Notas de Aulas - Lista de Exercícios

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Universidade Federal do Espírito
Santo
Centro de Ciências Agrárias
Geomática I: notas de aula
Autor: Prof. Alexandre Cândido Xavier1
10 de outubro de 2013
1https://sites.google.com/site/alexandrecandidoxavierufes/
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Sumário
1 Matemática fundamental 1
1.1 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Ângulos em graus, grados e radianos . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Geometria analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Unidades métricas, Escala e determinação de áreas 17
2.1 Unidades de comprimento e área em topografia . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Determinação de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Decomposição de figuras elementares . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Área ao longo de um transecto . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3 Cálculo de área por Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Introdução a Geodésia e Cartografia 33
3.1 Geóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Posição Geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4 Coordenadas geodésicas retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Sistema de geodésico brasileiro . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Projeção cartográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.1 Projeção Universal Transversa de Mercador (UTM) . . . . . 47
4 GNSS 53
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Posicionamento por satélite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Segmentos GNSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Observáveis e fontes de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.1 Pseudodistância por código . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.2 Pseudodistância por fase da onda portadora . . . . . . . . . . 62
4.5.3 Erros nas observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6 Tipos de posicionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6.1 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6.2 Posicionamento por ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.3 Posicionamento diferencial (DGNSS) . . . . . . . . . . . . . . 66
4.6.4 Posicionamento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 Georreferenciamento de imóveis rurais 71
5.1 Objetivo e prazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 Profissional habilitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3 Tipos de vértices e sua identificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Referências Bibliográficas 75
iii
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HO 1Matemática fundamentalNa maioria dos problemas que serão vistos ao longo dos próximos capítulos haverá anecessidade de aplicação de cálculos simples. Por exemplo, em levantamentos topo-
gráficos convencionais são medidos em campo, entre os pontos de interesse, ângulos
e distâncias, que posteriormente serão utilizadas para cálculo das suas coordenadas
(x, y), tendo como base um plano topográfico local. Para estes cálculos são emprega-
das funções trigonométricas e conhecimentos básicos de geometria analítica. Neste
capítulo será realizada uma breve revisão de trigonometria e de geometria analítica.
1.1 Trigonometria
Trigonometria é a área da matemática estuda os triângulos e as relações de seus
lados com os seus ângulos. Neste estudo utiliza-se ângulos em diferentes unida-
des, e funções trigonométricas, sendo que ao longo desta seção estes pontos serão
esclarecidos.
1.1.1 Ângulos
Um ângulo é uma medida da abertura entre dois segmentos que tem um ponto
em comum, o qual é denominado vértice. Seja a Figura 1.1 representando dois
segmentos, o ângulo θ, um arco de comprimento “s” que está a uma distância “r”
do vértice. Matematicamente θ é:
θ = ks
r
, (1.1)
sendo k uma constante, que vai depender da unidade angular que se está traba-
lhando: radianos, graus ou grados, conforme será visto adiante. A constante k faz
com que a medida do ângulo seja independentemente do comprimento do arco s ou
da posição r em que o arco esteja iniciando.
θ
s
r
Figura 1.1
Medida de ângulo.
1.1.2 Ângulos em graus, grados e radianos
Vimos que ângulos são medidas entre dois segmentos. Nota-se que deve-se definir
qual é o segmento que terá o início da contagem da medida e qual o sentido a ser
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CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
percorrido, se horário ou anti-horário. As unidades angulares serão apresentadas
sobre um círculo, tendo como início a contagem o segmento que coincide com o
eixo-x e o sentido sendo anti-horário. Esta contagem é a mesma que é utilizada
para cálculos das funções trigonométricas. Na Figura 1.2 são apresentados alguns
ângulos, nas unidades de graus, radianos e grados.
Figura 1.2
Ângulos de graus,
radianos e gra-
dos sobre o círculo.
x
y
0◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
0◦
pi
4
pi
2
3pi
4
pi
5pi
4
3pi
2
7pi
4
0 360◦ 2pi rad 400g
50g
100g
150g
200g
250g
300g
350g
0g
A unidade de grau é aquela onde um círculo é dividido em 360 partes, sendo
utilizado como símbolo para o grau, “◦”, devendo o mesmo ser aplicado após o
número. Sobre o círculo no eixo-x positivo o ângulo é 0◦ ou 360◦, aumentando
no sentido anti-horário até que sobre o eixo-y positivo o ângulo é de 90◦, e assim
sucessivamente.
Podem-se considerar ângulos negativos. O significado é simples, por exemplo, se
o ângulo for −56◦, considere 56◦ sobre o círculo no sentido horário, ou seja, tem-se
que −56◦ = 304◦ (Figura 1.3). Ou seja, −56◦ e 304◦ estão na mesma posição sobre
o círculo, e se forem aplicadas funções trigonométricas a estes valores, os resultados
serão os mesmo. De forma similar, pode-se ter valores angulares superiores a 360◦.
Por exemplo 380◦, significa que já foi dada uma volta completa no círculo, mais 20◦,
desta forma 380◦ = 20◦.
Figura 1.3
Exemplo de ângu-
los positivos e nega-
tivos que resultam
na mesma posição.
x
y
−56◦
304◦
Os ângulos em graus podem estar nas formas sexagesimal ou decimal. A forma
sexagesimal é aquela em que o ângulo é apresentado em: i) graus, sem sua fração;
ii) subdivisão do graus, minutos (’); iii) e subdivisão dos minutos, segundos
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1.1. TRIGONOMETRIA
(”). Podem-se citar as seguintes relações entre graus, minutos e segundos: 1◦=60’;
1’= 60”; e logo 1◦=3600”. Na notação sexagesimal, os minutos variam de 0’ a 60’, e
os segundos de 0” a 60”. A única parte que admite decimal é a dos segundos. Alguns
exemplos de ângulos no sistema sexagesimal entre segmentos são apresentados na
Figura 1.4.
116◦33’54,18”63
◦26’5,82”
180◦0’0”
Figura 1.4
Exemplo de ângulos na
unidade sexagesimal.
Os ângulos em graus decimal são apresentados apenas em grau e sua fração.
A conversão de ângulos em graus sexagesimais para decimais é simples, basta so-
mar ao valor dos graus, aos minutos e aos segundos transformados em graus, como
apresentado no Exemplo 1.1.
Exemplo 1.1
Transforme o ângulo na forma sexagesimal 116◦33’54,18” para grau decimal.
Solução
Sabendo-se que 1◦=60’ e 1◦=3600”, temos:
116◦33’54,18” = 116◦ + 33’60’ +
54,18”
3600”
= 116,5650511◦.
Por outro lado, para converterum ângulo na forma grau decimal para sexa-
gesimal, primeiramente, a parte decimal do ângulo é multiplicada por 60’, deste
resultado, a parte inteira são os minutos e, a parte decimal é multiplicada por
60”, obtendo-se assim os segundos. Um exemplo desta conversão é apresentada no
Exemplo 1.2. A transformação de ângulos decimais para sexagesimais e vice-versa
é realizada automaticamente, pela maioria das calculadoras científicas, por meio da
tecla ◦ ’ ” , e o auxílio da tecla shift .
Exemplo 1.2
Transforme o ângulo decimal do Exemplo 1.1 para o sistema sexagesimal.
Solução
O ângulo é 116,5650511◦, tem fração 0,5650511◦. Com esta fração, tem-se para
os minutos:
minutos = 0,5650511 · 60’
= 33,903
= 33’.
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CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
Agora a fração dos minutos, 0,903’, em graus:
segundos = 0,903 · 60”
= 54,18”.
Desta forma, temos o ângulo na forma sexagesimal, 116◦33’54,18”.
Os ângulos em radianos são abreviados por “rad”, sendo que 1 rad corresponde
ao ângulo que subentende o comprimento do arco, s, de comprimento igual ao raio,
r, como mostrado na Figura 1.5. Uma volta total em um circunferência corres-
ponde a 2pi rad. O valor de pi é definido como a razão entre o perímetro de uma
circunferência e o seu diâmetro, sendo ≈ 3,1415927. Para os nossos cálculos deve-se
utilizar o valor de pi dado pela calculadora ou planilha eletrônica. A unidade angular
de radianos é a utilizada para cálculos de funções trigonométricas na maior parte
dos programas e linguagens computacionais, como por exemplo a planilha Excel1,
planilha do Google2, C++3, Java4, Python5, Matlab6 etc.
Figura 1.5
Significado geo-
métrico de 1 rad.
r
r
1 rad
s = r
Os ângulos em grados tem como símbolo “g”, e é colocado após o valor da
medida. Nesta unidade o círculo é dividido em 400 partes, sendo aceito a decimal
de grados. É uma unidade utilizada por alguns países europeus, como por exemplo
Portugal.
A conversão entre unidades angulares é bastante simples. Por exemplo, se con-
siderar apenas meio círculo, têm-se: pi rad = 180◦ = 200g.
Exemplo 1.3
Quanto vale 116◦33’54,18” em radianos e grados?
Solução
Primeiramente, este ângulo deve ser transformado para grau decimal, o que foi
realizado no Exemplo 1.1. Por meio da relação entre as unidades de graus e radianos,
mostradas acima, tem-se, para transformá-lo em radianos (xrad):
xrad
116,5650511◦ =
pi
180◦
xrad =
116,5650511◦ · pi
180◦
xrad = 2,0344 rad.
1Ver http://office.microsoft.com/pt-br/
2Ver https://support.google.com/drive/bin/topic.py?hl=pt-BR&topic=30240
3Ver http://www.open-std.org/
4Ver http://www.java.com/pt_BR/
5Ver http://www.python.org/
6Ver http://www.mathworks.com/
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1.1. TRIGONOMETRIA
Aplica-se agora a relação entre graus e grados para encontrar o valor angular em
grados (xgrado), como:
xgrado
116,5650511◦ =
200g
180◦
xgrado =
116,5650511◦ · 200g
180◦
xgrado = 129,5167g.
Os instrumentos que medem ângulos são chamados goniômetros, um transferidor
é um goniômetro, assim como alguns equipamentos topográficos que os possuem,
como o teodolito e a estação total. É por meio destes equipamentos que são realizadas
a medidas de ângulos entre pontos de interesse. Geralmente, estes equipamentos
apresentam os ângulos na unidade de graus e no sistema sexagesimal. Para trabalhar
com estes dados em planilhas eletrônicas, estes devem ser transformados para grau
decimal, e posteriormente para a unidade de radianos, pois é nesta unidade que a
maioria dos programas computacionais trabalham com as funções trigonométricas.
Deve-se prestar atenção quanto ao uso de ângulos em calculadora científica. Ge-
ralmente ela pode trabalhar nas três unidades angulares apresentadas, bastando
ajustá-la para a unidade que é requerida nos cálculos. A unidade de grau que a cal-
culadora estiver trabalhando pode ser visualizada na tela da mesma, onde as letras:
“D7”, “R” e “G”, identificam que a calculadora está trabalhando, respectivamente,
em graus, radianos e grados. Para modificar a unidade de grau da calculadora,
deve-se consultar manual e seguir procedimento indicado.
Encerrando este assunto, vamos observar mais uma vez a Equação 1.1. Agora
podemos facilmente calcular o valor da constante k. Para a unidade de radianos
temos para θ = 1 rad, o comprimento do arco (s) é igual ao raio (r), desta forma
k = 1 rad. Caso a unidade seja de graus, sabe-se que para θ = 180◦, para um arco
de raio r, teremos um comprimento de arco, s = pi · r, desta forma, substituindo
na Equação 1.1, temos k = 180◦pi . Utilizando o mesmo raciocínio acima você pode
encontrar o valor de k para ângulo na unidade grado.
1.1.3 Funções trigonométricas
Para definir as funções trigonométricas de ângulos agudos (θ < 90◦), serão utilizadas
razões entre os lados de um triângulo retângulo (Figura 1.6). Neste triângulo, o
maior lado, oposto ao ângulo reto (90◦), é denominado de hipotenusa; o lado que
contém o vértice do ângulo medido é denominado de cateto adjacente; e o lado
oposto a este ângulo é o cateto oposto. As funções trigonométricas aplicadas ao
ângulo θ são, o seno (sin), o cosseno (cos), a tangente (tan), a cotangente (cot), a
secante (sec) e a cossecante (csc), sendo apresentadas nas Equações 1.2 a 1.7.
θ
cateto adjacente
cateto opostohip
ote
nu
sa
Figura 1.6
Triângulo retângulo uti-
lizado para definição
das funções trigonomé-
tricas.
7Abreviação de graus em inglês, degree.
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CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
sin θ =
(cateto oposto
hipotenusa
)
(1.2)
cos θ =
(cateto adjacente
hipotenusa
)
(1.3)
tan θ =
( cateto oposto
cateto adjacente
)
(1.4)
cot θ =
(cateto adjacente
cateto oposto
)
(1.5)
sec θ =
( hipotenusa
cateto adjacente
)
(1.6)
csc θ =
( hipotenusa
cateto oposto
)
(1.7)
Uma vez conhecidos os lados de um triângulo retângulo, é possível por meio das
funções trigonométricas inversas encontrar um determinado ângulo desejado. Cita-
se abaixo as funções inversas: arco-seno (arcsin ou sin−1); arco cosseno (arccos ou
cos−1) e arco-tangente (arctan ou tan−1). Em calculadoras eletrônicas e planilhas,
os valores das funções inversas estão restritas à diferentes domínios, para maiores
detalhes ver Stewart (1999).
θ = arcsin
(cateto oposto
hipotenusa
)
(1.8)
θ = arccos
(cateto adjacente
hipotenusa
)
(1.9)
θ = arctan
( cateto oposto
cateto adjacente
)
(1.10)
Exemplo 1.4
Para o triângulo retângulo da Figura 1.7, determinar θ, α, e o seno, o cosseno e a
tangente destes ângulos?
Figura 1.7
Triângulo retân-
gulo do Exemplo 1.4. θ
6,4 m
α
5 m
Solução
A hipotenusa vale 6,4 m. Para o ângulo θ, o lado de 5 m é o seu cateto oposto.
Desta forma, pode-se utilizar a função arco-seno para determinar θ:
θ = arcsin
(cateto oposto
hipotenusa
)
= arcsin
( 5
6,4
)
= 51,3752◦.
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1.1. TRIGONOMETRIA
Para calcular α, sabe-se que a soma dos ângulos de um triângulo são 180◦, logo
α = 180◦ − (51,3752◦ + 90◦) = 38,6248◦. As funções trigonométricas para θ e α:
sin θ = 0,7813 cos θ = 0,6242 tan θ = 1,2515
sinα = 0,6242 cosα = 0,7813 tanα = 0,7990
Para as definição das funções trigonométricas em função apenas de um ângulo
qualquer, utiliza-se a figura de um circulo unitário, ou seja de raio 1 (Figura 1.8).
Os valores de cos θ e sin θ correspondem, respectivamente a coordenada x e y do
ponto final do raio. Logo os seus valores varião entre -1 e 1, sendo que os seus sinais
mudam conforme o quadrante. Maiores detalhes podem ser encontrados em livros
de cálculo.
1-1
1
-1
x
y
θ
si
n
θ
cos θ
1◦ quadrante
sin θ = +
cos θ = +
tan θ = +
2◦ quadrantesin θ = +
cos θ = −
tan θ = −
3◦ quadrante
sin θ = −
cos θ = −
tan θ = +
4◦ quadrante
sin θ = −
cos θ = +
tan θ = −
1
Figura 1.8
Senos e cossenos sobre
o circulo unitário e os
sinais.
Agora, considere um triângulo de lados a, b e c, com os ângulos opostos a estes
lados, respectivamente, Â, B̂ e Ĉ, conforme a (Figura 1.9). A lei dos senos apresenta
as relações apresentadas na Equação 1.11. Um exemplo clássico de aplicação da lei
dos senos aplicada à topografia é apresentado no Exemplo 1.5.
a
sin Â
= b
sin B̂
= c
sin Ĉ
. (1.11)
a
b
c
B̂
Ĉ Â
Figura 1.9
Esquema de um triân-
gulo para definição da
leis dos senos e cosse-
nos.
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CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
Exemplo 1.5
Considere o esquema apresentado na Figura 1.10. Um levantamento topográfico foi
realizado do lado esquerdo do rio, e não se tem acesso ao lado direito, onde encontra-
se o ponto P. Todavia deseja-se obter a distância entre AP. Para tanto, mediu-se:
com uma trena, a distância de A ao ponto B, resultando em 50 m; por meio de um
teodolito estacionado em A, visando-se sucessivamente P e B, o ângulo α = 37◦51’;
e por fim, também com o teodolito, agora estacionado em B, visando-se A e P, o
ângulo β = 75◦47’. Por meio destas medidas, calcule a distância AP.
Figura 1.10
Esquema do Exem-
plo 1.5 para o le-
vantamento da dis-
tância AP, onde o
ponto P é inacessível.
50 m
rio
α
A
β
B
Pγ
Solução
A lei dos senos pode ser utilizada para determinar a distância do ponto inacessível
P. Como dois ângulos do triângulo da Figura 1.10 foram medidos, pode-se calcular
o outro, ao qual denominaremos de γ, sendo:
γ = 180− (α+ β)
= 180− (37◦51’ + 75◦47’)
= 66◦22’
Uma vez que conhecemos o lado AB=50 m, o seu ângulo oposto, γ = 66◦22’, e o
ângulo α = 75◦47’, oposto ao lado que queremos determinar, AP, pode-se aplicar a
lei dos senos, como segue abaixo:
AB
sin γ =
AP
sinα
50 m
sin 66◦22’ =
AP
sin 75◦47’
AP = 50 m · sin 75
◦47’
sin 66◦22’
AP = 52,906 m.
A outra lei trigonométrica que vamos apresentar é a dos cossenos. Ela relaciona
os lados do triângulo com um ângulo interno, podendo-se apresentar, para os ângulos
internos da Figura 1.9, as Equações 1.12 a 1.14. Pode-se utilizar estas Equações para
marcação de ângulos em campo, como será apresentado no Exemplo 1.6.
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1.2. GEOMETRIA ANALÍTICA
a2 = b2 + c2 − 2bc cos  cos  =
(
a2 − (b2 + c2)
−2bc
)
(1.12)
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B̂ cos B̂ =
(
b2 − (a2 + c2)
−2ac
)
(1.13)
c2 = a2 + b2 − 2ab cos Ĉ cos Ĉ =
(
c2 − (a2 + b2)
−2ab
)
(1.14)
Exemplo 1.6
Considerando que os comprimentos do lados do triângulo apresentado na Figura 1.9
são: a = 32 m, b = 28 m e c=23 m. Determine os ângulos internos.
Solução
A partir da lei dos cossenos, temos para Â:
cos  =
(
a2 − (b2 + c2)
−2bc
)
 = arccos
(
a2 − (b2 + c2)
−2bc
)
 = arccos
(
322 − (282 + 232)
−2 · 28 · 23
)
 = 77,0336◦
Para B̂ :
cos B̂ =
(
b2 − (a2 + c2)
−2ac
)
B̂ = arccos
(
b2 − (a2 + c2)
−2ac
)
B̂ = arccos
(
282 − (322 + 232)
−2 · 32 · 23
)
B̂ = 58,5054◦
Uma vez que conhecemos dois lados do triângulo, então
Ĉ = 180− (Â+ B̂) = 44,4610◦.
1.2 Geometria analítica
Para dados bidimensionais é utilizado o plano cartesiano, formado pelos eixos orto-
gonais entre si, denominados de eixo-x e eixo-y. A posição de pontos neste sistema
dar-se-á por meio de coordenadas retangulares ou polares. A coordenada retan-
gular de um ponto é dada por sua posição horizontal e vertical, coordenada-x e
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CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
coordenada-y, respectivamente. Exemplo do plano cartesiano e pontos com suas
respectivas coordenadas retangulares são apresentados na Figura 1.11. Estas coor-
denadas podem estar em qualquer unidade de comprimento, sendo que em geomática
a mais comum é a de metro (m). Logicamente, caso a unidade fosse de metro, esta
figura estaria reduzida a determinada escala.
Figura 1.11
Posição de alguns
pontos e suas coor-
denada retangulares.
x
y
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
B(0, 0)
A(4,5; 2,1)
B(-1; 3,7)
C(-4,9; -3,2)
D(4,9; -1,3)
Caso as coordenadas retangulares de dois pontos quaisquer sejam conhecidas, por
exemplo, os pontos 1(x1; y1) e 2(x2; y2) da Figura 1.12, pode-se calcular a distância
entre eles (d). Para tanto, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras, e teremos a
distância euclidiana entre os pontos, como mostrado abaixo:
d2 = ∆x2 + ∆y2
d =
√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
(1.15)
Figura 1.12
Esquema para cál-
culo da distância
entre dois pontos.
(x1, y1)
(x2, y2) ∆x = x1 − x2
∆y = y1 − y2
d
Exemplo 1.7
Qual a distância entre os pontos A e C apresentados na Figura 1.11? Considere que
a unidade é o metro.
Solução
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RA
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HO
1.2. GEOMETRIA ANALÍTICA
As coordenadas de A e C são(4,5 m; 2,1 m) e (-4,9 m; - 3,2 m), respectivamente.
Aplicando a Equação 1.15:
d =
√
(xA − xB)2 + (yA − yB)2
=
√
(4,5−−4,9)2 + (2,1−−3,2)2
=
√
(4,5 + 4,9)2 + (2,1 + 3,2)2
= 10,791 m.
A coordenada polar de um ponto é dada pelo seu raio (r), distância entre a origem
do sistema cartesiano ao ponto, e seu ângulo (θ), medido a partir do eixo-x positivo,
sentido anti-horário, até raio. Exemplo de coordenadas polares para os pontos A
e C vistos na Figura 1.11 podem ser observados na Figura 1.13. Aprenderemos
posteriormente que em levantamentos topográficos trabalhamos com um tipo de
coordenada polar, em que o ângulo é denominado de Azimute, e o raio o comprimento
do alinhamento. Porém o ângulo de Azimute é medido a partir do eixo-y, e o sentido
de contagem angular é o horário. Mais detalhes serão vistos posteriormente.
x
y
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
A(25, 017◦; 4, 97)
r =
4, 9
7
θ = 25, 017◦
C(213, 147◦; 5, 85)
r =
5,
85
θ = 213, 147◦
Figura 1.13
Coordenadas polares
para os pontos A e C
da Figura 1.11.
A transformação de coordenada polar para retângular pode ser deduzida a partir
da Figura 1.14. Considere um ponto P, de coordenada polar (θP,rP). Queremos
obter sua coordenada retangular (xP,yP). Pode-se verificar que o cateto oposto e o
cateto adjacente ao ângulo θP correspondem, respectivamente, à coordenada yP e
xP. Serão aplicadas as funções seno e cossenos ao ângulo θ, que tem como hipotenusa
rP, o que resultará na obtenção da coordenada retangular, como apresentado nas
Equações 1.16 e 1.17. Estas equações são aplicadas para pontos localizados em
quaisquer quadrante.
cos θP =
xP
rP
xP = rP cos θP
(1.16)
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CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
Figura 1.14
Esquema gráfico para
conversão entre coorde-
nada polar e retangular.
x
y
P(xP, yP)
θP
rP
cateto oposto ao θ
cateto adjacente ao θ xP
yP
sin θP =
yP
rP
yP = rP sin θP
(1.17)
Exemplo 1.8
Considere a coordenada polar do ponto C da Figura 1.13. Qual a sua coordenada
retangular? Considere que a unidade seja de metro.
Solução
A coordenado polar de C é 213,147◦ e r =5,85, então:
xC = rC cos θC
xP = 5,85 cos 213,147◦
xP = -4,9 m.
yC = rC sin θC
yC = 5,85 sin 213,147◦
xP = -3,2 m.
Como era esperado, a coordenada retângular de C é a mesma apresentada na Fi-
gura 1.11.
Agora será apresentada a transformação de coordenada retangular para polar.
Para tanto utilizaremos mais uma vez o esquema da Figura 1.14. Só que desta vez,
a coordenada retangular de P, (xP,yP), é que é conhecida. Uma vez que se têm os
dois catetos do triângulo retângulo, oraio de P, rP, é obtido por meio da fórmula de
Pitágoras (Equação 1.18). Já o ângulo θP, para este quadrante, pode ser obtido por
meio da função arco-tangente, como apresentada na Equação 1.19. A Equação 1.18
é valida para pontos em qualquer quadrante. Já a Equação 1.19, para cálculo de θp,
é valida apenas para o primeiro quadrante. Para os demais pode-se obter o valor
angular facilmente, como será apresentado no Exemplo 1.9.
rP =
√
x2P + y2P (1.18)
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1.2. GEOMETRIA ANALÍTICA
tan θP =
yP
xP
θP = arctan
(
yP
xP
) (1.19)
Exemplo 1.9
Considere a coordenada retangular do ponto D da Figura 1.11. Qual a sua coorde-
nada polar? Considere que a unidade seja de metro.
Solução
A coordenado retangular de D é (4,9 m; -1,3 m). Ela é novamente mostrada na
Figura 1.15. Observe que a projeção das coordenadas e o raio de D, rD, resultam
em um triângulo retângulo, em que, 4,9 m é o cateto oposto a α, e 1,3 m é o cateto
adjacente, podendo-se calcular α:
x
y
D(4,9; -1,3)
α
θD
rD Figura 1.15
Esquema gráfico para
conversão entre coor-
denada retângular para
polar.
tanα = yD
xD
α = arctan
(
yD
xD
)
α = arctan
(1,3
4,9
)
α = 14,8586◦.
Agora pode-se calcular θD, pois, θD = 360◦ − α = 345,1414◦. Para se calcular rD,
temos:
rD =
√
x2D + y2D
rD =
√
4,92 + 1,32
rD = 5,07 m.
Desta forma, a coordenada polar de D é θD = 345,1414◦ e rD = 5,07 m.
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Exercícios
1.1. Com o triângulo da Figura 1.2, de coordenada R(12,3 m, 6,1 m), calcular os
ângulos α, β, e o seno, cosseno e tangente destes ângulos.
Figura 1.16 x(m)
y(m)
α
β
R
Resp.: α=26,3784◦; β=63,6216◦; sinα=0,4443; cosα=0,89588; tanα=0,49593;
sin β=0,89588; cosβ=0,4443; tan β=2,0163.
1.2. Converter 0,0006◦ para segundos.
Resp.: 2,16”.
1.3. Expressar 2,32 rad e 1,25 rad em graus decimais.
Resp.: 132,926◦; 71,619◦.
1.4. Converter 10◦15’39” para graus decimais.
Resp.: 10,26083333.
1.5. Converter 11◦50’3” para radianos.
Resp.: 0,207 rad.
1.6. Um triângulo tem lados a=7,5 m, b=8,9 m e c= 10,2 m. Calcule: i) a área
(m2 e ha); ii) os ângulos internos.
Resp.: 32,437 m2; 0,003243 ha; aˆ = 45,614◦; bˆ= 57,999◦; cˆ = 76,387◦.
1.7. Utilizando calculadora, calcule o seno, cosseno e tangente de 22,3◦, 42,6◦, 51,3◦
89,1◦ e 76,5◦.
Resp.: Tabela 1.1.
Tabela 1.1 Ângulo(◦) seno cosseno tan
22,3 0,37946 0,92521 0,41013
42,6 0,67688 0,73610 0,91955
51,3 0,78043 0,62524 1,24820
89,1 0,99988 0,01571 63,65674
76,5 0,97237 0,23345 4,16530
1.8. Um topógrafo necessita determinar a distância entre A e B, mostrados na Fi-
gura 1.17. Infelizmente, seu equipamento de medição eletrônica de distância não está
funcionando. Devido a isto: em A, o topógrafo mediu o ângulo de 88◦; determinou
a distância AC =159,49m; e em C mediu de 51◦. Calcule o comprimento AB.
Resp.: AB = 188,927 m
1.9. Dadas as coordenadas retangulares dos pontos: A(5, -19), B(-23, -10),C(-29, 4),
D(13, 11). Calcular as respectivas coordenadas polares.
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1.2. GEOMETRIA ANALÍTICA
1
5
9
,4
9
m
51◦
C
88◦
A
B
Figura 1.17
R (m) Ângulo (◦)
19,6468 284,7436
25,0798 203,4986
29,2745 172,1467
17,0293 40,23636
Tabela 1.2
Resp.: Tabela 1.2.
1.10. Dadas as coordenadas polares dos pontos: A(72,9m, 314◦27’);
B(58,1m, 260◦22’); C(100,9m, 118◦41’); D(29,3m, 25◦28’), calcular as respec-
tivas coordenadas retangulares.
Resp.: Tabela 1.3.
Ponto x(m) y (m)
A 51,05089 –52,0405
B –9,72259 –57,2807
C –48,4288 88,51814
D 26,45308 12,59859
Tabela 1.3
1.11. Deseja-se medir a altura da torre de uma igreja segundo a Figura 1.18. A
distância inclinada foi medida a partir do prédio, como mostrado, e dois ângulos
verticais foram determinados. Qual a altura da igreja?
Resp.: Altura = 115,981 m.
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CAPÍTULO 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL
Figura 1.18
16◦12’
36◦
Igreja
118,75 m
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HO 2Unidades métricas, Escala e determinaçãode áreas
Este capítulo tem como objetivo central a determinação de áreas. Começaremos com
a apresentação às unidades de comprimento e de área mais utilizadas em geomática.
Como geralmente os desenhos topográficos estão reduzidos à determinada escala, ela
será definida e aplicada em problemas. Por fim, alguns métodos de cálculo de área
serão apresentados.
2.1 Unidades de comprimento e área em topografia
O Sistema Internacional de Unidades (SI) tem como unidade de comprimento o
metro (m). Ele é definido como o comprimento do caminho viajado pela luz durante
o intervalo de 1/299.792.458 segundo. Seguem alguns exemplos de subdivisões do
metro: o milímetro (mm, 1 mm= 10−3 m = 0,001 m); o centímetro (cm, 1 cm
=10−2 m=0,01 m); e o decímetro (dm, 1 dm = 10−1m=0,1 m). Como múltiplo
de metro pode-se citar o quilômetro (km, 1000m=1km), geralmente utilizado em
medidas sobre mapas ou cartas de pequenas escala.
A unidade de área empregada é o m2. Para medidas de superfície terrestre
também podem-se empregar outras unidades, como o “are” (1 are= 100 m2) e seus
múltiplos, sendo que o mais utilizado é o hectare (“ha”), em que 1 ha=10.000m2.
Unidades de área mais antigas ainda hoje são utilizadas, como o alqueire (“alq”).
Há dois tipos de alqueire, o geométrico e o paulista, sendo que um alqueire geomé-
trico é igual a 48.400 m2, enquanto o paulista, a 24.200 m2. Na apresentação de
grandes extensões de área, como as presentes em mapas ou cartas topográficas,
utiliza-se a unidade de km2. Outras unidades de comprimento e área podem ser
encontradas em Comastri e Tuler (2003).
Exemplo 2.1
Converta 1 km2 para m2, ha, alqueire geométrico e paulista?
Solução
Para m2: como 1 km = 1000 m, então, elevando ao quadrado ambos os lados,
(1 km)2 = (1000 m)2, vai resultar em 1 km2 = 106 m2 = 1.000.000 m2;
Para ha: sabe-se agora que a área é de 106 m2, como 1 ha=10.000 m2, então a
área em ha (xha):
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CAPÍTULO 2. UNIDADES MÉTRICAS, ESCALA E DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
xha
106 m2 =
1 ha
10.000 m2
xha =
1 ha · 106 m2
10.000 m2
xha = 100 ha;
Para alqueire geométrico: como 1 alqueire= 48.400 m2, então a área em alqueire
geométrico (xalqGeo):
xalqGeo
106 m2 =
1 ha
48.400 m2
xalqGeo =
1 alqueiro · 106 m2
48.400 m2
xalqGeo = 20,6612 alqueiro geométrico;
Para alqueire paulista: como 1 alqueire= 24.200 m2, então a área em alqueire pau-
lista (xalqPau):
xalqGeo
106 m2 =
1 ha
24.200 m2
xalqGeo =
1 alqueiro · 106 m2
24.200 m2
xalqGeo = 41,3223 alqueiro paulista.
2.2 Escala
Quando se realiza levantamento na superfície terrestre, obtêm-se as coordenadas
dos pontos desejáveis, e posteriormente são apresentados em papel ou na tela do
computador. Logicamente que as medidas de distância e áreas da superfície terrestre
são demais extensas para caberem, nas mesmas proporções, em papel ou tela de
computador. Para ajustar ao papel/tela, é realizada uma redução das dimensões a
uma escala apropriada, de acordo com o tamanho do papel/tela. E o que vem a ser
uma escala? A escala (E) é a relação entre a distância de um objeto apresentado no
papel/tela (l) e a sua verdadeira distância na natureza (L), isto é:
E = l
L
(2.1)
Para o uso desta Equação as unidades de l e L devem ser as mesmas. Observe
que para levantamentos sobre a superfície terrestre L� l. Desta forma, a E resulta
em um número muito pequeno, o que demandaria o uso de várias casas decimais
para representá-lo, dificultando a sua interpretação. Para apresentar a E de uma
forma mais intuitiva, usa-se a forma:
E = 1
M
, (2.2)
em que M é denominado o módulo da escala, sendo M = L/l. A E na forma da
Equação 2.2 tem uma interpretaçãobastante simples. Por exemplo, se na forma de
decimal E = 0,00028571, na forma da Equação 2.2 seria E = 1/3500. Obviamente
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2.2. ESCALA
E = 0,00028571 = 1/3500, mas na segunda forma, já conclui-se de imediato que,
por exemplo, 1 m de um comprimento no papel, corresponderia ao comprimento de
3500 m em campo. Ou de outra forma, 1 cm de comprimento no papel, corresponde
a 35 m em campo1. A escala numérica pode estar na forma de fração (p. ex.,
E = 1/3500); proporção (p. ex., E = 1 : 3500); ou equação (p. ex., 1 cm=35 m).
Exemplo 2.2
A distância entre dois postes em uma rua equivale a 33,4 m. Quando representados
em papel, estes postes estavam distantes 3 cm entre si. Qual a escala do desenho?
Solução
Utilizando a Equação 2.2, e sabendo que l=3 cm=0,03 m, e L igual a 33,4 m, o
módulo da escala será:
M = L
l
= 33,40,03
= 1113
O resultado exato deM é 1.113,3333333. . ., todavia na apresentação da E, utiliza-se,
geralmente, apenas o número inteiro. Desta forma, E=1/1.113.
Exemplo 2.3
Em uma planta topográfico mediu-se um talhão na forma de um retângulo, obtendo-
se como comprimentos dos lados os valores de 2,3 cm e de 0,9 cm. Sabendo-se que
a escala do desenho era de 1 : 6000, calcule a área do talhão em m2?
Solução
Este problema será resolvido de duas formas. A primeira é calculando os compri-
mentos dos lados em metros e depois calculando a área. A escala é 1 m=6000 m, que
é o mesmo que 1 cm=60 m. Utilizando esta última relação, aplica-se regra de três,
obtendo-se para os lados de 2,3 cm e de 0,9 cm, respectivamente, os comprimentos
dos lados de 138 m e 54 m. Desta forma, a área seria de 7.452 m2 (138 m× 54 m).
Uma outra maneira de calcular a área do talhão é, calculá-la em cm2 e convertê-la
para m2. Assim, a área é de 2,07 cm2 (2,3 cm× 0,9 cm). A escala, como já foi dito,
é utilizada para medidas de comprimento. Todavia, elevando ambos os lados da
escala ao quadrados, teremos uma relação entre área de desenho e área na natureza.
Desta forma, elevando ambos os lados da escala (1 cm=60 m) ao quadrado tem-se:
(1 cm)2 = (60 m)2
1 cm2 = 3600 m2.
1Como 1 m=100 cm, então de acordo com a escala 100 cm=3500 m, dividindo-se ambas as
partes por 100, temos 1 cm=35 m.
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CAPÍTULO 2. UNIDADES MÉTRICAS, ESCALA E DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
Logo, a área do talhão será 2,07×3600=7452 m2.
Uma outra forma de representação da escala é a gráfica, que tem como
vantagem, que, mesmo se o mapa/carta for reduzida ou ampliada, a escala gráfica
se mostrará apropriada para análises, uma vez que ela é reduzida ou ampliada na
mesma proporção. Dois exemplos de escalas gráficas são apresentados na Figura 2.1.
Figura 2.1
Exemplos de es-
calas gráficas.
0 m 20 m10 m 30 m 40 m
E = 1 : 500
E =
1
80.000
4000 m0 m
Para desenhar uma escala gráfica aplicam-se as seguinte etapas:
a) a escala gráfica a ser desenhada é colocada na parte inferior ou inferior e a
direita do mapa/carta;
b) quanto ao tamanho, não deve ser muito pequeno, impossibilitando uma leitura
adequada, nem muito grande, ocupando um espaço desproporcional ao desenho
a ser apresentado;
c) definido o tamanho e posição, faz-se a sua subdivisão; pintando intercalada-
mente as subdivisões;
d) conhecendo a escala numérica, coloca-se sobre as subdivisões suas distância
em relação ao ponto inicial da escala;
No Exemplo 2.3 é apresentado passo a passo a construção de uma escala gráfica.
Exemplo 2.4
Um levantamento de uma propriedade será apresentado em papel A4, onde foi esta-
belecida a E = 1 : 1500, desenhe uma escala gráfica com 6 cm de comprimento.
Solução
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2.3. DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
6 cm
2 cm 2 cm 2 cm
0 m 60 m30 m 90 m
E =
1
1.500
1) Com o auxílio de uma régua, trace
uma linha com 6 cm de comprimento
na posição desejada;
2) Subdivida a escala em distâncias
iguais, neste caso a cada 2 cm;
2) Por último, altere as cores entre
preto e branco; e sabendo-se que a
escala é de E = 1 : 1500, temos
2 cm=30 m, então no início do de-
senho da escala (0 cm) coloca-se a leg-
enda 0 m. E nas posições 2 cm, 4 cm
e 6 cm colacam-se as legendas 30 m,
60 m e 90 m, respectivamente.
2.3 Determinação de áreas
Normalmente, em problemas topográficos, há a necessidade de se calcular áreas. As
áreas podem ser: i) da superfície projetada do plano topográfico ou cartográfico
(plano horizontal), quando se deseja, por exemplo, conhecer a área que se pode
cultivar, ou em caso de construções, as áreas disponíveis para locação de obras de
engenharia; ou ii) no plano vertical, quando se deseja realizar cálculos de volumes
de corte e de aterro. Neste capítulo veremos algumas metodologias para medição de
área que serão necessárias ao longo do curso.
2.3.1 Decomposição de figuras elementares
Uma maneira grosseira de realizar medidas de uma área (A), seja diretamente em
uma planta topográfica ou mesmo em levantamento de campo, é na decomposição
de sua área em figuras geométricas simples, como triângulos, trapézios e retângulos.
Na Figura 2.2 é apresentada um limite de uma propriedade onde se pretende medir
a área. Ela é delimitada a sua esquerda por um rio e a sua direita pelos vértices
ABCDEFG. Decidiu-se então por decompô-la nas figuras geométricas: de três
triângulos (BCF , CDF e DEF ); um retângulo (GFJK); e dois trapézios (HIJK e
ABIH). Observe que as áreas do retângulo e dos trapézios são apenas aproximações
ao limite do rio, pois assume-se que ele se aproxima a seguimentos retos. Se o rio
fosse mais sinuoso, poderia utilizar mais retângulos e trapézios para melhorar o
ajuste.
Em campo, as medidas de comprimento dos lados das figuras geométricas podem
ser realizadas utilizando-se, por exemplo, uma trena ou uma estação total. Se a
área estivesse representada em papel, bastaria medir os lados dos segmentos que
formam as figuras geométricas com uma régua e aplicar a estes valores a escala. Se
o levantamento já se encontra na forma digital, em ambiente de SIG2 ou de CAD3,
as distâncias são obtidas de maneira automática. Uma vez conhecida as distâncias
2Abreviação de Sistema de Informação Geográfica, que diz respeito a utilização de computador
e programas para solução de problemas espaciais.
3CAD é a abreviação de “Computer-aided design”, desenho acompanhado por computador, que
são programas de computador para desenvolvimento de desenhos técnicos.
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CAPÍTULO 2. UNIDADES MÉTRICAS, ESCALA E DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
Figura 2.2
Decomposição de
uma área em figu-
ras elementares.
A B C
D
EFG
H I
JK
53,5 m27,4 m
45,1 m
21,7 m
21,7 m 62,9 m
28
,3
m
83,
2 m
51,5
m
56
,5
m
1
5
,5
m
3
6
,8
m
2
2
,7
m
entre os alinhamentos das figuras geométricas propostas, calcula-se de cada uma, e
posteriormente, são somadas, obtendo-se a área total.
A área de um retângulo é dada pelo produto dos seus lados. A de um trapézio
(Figura 2.3) é a soma da bases, b1 e b2, multiplicada pela altura4 (h) dividida por
dois, isto é, A = 12(b1 + b2)h.
A área de um triângulo pode ser calculada de diversas formas, dependendo dos
dados disponíveis, se os comprimentos dos lados e/ou ângulos internos. Considere o
triângulo da Figura 2.3. Caso sejam conhecidas(os):
a) a sua altura (h) e base (nesta Figura o lado b), a área será:
A = bh2 ; (2.3)
b) os dois lados e o ângulo formado entre eles, na Figura 2.3, os lados a, b e o
ângulo α, a área será:
A = 12ab sinα; (2.4)
c) os comprimentos dos três lados do triângulo estão disponíveis, usa-se a fórmula
de Heron, também conhecida como a fórmula do semiperímetro, definida por:
A =
√
p (p− a) (p− b) (p− c), (2.5)
em que p é semiperímetro: p = a+ b+ c2 .
2.3.2Área ao longo de um transecto
Quando a superfície a ser determinada apresenta-se com uma forma estreita, pode-
se estabelecer um alinhamento na direção do maior comprimento com o auxílio
de um teodolito ou estação total, e a partir deste alinhamento, a espaçamentos
constantes ou não, lançar perpendiculares até os pontos limitantes. A definição
se o espaçamento será constante ou não dependerá do limite da divisa ser ou não
uniforme.
4Chamam-se de bases de um trapézio os seus lados paralelos e, sua altura, a distância que separa
estes dois lados.
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2.3. DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
b1
b2
Trapézio
hh
a
b
c
α
Triângulo
Figura 2.3
Exemplo de um triân-
gulo e de um trapézio.
Um exemplo de um transecto em que o espaçamento pode ser constante é apre-
sentado na Figura 2.4, onde se tem o alinhamento principal dado por AB, e as
medidas dos comprimentos das perpendiculares, espaçada, neste caso, de 20 m em
20 m. Desta forma, haverá como resultado, que cada par de perpendiculares, quando
ligadas, formarão as bases (b) de um trapézio e o espaçamento entre as perpendi-
culares, a sua altura (h). Se somarmos as áreas de todos os trapézios, teremos a
da área total. Nota-se que o ajuste ao limite original não é perfeito, todavia, como
a área é aproximadamente uniforme e que, haverão trapézios que irão subestimar
área e outros que irão superestimá-la, há uma tendência de que o valor calculado se
aproximar do valor real. A área poderá ser calculada como:
A = (b0 + b1)h2 +
(b1 + b2)h
2 + . . .+
(bn−1 + bn)h
2
A = h
(
b0
2 + b1 + b2 + . . .+
bn
2
)
.
(2.6)
20 m
25,8 m
40 m
27,4 m
60 m
26,1 m
80 m
25,6 m
100 m
12,5 m
0 m
0 m
A B
h
Limite da área
Aproximação ao limite da área
Perpendiculares ao alinhamento AB
Figura 2.4
Exemplo um transecto
uniforme e a aproxima-
ção a figuras de trapé-
zios.
Exemplo 2.5
Calcular a área do transecto mostrada na Figura 2.4.
Solução
Considerando a Equação 2.6, com as perpendiculares sendo as bases e h = 20 m,
temos:
A = 20
(0
2 + 25,8+27,4+26,1+25,6 +
12,5
2
)
.
= 2.223 m2.
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CAPÍTULO 2. UNIDADES MÉTRICAS, ESCALA E DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
Considera-se agora a parte limitante do transecto não uniforme, conforme Fi-
gura 2.5. Para calcular a área com espaçamento constante e obter uma boa es-
timativa da área, o espaçamento entre as perpendiculares teriam que ser menor.
Todavia, tal procedimento aumentaria demasiadamente o trabalho em campo. Ao
invés disto, podemos considerar perpendiculares lançadas de acordo com a mudança
de direção do limite. Esta mudança de estratégia vai fazer com que o espaçamento
entre as perpendiculares sejam variáveis, mas vai adaptar melhor ao limite. Com os
espaçamentos distintos, aplica-se a Equação 2.7, considerando as alturas distintas
dos trapézios.
Figura 2.5
Exemplo um tran-
secto não uniforme
e a aproximação às
figuras de trapézios.
15,8 m
14,7 m
30,1 m
49,4 m
127,0 m
14,9 m
155,4 m
59,1 m
224,1 m
21,5 m12,2 m
0 m
A B
Limite da área
Aproximação ao limite da área
Perpendiculares ao alinhamento AB
A = (b0 + b1)h12 +
(b1 + b2)h2
2 + . . .+
(bn−1 + bn)hn
2
A = 12 ((b0 + b1)h1 + (b1 + b2)h2 + . . .+ (bn−1 + bn)hn) .
(2.7)
Exemplo 2.6
Calcular a área do transecto mostrada na Figura 2.5.
Solução
Considerando a Equação 2.7, para perpendiculares que não tem espaçamento
constante e utilizando os dados da Figura 2.5, temos:
A = 12((12,2+14,7)(15,8-0)+(14,7+49,4)(30,1-15,8)+(49,4+14,9)(127-30,1)+
(14,9+59,1)(155,4-127)+(59,1+21,5)(224,1-155,4))
A = 7.605,6 m2.
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2.3. DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
2.3.3 Cálculo de área por Gauss
A maneira mais utilizada para se calcular a área, quando se conhecem as coorde-
nadas limitantes, é pelo método de Gauss, também conhecido como método das
coordenadas, pois a sua execução é bastante facilitada com o uso de calculadoras ou
programas computacionais. Em levantamentos topográficos as coordenadas retan-
gulares dos pontos limitantes são estimados ou calculados por diversos métodos, e
são um dos objetivos principais, pois é a partir delas que podemos plotar em papel.
O eixo-y das coordenadas topográficas, coincide com a direção dita como Norte, e o
eixo-x com a direção Leste. As coordenadas retangulares podem também ser obtidas
em papel, realizando medidas com régua na própria planta, considerando a escala
do desenho, por exemplo, por digitalização5.
Para demonstrar como o método funciona, considere a Figura 2.6, onde pretende-
se calcular a área limitada pelos vértices ABCD, onde suas coordenadas retangulares
são conhecidas. Para obter a área total, soma-se as áreas limitadas pelos pontos
C’CDD’ e D’DAA’ e subtrai-se das áreas C’CBB’ e B’BAA’. Observe que todas
estas áreas formam figuras de trapézios, desta forma, a área compreendida entre os
vértices ABCD é dada pela Equação 2.8.
x
y
A
B
C
D
yA
yB
yC
yD
xA
xB
xC
xD
A’
B’
C’
D’
Figura 2.6
Esquema para dedução
do cálculo de área por
Gauss.
A = C’CDD’+D’DAA’− C’CBB’−B’BAA’
A = 1
2
(xC + xD)(yC − yD) + 12 (xD + xA)(yD − yA)−
1
2
(xC + xB)(yC − yB)− 12 (xB + xA)(yB − yA)
2A = (xC + xD)(yC − yD) + (xD + xA)(yD − yA)− (xC + xB)(yC − yB)− (xB + xA)(yB − yA)
2A = yA(xB − xD) + yB(xC − xA) + yC(xD − xB) + yD(xA − xC)
2A = yAxB + yBxC + yCxD + yDxA − xAyB − xByC − xCyD − xDyA
(2.8)
Considere agora um número qualquer de vértices (n) que delimitam a área.
Poderemos, para fins de facilidade do cálculo, organizar os dados como mostrados
na Figura 2.7, com as coordenadas x acima das coordenadas y para cada ponto.
As coordenadas devem estar em sequência para formar um polígono, seguindo o
sentido horário ou anti-horário. Também não se deve pular coordenada de quaisquer
5Ato de transformar a informação do papel (analítica) para um formato em que o computador
consiga trabalhar. Para digitalizar os dados de plantas ou cartas, podem-se empregar os scanners
e as mesas digitalizadora.
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CAPÍTULO 2. UNIDADES MÉTRICAS, ESCALA E DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
vértices. A primeira coordenada deve aparecer, mais uma vez, na última posição.
Faz-se então o somatório do produto da diagonal subindo e a este resultado subtrai-
se do somatório do produto da diagonal descendo. Considere o valor absoluto desta
operação, ou seja, se o resultado der negativo, considere-o positivo. E por fim, para
obter a área, divida este número por dois. A unidade de área dependerá da unidade
das coordenadas. Assim se forem coordenadas em metros tem-se área em m2, se for
em quilômetros, km2. Não confundir no esquema da Figura 2.7 com uma divisão e
produto das coordenadas.
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2.3. DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
2 · A = x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
. . .
xn−1
yn−1
xn
yn
x1
y1
+ + + + +
− − − − −
2 · A = (y1x2 + y2x3 + · · ·+ ynx1)− (x1y2 + x2y3 + · · ·xny1)
A =
1
2
|(y1x2 + y2x3 + · · ·+ ynx1)− (x1y2 + x2y3 + · · ·xny1)|
Figura 2.7
Organização dos dados
para cálculo da área por
Gauss.
Exemplo 2.7
A partir das coordenadas do levantamento da Figura 2.8, calcular a sua área.
Solução
x
y
A(26,2 m; 7,5 m)
B(9,8 m; 22,9 m)
C(24,5 m; 67,1 m)
D(58,9 m; 46,3 m)
E(40,7 m; 14,2 m) Figura 2.8
Croqui de uma área,
com coordenadas dos
vértices referente ao
Exercício 2.7.
Organizando os dados e realizando os cálculos conforme metodologia apresentada
na Figura 2.7, temos:
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CAPÍTULO 2. UNIDADES MÉTRICAS, ESCALA E DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
2 · A = 26,2
7,59,8
22,9
24,5
67,1
58,9
46,3
40,7
14,2
26,2
7,5
+ + + + +
− − − − −
2 · A = (7,5 · 9,8+22,9 · 24,5+ · · ·+ 14,2 · 26,2)
−(26,2 · 22,9+9,8 · 67,1+ · · ·+40,7 · 7,5)
A =
1
2
|6.843,2 - 3.533,5|
A = 1.654,8 m2
Exercício
2.1. Dado um triângulo com lados a=81 cm, b=50 cm e c=60 cm. Qual é a área
em cm2 e m2? Calcule os ângulos internos.
Resp.: 1495,567 cm2; 0,1495m2; aˆ=94,4065◦; bˆ=37,9852◦; cˆ=47,6081◦.
2.2. Dado um triângulo retângulo de catetos a=3,6m e b=4,7m. Encontrar a
hipotenusa. Calcule os ângulos internos.
Resp.: Hipotenusa = 5,920m; aˆ=37,450◦; bˆ=52,549◦; cˆ=90◦.
2.3. Calcule a área de um triângulo retângulo de base 20,0m e altura de 14,2m.
Resp.: 142 m2.
2.4. Abaixo seguem as coordenadas em metros dos vértices de uma área levan-
tada. Calcule a área pela fórmula de Gauss nas unidade de m2 e ha. Represente
graficamente.
1(0, 19), 2(4, 29), 3(34, 44), 4(64, 29), 5(71, 11), 6(49, 2), 7(34, 10), 8(29, 11), 9(14, 0)
Resp.: área = 1925 m2; área = 0,1925 ha.
2.5. Dado o triângulo da Figura 2.9, calcule qual o comprimento dos lados X e Y.
Figura 2.9
x
=
?
367,94
m
33◦48’
59◦51’
Resp.: X = 571,93 m; Y = 660,069 m.
2.6. Seguem as coordenadas em metros dos vértices de uma área levantada: A(0, 0),
B(5, -19), C(23, -10), D(29, 4), E(13, 11), com a representação gráfica na Fi-
gura 2.10.
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2.3. DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
A
B
C
D
E
bC
bC
bC
bC
bC
bC x (m)
y (m)
0
5
10
−5
−10
−15
−20
5 10 15 20 25 30
bC
Figura 2.10
a) Calcule a área pela fórmula de Gauss nas unidade de m2 e ha. Represente
graficamente.
b) Qual a distância entre os pontos B e C?
c) Qual a distância entre os pontos C e D?
Resp.: a) 518 m2 e 0,0518 ha; b) 20,125 m; c) 15,232 m.
2.7. A seguir seguem as coordenadas em metros dos vértices de uma área levantada.
a(0, 0), b(32, 34), c(23, 9), d(54, 35), e(19, -27), f(16, -8).
a) Calcule a área pela fórmula de gauss nas unidade de m2 e ha.
b) Represente graficamente.
c) Qual a distância entre os pontos a e b?
d) Qual a distância entre os pontos e e f?
Resp.: a) 1009 m2; 0,1009 ha; c) 46,690 m; d) 19,235 m.
2.8. Na Figura 2.11 são apresentados os dados um levantamento de um transecto
uniforme. Calcule a área em alqueire geométrico.
180 m
34 m
200 m
36 m
220 m
40 m
240 m
30 m
260 m
32 m
280 m
20 m
A B Figura 2.11
Resp.: 0,06818 alqueire.
2.9. Dado o triângulo da Figura 2.12, contendo: as coordenadas dos vértices A(20
m, 30 m) e B(40 m, 70 m). Calcular os comprimentos dos lados AB e AC e a sua
área.
Resp.: AB = 44,721 m; AC = 49,594 m.
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CAPÍTULO 2. UNIDADES MÉTRICAS, ESCALA E DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
Figura 2.12
x
y
B(40 m; 70 m)
A(20 m; 30 m)
C
60◦37’
44◦18’
2.10. Calcular a área do polígono formado pelos vértices 1, 2, 3 e 4 (Figura 2.13),
sabendo-se que: α = 77◦40’; β= 23◦10’; γ= 39◦5’; X1 = 60,0 m, Y1 = 45,0 m; X3
= 10,0 m, Y3 = 11 m; DH1−2 = 44 m.
Resp.: área = 1553,941 m2.
Figura 2.13
x
y
3
2
1
4
α
β
γ
2.11. Dado o triângulo da Figura 2.14, contendo a distância do alinhamento CB =
69,43 m. Calcular os comprimentos dos lados AB e AC e a sua área.
Resp.: AB = 57,095 m; AC = 49,594 m; área = 1397,850 m2.
Figura 2.14
x
y
69,43 m
B
A
C
80◦52’
44◦51’
2.12. Na Figura 2.15 são apresentados os dados um levantamento de um transecto
não uniforme. Calcule a área em hectare.
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2.3. DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
0 m
51 m
94 m
9 m
113 m
22 m
144 m
43 m
208 m
27 m
227 m
11 m
Figura 2.15
Resp.: 0,6723 ha
2.13. Desenhar uma escala gráfica de 1:2000, com 10 cm de tamanho.
2.14. Desenhar uma escala gráfica de 1:500, com 8 cm de tamanho.
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CAPÍTULO 2. UNIDADES MÉTRICAS, ESCALA E DETERMINAÇÃO DE ÁREAS
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HO 3Introdução a Geodésia e CartografiaSerão abordados neste capítulo os conceitos básicos da geodésia como: forma edimensão da terra; modelos matemáticos que se aproximam da forma da terra (elip-
sóide); o sistema de referência geodésico adotado pelo Brasil. Quanto a cartografia,
será definida o que é uma projeção cartográfica mostrando alguns exemplos, como
o sistema projeção e coordenadas UTM, que é uma das projeções mais utilizada no
Brasil.
3.1 Geóide
A terra vista do espaço se aproxima de uma esfera. Todavia quanto mais nos apro-
ximamos dela, mais ela se torna desuniforme, sendo formada na sua superfície, pelos
continentes e mares. Nos continentes tem-se diferentes formas de relevo, das mais
planos aos mais acidentados. Observa-se também que a superfície da terra não é
estática, mas sim dinâmica. Há um movimento da crosta terrestre, devido às forças
tectônicas. Por exemplo, no terremoto no Chile no ano de 2010, foi estimada que a
cidade de Conception moveu 3,02 metros para a direção oeste (WIRED, 2012). Já os
mares apresentam-se em constante movimento, pois são sujeitos a diversas forças,
como: a centrífuga, devido a rotação da terra; a gravitacional da terra, lua, sol; dos
ventos, etc.
A geodésia é a ciência que tem como objetivo estudar a forma da terra, sendo esta
forma denominada de geóide. O geóide consiste na superfície equipotencial do campo
gravitacional da terra que melhor se ajusta ao nível médio dos mares (NMM) e seu
prolongamento sobre os continente. Para a definição do NMM, são desconsideradas
as forças do vento e as gravitacionais da lua, sol, etc. Desta forma, NMM de um longo
período, estará sujeito apenas as forças exercidas pela massa e pelo movimento de
rotação da terra, respectivamente, os potenciais gravitacional e centrífugo da terra.
A soma dos potenciais gravitacional e centrífugo da terra resultam na atração que
sentimos sobre a terra, sendo que a direção desta força é denominada de vertical
do lugar, sendo ele único em cada posição do Geóide. A vertical do lugar pode ser
obtida por um fio de prumo1. Nos equipamentos topográficos como o teodolito, a
estação total, e o dos receptores GNSS, um dos seus eixos conterá a vertical do lugar,
ou seja, estarão perpendiculares à superfície de nível local.
Do que foi dito acima, como a densidade da massa da terra é variável espaci-
almente, o geóide resulta em uma forma ondulada conforme Figura 3.1, sendo ele
em qualquer ponto perpendicular a direção da gravidade. Vale salientar ainda que
além de ondulado, ele é achatado na direção dos pólos. A medida do raio da terra
no equador é aproximadamente 21 km maior que o raio na linha que contém o eixo
de rotação da terra.
1Pedaço de linha ou náilon com um peso em uma extremidade.
33
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CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A GEODÉSIA E CARTOGRAFIA
Figura 3.1
O geóide (NOOA, 2012).
3.2 Elipsóide
O que os cientistas fazem então para realizar mapeamentos, definir fronteiras etc,
uma vez que a forma da terra tem a forma irregular? Simplesmente fazem uma
aproximação do geóide à figura matemática denominada de elipsóide de revolução,
ou simplesmente elipsóide. O elipsóide nada mais é que uma elipse rotacionando em
torno de um eixo (Figura 3.2). O maior semi-eixo do elipsóide é denominado por a,
e o menor por b. Geralmente, na definição dos parâmetros do elipsóide, ao invés de
apresentar os dois raios, são apresentados, o raio do semi-eixo a e o achatamento, f
(Equação 3.1). O parâmetro f é preferível pois é utilizado com nas equações para
cálculo das coordenadas sobre o elipsóide ou nas projeções cartográficas. Nota-se que
se tivermos quaisquer dois parâmetros do elipsóide, o terceiro poderá ser calculado
por meio da Equação 3.1. Observando a Equação 3.1, se a terra tivessea forma
de uma esferóide, isto é a= b, f seria zero, não teria achatamento. Como a terra é
achatada nos pólos, a > b, e f será sempre menor que zero. Pode-se considerar a
terra um esferóide se está trabalhando em pequenas escalas.
f = 1− b
a
(3.1)
Figura 3.2
Apresentação de uma
elipse e um elip-
sóide de revolução.
elipse
a
b
a
b
elipsóide
Exemplo 3.1
O elipsóide de referência utilizado pelo sistema norte-americano de posicionamento
por satélite, o GPS, é denominado de WGS84, tendo como raios dos semi-eixos:
a = 6.378.137,0 m e b = 6.356.752,31424 m. Calcule o achatamento deste elipsóide.
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3.3. POSIÇÃO GEODÉSICA
Solução
Substituindo os de a e b na Equação 3.1, tem-se:
f = 1− b
a
= 1− 6.356.752,314246.378.137,0
= 0,003 3528 106 647
= 1298,257 223 563 .
Então, f = 0,003 3528 106 647 = 1298,257 223 563 , sendo a segunda forma,
f = 1298,257 , com arredondamento, a mais utilizada.
Ao longo do tempo vários elipsóides foram definidos, pois as medidas da dimensão
terra eram aperfeiçoadas. Os elipsóides podem ser utilizados em nível local ou
mundial, onde se estabelecem medidas de a e f de forma que melhor se ajuste ao
geóide local ou mundial, respectivamente. Na Tabela 3.1 são apresentados alguns
parâmetros de elipsóides e o local em que ele é ou foi utilizado (SMITH, 1997).
Elipsóide a (m) 1/f Local de utilização
Everest 1830 6.377.276,345 300,8017 Índia, Pakistão
Hayford 1924 6.378.388 297 Europa e Brasil
Krassovskiy 1942 6.378.245 298,3 USSR
Elip. Inter. de 1967 6.378.160 298,25 América do Sul
Geodetic Reference Sys-
tem (GRS 1980) 6.378.137 298,257 222 101 Mundial
World Geodetic System
(WGS84) 6.378.137 298,257 223 563 Mundial
Tabela 3.1
Exemplo dos parâmetros
de elipsóides.
3.3 Posição Geodésica
As medida de latitude e longitude podem ser de dois tipos, geodésicas e astronômi-
cas. Para um ponto P qualquer, é considerada como sua coordenada geo sésica as
medidas: em relação a normal ao elipsóide (P ′) que passa pelo ponto e o plano do
Equador, para a latitude; e o meridiano de Greenwich para medidas de longitude
(Figura 1.11). A latitude geodésica de P é o ângulo entre a normal e o plano do
equador (φp). O plano do Equador é o plano perpendicular ao semi-eixo menor,
encontram-se no meio do elipsóide. A longitude geodésica de P (λp) é o ângulo die-
dro dos planos que contem o meridiano de P e o Greenwich (Grw). Um meridiano
é uma secção elíptica gerada no elipsóide pelo plano definido pelo semi-eixo menor
e o ponto em questão no elipsóide.
A latitude no equador é de 0◦ e varia até –90◦ ou +90◦2, respectivamente, para
o Pólo Sul e Norte. A variação da longitude é de 0◦ a –180◦, quando o meridiano do
ponto se encontra à esquerda de Grw, e de 0◦ a +180◦ quando o ponto se encontrar
2Pode-se ao invés do sinal, + ou –, considerar o hemisfério Sul (S) e Norte (N), por exemplo,
22◦ S ou 45◦N.
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CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A GEODÉSIA E CARTOGRAFIA
a sua direita3. Para a definição completa da posição de P , temos que definir a sua
altitude geométrica (hp), definida como a distância entre P e P ′.
As coordenadas calculadas pelos receptores GNSS são geodésicas4, logo relacio-
nada a um determinado elipsóide. Fato que deve-se estar atento, para não cometer
erros grosseiros de interpretação das informações GNSS diz respeito a elevação apre-
sentada pelos receptores, sendo em relação ao elipsóide e não em relação ao Geóide,
como de interesse na engenharia.
Quando consideramos a vertical do ponto P , que pode ser dada pela direção do
fio de prumo, que tem a direção do centro de massa da terra, tem-se como a latitude
astronômica de P o ângulo medido entre a vertical em P o plano do equador. Já a
longitude astronômicas é o ângulo entre o plano meridiano local e o meridiano de
Grw.
Figura 3.3
Variáveis necessárias
para cálculo das co-
ordenadas retangu-
lares (x,y,z) de um
ponto P a partir das
coordenadas geodési-
cas (φ,λ) e vice-versa.
x
y
z
bc
P
a
b N
h
P ′b
λ
φ φ
h
N
P
P ′
z
x, y
b
3.4 Coordenadas geodésicas retangulares
Um outro meio de estabelecer a localização espacial de um ponto, por exemplo o
P , a um determinado elipsóide é por meio de sua coordenada geodésica retangular
(xp,yp,zp), também denominado de sistema de coordenada geocêntrico. Este é o sis-
tema onde primeiramente a coordenada de um ponto é determinada pelos receptores
GNSS. As coordenadas geodésicas retangulares também são utilizadas para efetuar
transformação de coordenadas entre elipsóides.
Definiremos primeiro a origem do sistema e os eixos-x, -y e -z, sendo: a origem, o
centro do elipsóide; o eixo-z é aquele que coincide com o semi-eixo menor do elipsóide,
eixo de rotação; o eixo-x é aquele dado pela intersecção do plano do Equador com o
meridiano de Grw; e o eixo-y formando um diedro com os outros eixos (Figura 3.3).
Quando as coordenadas Geodésicas são conhecidas, utilizam-se Equações 3.2 a 3.4
para convertê-las retangulares.
3Pode-se ao invés do sinal, + ou –, considerar se o meridiano encontra-se a direita (Este, E) ou
a oeste (West, W) de Grw, por exemplo, 120◦ E ou 45◦W.
4Primeiramente são calculadas suas posição dita de geocêntrica ou geodésica retangular (sec-
ção 3.3), depois convertida para coordenadas geodésicas.
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3.4. COORDENADAS GEODÉSICAS RETANGULARES
x = (N + h) cosφ cosλ (3.2)
y = (N + h) cosφ sinλ (3.3)
z =
(
b2
a2
N + h
)
sinφ (3.4)
em que: N é denominado de grande normal, correspondendo ao comprimento da
vertical que passa por P ′ ao eixo-z (Figura 3.3) dado por:
N = a
2√
a2 cos2 φ+ b2 sin2 φ
(3.5)
Exemplo 3.2
A latitude, longitude e altitude geodésica de um ponto P valem: φ=–22◦13’21,1337”,
λ=–41◦47’29,8921” e h=272,32 m. Considerando elipsóide WGS84, tendo como
raios dos semi-eixos: a = 6.378.137,0 m e b = 6.356.752,3 m, calcule as coordenadas
retangulares.
Solução
Substituindo os valores nas Equações 3.2 a 3.5, tem-se:
N = 6.378.137
2√
6.378.1372 cos2 (−22◦13′21,1337′′) + 6.356.752,32 sin2 (−22◦13′21,1337′′)
= 6.381.192,9127 m
x = (6.381.192,9127+272,32)cos
(
−22◦13′21,1337′′
)
cos
(
−41◦47′29,8921′′
)
= 4.404.445,8857 m
y = (6.381.192,9127+272,32)cos
(
−22◦13′21,1337′′
)
sin
(
−41◦47′29,8921′′
)
= −3.936.872,4167 m
z =
(
6.356.752,32
6.378.1372 6.381.192,9127+ 272,32
)
sin(−22◦ 13’21,1337”)=-2.397.345,4965 m.
Para a solução inversa, a partir das coordenadas geodésicas retangulares encon-
trar as coordenadas geodésicas (φ, λ, h), diferentes metodologias podem ser utili-
zadas, sendo alguns métodos apresentados em Wolf e Ghilani (2004) e Hofmann-
Wellenhof et al. (2008). Aqui será apresentada uma metodologia em que não há
necessidade de iterações (Equações 3.6 a 3.8), ou seja, é simples, uma vez que com
a aplicação das fórmulas, o resultado é obtido diretamente, sem necessidade de sua
avaliação.
φ = arctan z + e
′2b sin3 θ
p− e2a cos3 θ (3.6)
λ = arctan y
x
(3.7)
h = pcosφ −N (3.8)
em que:
Prof. Alexandre Cândido Xavier 37
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CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A GEODÉSIA E CARTOGRAFIA
e2 = a
2 − b2
a2
(3.9)
e′2 = a
2 − b2
b2
(3.10)
p =
√
x2 + y2 (3.11)
θ = arctan za
pb
(3.12)
Os termos e2 e e′2 são denominados, respectivamente de primeira e segunda
excentricidade. O valor de p corresponde ao raio no paralelo analisado.
Exemplo 3.3
A partir das coordenadas retangulares do Exemplo 3.2, referentes ao sistemaWGS84,
encontrar as coordenadas geodésicas φ, λ e h.
Solução
Sabendo-se que a = 6.378.137,0 m e b = 6.356.752,3 m e substituindo
x = 4.404.445,8857 m, y = −3.936.872,4167 m e z = −2.397.345,4965 m nas Equa-
ções 3.9 a 3.12 para o cálculo das variáveisauxiliares:
e2 = 6.378.137
2 − 6.356.752,32
6.378.1372 = 0,006694384442
e′2 = 6.378.137,0
2 − 6.356.752,32
6.356.752,32 = 0,006739501254
p =
√
4.404.445,88572 +−3.936.872,41672 = 5.907.462,05962
θ = arctan −2.397.345,4965 · 6.378.137,05.907.462,059620 · 6.356.752,3 = −22
◦9’18,9119”
Agora, aplicando as Equações 3.6 a 3.8 e utilizando o valor de N já calculado no
Exemplo 3.2 tem-se:
φ = arctan -2.397.345,4965 + 0,006739501254 · 6.356.752,3 sin
3 (−22◦9’18,9119”)
5.907.462,059620− 0,006694384442·6.378.137 cos3 (−22◦9’18,9119”)
φ = −22◦13’21,1337”
λ = arctan −3.936.872,41674.404.445,8857 = −41
◦47’29,8921”
h = 5.907.462,05962cos
(−22◦13’21,1337′′) − 6.381.192,9127=272,32 m
Como era esperado, o resultado é o mesmo de φ, λ e h do Exemplo 3.2.
3.4.1 Sistema de geodésico brasileiro
O objetivo de um sistema de referência geodésico é o de disponibilizar, implantar
e manter uma infraestrutura básica para levantamento de posição de pontos na
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3.4. COORDENADAS GEODÉSICAS RETANGULARES
superfície da terra. Os sistemas de referências são aprimorados continuamente, de
acordo com o estado da arte na época de sua definição. Por exemplo, atualmente
para a definição da rede planimétrica, utiliza-se a tecnologia de posicionamento por
satélite e, em épocas passadas, utilizava-se equipamentos topográficos convencionais,
como pouca precisão. O Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) é composto pelas redes
planimétricas, altimétrica e gravitacional.
A rede gravitacional é aquela que trata na determinação da força da gravidade
da terra, sendo o resultado pela atração da massa e da força centrífuga em um de-
terminado ponto. Tais resultados são empregados por exemplo, na determinação da
ondulação geoidal, no estudo das correntes oceânicas e na determinação das altitu-
des ortométricas. Podem-se citar como métodos empregados na sua determinação,
o método pendular, a avaliação da queda livre de um corpo e, o mais usualmente
utilizado, o Gravímetro. Outra forma de obter a gravidade da terra é utilizando-se
satélites artificiais, podendo-se citar o par de satélites GRACE (“Gravity Recovery
And Climate Experiment”), lançados em 2002. A determinação desta quantidade
foge ao escopo introdutório deste livro e, para os que tiverem mais interesse neste
tema, pode-se consultar Gemael (1999) e Tapley (2003).
Para a definição das redes planimétricas e altimétricas são necessárias as defini-
ções do Datum horizontal e o do Datum vertical, respectivamente e a materialização
das posições. O Datum horizontal é utilizado para as posições em latitude (φ), lon-
gitude (λ) e altitude geodésica (h, altitude em relação ao elipsóide) e, coordenadas
cartográficas. Enquanto o Datum altimétrico é utilizado para definição de altitude
ortométrica (H, altitude em relação ao geóide). A materialização de posições, por
meio marcos, ao longo do estado Brasileiro e em sua fronteira. A responsabilidade
pelo SGB no Brasil fica a cargo do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE).
Datum horizontal
Um Datum horizontal é constituído de um elipsóide mais uma série de parâmetros
que o posiciona à terra, como, por exemplo, a latitude e a longitude do ponto
inicial e o azimute de um alinhamento. A posição do elipsóide em relação à terra
pode ser topocêntrico, fixado a um ponto na superfície (Datum topocêntrico) ou
geocêntrico, o centro do elipsóide coincide com centro de massa da terra (Datum
geocêntrico). Um exemplo gráfico do ajuste de um Datum horizontal topocêntrico
(Datum 1) e geocêntrico (Datum 2), ao geóide é apresentado na Figura 3.4. O
Datum topocêntrico só se ajusta bem ao Geóide em uma pequena porção do Geóide,
na Figura 3.4, parte inferior esquerda, enquanto no restante do Geóide não há um
bom ajuste. Nota-se esta falta de ajuste, principalmente, na porção superior direita
do Geóide, em que o Datum 1 passa bem acima. Já, o Datum 2, geocêntrico, tem
seu centro C1 que coincide com centro de massa da terra, tendo os seus parâmetros
a e f definidos de forma a minimizar os desvios dele com o Geóide como um todo,
não em apenas uma porção.
Como dito anteriormente, o SGB é dinâmico, o Brasil já teve o Datum horizontal
denominado de Córrego Alegre, que tinha como figura geométrica da terra o elipsóide
Hayford 1924 (Tabela 3.1). Atualmente o Brasil adota dois Data5, o SAD696 e o
SIRGA20007 . As características do SAD69 e do SISGAR2000 (IBGE, 2005) são
apresentadas abaixo:
5Data é o plural de Datum.
6SAD é a abreviação de “South American Datum”, Datum Sul Americano.
7SIRGAS é a abreviação de “Sistema de Referência Geocêntrico para as Américas”
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CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A GEODÉSIA E CARTOGRAFIA
Figura 3.4
Datum geocên-
trico e topocêntrico. Local de ajuste do Datum 1
Datum 2 com ajuste global
Datum 1 (Topocêntrico)
C1
C2
Datum 2 (Geocêntrico)
Geóide
Para o Datum SAD69:
• Figura geométrica para a Terra: Elipsóide Internacional de 1967; Semi eixo
maior a = 6.378.160 m; f= 1/298,2.
• Parâmetros referentes ao posicionamento espacial do elipsóide: Orientação
geocêntrica com eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra; plano
meridiano origem paralelo ao plano meridiano de Greenwich;
• Orientação topocêntrica, com: Ponto Datum = Vértice de triangulação Chuá;
φG = 19◦45’41,6527” S; λG = 48◦06’04,0639” W; φA = 19◦45’41,34” S;
λA = 48◦06’ 07,80” W; AG = 271◦30’ 04,05” SWNE para VT-Uberaba;
N = 0,0 m.
em que: “G” e “A” referem-se, respectivamente, às medidas geodésicas e astrônomi-
cas; N é denominado de ondulação geoidal, diferença entre altura do elipsóide e do
geóide na posição analisada.
Para o SIRGAS2000:
• Figura geométrica para a Terra: Elipsóide do Sistema Geodésico de Refe-
rência de 1980 (Geodetic Reference System 1980 – GRS80) Semi-eixo maior
a = 6.378.137 m, f = 1/298,257 222 101;
• Origem: Centro de massa da Terra;
• Orientação: Pólos e meridiano de referência consistentes em ±0,005” com as
direções definidas pelo BIH (Bureau International de l´Heure), em 1984,0.
Na Figura 3.58 são apresentadas as posições dos marcos geodésicos que fazem parte
do SGB. As técnicas nas quais os pontos foram levantados também são apresentadas.
8Os dados das referências horizontal e vertical foram obtidos em ftp://geoftp.ibge.gov.br/
arquivos_google_earth/sistema_geodesico_brasileiro/, 7 de maio de 2012. Os limites estadu-
ais obtidos em: http://www.ngdc.noaa.gov/mgg/coast/.
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3.5. PROJEÇÃO CARTOGRÁFICA
Faz parte da rede horizontal um total de 8.226, sendo 1.008, 2.443, 3.642 e 1.133
pontos referentes às técnicas, respectivamente, doppler, GPS, vértice de triangulação
e estações de poligonal. Como é observado na Figura 3.5, algumas observações são
realizadas fora do continente, em ilhas, por exemplo em Fernando de Noronha.
Doppler
GPS
Ve´rtice de triangulac¸˜ao
Estac˜ao de poligonal
Figura 3.5
Posição das referencias
horizontais e os méto-
dos em que as posições
foram estimadas.
Datum vertical
São duas as referencias de altitude adotado pelo Brasil, que coincide com nível médio
dos mares (NMM), sendo: o Datum de Imbituba, definido de observações da maré
em Imbituba, Santa Catarina entre os anos de 1949 e 1957; e o Datum de Santana,
no Amapá, de observações da maré de 1957 a 1958. O Datum de Santana deu-se
devido a impossibilidade a região do Amapá ao Datum de Imbituba. Na Figura 3.6
são apresentadas as posições da referência altimétrica do SGB, sendo um total de
9.397 referências de nível, 475 e 8.922, respectivamente, referentes ao Datum de
Santana e ao Datum de Imbituba.
Figura 3.6
Rede altimétrica do
Brasil, sendo as re-
ferências de nível em
vermelho e verde refe-
rentes, respectivamente,
ao Datum de Imbituba e
ao de Santana.
3.5 Projeção cartográficaProjeções cartográficas são funções matemáticas que transformam as coordenadas
geodésicas (φ,λ) para coordenadas planas (x,y), isto é, x = f(φ,λ) e y = f(φ,λ).
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CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A GEODÉSIA E CARTOGRAFIA
Podem-se classificar as projeções cartográficas de acordo com:
a) a superfície utilizada na projeção: plana, cônica ou cilíndrica (Figura 3.7). Na
prática a projeção é realizada analiticamente, ou seja, por meio de equações
matemáticas, que são variantes destas formas geométricas;
b) se é tangente (Figura 3.7) ou secante(Figura 3.8);
c) a posição da figura geométrica, por exemplo, caso a projeção seja cilíndrica
tangente, ela é dita como sendo normal se o cilindro é tangente no equador
(Figura 3.7b); transversa, caso o cilindro seja tangente a um meridiano (Fi-
gura 3.7e); e é oblíqua caso o cilindro seja tangente à qualquer seção normal
que passa pelo ponto central (Figura 3.7h).
Figura 3.7
Geometria
das projeções.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
(g) (h) (i)
A figura da terra utilizada na geodésia, o elipsóide, é tridimensional e faz com que
seja impossível projetar uma parte de sua superfície em um plano sem causar alguma
deformação. A escolha de uma determinada projeção dependerá dos objetivos ao
qual ele é proposto. As características consideradas na projeção são (SNYDER, 1987):
a) Área: projeções que mantém a área são denominadas de igual-área ou equiva-
lente, sendo aquela em que uma área de uma forma qualquer, como um círculo
de qualquer tamanho na terra, em qualquer parte do mapa, a sua projeção vai
cobrir a mesma área. A forma, ângulos e escala estarão distorcidos na maior
parte do mapa;
b) Forma: são aquelas projeções que mantém a forma, sendo denominadas de
projeções conforme. Nesta projeção os ângulos locais em cada ponto do mapa
são mostrados corretamente. Como os ângulos são mantidos corretos, a in-
tersecção dos meridianos com os paralelos formam ângulos retos. As área são
aumentadas ou diminuídas ao longo do mapa.
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3.5. PROJEÇÃO CARTOGRÁFICA
(a) (b) (c)
Figura 3.8
Projeções plana, cilín-
drica e cônica secantes.
Nenhum mapa pode ser ao mesmo tempo igual-área e conforme. Projeções que
não são igual-área nem conforme são denominadas de afiláticas. Pode-se citar outros
termos que descrevem características especiais de projeções:
c) Escala: projeções que mantém a escala em uma ou mais linhas do mapa são
denominadas de equidistante. Vale salientar que nenhuma projeção é capaz de
manter a escala correta em todo mapa;
d) Direção: são mapas em que uma determinadas direções ou azimutes de todos
os pontos do mapa são apresentadas corretamente em relação ao centro. Por
exemplo, se a direção do azimute é apresentada corretamente entre dois pontos,
diz-se que a projeção é azimutal;
As deformações da projeção só serão visíveis para grandes áreas, como para o
mapa do Brasil. Para pequenas áreas, as distorções são de difícil percepção visual.
Abaixo serão apresentadas algumas projeções abrangendo toda, ou quase toda, a
terra. Juntamente com o limite dos continentes, serão apresentadas elipses, denomi-
nadas de indicatrizes de Tissot, cujo objetivo é avaliar as distorções da projeção. A
indicatriz de Tissot é o resultado da projeção da figura geométrica de um círculo no
elipsóide de referência. Como exemplos de interpretação para indicatriz de Tissot
na projeção pode-se citar: se a projeção é conforme, a elipse é um círculo e o seu
tamanho vai variar ao longo do mapa; se as elipses aparentam ter a mesma área,
variando a sua forma, temos uma projeção igual-área; se os semi-eixos da indicatriz
de Tissot são distintos, demonstra a distorção em escala e a deformação angular.
Um exemplo de projeção igual-área é a projeção cônica de Albers (Figura 3.9).
Como diz o nome da projeção, ela é do tipo cônica, tendo os paralelos como arcos
concêntricos e espaçamento distinto. Já os meridianos tem espaçamento igual, cor-
tando os paralelos em ângulos retos. Nesta projeção a escala sofre deformação ao
longo da latitude e da longitude, de forma a manter igual-área ao longo do mapa. Ela
é utilizada para regiões que tem extensões na direção leste-oeste, como os Estados
Unidos.
As fórmulas para a projeção cônica de Albers são apresentadas nas Equações
3.15 e 3.14, para o modelo da terra sendo um esferóide. Para o modelo da terra
sendo um elipsóide, consultar Snyder (1987).
x = ρ sin θ (3.13)
y = ρ0 − ρ cos θ (3.14)
em que:
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CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A GEODÉSIA E CARTOGRAFIA
Figura 3.9
Projeção cônica de
Albers igual-área.
ρ = (C − 2n sin θ)1/2 /n (3.15)
θ = n(λ− λ0) (3.16)
ρ0 = (C − 2n sin θ0)1/2 /n (3.17)
C = cos2 θ1 + 2n sin θ1 (3.18)
n = (sin θ1 + sin θ2) /2 (3.19)
φ0,λ0 = latitude e longitude para origem do sistema de coordenadas (3.20)
φ1,φ2 = paralelos padrão (3.21)
O eixo-y coincide com o meridiano central (λ0). O eixo-x intercepta perpendi-
cularmente em φ0, aumentando para este. Observe que n, C e ρ0 são constantes e
são calculados uma única vez. As fórmulas inversas são:
φ = arcsin
((
C − (ρn)2
)
/(2n)
)
(3.22)
λ = λ0 + θ/n (3.23)
em que:
ρ =
(
x2 + (ρ0 − y)2
)1/2
(3.24)
λ = arctan
(
x
ρ0 − y
)
(3.25)
Outro exemplo de projeção igual-área é a Sinusoidal (Figura 3.10). O único
meridiano que se apresenta como uma linha reta é o meridiano central (λ0), os
demais tem forma sinusoidal com espaçamento constante. No meridiano central a
escala é verdadeira. Os paralelos tem espaçamento igual. O eixo-x coincide com a
linha do Equador, enquanto o eixo-y coincide com o meridiano central. As equações
para a projeção sinusoidal são simples. Considerando a forma da terra como um
esferóide, as coordenadas retangulares da projeção Sinusoidal são:
x = (λ− λ0) cosφ (3.26)
y = φ (3.27)
As coordenadas devem estar em radianos. As funções inversas da projeção sinusoidal
são:
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3.5. PROJEÇÃO CARTOGRÁFICA
λ = xcosφ + λ0 (3.28)
φ = y (3.29)
Figura 3.10
Projeção sinusoidal,
igual-área.
Exemplo 3.4
Qual é a coordenada retângular de um ponto de latitude –21,4324◦ e longitude de
–42,7912◦ considerando a projeção sendo sinusoidal com λ0 = 0◦.
Solução
Considerando as Equações 3.26 e 3.27, e observando que os ângulos devem estar
em radianos tem-se:
x = (λ− λ0) cosφ
x = (−42,7912 · pi/180) cos(−21,4324·pi/180)
x = −0,6952.
y = φ
y = −21,4324·pi/180
y = −0,3741.
Um exemplo de projeção conforme é a Cônica de Lambert (Figura 3.11). Ela
é utilizado em nações que têm área predominantemente na direção de leste-oeste,
como os Estados Unidos. Pode-se citar ainda que: os paralelos concêntricos e com
espaçamento distinto, sendo mais próximo do centro do mapa; os meridianos tem
espaçamento igual, cortando os paralelos em ângulos retos; a escala só é verdadeira
ao longo dos paralelos padrão; e no hemisfério sobre os paralelos padrão o pólo é um
ponto, e no outro pólo, infinito.
Na Figura 3.12 é apresentada uma projeção equidistante, do tipo Azimutal (azi-
mutal equidistante). Pode-se citar como alguns aspectos desta projeção: as distân-
cias a partir do centro e ao longo do raio são verdadeiras; o único ponto que não
têm distorção é o central e nenhum ponto tem área igual ou conforme; paralelos são
círculos espaçados em intervalos verdadeiros.
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CAPÍTULO 3. INTRODUÇÃO A GEODÉSIA E CARTOGRAFIA
Figura 3.11
Projeção Cônica de
Lambert, conforme.
Figura 3.12
Projeção Azimu-
tal Equidistante.
x = k′ cosφ sin(λ− λ0) (3.30)
y = k′ (cosφ1 sin(φ)− sinφ1 cosφ cos(λ− λ0)) (3.31)
em que:
k′ = c/ sin (3.32)
cos c = sinφ1 sin(φ)− cosφ1 cosφ cos(λ− λ0) (3.33)
Sendo (φ1,λ0) são a latitude e a longitude do