Resolução Moyses

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Curso de 
Física Básica 
H. Moyses Nussenzveig 
 
 
 
 
 
 
Resolução do 
Volume II 
 Capítulo 12 
Noções de Mecânica Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo -12 
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1 - Ao nível do mar, a composição volumétrica da atmosfera é 12% de oxigênio e 78% de 
nitrogênio (há 1% de outros gases, principalmente argônio). Suponha (embora não seja uma boa 
aproximação!) que a temperatura do ar não variasse com a altitude, e que seu valor fosse de 10°C. 
Neste caso, qual seria a composição volumétrica da atmosfera a 10 km de altitude? (Tome 1 
unidade de massa atômica = 1,66 x 10-27 kg). 
 
2 - Considere um gás hipotético para o qual a função F(v) 
de distribuição de velocidades [definida na Seção 
12.2(d)] tivesse a forma indicada na Fig. Calcule em 
função de v0: 
 a) A constante de normalização A (fig). 
 b) Os valores de <v>, vp e vqm para esta 
distribuição. (Resolução) 
 
 
 
 
 
3 - Para um gás ideal em equilíbrio térmico, qual é a fração da moléculas cujas velocidades diferem 
em menos de 1% da velocidade mais provável vp? Note que (Fig. 12.2 - velocidades 
características) podemos tomar Δv = dv neste caso. 
 
4 - Para um gás ideal em equilíbrio térmico, calcule o valor médio da magnitude de um componente 
da velocidade de uma molécula (numa direção qualquer). Compare-o com <v>. 
 
5 - Calcule a razão R entre ><
v
1 e >< v
1 para um gás ideal em equilíbrio térmico. 
 
6 - Ache: 
 a) A função de distribuição em energia F(E), tal que F(E)dE é a fração das moléculas com 
energia entre E e E+dE, para um gás ideal em equilíbrio térmico à temperatura T. A partir dela, 
calcule: 
 b) A energia média <E>, comparando o resultado com 2qmmv2
1 ; 
 c) A energia mais provável Ep, comparando o resultado com 2pmv2
1 
 
7 - Num feixe molecular, a densidade de corrente (número médio de moléculas por unidade de área 
e tempo), para moléculas com velocidades entre v e v+dv, é dada pela (12.3.3, ou seja: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−==
2kT
mv²nv³expAnvF(v)f(v) ). Calcule vp e Ep para as moléculas do feixe, comparando os 
resultados com os valores correspondentes v’p e E’p dentro do forno do qual o feixe é extraído. 
 
8 - Um gás ideal, cujas moléculas têm massa m, está em equilíbrio térmico à temperatura T dentro 
de uma ultracentrífuga de raio R que gira com velocidade angular ω. 
 a) Ache a razão ρ(R)/ρ(0) da densidade do gás junto às paredes à densidade no eixo da 
ultracentrífuga (Sugestão: use o conceito de “potencial centrífugo” discutido na Seção 1.4). 
 b) Calcule o valor numérico dessa razão se o gás é oxigênio, T = 300 K, R = 10 cm e a 
freqüência de rotação é 10³ rps. 
 
9 - Considere um gás ideal de N moléculas, em equilíbrio num recipiente de volume V. Calcule: 
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=
 a) A probabilidade p1 de encontrar todas as moléculas concentradas num volume V/3 
(macroestado 1); 
 b) A probabilidade p2 de encontrá-las todas num volume 2V/3 (macroestado 2); 
 c) A probabilidade p de encontrar N/3 moléculas em V/3 e as demais no volume restante; 
 d) A diferença de entropia ΔS = S2 - S1 entre os estados 1 e 2; 
 e) Os valores numéricos de p1, p2 e p para N = 9. 
 
 
 
 
Resolução 
 
 
R-2) 
a) Pela definição da distribuição exposta: 
0
1F( v )dv
∞
=∫ 
0 2 0
0 0 0 2 0
0
1
v v
v v
F( v )dv F( v )dv F( v )dv F( v )dv
∞ ∞
= + +∫ ∫ ∫ ∫
14243
 (Área do triângulo) 
Área = 0 0 0
2 1
2
v .h v .h v .A= = = 
0
1A
v
= 
 
b) A distribuição pode ser descrita como: 
0
0
0 0
0
0
2 2
Ay .v v v
v
Ay .v A v v v
v
⎧ = ≤⎪⎪⎨⎪ = + ≤ ≤⎪⎩
≤
 
 
0
v v.F( v )d
∞
= ∫ v 
0
2
0 0
0 0
2
v
A Av .v dv Av
v v
∞ ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ dv 
Resolvendo: 
0v v= 
 
Para os demais basta fazer: 
vp = vo (obtido de imediato) 
 
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2 2 2
0
qmv v v F( v )d
∞
= = ∫ v 
 
R-9) 
 
 
a) Fixo um volume V/3. 
 
1
1 1
13
3
N
N NVVP P
V V
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
b) 2 2
2 23
3
N
NV
P P
V
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⇒ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 
c) 
2
3 3
2
1 2 2
3 3 3
N N N
P P⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ fazer combinações de N/3 partículas 
2
3 31 2
3 3
2 1
3 3
N N
N !P
N N! !
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
d) 
 
V/3