Matemática - Exercícios Resolvidos - 07 M8 Função Logarítmica

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137
Matemática
1 (Unilus-SP) Ao chegar na sala de aula, Joãozinho per-
gunta ao professor de matemática: “Qual o valor numérico
da expressão x 0 y 0 z?”. Este respondeu-lhe com certa
ironia: “Como queres saber o valor numérico de uma ex-
pressão, sem atribuir valores às variáveis?”. Agora, eu é que
quero saber qual o valor numérico daquela expressão quan-
do x = log10 0,001, y = log2 4 32 e z = log2 0,125. Qual
deverá ser a resposta correta que Joãozinho deverá dar?
a) −3 b) 3 c)
 
9
2
d)
 
3
2
e)
 
−
3
2
log10 0,001 = x Θ 0,001 = 10x Θ 10−3 = 10x Θ x = −3
X
 
log2 2
5
2
2 5
24 32 4 32 2 2 2 2 2 2= Θ = Θ 9 = Θ =0y y y y
 2 2
9
2 = y
 
y = 9
2
 
log , ,2 30 125 0 125 2
1
8
2 2 2 3= Θ = Θ = Θ = Θ = −−z zz z z
 
x y z0 0 = 0 − = − 0 − = −3 9
2
3 6 9 6
2
3
2
Logo:
2 (UFSCar-SP) A altura média do tronco de certa es-
pécie de árvore, que se destina à produção de madeira,
evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte mo-
delo matemático:
h(t) = 1,5 0 log3 (t 0 1),
com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores
foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o
tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação
até o do corte foi de:
a) 9 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2X
1,5 0 log3 (t 0 1) = 3,5 Θ log3 (t 0 1) = 2 Θ t 0 1 = 9 Θ t = 8
3 (PUC-SP) Um laboratório iniciou a produção de certo
tipo de vacina com um lote de x doses. Se o planejado é
que o número de doses produzidas dobre a cada ano, após
quanto tempo esse número passará a ser igual a 10 vezes
o inicial?
(Use: log 2 = 0,30)
a) 1 ano e 8 meses d) 3 anos e 2 meses
b) 2 anos e 3 meses e) 3 anos e 4 meses
c) 2 anos e 6 meses
X
Do enunciado, podemos concluir que o tempo t necessário para que o
número de doses produzidas passe a ser igual a 10 vezes o inicial é
dado por:
x 9 2t = 10x
2t = 10
log 2t = 1
0,3t = 1
 
t = 103 , ou seja, 3 anos e 4 meses.
4 (UFG) Suponha que o total de sapatos produzidos por
uma pequena indústria é dado, aproximadamente, pela
função S(t) = 1 000 log2 (1 0 t), onde t é o número de
anos e S o número de sapatos produzidos, contados a par-
tir do início de atividade da indústria. Determine:
a) o número de sapatos produzidos no primeiro ano de
atividades da indústria;
b) o tempo necessário para que a produção total seja o
triplo da produção do primeiro ano.
a) Após o primeiro ano de atividade, temos que t = 1; então:
S(1) = 1 000 log2 (1 0 1) Θ S(1) = log2 2 Θ S(1) = 1 000; portanto,
foram produzidos 1 000 pares de sapatos no primeiro ano.
b) Se no primeiro ano a produção é de 1 000 pares de sapatos, o triplo
será 3 000 pares, ou seja:
S(t) = 3 000 = 1 000 log2 (1 0 t) Θ log2 (1 0 t) = 3 Θ 1 0 t = 23 Θ
Θ 1 0 t = 8 Θ t = 7; ou seja, depois de 7 anos, a produção total será
o triplo da produção do primeiro ano.
M 8 - Função Logarítmica
138
Matemática
log2 x − log x3 = 0 Θ log2 x − 3 log x = 0
Fazendo log x = y, vem:
y2 − 3y = 0 Θ y(y − 3) = 0
Logo:
log x = 0 ou log x = 3
x = 100 x = 103
x = 1 x = 1 000
Assim: 1 0 1 000 = 1 001
5 (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é
representado por log x. Então, a soma das raízes de
log2 x − log x3 = 0 é igual a:
a) 1 b) 101 c) 1 000 d) 1 001X
y = 0
y = 3
6 (Furg-RS) Sendo x a solução da equação
 
2
1
2
3 2log log ,x = o valor de x3 é:
a)
 
1
2
b) 1 c) 2 d) 4 e) 8X
 
2 2 1 1
3
3 2 1
3 2 2
log log log log logx x x= Θ = − Θ =−
 x = 2
1
3
 Assim: x
3 = = =2 2 2
1
3
3 3
3( )
7 (UFOP-MG) Resolva o sistema
2x 9 8y = 32
1
4
2
4
3
 
log8
1
3
xy =
Resolvendo o sistema, obtemos:
2x 9 8y = 32 Θ 2x 9 23y = 25 Θ x 0 3y = 5
 
log8
1
3
1
3
8 2xy xy xy= Θ = Θ =
x 0 3y = 5
xy = 2
1
2
3 Θ
x = 2 e y = 1
ou
 
x e y= =3 23
8 (MACK-SP) Se a . 0 e b . 0, considere as afirma-
ções:
I) log (ab) = log a 0 log b
II) log (a 0 b) = (log a) 9 (log b)
III) log 1 = 0
Então:
a) I, II e III são corretas.
b) I, II e III são falsas.
c) apenas I e II são corretas.
d) apenas II e III são corretas.
e) apenas I e III são corretas.
I) log (a 9 b) = log a 0 log b é verdadeira
II) log (a 0 b) = (log a) 9 (log b) é falsa
Para a = b = 1, por exemplo, temos:
log 2 = (log 1) 9 (log 1) que é uma sentença falsa
III) log10 1 = 0 é verdadeira pois 100 = 1
9 (UEL-PR) Quaisquer que sejam os números reais po-
sitivos a, b, c, d, x e y, a expressão:
 
log log log log2 2 2 2
a
b
b
c
c
d
ay
dx















0 0 − pode
ser reduzida a:
a)
 
log2
y
x



 c) 1 e) log2
2
2
a y
d x




b)
 
log2
x
y



 d) 0
Aplicando as propriedades, temos:
X
 
log log log log log2 2 2 2 2
a
b
b
c
c
d
ay
dx
a
b
b
c
c
d
ay
dx
0 0 − =
9 9
=






 
= = 9 =log log log2 2 2
a
d a
d
dx
ay
x
yay
dx














X
139
Matemática
10 (EEM-SP) Sendo log10 3 = a, calcule:
 
log log .10 1018
3
20
0
= log10 (9 9 2) 0 log10 3 − log10 (10 9 2)
= log10 9 0 log 2 0 log10 3 − (log10 10 0 log10 2)
= 2 log10 3 0 log10 2 0 log10 3 − log10 10 − log10 2
= 3 log10 3 − log10 10
= 3a − 1
Usando as propriedades, temos:
 
log log log log log10 10 10 10 1018
3
20
3 200 = 0 −
a) Do enunciado, temos:
11 (FGV-SP) Um automóvel vale hoje R$ 20 000,00.
Estima-se que seu valor (y) daqui a x anos seja dado pela
função exponencial y = a 9 bx. Sabendo-se que o valor
estimado para daqui a 3 anos é R$ 15 000,00:
a) Qual o valor estimado para daqui a 6 anos?
b) Um outro automóvel tem um valor estimado (y) daqui
a x anos, dado por y = c 9 (0,8)x. Daqui a quantos anos
o valor deste veículo se reduzirá à metade?
Adote o seguinte valor: log 2 = 0,3.
x y
0 20 000
3 15 000
20 000 = ab0 Ι a = 20 000
15 000 = ab3 Ι 15 000 = 20 000b3
 
b3 3
4
=
Daqui a 6 anos: y = a 9 b6
y = 20 000 9 (b3)2
 
y = 920 000 3
4
2



y = 11 250
O valor do automóvel daqui a 6 anos será de R$ 11 250,00.
x 9 (log 8 − log 10) = log 2−1
x 9 (3 log 2 − 1) = −log 2
x 9 (0,9 − 1) = −0,3
−0,1x = −0,3
x = 3
O valor se reduzirá à metade após 3 anos.
b) O valor do automóvel daqui a x anos será de y = c 9 (0,8)x, onde c é o
valor atual do automóvel. Queremos y = 0,5c:
c(0,8)x = 0,5c
 
8
10
1
2
8
10
1
2








x x
= Υ =log log
Escrevendo o valor de [H0] de modo a utilizar os valores aproximados
fornecidos, tem-se, sucessivamente,
[H0] = 5,4 9 10−8 = 54 9 10−9 = 2 9 33 9 10−9.
Daí,
−log [H0] = −log (2 9 33 9 10−9)
= −(log 2 0 3 9 log 3 − 9 9 log 10).
[Aqui foram usadas duas propriedades fundamentais do logaritmo, a sa-
ber: dados números positivos a, b e um número real c, temos:
log (a 9 b) = log a 0 log b e log (ac) = c 9 log a]
Como log 10 = 1, usando os valores aproximados log 2 = 0,30 e
log 3 = 0,48, temos:
−log [H0] = −(0,30 0 3 9 0,48 − 9) =
= 9 − 0,30 − 1,44 = 7,26
Então, o pesquisador obteve o valor de 7,26 para o pH dessa solução.
12 (UFMG) O pH de uma solução aquosa é definido
pela expressão
pH = −log [H0],
em que [H0] indica a concentração, em mol/σ, de íons de
Hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10.
Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador
verificou que, nela, a concentração de íons de Hidrogênio
era [H0] = 5,4 9 10−8 mol/σ.
Para calcular o pH dessa solução, ele usou os valores apro-
ximados de 0,30, para log 2, e de 0,48, para log 3.
Então, o valor que o pesquisador obteve para o pH dessa
solução foi:
a) 7,26 b) 7,32 c) 7,58 d) 7,74X
a) Para t = 0 devemos ter Q(t) = 1 e, portanto,
 
log10
100 1
1 10 10 1
k
k k
0
= Π = Π =
b) A experiência terminará quando Q(t) = 0
 
Então: Q(t) =
0
= Π
0
=log10
110
1
0 10
1
1
t t




t 0 1 = 10 Π t = 9
13 (Vunesp-SP) Numa experiência para se obter cloreto
de sódio (sal de cozinha), colocou-se num recipiente uma
certa quantidade de água do mar e expôs-se o recipiente a
uma fonte de calor para que a água evapore lentamente. A
experiência termina quando toda a água se evaporar. Em
cada instante t, a quantidade de água existente no recipien-
te (em litros) é dada pela expressão:
 
Q(t) =
0
log10
10
1
k
t




com k uma constante positiva e t em horas.
a) Sabendo que havia inicialmente 1 litro de água no re-
cipiente, determine a constante k.
b) Ao fim de quanto tempo a experiência terminará?
140
Matemática
14 (UERJ) Leia atentamente a reportagem a seguir:
(Adaptado de Veja, 11/4/2001)
UMA BOA NOTÍCIA
Lançado na semana passada, o livro Povos Indígenas
no Brasil – 1996/2000 mostra que as tribos possuem hoje
cerca de 350 000 habitantes e crescem ao ritmo de 3,5%
ao ano, quase o dobro da média do restante da popula-
ção. Mantendo o atual ritmo de crescimento, é possível
imaginar que a população indígena demoraria 60 anos
para atingir o tamanho registrado em 1500, na época
do Descobrimento.
a) População daqui a um ano:
P = 350 000 9 1,035 Θ P = 362 250 habitantes
b) P(t) = P0(t) 9 (1,035)t Θ P = 350 000 9 (1,035)
Aplicando logaritmo decimal em ambos os membros, temos:
log P = log 350 000 9 (1,035) Θ log P = log 350 000 0 log (1,035)60
log P = log 350 000 0 60 9 log 1,035
Como 350 000 = 35 9 104, vem:
log P = log 35 9 104 0 60 9 log 1,035
log P = log 35 0 log 104 0 60 9 log 1,035
Substituindo os valores, temos:
log P = 1,54411 0 4 0 60 9 0,0149 = 6,4381 Θ P = 106,4381
P = 105 9 101,4387
P = 2 742 000
Admita que a população indígena hoje seja de exatamente
350 000 habitantes, e que sua taxa de crescimento anual
seja mantida em 3,5%.
De acordo com esses dados, estime a população das tribos
indígenas do Brasil nos seguintes momentos:
a) daqui a um ano;
b) em 1500, utilizando a tabela de logaritmos abaixo.
x log x
10,35
35,00
27,42
1,0149
1,5441
1,4381
15 (UFRJ) Segundo algumas estimativas, o volume de
água facilmente disponível para o consumo, em todo o pla-
neta, é de 14 mil km3 por ano. Consideremos como razoá-
vel um consumo de 500 m3 por ano por habitante. Sabendo
que a população da Terra é de cerca de 6 bilhões de pessoas
e que cresce à taxa de 1,6% ao ano, gostaríamos de ter uma
estimativa de em quanto tempo chegaremos, mantidos es-
tes dados, ao limite dos recursos disponíveis.
Expresse, utilizando os dados acima e as funções usuais
em máquina de calcular (ou seja: as quatro operações ele-
mentares, x , log x, ln x, e
x, 10x, sen x, cos x e tg x), o
número x de anos em que ainda teremos água facilmente
disponível.
Substituindo os valores dos logaritmos, temos:
A população da Terra, em função do número x de anos, é dada por:
p(x) = 6 9 109 9 (1,016)x.
Portanto, o consumo razoável de água por ano no planeta é:
C(x) = 500 m3 9 p(x) = 3 9 1012 9 (1,016)x m3.
Como o volume de água disponível em cada ano é de
14 000 km3 = 14 9 1 012 m3, para que possamos dispor facilmente de
água, devemos ter: C(x) = 14 9 1012 m3.
Logo:
 
3 10 1016 14 10 14
3
12 3 12 39 = 9 Θ =( , ) x m m (1,016)x
Aplicando logaritmo decimal em ambos os membros, vem:
 
log ( , ) log log ( , ) log log1016 14
3
1016 14 3x x= Θ 9 = − 
 
x =
−log log14 3
log (1,016)
 
x x=
−
Θ Λ
1146 0 477
0 00689
, ,
,
97 anos.
16 (Vunesp-SP) Sejam ε e ψ constantes reais, com
 ε . 0 e ψ . 0, tais que log10 ε = 0,5 e log10 ψ = 0,7.
a) Calcule log10 εψ, onde εψ indica o produto de ε e ψ.
b) Determine o valor de x 7 ς que satisfaz a equação
 
εψ
= εψ
10




x
( )2 .
x 9 [log (ε 9 ψ) − log 10] = 2 9 log (ε 9 ψ)
x 9 [1,2 − 1] = 2 9 1,2
x = 12
Sendo ε = 0 e ψ . 0, tais que log ε = 0,5 e log ψ = 0,7, temos:
a) log (ε 9 ψ) = log ε 0 log ψ = 0,5 0 0,7 = 1,2
b)
 
ε 9 ψ
= ε 9 ψ Θ
ε 9 ψ
= ε 9 ψ
10 10
2






x x
( ) log ( )2 log
141
Matemática
Sabe-se, também, que a relação entre y e x é estabelecida
pela equação 
 
y nx
K
= 0 log ,
2



 sendo K a constante
elástica da mola e n uma constante.
a) Determine os valores das constantes K e n.
b) Determine o valor de E para ∆σ = 3.
17 (UFF-RJ) A energia potencial elástica (E) e a varia-
ção no comprimento (∆σ) de uma determinada mola es-
tão associadas conforme a tabela:
y = log E x = log ∆σ
4
6
1
2
a) Substituindo os valores de x e y, conforme a tabela, temos:
1
4
4
2
4
4
3
 
4 1
2
= 9 0n
Klog  
 
6 2
2
= 9 0n
Klog  
Θ
1
4
4
2
4
4
3
 
4
2
− =n
Klog  
 
6 2
2
− =n
Klog  
I
II
b) Substituindo os valores de n e K, vem:
 
y x y x= 0 Θ = 02 200
2
2 100log log




Mas y = log E e x = log ∆σ, logo:
log E = 2 9 log ∆σ 0 log 100 Θ log E = log (∆σ)2 0 log 100
log E = log (∆σ)2 9 100
E = (∆σ)2 9 100
Substituindo ∆σ = 3, vem:
E = (3)2 9 100 Θ E = 900
K = 200
Fazendo = , vem:
4 − n = 6 − 2n Θ n = 2
Substituindo n = 2 em , temos:
 
4 2
2 2
2− = Θ =log logK K   
 
K
2
102=
III
I
19 (UFPel-RS) A intensidade de um terremoto, medi-
da na escala Richter, é uma função logarítmica determi-
nada por 
 
I E= 9
9 −
2
3 7 10 3
log , em que E é a energia li-
berada no terremoto, em kWh.
Magnitude Richter Efeitos
Menor que 3,5 Geralmente não sentido, mas gravado.
Entre 3,5 e 5,4 Às vezes sentido, mas raramente causa
danos.
Entre 5,5 e 6,0 No máximo causa pequenos danos a
prédios bem construídos, mas pode
danificar seriamente casas mal cons-
truídas em regiões próximas.
Entre 6,1 e 6,9 Pode ser destrutivo em áreas em torno
de até 100 quilômetros do epicentro.
Entre 7,0 e 7,9 Grande terremoto; pode causar sérios
danos numa grande faixa de área.
8,0 ou mais Enorme terremoto; pode causar gran-
des danos em muitas áreas, mesmo
que estejam a centenas de quilôme-
tros.
Analise o texto abaixo, adaptado do jornal O Estado de
S. Paulo, 1999.
“Um dos mais fortes terremotos das últimas déca-
das atingiu a Turquia na madrugada de ontem, causan-
do a morte de pelo menos 2 mil pessoas e ferimentos
em outras 10 mil, segundo cálculos iniciais. (...) O tre-
mor liberou uma energia de 7 9 102,4 kWh, de acordo
com o registro nos EUA, e foi sentido em várias cidades
vizinhas... Em pânico, a população da capital turca, de
7,7 milhões de pessoas, foi para as ruas. Cerca de 250
pequenos abalos se seguiram ao primeiro e mais inten-
so, que durou 45 segundos... pontes ruíram e fendas
no asfalto dificultaram a chegada do socorro...”
 
I I I= 9
9
Θ = Θ = 9 9
−
2
3
7 10
7 10
2
3
10 2
3
5 4 10
2 4
3
5 4log log , log
,
,
A intensidade I = 3,6 não corresponde aos efeitos descritos pela notícia.
Com base no cálculo da intensidade (magnitude) do ter-
remoto, a ser medida pela escala Richter, verifique se o
valor da energia liberada, citado no texto, corresponde aos
efeitos descritos pela notícia.
I = 3,6
18 (UFSC) Determine o conjunto solução da equação
log2 (x 0 4) 0 log2 (x − 3) = log2 18.
Como x = −6 não satisfaz a condição x . 3, obtemos: S = {5}
Devemos ter:
x 0 4 . 0 Θ x . −4
x − 3 . 0 Θ x . 3
Resolvendo a equação, temos:
log2 (x 0 4)(x − 3) = log2 18 Θ (x 0 4)(x − 3) = 18
x2 0 4x − 3x − 12 = 18
x2 0 x − 30 = 0
Ι x . 3
x1 = 5
x2 = −6
Sendo E = 7 9 102,4 kWh, temos:
142
Matemática
20 (UFAL) Resolva, no universo ς, a equação
log3 x 0 log3 (x 0 2) = 1.
x1 = 1x2 = −3 (não serve)
Ι x . −2
Resolvendo a equação, temos:
log3 x(x 0 2) = 1 Θ x(x 0 2) = 31
x2 0 2x = 3
x2 0 2x − 3 = 0
Da equação, devemos ter:
x . 0
x 0 2 . 0 Θ x . −2
Sendo A = 1,6 m = 160 cm
A = 40 9 (1,1)t Θ 160 = 40 9 (1,1)t
(1,1)t = 4
Tomando os logaritmos decimais do 1o e do 2o membros, temos:
log (1,1)t = log 4 Θ t 9 log 1,1 = log 22
 
t 9 =log log11
10 2 2
t(log 11 − log 10) = 2 log 2
t(1,04 − 1) = 2 9 0,3
0,04t = 0,6
t = 15 anos
21 (UCS-RS) Um explorador descobriu na selva ama-
zônica uma nova espécie de planta. Pesquisando-a duran-
te anos, comprovou que o seu crescimento médio variava
de acordo com a fórmula A = 40 9 (1,1)t, onde a altura
média A é medida em centímetros e o tempo t em anos.
Verificou também que seu crescimento estaciona, após os
20 anos, abaixo de 3 metros. Sabendo que
log 2 Λ 0,30 e log 11 Λ 1,04, então, a idade, em anos, na
qual a planta tem uma altura média de 1,6 metro é igual a:
a) 15 anos b) 10 anos c) 9 anos d) 5 anosX
22 (Unifesp-SP) O valor de x que é solução da equação
log10 2 0 log10 (x 0 1) − log10 x = 1 é:
a) 0,15 b) 0,25 c) 0,35 d) 0,45 e) 0,55X
x 0 1 = 5x
4x = 1 Θ x = 0,25
Como x . 0, temos:
log10 2 0 log10 (x 0 1) − log10 x = 1
 
log ( )10 2 1 1xx
0
=
 
2 1 10( )x
x
0
=
a) Com x − 2 . 0 e x 0 2 . 0, isto é, com x . 2, temos:
log (x − 2) 0 log (x 0 2) = 2
log [(x − 2)(x 0 2)] = log 100
log (x2 − 4) = log 100
x2 − 4 = 100
x2 = 104
 x ou x= = −2 26 2 26
Com a condição x . 2, temos x = 2 26 .
b) Com x . 0 e log x = t(10t = x), temos:
xlog x = 100x Π (10t)t = 102 9 10t
 10 10
2 2t t= 0
t2 = 2 0 t
t2 − t − 2 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos:
t = 2 ou t = −1
t = 2 Υ x = 102 Υ x = 100
t = −1 Υ x = 10−1 Υ x = 1
10
23 (FGV-SP)
a) Resolva a equação log (x − 2) 0 log (x 0 2) = 2.
b) Quais as raízes da equação xlog x = 100x?
1
2
3
143
Matemática
24 (FMTM-MG) Uma cultura bacteriana apresenta ini-
cialmente uma população de 10 000 bactérias. Após t ho-
ras, sua população será de 10 000(1,2)t bactérias. A popu-
lação da cultura será de 30 000 bactérias após um núme-
ro de horas igual a:
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
Adote: log 2 = 0,3 e
log 3 = 0,48X
= log 22 9 3 − log 10
= log 22 0 log 3 − log 10
= 2 log 2 0 log 3 − log 10
Substituindo os logaritmos, vem:
log (1,2) = 2 9 0,3 0 0,48 − 1 = 0,08
Portanto:
 
t t= Θ =loglog ( , )
,
,
3
1 2
0 48
0 08
t = 6 horas
Pelos dados, temos:
30 000 = 10 000(1,2)t Θ 3 = (1,2)t
Aplicando logaritmo decimal em ambos os membros, vem:
log 3 = log (1,2)t Θ log 3 = t 9 log (1,2)
 
t =
log
log ( , )
3
12
 
Mas log ( , ) log log log12 12
10 12 10= = −
t = (2)(0,693)(250)
t Λ 346
25 (PUC-SP) A energia nuclear, derivada de isótopos
radioativos, pode ser usada em veículos espaciais para for-
necer potência. Fontes de energia nuclear perdem potên-
cia gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode ser
descrito pela função exponencial P P e
t
= 9
−
0
250 , na qual
P é a potência instantânea, em watts, de radioisótopos de
um veículo espacial; P0 é a potência inicial do veículo; t é
o intervalo de tempo, em dias, a partir de t0 = 0; e é a base
do sistema de logaritmos neperianos. Nessas condições,
quantos dias são necessários, aproximadamente, para que
a potência de um veículo espacial se reduza à quarta parte
da potência inicial? (Dado: σn 2 = 0,693)
a) 336 b) 338 c) 340 d) 342 e) 346X
 
Sendo P tal que P , temos:t t= 9 =
−
P e
Pt
0
250 0
4
 
P e
Pt
0
250 0
4
9 =
−
 
e
t−
=250
1
4
 e
t−
−=250 2 2
 σ = σ
−
−n e n
t
250 2 2
 
−
9 σ = − 9 σ
t
n e n
250 2 2
 
−
9 = −
t
250
1 2 0 693( , )
26 (UFRN) Resolva o sistema: y − x = 9
log x − log y = −1
1
2
3
 
log log logx y xy− = − Θ = −1 1
Substituindo em , temos:
y − x = 9 Θ 10x − x = 9
9x = 9
x = 1
Logo: y = 10x Θ y = 10 9 1 Θ y = 10
Da equação , temos:
y = 10x
 
x
y =
−10 1
 
x
y =
1
10
I
colog3 [log5 (log2 2125)] = −log3 [log5 (log2 2125)]
= −log3 [log5 (125 9 log2 2)]
= −log3 [log5 125]
= −log3 [3 log5 5]
= −log3 3 = −1
27 (Fafi-BH) O valor de colog3 [log5 (log2 2125)] é:
a) 0 b) −1 c) 2 d) 3 e) 1X
a) Verdadeira, pois log
a
 1 = 0 Θ a0 = 1
b)
 
Verdadeira pois b
m
b com m
a am
, log log= ϑ1 0
c)
 
Verdadeira pois b b
c
e
c
a
a
, log loglog=
 
log log
log
log
log log
a c
c
c
c c
b a
b
a
a b9 = 9 =
d) Falsa.
e) log
a
 bn = n log
a
 b
28 (UESPI) Assinalar a alternativa falsa, sobre as pro-
priedades dos logaritmos:
a) loga 1 = 0
b)
 
log log
)(am
b
m
ba=
1
c) logc b = loga b 9 logc a
d) loga (b 0 c) = loga b 9 loga c
e) loga (b
n) = n loga b
II
X
144
Matemática
• 2n = 5 Θ log 2n = log 5 Θ n log 2 = log 5
•
 
log loglog
log
log ( )
log
log log log50
2
4 4
50
2
2 5 5
2 2
2 5 5
= =
9 9
=
0 0
=
 
=
0
=
0 9
=
2 2
2 2 5
2 2
2 2 2
log
log log
log
log logn
 
=
9 0
=
0
2 2
2 1 2
2
1 2
log
log ( )n n
29 (UA-AM) Sendo 2n = 5, então log50 4 em função de
n é igual a:
a)
 
2
1 0 n
c)
 
1
1 0 n
e)
 
2
2 0 n
b)
 
1
1 20 n
d)
 
2
1 20 n
I)
 
log log log1
3
1
3
2
1
3
9 1
3
2 1
3
2= Π = = − 9 = −
−
a a




II)
 
log log ( ) log16 2 16 2 162 4
1
2
a = − = =
30 (MACK-SP) 
 
Se log 9 a,1
3
= então log16 a
2 é:
a)
 
1
2
b)
 
−
1
4
c) −2 d) 4 e) 2
31 (MACK-SP) Se logm 5 = a e logm 3 = b, 0 , m ϑ 1,
então 
 
log 1
3
5
m
é igual a:
a)
 
b
a
d)
 
a
b
b) b − a e) a − b
c) 3a − 5b
X
X
= a − b
 
log
log
logm
m
m
m−
= =
−1
3
5
3
5
1
 
=
−
−
=
log log
m m
3 5
1
 
=
−
−
=
b a
1
32 (ECM-AL) Considerando log 2 = 0,30, o valor de
log4 3,2 é:
a)
 
5
3
b)
 
6
5
c)
 
1
2
d)
 
5
6
e) 20X
X
Substituindo os valores dos logaritmos, temos:
Aplicando a fórmula de mudança de base, vem:
 
log , log ,
log
log
log
log log
log4 2
3 2 3 2
4
32
10
2
32 10
2 2
= = =
−
 
=
−
=
−log log
log
log log
log
2 10
2 2
5 2 10
2 2
5
 
log , ,
,
,
,
4 3 2
5 0 30 1
2 0 30
0 5
0 6
5
6=
9 −
9
= =
33 (UFU-MG) Determine todos os valores de x 7 ς tais
que satisfaçam à equação log4 (x − 3) = 1 0 log16 (x − 3).
A condição de existência é:
x − 3 . 0 Θ x . 3
Resolvendo a equação, temos:
 
log ( ) log ( )log log ( )
log ( )
4
4
4
4
43 1
3
16 3 1
3
2
x
x
x
x
− = 0
−
Θ − = 0
−
Como 19 . 3, o conjunto solução é S = {19}.
2 log4 (x − 3) = 2 0 log4 (x − 3)
log4 (x − 3) = 2
x − 3 = 16
x = 19
34 (UFF-RJ) São dados os números reais positivos a, b
e x tais que a ϑ 1 e b ϑ 1.
Sabe-se que loga x = 2 e logb x = 4.
 Calcule a xablog .
Mas a2 = x e b4 = x. Assim a2 = b4 e b2 = a Υ b a=
 
log
log
log
log log
log log
log
logab
a
a
a a
a a
a
a
a x
a x
ab
a x
a b
x
b= =
0
0
=
0
0
1 1
2
1
 
log
logab
a
a x
a
=
0 9
0
=
0
0
= =
1 1
2
2
1
1 1
1 1
2
2
3
2
4
3
Logo:
145
Matemática
35 (UFSC) Determine a soma dos números associados
à(s) proposição(ões) verdadeira(s).
(01) O valor do log0,25 32 é igual 
 
a − 5
2
.
(02) Se a, b e c são números reais positivos e 
 
x a
b c
=
3
2
,
então 
 
log log log log .x a b c= − −3 2 1
2
(04) Se a, b e c são números reais positivos com a e c
diferentes de um, entãotem-se 
 
log
log
log
.a
c
c
b
b
a
=
(08) O valor de x que satisfaz à equação 4x − 2x = 56 é x = 3.
(16)
 
2
3
2
3
2 3 1 7







− −
.
, ,
 
2 25
100
2 1
4
2 25 5 5 2= Θ = Θ = −   
x x
x
(01) log0,25 32 = x Θ 32 = 0,25x
 
Logo x x: − = Θ = −2 5 5
2
(verdadeira)
Logo: 2x = 8 Θ 2x = 23 Θ x = 3
2x = −7 Θ Ξ x 7 ς
(verdadeira)
(16)
 
2
3
2
3
3
2
3
2
2 3 1 7 2 3 1 7















− −
. Θ .
, , , ,
(verdadeira)
Portanto: 01 0 02 0 04 0 08 0 16 = 31
y1 = 8
y2 = −7
(02)
 
log log log logx a b c= − −3 2 1
2
 log log log logx a b c= − −
3 2
 
log logx a
b c
=
9
3
2
 
x
a
c
=
3
(verdadeira)
(04) Verdadeira é a fórmula da mudança de base (da base a para a base c).
(08) 22x − 2x − 56 = 0 Θ y2 − y − 56 = 0
Seja f(x) = log
a
 x a função mostrada no gráfico.
O ponto (4, −2) pertence ao gráfico, logo:
log
a
 4 = −2 Θ a−2 = 4
36 (UFSM-RS) O gráfico mostra o comportamento da
função logarítmica na base a. Então o valor de a é:
a) 10
b) 2
c) 1
d)
 
1
2
e) −2
 
1 42a
=
 
a 2
1
4
=
 
a ou a= =
−
.
1
2
1
2
(não serve pois a 0)
37 (UFJF-MG) A figura abaixo é um esboço do gráfico
da função y = 2x no plano cartesiano. Com base nesse
gráfico, é correto afirmar que:
a) y0 = y2 − y1
b) y1 = y3 − y2
c) y1 = y3 0 y0
d) y2 = y1 9 y0
e) y3 = y1 9 y2
Do gráfico, temos:
 
2 1 1
x y=
 
2 2 2
x y=
 
2 1 2 3
x x y0 =
 
2 2 21 2 1 21 2 1 2
x x x xy y y y9 = 9 Θ = 90
I
II
III
y3 = y1 9 y2
Fazendo 9 , vem:I II
X
X
0 1
4
−2
x
y
0 x1
y0
y1
y2
y3
x2 x1 0 x2
x
y
146
Matemática
38 (UA-AM) Considere a função f(x) = log10 (x2 − 2x − 8).
Seu domínio é o conjunto:
a) {x 7 ς; −2 , x , 4}
b) {x 7 ς; x , −2 ou x . 4}
c) {x 7 ς; x . −2}
d) {x 7 ς; x . 4}
e) {x 7 ς; x < −2 ou x > 4}
39 (UFAC) Dadas as funções f(x) = 2x, x real, e
 
g(x) x,= log 1
2
 x . 0. Os gráficos de f e g interceptam-se
em um único ponto. Assim, equação f(x) = g(x) possui
uma única solução real. O intervalo a que a solução da
equação pertence é:
a) ]2, ∃) c) ]1, 2[ e) (−∃, 0[
b)
 
1
2
1,



 d) 
0
1
2
,




Logo, a solução pertence ao intervalo 0 1
2
,



 .
Os gráficos são:
Como o gráfico é uma reta, devemos ter: y = ax 0 b. Logo:
x = 0 y = 2 Θ 2 = b
x = 2 y = 6 Θ 6 = 2a 0 b Θ 6 = 2a 0 2 Θ 2a = 4 Θ a = 2
Assim, obtemos: y = 2x 0 2
Substituindo, temos:
log y = 2 log x 0 2 Θ log y = 2 0 2 log x
log y = log 100 0 log x2
log y = log 100x2
y = 100x2
40 (UFRJ) Sejam x e y
duas quantidades. O gráfi-
co ao lado expressa a varia-
ção de log y em função de
log x, onde log é o loga-
ritmo na base decimal.
Determine uma relação en-
tre x e y que não envolva a
função logaritmo.
O trapézio tem bases CD, de comprimento log2 12, e AB, de comprimento
log2
8
3



 e tem altura AD de comprimento 12
8
3
28
3− = .
A área do trapézio é, então, igual a
Nessa figura, os pontos B e C estão sobre o gráfico da fun-
ção y = log2 x, os pontos A e D têm abscissas iguais a
 
8
3
e 12, respectivamente, e os segmentos AB e CD são
paralelos ao eixo y.
Então, a área do trapézio ABCD é:
a)
 
64
3
b)
 
70
3
c)
 
74
3
d)
 
80
3
41 (UFMG) Observe a figura.
 
log log
log
2 2
2
12 8
3
2
28
3
12 8
3
14
3
0
9 = 9 9 =



 



 
= 9 = 9 =
14
3 32
14
3 5
70
32log .
X
X
X
O domínio da função f(x) deverá ser:
Logo: x , −2 ou x . 4
x2 − 2x − 8 . 0
{ {
}−2 4 x
1
1
0 x
y
1
2
y = 2x
2
log y
log x0 2
6
A
y
D
B
C
x
y x= log 1
2
 y = log2 x
147
Matemática
X
43 (UFAC) A função 
 
f(x) = log ,1
2
x x . 0, possui algu-
mas propriedades. Uma delas é:
a) f(1) = 1
b) para x . 1, f(x) . 0
c) para 0 , x , 1, f(x) , 0
d) f é uma função crescente
e) a equação f(x) = 0 tem uma única solução, a saber,
x = 1.
Pelo gráfico, temos para x . 1, f(x) , 0.
c) Falsa, pois pelo gráfico anterior para 0 , x , 1, f(x) , 0.
d) Falsa, pois a função f(x) é decrescente (a base é um número entre 0 e 1).
e)
 
Verdadeira, pois f(x) = Θ = Θ = =0 0 1
2
11
2
0
log x x 

 .
a)
 
Falsa, pois f(1) = =log 1
2
1 0
b) Falsa, pois
44 (UFBA) O número de bactérias de determinada cul-
tura varia de acordo com a lei N(t) = 9
−
100 2
1
2 , em que
o tempo t é dado em horas.
Nessas condições, pode-se afirmar:
(01) No instante t = 0, o número de bactérias existente
na cultura é igual a 200.
(02) Depois de 8 horas, o número de bactérias existente
na cultura é menor que 7.
(04) Em 4 horas, a quantidade de bactérias na cultura se
reduz a 
 
1
4
da quantidade inicial.
(08) Na cultura, a quantidade de bactérias se reduz de
 
2
5
da quantidade inicial no tempo 
 
t = 2
5
32
log .




(16) Em relação ao tempo,
a variação da quantida-
de de bactérias é repre-
sentada pelo gráfico ao
lado.
(01) Sendo t = 0, temos:
 N(0) N(0) 100 (falsa)= 9 Θ = 9 =
−100 2 100 2
0
2 0
(02) Fazendo t = 8, obtemos:
 
N(8) = 9 = 9 = = =− −100 2 100 2 100
2
100
16
6 25
8
2 4
4
,
Como 6,25 , 7 a sentença é verdadeira.
(04) Se t = 4, temos:
 
N(4) = 9 = =−100 2 100
4
25
4
2
 
C 100 (verdadeira)omo 25 1
4
= 9
(08)
 
Sendo N(t) 100 40, temos:= 9 =2
5
 
40 100 2 2
5
2 2
5
22 2 2= 9 Θ = Θ =− − −
t t t
log log
 
t falsa= 2 5
22
log ( )
(16) Tabelando a função, temos:
Portanto: 02 0 04 = 06
(falsa)
t N
0 100
2 50
4 25
−5x2 0 6x − 1 > 0
5x2 − 6x 0 1 < 0
 f(x)
2x x(3x= 9 0 −− 0 − 0(log ) log log log )3 5
1
3
1
3
15 8 4 22x x
Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa.
42 (ITA-SP) Seja a função f dada por
 
log
log
log
log log )3
3
1
3
3
1
3
15
8
5
4 2 029 0 − >
−
0 − 0
x
x2x x(3x
 
(log ) log log log )3 5 1 3 1 3 15 8 4 2 029 0 − >− 0 − 0x x2x x(3x
 
log )3 1 1 18 4 2 0
2x x− 0 − − 09 9 >2x x(3x[ ]
 ( ) ( ) )2 2 2 13 1 2 1 1
2x x− 0 − − 09 9 >2x x(3x
 2 2
3 2 02 23x 4x 2x 3x− 0 0 − − − >x
 
1
5
1< <x
1
y1
x1
0 x
y
f(x)
N(t)
t0
100
x0 1 2 4
y
100
50
Em questões como a 44, a resposta é dada pela soma dos
números que identificam as alternativas corretas.
148
Matemática
1
1
2
2
3
3
−1
−1
(II)
(I) 5 (II)
45 (UFSM-RS) O domínio da função
 
f(x) =
−
0
0 − 0
x
x
x x
1
1
5 610
2log ( ), em ς, é o sub-
conjunto:
a) ]−∃, −1[ 6 [1, 2[ 6 ]3, 0∃[
b) ]−∃, 0∃[
c) ]−∃, 1] 6 [2, 0∃)
d) {x 7 ς\x , −1 ou x > 1}
e) {x 7 ς\x , 1 ou x . 3}
X
Devemos ter:
x2 − 5x 0 6 . 0
1
4
2
4
3 
x
x
−
0
>
1
1
0 I
II
y1 = x − 1
x − 1 = 0 Θ x = 1
I
 
x
x
com x
−
0
> ϑ −
1
1
0 1,
y2 = x 0 1
x 0 1 = 0 Θ x = −1
Quadro de sinais
Portanto: D = {x 7 ς\x , −1 ou 1 < x , 2 ou x . 3} ou
D = ]−∃, −1[ 6 [1, 2[ 6 ]3, 0∃[
x2 − 5x 0 6 . 0II
 5 :III
46 (UFJF-MG) O conjunto de todos os números reais
x para os quais 
 
log x
x1 2−
, 0 é:
a) {x 7 ς\x . 0 e x ϑ 1} d) {x 7 ς\x . 0}
b) {x 7 ς\0 , x , 1} e) {x 7 ς\x , −1 ou x . 1}
c) {x 7 ς\x . 1}
X
Para y1 = log x, devemos ter x . 0 e:
Logo:
Para y2 = 1 − x2, devemos ter:
1 − x2 = 0 Θ x2 = 1 Θ x = −1 ou x = 1
S = {x 7 ς\x . 0 e x ϑ 1}
47 (UESC-BA) Determine o conjuntosolução da
inequação log2 (x
2 − 1) < 3.
S = {x 7 ς\−3 < x , −1 ou 1 , x < 3}
A condição de existência é:
x2 − 1 . 0
Como log2 2 = 1 e log2 23 = 3, vem:
log2 (x2 − 1) < 3 Θ log2 (x2 − 1) < log2 23
x2 − 1 < 23 (o sentido da desigualdade se conserva)
x2 − 9 < 0
Na reta real:
I
II
1}
{
x −1}
{
x
0− 0
−− 0
−{ {
−1 1
1−1
y1
y2
y1
y2
{ {
}2 3
10
y1
x
{
}
} }
{
−1 1 x
−1
−1
0
0
1
1
ΞΞ 0−
0− −0
ΞΞ }}
−3
−3
−1
−1
1
1
00 0−
−0 0−
3
3
0
−(II)
(I)
(I) 5 (II)
149
Matemática
48 (UFOP-MG) Resolva a inequação
log2 (x − 3) 0 log2 (x − 2) , 1.
Ι x . 3
Devemos ter:
x − 3 . 0 Θ x . 3
x − 2 . 0 Θ x . 2
Resolvendo a inequação, temos:
log2 (x − 3)(x − 2) , 1 Θ (x − 3)(x − 2) , 2
x2 − 5x 0 6 , 2
x2 − 5x 0 4 , 0
x1 = 4
x2 = 1
Raízes: x2 − 5x 0 4 = 0
Se {x 7 ς\3 , x , 4}
Fazendo 5 , obtemos:
I
III
49 (Vunesp-SP) Seja 
 
f(x) 1).= − −log (1
2
2x Determi-
ne os valores reais de x para os quais:
a) f(x) existe;
b) f(x) , 3.
a) O domínio da função é:
x2 − 1 . 0 Θ x2 − 1 = 0 Θ x2 = 1 Θ x = −1 ou x = 1
Fazendo 5 , obtemos:
−3 , x , −1 ou 1 , x , 3
III
50 (Fuvest-SP) Seja f(x) = log3 (3x 0 4) − log3 (2x − 1).
Os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz
f(x) . 1, são:
a)
 
x , 7
3
d)
 
− ,
4
3
x
b)
 
1
2
, x e)
 
− , ,
4
3
1
2
x
c)
 
1
2
7
3
, ,x
A função está definida para:
 
3 4 0 43x x0 . Θ . −
 
2 1 0 1
2
x x− . Θ .
1
4
4
2
4
4
3
 
x .
1
2 I
Se f(x) . 1, vem:
 
log 3 ( ) log ( ) log3 4 2 1 1 3 42 1 13 3x x
x
x
0 − − . Θ
0
−
.
 
3 4
2 1
3x
x
0
−
.
 
− 0
−
.
3 7
2 1
0x
x
 
S x x= 7 ς , ,\ 1
2
7
3


X
Θ 1 , x , 4 II
{ {
}1 4 x
{ {
}−1 1 x
ID(f) = {x 7 ς\x , −1 ou x . 1}
Θ −3 , x , 3 II
{ {
}−3 3 x
0− 0
00 −
0− −
1
2
7
3
1
2
7
3
De e , vem:III
II
Raízes: x2 − 9 = 0 Θ x = −3 ou x = 3
b) Devemos ter:
 
f(x) , Θ − − ,3 1 31
2
2log ( )x
 
log ( )1
2
2 1 3x − . −
 
x2
3
1 1
2
− ,
−



x2 − 1 , 8
x2 − 1 , 0
3
3
4
4
1(II)
(I)
(I) 5 (II)
1
2
7
3
1
2
7
3
(II)
(I)
(I) 5 (II)
150
Matemática
51 (MACK-SP) Assinale, dos valores abaixo, um possí-
vel valor de x tal que x log 2.
log 2
x
x ,
a)
 
3
2
b)
 
7
5
c)
 
8
5
d)
 
9
5
e)
 
17
10
Considerando x . 0 e x ϑ 1, e lembrando que a Na
Nlog
,= temos:
 
x x
x x
log log log2 2 2 2, Π ,
Devemos considerar duas situações:
Logo, um possível valor de x que satisfaz a inequação é
2)
1
2
3
x . 1
2 , log
x
 2 Π
1
2
3
x . 1
x2 , 2 Π
x . 1
 − , ,2 2x
1
2
3 Υ , ,1 2x
1)
1
2
3
0 , x , 1
2 , log
x
 2 Π
1
2
3
0 , x , 1
x2 . 2 Π
0 , x , 1
 x ou x, − .2 2
1
2
3 Υ Ξ x
 
7
5
1 7
5
2, .pois , ,
X
a) Se A(t) = log8 (1 0 t)6 e B(t) = log2 (4t 0 4) representam as populações
das cidades A e B, respectivamente, em milhares de habitantes, e t . 0
representa o tempo em anos, então:
A(1) = log8 (1 0 1)6 = log8 26 = log8 (23)2 = log8 82 = 2 log8 8 = 2
B(1) = log2 (4 9 1 0 4) = log2 8 = log2 23 = 3 log2 2 = 3
A(7) = log8 (1 0 7)6 = log8 86 = 6 9 log8 8 = 6
B(7) = log2 (4 9 7 0 4) = log2 32 = log2 25 = 5 log2 2 = 5
b) A(t) . B(t) Θ log8 (1 0 t)6 . log2 (4t 0 4)
6 9 log8 (1 0 t) . log2 4(1 0 t)
 
6
1
8
4 12
2
2 29
0
. 0 0
log ( )
log
log log ( )t t
 
6
1
3
2 12 29
0
. 0 0
log ( )
log ( )t t
2 log2 (1 0 t) . 2 0 log2 (1 0 t)
log2 (1 0 t) . 2
1 0 t . 4
t . 3
52 (Unicamp-SP) As populações de duas cidades, A e B,
são dadas em milhares de habitantes pelas funções
A(t) = log8 (1 0 t)
6 e B(t) = log2 (4t 0 4), onde a variável
t representa o tempo em anos.
a) Qual é a população de cada uma das cidades nos ins-
tantes t = 1 e t = 7?
b) Após certo instante t, a população de uma dessas cida-
des é sempre maior que a da outra. Determine o valor
mínimo desse instante t e especifique a cidade cuja
população é maior a partir desse instante.
a) Devemos ter y > 1,2. Logo:
y > 1,2 Θ 3 − 3 9 (0,95)t > 1,2
−3 9 (0,95)t > −1,8
(0,95)t < 0,6
Tomando os logaritmos decimais do 1o e do 2o membros, temos:
log (0,95)t < log 0,6 Θ t 9 log 0,95 < log 0,6
Como log 0,95 Λ −0,02 e log 0,6 = −0,22, obtemos:
 
t t t dias9 − < − Θ > Θ .( , ) , ,
,
0 02 0 22 0 22
0 02
11
b) Por outro lado, quanto maior é o valor de t, tanto mais o valor de (0,95)t
aproxima-se de zero e, assim, o valor de y aproxima-se de 3.
O gráfico de y em função de t é dado pelo esboço a seguir.
53 (FGV-SP) O anúncio de certo produto aparece dia-
riamente num certo horário na televisão. Após t dias do
início da exposição (t exposições diárias), o número de
pessoas (y) que ficam conhecendo o produto é dado por
y = 3 − 3 9 (0,95)t, onde y é dado em milhões de pessoas.
a) Para que valores de t teremos pelo menos 1,2 milhão
de pessoas conhecendo o produto?
b) Faça o gráfico de y em função de t.
54 (UFMA) A função 
 
f(x)
(2x
=
−
2
53
x
log )
 possui
como domínio, no conjunto ς dos números reais, o intervalo:
a) ]−3, 0∃) c) ]3, 0∃) e) ]−2, 0∃)
b)




5
2
, 0∃ d)



− 0∃
7
2
,
2x − 5 . 0 Θ 2x . 5 Θ 
 
x .
5
2
log3 (2x − 5) . 0 Θ log3 (2x − 5) . log3 1
Devemos ter:
1
4
2
4
3
I
De e vem:
{x 7 ς\x . 3}, ou seja, ]3, 0∃)
Nesta resolução, foi respeitada a
notação usada pela UFMA.
2x − 5 . 1
2x . 6
x . 3 II
I II
X
0
3
y
t
151
Matemática
55 (UFU-MG) Determine todos os valores de x 7 ς tais
que satisfaçam a inequação:
 log logx − − − ,1 3 02x
Usando a propriedade do logaritmo de um quociente, temos:
 
log log logx x x
x
− − − , Θ
−
−
,1 2 3 0
1
2 3
0
 
x
x
−
−
,
1
2 3
100
 
x
x
−
−
,
1
2 3
1
 
x
x
−
−
,
1
2 3 1
 
x
x
x x
x
x
x
−
−
0 . Θ
− 0 −
−
. Θ
−
−
.
1
2 3 1 0
1 2 3
2 3 0
3 4
2 3 0
 
x
x
x
x
x
x
−
−
− , Θ
− − 0
−
, Θ
− 0
−
,
1
2 3
1 0 1 3
2 3
0 2
2 3
02x
56 (UEM-PR) Sobre exponenciais e logaritmos, assi-
nale o que for correto.
(01) Não existe número real x tal que 4x 0 6 9 2x 0 8 < 0.
(02) Se a é um número real tal que a . 0 e a ϑ 1 e se x e
y são números reais tais que x , y, então ax , ay.
(04) As raízes da equação 
 
log {log [log (x 11)]}1
2
2 5
2 − = 0
são os números reais x = 6 e x = −6.
(08)
 
log (5x 4) log (12 3x),1
4
1
4
− , − sempre que x , 2.
(16) Se log2 (9
x − 1) > 1, então 
 
x > 1
2
.
(01) 22x 0 6 9 2x 0 8 < 0 Θ y2 0 6y 0 8 < 0
y2 0 6y 0 8 = 0
y1 = −4
y2 = −2
(16) log2 (9x − 1) > 1
Devemos ter:
• 9x − 1 . 0 Θ 9x . 1 Θ 9x . 90 Θ x . 0
• log2 (9x − 1) > 1 Θ 9x − 1 > 21
9x − 1 > 2
9x > 3
32x > 31
2x > 1
 
x >
1
2
De e , obtemos: 
 
x >
1
2
(verdadeira)
Portanto: 01 0 04 0 16 = 21
Θ 2 , x , 4 (falsa)
Devemos ter −4 < y < −2. Assim:
−4 < 2x < −2 Θ Ξ x 7 ς (verdadeira)
I II
Daí, temos:
 
x
x
−
−
. −
1
2 3 1 
x
x
−
−
,
1
2 3 1I IIou
De , vem:I
−− 0
0− 0
−0 0
4
3
3
2
4
3
3
2
De , vem:II
0− 0
00 −
0− −
3
2 2
3
2
2
De 5 , obtemos:I II 4
5
2
2 4
4
(08) Devemos ter:
 
5 4 0 4
5
x x− . Θ .
12 − 3x . 0 Θ 3x , 12 Θ x , 4
Resolvendo, vem:
 
log ( )1
4
5 4 5 4 12 3x x x− , − Θ− . −log (12 3x)1
4
8x . 16
x . 2
Fazendo a intersecção, temos:
(04)
 
log log )1
2
20 11 1log [log (x 11)] log (x2 5 2 5 2− = Θ − ={ } [ ]
log5 (x2 − 11) = 2
x2 − 11 = 25
 x = Σ 36
x = Σ6
Como x2 − 11 . 0 para x = −6 ou x = 6 as raízes são −6 e 6.
(verdadeira)
(02) Se 0 , a , 1, temos:
ax , ay Θ x . y
Se a . 1, temos:
ax , ay Θ x , y
(falsa)
I
II
 
S x x ou x= 7 ς , .\ 4
3
2

4
3
3
2
4
3
2
2(II)
(I)
(I) 5 (II)