv −=13 , resultando em 
283 −=− yx vv 
 
Portanto, o sistema de equações 
 


−=−
=−
283
253
yx
yx
vv
vv
 
 
leva à: V9/26=xv e V3/4=yv 
 
 
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 11 
O sistema de equações obtido é suficiente e 
independente: 
• Suficiente (ou seja, basta para calcularmos 
qualquer tensão e corrente no circuito): como 
vimos, conhecendo xv e yv , podemos 
determinar qualquer tensão no circuito. 
• Independente: cada vez que escrevemos uma 
equação pela aplicação da LKC, incluímos 
um novo ramo (isto é, um bipolo), o que torna 
essa equação independente das outras. 
 
Observações importantes: 
• Para um circuito com B ramos e N nós, 
haverá N – 1 equações nodais. 
• No entanto, cada fonte de tensão reduz em 1 o 
número de equações (pois elas levam à 
formação de super-nós). 
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 12 
Análise de laço 
Apresentaremos agora um método para 
determinar um conjunto de equações de laço 
(pela aplicação da LKT), que sejam 
independentes e suficientes. 
 
Procedimento: 
1. Dado o circuito com B ramos e N nós, 
desenhamos o grafo correspondente e 
escolhemos uma das suas árvores (mais a 
respeito a seguir). 
2. Tomamos individualmente cada ramo da co-
árvore (ou seja, enlace) associada à arvore 
escolhida e adicionamos à arvore, fazendo 
aparecer um laço (B – N + 1 laços). 
3. A cada laço formado, atribuímos uma 
corrente de laço. 
4. Escrevemos a LKT para cada laço formado, 
em função das correntes de laço. Portanto, 
teremos B – N + 1 equações de laço. 
 
Regras para a construção da árvore: 
• Fontes de tensão devem estar associadas a 
ramos da árvore (obrigatório). 
• As tensões que controlem fontes dependentes 
devem estar associadas a ramos da árvore 
(desejável). 
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 13 
• Fontes de corrente deve ser associadas a 
enlaces, ou seja, os ramos dessas fontes não 
devem aparecem na árvore (obrigatório). 
• Correntes que controlem fontes dependentes 
dever estar associadas a enlace (desejável). 
 
Consideremos o exemplo: B = 7, N = 5. 
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3A7
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3A7
 
 
Árvore escolhida: 
 
 
 
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 14 
Note que temos três enlaces (B – N + 1 = 3) e, 
portanto, teremos três equações de laço. 
 
Quando adicionamos à arvore um dos enlaces, 
resulta nas correntes de enlace Ai , Bi e Ci : 
 
Ai
Bi
Ci
Ai
Ci
Bi
Ai
Bi
Ci
Ai
Ci
Bi
 
 
 
O próximo passo é escrever a LKT para cada 
um dos laços, em função das correntes de laços. 
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 9 
 15 
As equações são: 
 
Ω3Ai
a
b
c
Ci
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
V7
A7
Ω3Ai
a
b
c
Ci
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
V7
A7
 
Note que pelo ramo a – b – c passa apenas a 
corrente de laço Ai , que deve valer 7 A, devido 
a presença do gerador de corrente. Portanto, 
7=Ai 
 
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
A7
Ai
Ci
Bi
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
A7
Ai
Ci
Bi
 
 
03)(2)(1 =+++− BCBAB iiiii 
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 16 
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
A7
Ai
Ci
Bi
V7
Ω1 Ω2
Ω1
Ω2
Ω3
A7
Ai
Ci
Bi
 
 
0)(27 =−+− CCB iii 
 
Usando A7=Ai , resulta no sistema: 


=+
=+
732
726
CB
CB
ii
ii
 
 
com solução A5,0=Bi e A2=Bi . 
 
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 17 
Da mesma forma que no caso da análise nodal, 
o sistema de equações obtido aqui é suficiente e 
independente: 
• Suficiente: o conhecimento das correntes de 
laço permite calcular a corrente em qualquer 
ramo do circuito. 
• Independente: cada laço é criado 
adicionando à árvore um enlace (isto é, um 
bipolo) que não foi usado anteriormente, o 
que faz com que as equações obtidas pela 
aplicação da LKT sejam independentes. 
 
Observações importantes: 
• Para um circuito com B ramos e N nós, 
haverá B – N + 1 equações de laço. 
• No entanto, cada fonte de corrente reduz em 1 
o número de equações. 
 
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 1 
Esta aula: 
ƒ Cortes e análise nodal. 
 
Corte: 
Consideremos um grafo conexo G: define-se 
corte como um conjunto C de ramos de G, tal 
que a remoção de todos os ramos pertencentes a 
C resulta na separação de G em duas partes. 
Exemplos: 
1
4
2
5
6
7 9
3
8
Corte C1: 1, 3, 5, 6 e 7
Corte C1
Duas partes separadas
Corte C2: 1, 2, 5 e 4
1
4
2
5
6
7 9
3
8
Corte C2
Duas partes separadas
1
4
2
5
6
7 9
3
8
1
4
2
5
6
7 9
3
8
Corte C1: 1, 3, 5, 6 e 7
Corte C1
Duas partes separadas
Corte C2: 1, 2, 5 e 4
1
4
2
5
6
7 9
3
8
1
4
2
5
6
7 9
3
8
Corte C2
Duas partes separadas
 
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 2 
Corte Fundamental: 
 
Consideremos um grafo G e uma de suas 
árvores T. Seja L o conjunto de enlaces 
correspondentes à árvore T. 
 
Cada ramo da árvore T, juntamente com um 
subconjunto de enlaces de L, define um corte 
fundamental C daquela árvore, ou seja, divide 
a árvore em duas partes separadas. Os enlaces 
de L que pertencem à C são aqueles que 
conectam as duas partes separadas. 
 
Portanto, cada ramo da árvore está associado a 
um corte fundamental. 
 
Vejamos um exemplo: considere a árvore G e 
uma das suas árvores T mostradas abaixo: 
 
1
4
2
5
6
7 9
3
8
1
4
2
5
8
Grafo G Árvore T
1
4
2
5
6
7 9
3
8
1
4
2
5
8
1
4
2
5
8
Grafo G Árvore T 
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 3 
O corte fundamental associado ao Ramo 5 é 
mostrado abaixo 
1
4
2
5
86
7 9
C1 
O corte C1, associado ao ramo 5, é composto, 
portanto, por C1 = {5, 6, 7, 9} e divide T em 
duas partes separadas: 
 
1
4
2
8
T1
T2
1
4
2
8
T1
T2
 
 
 
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 4 
Vamos agora aplicar esses conceitos na análise 
de circuitos. 
Consideremos o grafo associado a um circuito e 
também uma de suas árvores. Podemos aplicar 
a LKC nos cortes fundamentais dessa árvore: 
 
A soma algébrica das correntes que atravessam 
um corte é nula. 
 
Portanto, a aplicação da LKC em cada corte 
leva uma equação. 
 
Vejamos um exemplo: Seja o circuito mostrado 
abaixo: 
 
0V2
Ω1
Ω2
Ω5,0
1A1
Ω1
0V2
Ω1
Ω2
Ω5,0
1A1
Ω1
 
 
 
 
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 5 
O grafo e uma de suas árvores são: 
 
Árvore: 1, 2 e 4
1
2
5
4
3
6
Grafo
1v
2v
4v
Árvore: 1, 2 e 4
1
2
5
43
6
Grafo
1
2
5
4
3
6
Grafo
1v
2v
4v
 
 
• Como esperado, a árvore tem três ramos, pois 
o grafo possui quatro nós. 
• Associamos a cada ramo da árvore um valor 
de tensão. 
• Note que a tensão de qualquer ramo pode 
ser escrita em função das tensões dos 
ramos da árvore. 
• Temos três incógnitas ( 21,vv e 4v ), o que 
requer três equações independentes. 
• De fato, essa árvore possui três cortes 
fundamentais (uma para cada ramo da 
árvore), o que nos leva às três equações 
procuradas. 
 
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 6 
• No entanto, não nos serve a aplicação da 
LKC no corte associado ao ramo 1, pois 
temos ali uma fonte de tensão. 
• Porém, 1v não é uma incógnita ( V201 =v ), e 
precisamos, na verdade, de duas equações. 
 
Tomemos, então, o corte associado ao ramo 2: 
 
1v
2v
4v
Corte C1: 2, 3, 5 e 6 
2
5
3
6
0V2
Ω1
Ω2
Ω5,0
1A1
Ω1
1v
2v
4v
220 v−
42 vv −
1v
2v
4v
Corte C1: 2, 3, 5 e 6 
2
5
3
6
0V2
Ω1
Ω2
Ω5,0
1A1
Ω1
1v
2v
4v
220 v−
42 vv −
 
 
Escrevendo a LKC para as correntes que 
atravessam o corte, resulta em: 
 
011
2
20
11
2422 =−−−−+ vvvv 
 
ou 215,2 42 =− vv . 
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 7 
Tomando o corte associado ao ramo 4, temos: 
 
1v
2v
4v
Corte C2: 3, 4 e 6 
3
6
0V2
Ω1
Ω2
Ω5,0
1A1
Ω1
1v
2v
4v
42 vv −
4
1v
2v
4v
Corte C2: 3, 4 e 6 
3
6
0V2
Ω1
Ω2
Ω5,0
1A1
Ω1
1v
2v
4v
42 vv −
4
 
 
011
5,01
442 =++−− vvv 
 
ou 113 42 −=+− vv 
 
O sistema de equações obtido é: 
 


−=+−
=−
113
215,2
42
42
vv
vv
 
 
que leva à V82 =v e V14 −=v 
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 1 
Esta aula: 
ƒ Associação de capacitores e indutores. 
 
Indutor: Tensão é proporcional à taxa de 
variação temporal da corrente: 
 
dttv
L
tdi
dt
tdiLtv )(1)()()( =→= 
 
)()(1)( 0
0
tidv
L
ti
t
t
+= ∫ ττ 
 
Características: 
• Variação da corrente que atravessa um 
indutor induz tensão entre seus terminais 
• Corrente constante: indutor é um curto-
circuito 
• Indutor armazena energia no campo 
magnético, mesmo quando a corrente é 
constante 
• Variação abrupta de corrente não são 
permitidas (pois requer tensão infinita). 
• Um indutor ideal não dissipa energia, apenas 
armazena-a 
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 2 
Capacitor: corrente é proporcional à taxa de 
variação temporal da tensão: 
 
dt
tdvCti )()( = 
{
)(1)( 0
Acumulada
 Carga
0
tvdti
C
tv
t
t
+= ∫ 
 
Características: 
• Variação da tensão em um capacitor induz 
uma corrente entre seus terminais 
• Para tensão constante, capacitor é um curto-
circuito. 
• Capacitor armazena energia no campo 
elétrico, mesmo quando a corrente é 
constante. 
• Variação abrupta de tensão não são 
permitidas (pois requer corrente infinita) 
• Um capacitor ideal não dissipa energia, 
apenas armazena-a. 
 
 
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 3 
Associação em série de indutores 
Sv eqLSv
1v 2v Nv
1L 2L NL
i
i
Sv eqLSv
1v 2v Nv
1L 2L NL
i
i
 
 
Estamos interessados em determinar o valor da 
indutância equivalente eqL . Aplicando a LKT 
no circuito da esquerda, temos: 
( ) .21
21
21
dt
diLLL
dt
diL
dt
diL
dt
diL
vvvv
N
N
NS
L
L
L
++=
+++=
+++=
 
 
Aplicando a LKT agora para o circuito da 
esquerda, temos 
dt
diLv eqS = . 
 
Portanto, para associação em série de 
indutores: 
Neq LLLL L++= 21 . 
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 4 
Associação em paralelo de indutores 
 
1i 2i Ni
Si v
1L 2L NL
Si
Si v eqL
1i 2i Ni
Si v
1L 2L NL
Si
Si v eqL
 
 
Vamos aplicar a LKC no nó (único) do circuito 
da esquerda: 
∑∫∑
∑ ∫∑
==
==
+

=
+==
N
n
n
t
t
N
n n
N
n
n
t
tn
N
n
nS
tidv
L
tidv
L
ii
1
0
1
1
0
1
)()(1
)()(1
0
0
ττ
ττ
 
 
Para o circuito da direita temos: 
)()(1 0
0
tidv
L
i S
t
teq
S += ∫ ττ . 
Note que a LKC requer que no instante 0t a 
soma das correntes nos ramos seja igual à 
)( 0tiS . Portanto, resulta que, para associação 
em paralelo de indutores, 
Neq LLLL
1111
21
L++= 
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 5 
Associação em série de capacitores 
SvSv
1v 2v Nvi
i
1C 2C NC
eqCSvSv
1v 2v Nvi
i
1C 2C NC
eqC
 
 
Para o circuito da esquerda, temos: 
∑∫∑
∑ ∫∑
==
==
+

=
+==
N
n
n
t
t
N
n n
N
n
n
t
tn
N
n
nS
tvdi
C
tvdi
C
vv
1
0
1
1
0
1
)()(1
)()(1
0
0
ττ
ττ
 
 
Para o circuito da direita, vale: 
)()(1 0
0
tvdi
C
v S
t
teq
S += ∫ ττ 
Note que a LKT impõe que no instante 0t a 
soma das tensões nos capacitores seja igual à 
)( 0tvS . Portanto, resulta que, para associação 
em série de capacitores, 
Neq CCCC
1111
21
L++= . 
 
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 6 
Associação em paralelo de capacitores 
 
1i 2i Ni
Si v
1C 2C NC
Si
Si v eqC
1i 2i Ni
Si v
1C 2C NC
Si
Si v eqC
 
 
Finalmente temos: 
 
( ) ,21
21
21
dt
dvCCC
dt
dvC
dt
dvC
dt
dvC
iiii
N
N
NS
L
L
L
++=
+++=
+++=
 
 
e 
dt
dvCi eqS = 
 
Portanto, para associação em paralelo de 
capacitores: 
 
Neq CCCC L++= 21 . 
 
 
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 7 
Consideremos agora um circuito que contenha 
os tres tipos de bipolos passivos que 
conhecemos, como mostrado abaixo. 
 
1C
2C
L R
Sv Si
Sv
1v
2v
Ref
Li
1C
2C
L R
Sv Si
Sv
1v
2v
Ref
Li
 
Todos os métodos de análise que estudamos até 
agora são válidos na análise desse circuito. 
Por exemplo, podemos aplicar a análise nodal, 
tomando os nós indicados na figura, obtendo as 
equações diferenciais-integrais: 
 
( ) 0)(1 222101
0
=+−++−∫ dtdvCRvvtidvvL L
t
t
S τ 
 
0)( 1221 =−−+− SS iR
vv
dt
vvdC 
 
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 1 
Esta aula: 
ƒ Dualidade, 
ƒ Linearidade e Principio da Superposição. 
 
Dualidade 
 
Dois circuitos são ditos duais se as equações 
de malhas que caracterizam um deles têm a 
mesma forma matemática que as equações 
nodais que caracterizam o outro. 
 
Dois circuitos são ditos duais exatos se cada 
equação de malha de um circuito é 
numericamente idêntica a uma das equações 
nodais do outro circuito. 
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 
 2 
Consideremos o circuito, com um capacitor 
com tensão V10=Cv no instante 0=t . 
 
F8
Ω3
Ω5H4
V6cos2 t
2i1i
V10=Cv
F8
Ω3
Ω5H4
V6cos2 t
2i1i
V10=Cv
 
 
As equações de malha desse circuito são: 
t
dt
di
dt
dii 6cos2443 211 =−+ 
105
8
144
0
22
21 −=+++− ∫t ididtdidtdi τ . 
 
Para obtermos as equações nodais que são 
exatas duais, substituímos as correntes de malha 
1i e 2i por duas tensões nodais 1v e 2v (com 
relação a uma dada referência): 
t
dt
dv
dt
dvv6cos2443 211 =−+ (1) 
105
8
144
0
22
21 −=+++− ∫t vdvdtdvdtdv τ (2) 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 
 3 
Vamos construir o circuito cujas equações 
nodais são iguais a essas: 
 
ƒ Termo 13v : corresponde a um resistor de 
resistência Ω31 conectado entre o nó 1 e o 
nó de referência, 
ƒ Termo t6cos2 : indica a presença de uma 
fonte de corrente conectada entre o nó 1 e o 
nó de referência, 
ƒ Termo ∫t dv
0
28
1 τ : indutor de 8H conectado 
entre o nó 2 e o nó de referência. 
ƒ Termo 15v : resistor de resistência Ω51 
conectado entre o nó 2 e o nó de referência, 
ƒ Termo 10− : indica uma fonte de corrente de 
10 A saindo do nó 2, que representa a 
corrente do indutor no instante 0=t . 
ƒ Termos comuns às duas equações 
dt
vvd
dt
dv
dt
dv )(444 2121 −=− : Correspondem 
a um capacitor de 4F conectado entre os nós 1 
e 2. 
 
 
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 
 4 
Portanto, o circuito dual exato é: 
 
S3
S5
H8
F4
1v 2v
Ref
Li
S3
S5
H8
F4
1v 2v
Ref
Li
 
 
 
Uma outra forma de construir o circuito dual é 
como segue: 
ƒ Associar a cada malha do circuito um nó 
(exceto o de referência) do circuito dual, 
ƒ Desenhar um nó de referência, 
ƒ Elementos que são comuns a duas malhas 
devem ser conectados entre os dois nós 
correspondentes, 
ƒ Elementos que aparecem em apenas uma das 
malhas devem aparecer no circuito dual 
conectados entre o nó correspondente e o nó 
de referência. 
 
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 12 
 5 
O circuito obtido pelo procedimento é: 
F8Ω3
Ω5
H4V6cos2 t
F4
S3
A6cos2 t
H8
S5
Referência
F8Ω3
Ω5
H4V6cos2 t
F4
S3
A6cos2 t
H8
S5
Referência
 
 
 
Note que a dualidade é definida com base em 
malhas e nós. Portanto, circuitos não planares 
não possuem duais. 
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 6 
Dualidade – Resumo 
 
tensão corrente 
carga fluxo 
resistência condutância 
indutância capacitância 
curto-circuito circuito aberto 
série paralelo 
nó (exceto o de 
referência) malha 
nó de referência malha externa 
lei de Kirchhoff das 
tensões 
lei de Kirchhoff das 
correntes 
 
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 7 
Linearidade e Superposição 
 
ƒ Circuitos contendo fontes independentes, 
fontes lineares dependentes, resistores linear, 
capacitores linear e indutores linear são ditos 
lineares. 
 
ƒ Tensões iniciais de capacitores e correntes 
iniciais de indutores devem ser tratadas como 
fontes independentes sob o ponto de vista do 
Princípio da Superposição. 
 
ƒ Ou seja: na aplicação do Princípio de 
Superposição, cada valor inicial e tensão ou 
corrente deve ser colocado inativo por vez. 
 
 
 
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 8 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 13 
 1 
Esta aula: 
ƒ Circuitos RL sem fontes independentes. 
 
Consideremos inicialmente um circuito 
contendo apenas um resistor e um indutor, sem 
fontes independentes – circuito autônomo. 
 
O indutor armazena energia: corrente inicial no 
indutor, ou seja, no instante 0=t , é 0I . 
 
RL
)(ti
Lv Rv
0I
RL
)(ti
Lv Rv
0I
 
 
Temos, então, 0=+ RL vv , ou 
 
00 =+→=+ i
L
R
dt
diRi
dt
diL . 
 
∫∫ −=→−=
tti
I
dt
L
R
i
didt
L
R
i
di
0
)(
0
 
 
EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 13 
 2 
t
L
RIit
L
Ri
t
t
I −=−→−= 0
0
lnlnln
0
. 
 
Finalmente: 


−= t
L
RIti exp)( 0 . 
 
Uma forma alternativa para obter )(ti é por 
meio da integral indefinida: 
Kt
L
Ridt
L
R
i
di +−=→−= ∫∫ ln . 
 
A constante K é escolhida para garantir que a 
solução acima satisfaça a condição inicial para 
a corrente: 
00)( Iti t == . 
 
Ou seja: KIi == 0ln)0(ln . 
 
Portanto: 
 
→+−= 0lnln ItL
Ri 

−= t
L
RIti exp)( 0 
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 3 
Um terceiro método para encontrar a função 
)(ti que satisfaça a equação diferencial e a 
condição inicial é baseado na suposição da 
forma da solução, testando-a a justando-a por 
substituição. 
 
Circuitos com capacitores e indutores: correntes 
têm a forma de funções exponenciais (ou soma 
de exponenciais). 
 
Portanto, suporemos que ( )tsAti 1exp)( = . 
 
Substituindo em 0=+ i
L
R
dt
di
, temos: 
 
( ) ( ) 0expexp 111 =+ tsAL
RtsAs , 
 
ou ( ) 0exp 11 =

 + tsA
L
Rs 
 
 
Há dois coeficientes a serem determinados: 1s e 
A. 
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 4 
Essa equação é satisfeita por uma das três 
condições: 
1. 0=A : Não é uma solução, pois leva à 
0)( =ti para todo t, 
 
2. −∞=1s : Também não é uma solução, pois 
leva à 0)( =ti para todo t, 
 
3. LRs −=1 : É a solução escolhida. 
 
Portanto, 

−= t
L
RAti exp)( . 
 
Resta determinar o valor de A: pela aplicação da 
condição inicial, temos: 
 
At
L
RAIti
t
t =

−==
== 0
00 exp)( 
 
Portanto, como esperado, 0IA = e, finalmente, 
 


−= t
L
RIti exp)( 0 
 
 
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 5 
Propriedades da resposta exponencial 
 
A função 

−= t
L
RIti exp)( 0 , para dois 
valores de razão LR , é mostrada na figura 
abaixo: 
 
t
0
)(
I
ti
( )
1L
R
( )
2L
R
1t 2t
( ) ( )
21 L
R
L
R >1
t
0
)(
I
ti
( )
1L
R
( )
2L
R
1t 2t
( ) ( )
21 L
R
L
R >1
 
 
Observa-se que, quanto menor for a razão LR , 
mais “larga” será a curva. 
Uma forma mais precisa de definir essa largura 
da curva é: 
 
Tempo necessário, denotado por τ , para a 
corrente cair a zero se a taxa de decréscimo 
observada em 0=t fosse mantida. 
 
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 6 
t
0
)(
I
ti
τ
baty +=
t
0
)(
I
ti
τ
baty +=
 
 
A taxa de decréscimo observada em 0=t é a 
derivada de )(ti em 0=t : 
 
L
Rt
L
R
L
R
I
ti
dt
d
tt
−=

−−=
== 000
exp)( . 
 
O segmento de reta indicado na figura acima 
tem expressão 
1+−= t
L
Ry . 
 
Portanto: R
L−=τ segundos 
 
Ou seja, quanto maior for L ou menor for R, 
mais lentamente a intensidade da corrente 
circulando cairá. 
 
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 7 
Um exemplo de como o circuito analisado foi 
obtido: 
RL0I
A
B
A
B
RL0I
A
B
A
B
 
Ambas chaves trocam de posição no instante 
0=t . 
 
• A energia armazenada no indutor com a 
chave na posição A é 
2
02
1 LIWL = . 
Se L cresce, maior será a energia armazenada 
e, portanto, maior será o tempo necessário 
dissipar a potência no resistor na forma de 
calor, com a chave na posição B. 
 
• A potência dissipada no resistor na forma de 
calor é RipR
2= . 
 
Por outro lado, se R diminui, menor será 
potência dissipada pelo resistor. 
 
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 1 
Esta aula: 
ƒ Circuitos RC sem fontes independentes. 
ƒ Circuitos singulares. 
 
Vamos considerar