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152 Matemática I. Verdadeiro, pois (50%)2 = 50 100 2 = 25% II. Falso, pois 9 9 100 3 10 30% %= = = III. Verdadeiro, pois 3% 0 5% = 3 100 5 100 80 = % IV. Falso, pois 3% 9 5% = 3 100 5 100 0 159 = , % 1 (ESPM-SP) Observe as proposições abaixo: I. (50%)2 = 25% III. 3% 0 5% = 8% II. 9% = 3% IV. 3% 9 5% = 15% Estão corretas: a) Apenas I e II d) Apenas II, III e IV b) Apenas II e III e) Nenhuma delas c) Apenas I e III Reajuste = 14,50 − 12,50 = 2,00 Taxa de reajuste: 2 00 12 50 0 16 , , ,= = 16% 2 (PUC-SP) Uma certa mercadoria que custava R$ 12,50 teve um aumento, passando a custar R$ 14,50. A taxa de reajuste sobre o preço antigo é de: a) 2,0% c) 12,5% e) 16,0% b) 20,0% d) 11,6% X X O faturamento será de 0,9 9 1,20 = 1,08 do faturamento anterior. Logo, aumentou em 8%. 3 (UFPE) Quando o preço da unidade de determinado produto diminuiu 10%, o consumo aumentou 20% du- rante certo período. No mesmo período, de que percentual aumentou o faturamento da venda deste produto? a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 30%X 4 (UFRN) Dois supermercados (X e Y) vendem leite em pó, de uma mesma marca, ao preço de R$ 4,00 a lata. Numa promoção, o supermercado X oferece 4 latas pelo preço de 3, e o supermercado Y dá um desconto de 20% em cada lata adquirida. Responda, justificando, em qual dessas promoções você economizaria mais, se comprasse: a) 12 latas b) 11 latas a) Supermercado X: Leva (latas) Ganha (latas) 4 1 4 1 4 1 Em 12 latas temos um desconto no valor de 3 latas, ou seja: 3 9 R$ 4,00 = R$ 12,00 Supermercado Y: 100x = 960 Υ x = 9,60 Em 12 latas temos um desconto de 20%, ou seja, R$ 9,60. A economia maior seria no supermercado X. 48 100 x 20 b) Supermercado X: Leva (latas) Ganha (latas) 4 1 4 1 3 0 Em 11 latas temos um desconto no valor de 2 latas, ou seja: 2 9 R$ 4,00 = R$ 8,00 Supermercado Y: 100x = 880 Υ x = 8,80 Em 11 latas temos um desconto de 20%, ou seja, R$ 8,80. A economia maior seria no supermercado Y. 44 100 x 20 Seja x: valor inicial e i: porcentagem de aumento (x 0 i 9 x): preço com aumento (x 0 i 9 x) 9 0,8: preço com desconto Então: (x 0 i 9 x) 9 0,8 = x Θ i = 0,25 = 25% 5 (UFRJ) A fim de atrair a clientela, uma loja anunciou um desconto de 20% na compra à vista de qualquer mer- cadoria. No entanto, para não ter redução na margem de lucro, a loja reajustou previamente seus preços, de forma que, com o desconto, os preços retornassem aos seus va- lores iniciais. Determine a porcentagem do reajuste feito antes do des- conto anunciado. M 9 - Noções de Matemática Financeira 153 Matemática Vinhos importados da Itália e de Portugal: 43% Total de vinhos importados desses dois países: 0,43 9 22 milhões = 9,46 milhões (A) Total de vinhos consumidos pelos brasileiros: 283 milhões (B) Daí, temos: A B = Λ = 9 46 283 0 033 3 3, , , % X X Salário por dia: 8x Com duas horas extras diárias, passa a ganhar 8x 0 2y por dia. De acordo com os dados, temos: 8x 0 2y = 1,5 9 (8x) Υ 2y = 4x Υ y = 2x O valor da hora extra é o dobro do da hora normal. Logo, ele ganha 100% a mais por hora extra. hora normal hora extra x ysalário X x = = 90 135 2 3 2 3 2 3 60h = 9 =min 40 min X 150 600 0 25 25= =, % 1 2 3 6 (Fuvest-SP) Segundo um artigo da revista Veja, du- rante o ano de 1998, os brasileiros consumiram 261 mi- lhões de litros de vinhos nacionais e 22 milhões de litros de vinhos importados. O artigo informou ainda que a pro- cedência dos vinhos importados consumidos é dada pela seguinte tabela: Itália Θ 23% Alemanha Θ 13% Portugal Θ 20% Argentina Θ 6% Chile Θ 16% Outros Θ 6% França Θ 16% O valor aproximado do total de vinhos importados da Itá- lia e de Portugal, em relação ao total de vinhos consumi- dos pelos brasileiros, em 1998, foi de: a) 2,3% b) 3,3% c) 4,3% d) 5,3% e) 6,3% 7 (UFES) Um empregado recebe um salário mensal para trabalhar 8 horas diárias. Trabalhando 2 horas extras todo dia, ele tem um acréscimo de 50% em seu salário. Quanto ele ganha a mais por hora extra? a) 50% b) 60% c) 80% d) 100% e) 120% 8 (UERJ) Uma máquina que, trabalhando sem interrup- ção, fazia 90 fotocópias por minuto foi substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina te- nha de fazer o mesmo número de cópias que a antiga fazia em uma hora de trabalho ininterrupto. Para isso, a nova máquina vai gastar um tempo mínimo, em minutos, de: a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 90 fotocópias por minuto; com aumento de 50%, temos: 90 9 (1,5) = 135 fotocópias por minuto A nova máquina, para fazer o mesmo número de cópias que a antiga fazia em 1 minuto, leva x minutos. 90 x 135 1 Para fazer o mesmo número de cópias que a antiga fazia em uma hora de trabalho, a nova gasta: 9 (Fuvest-SP) A porcentagem de fumantes de uma cida- de é 32%. Se 3 em cada 11 fumantes deixarem de fumar, o número de fumantes ficará reduzido a 12 800. Calcule: a) o número de fumantes da cidade b) o número de habitantes da cidade Sendo: x = no de fumantes e y = no de habitantes da cidade a) x x x− = Θ = 3 11 12 800 17 600 b) 0,32y = 17 600 Υ y = 55 000 10 (PUC-RJ) Um vendedor oferecia sua mercadoria da seguinte maneira: “Um é R$ 200,00, três são R$ 450,00”. O freguês que levasse três unidades da mercadoria estaria recebendo um desconto de: a) 50% b) 25% c) 10% d) 30% e) 40% Valor de 3 mercadorias: 3 9 200 = 600 Valor do desconto: 600 − 450 = 150 Θ 154 Matemática Seja x o valor de lançamento. O valor atual é de x 0 4x = 5x, que representa um aumento de 400% em relação a x. 11 (PUC-RS) O valor de um produto foi acrescido de quatro vezes o da época de seu lançamento no mercado. A porcentagem que o valor atual representa, em relação ao preço inicial, é de: a) 500% b) 450% c) 400% d) 5% e) 4% 80% da causa: 0,8 9 200 000 = 160 000 100% − 15% = 85%: 0,85 9 160 000 = 136 000 Ele receberá R$ 136 000,00. 12 (Unesp-SP) Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em R$ 200 000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. A quantia, em reais, que Marcos receberá, descontada a parte do advogado, será de: a) 24 000 c) 136 000 e) 184 000 b) 30 000 d) 160 000 X X 13 (IBMEC) A renda per capita é definida como o quo- ciente do produto interno bruto (PIB) pela população eco- nomicamente ativa. Se no próximo ano a população eco- nomicamente ativa aumentar 12,5%, de quanto deverá aumentar o PIB para que a renda per capita dobre no re- ferido ano? a) 12,5% b) 225% c) 125% d) 300% e) 100% No próximo ano teremos: X Seja x a quantidade de kWh consumido em outubro e p o preço do kWh antes do aumento. I) O valor que teria sido pago sem as regras de racionamento e sem o aumento seria p 9 x. II) O valor pago com as regras de racionamento e com o aumento foi [(x − 320) 9 1,50 0 320] 9 1,16p III) Como o valor pago em outubro com o aumento e com as regras de racionamento é 20% superior ao que teria sido pago sem as regras de racionamento e sem aumento, temos: [(x − 320) 9 1,50 0 320] 9 1,16p = 1,20p 9 x Υ Υ [1,50x − 480 0 320] 9 116 = 120x Π Υ 174x − 18 560 = 120x Υ x = 343,70 Λ 343 kWh 14 (Fuvest-SP) O limite de consumo mensal de ener- gia elétrica de uma residência, sem multa, foi fixado em 320 kWh. Pelas regras do racionamento, se este limite for ultrapassado, o consumidor deverá pagar 50% a mais so- bre o excesso. Além disso, em agosto, a tarifa sofreu um reajuste de 16%. Suponha que o valor pago pelo consumo de energia elétrica no mês de outubro tenha sido 20% maior do que aquele que teria sido pago sem as regras do racionamento e sem o aumento de tarifa em agosto. Pode- se, então, concluir que o consumo de energia elétrica, no mês deoutubro, foi de aproximadamente: a) 301 kWh c) 367 kWh e) 413 kWh b) 343 kWh d) 385 kWhX Seja x a porcentagem do aumento. 600(1 0 x)(1 − 0,20) = 600 Υ (1 0 x)(0,80) = 1 15 (UFMG) Uma loja aumenta o preço de um determi- nado produto cujo valor é R$ 600,00 para, em seguida, a título de promoção, vendê-lo com desconto de 20% e ob- ter ainda os mesmos R$ 600,00. Para que isso aconteça, o aumento percentual do preço deverá ser de: a) 20% b) 25% c) 30% d) 40%X 1 10 800 = Υ = =x , x 0,25 25% 2 1125 1125 9 = 9 9 = 9 9 9 ΠRPC x PIB PEA x RPC PEA PEA ( ) , ) , ( RPC PIB PEA PIB RPC PEA= Π = 9( ) ( ) Π x = 2,25 e, portanto, o PIB deve aumentar 125%. 155 Matemática Venda = Compra 0 Lucro I) V = C 0 25% C Π V = 125% C Π 100 125 V = C II) V V L= 0100 125 25 125 V L= 20% V = L Seja x o preço inicial: x(1 0 0,10)(1 0 0,20) = x 9 1,1 9 1,2 = 1,32x = x(1 0 0,32) Sofreu um aumento total de 32%. 17 (UFOP-MG) O preço de uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos, de 10% e 20%. De quantos por cen- to foi o aumento total dessa mercadoria? a) 30% b) 32% c) 25% d) 22% e) 12% X X 18 (UEL-PR) Um artigo é vendido em uma loja por R$ 125,00. Sobre esse preço são dados dois abatimentos sucessivos: um de 16% e outro de p%. Se o preço de tal artigo reduziu-se a R$ 81,90, então p é igual a: a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26X Seja D a dívida da empresa. I) A parcela da dívida, em dólares, após uma valorização deste em 10%, será: 110% 9 (30% D) = 33% D II) A parcela da dívida, em euros, após uma desvalorização deste em 2%, será: 98% 9 (70% D) = 68,6% D III) Logo, o total da dívida após os reajustes será: 33% D 0 68,6% D = 101,6% D, que corresponde a um aumento de 1,6%. X 20 (FGV-SP) O Sr. Macedo possui uma loja de sapatos. Cada par é comprado por um certo valor e é vendido com uma margem de contribuição (diferença entre o preço de venda e de compra) igual a 30% do preço de venda. a) Se cada par for vendido por R$ 60,00, qual o preço de compra? b) Se o preço de compra for de R$ 40,00, qual a margem de contribuição, expressa como porcentagem do preço de compra? p y x x = − = − Λ 400 7 40 40 42 86, % 16 (IBMEC) Obter um lucro de 25% sobre o preço de compra de uma mercadoria é equivalente a qual porcen- tagem sobre o preço de venda desta mercadoria? a) 25% b) 20% c) 15% d) 10% e) 5% desconto p%desconto 16% 14243 125 1 0 16 1 100 8190( , ) ,− − =p 14243 105 1 100 8190− =p , 1 100 0 78 22− = Υ =p p, 19 (Unifesp-SP) Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e os restantes 70% em euros. Admi- tindo-se uma valorização de 10% do dólar e uma desvalo- rização de 2% do euro, ambas em relação ao real, pode-se afirmar que o total da dívida dessa empresa, em reais: a) aumenta 8%. d) diminui 1,4%. b) aumenta 4,4%. e) diminui 7,6%. c) aumenta 1,6%. a) Sendo x (o preço de compra) e y (o preço de venda), a partir do enun- ciado, temos: y − x = 30% 9 y Π y − x = 0,3 9 y Π x = 0,7 9 y Para um preço de venda de R$ 60,00, temos o preço de custo de R$ 42,00, pois: x = 0,7 9 60 Π x = 42 b) Para um preço de compra de R$ 40,00, o preço de venda y será tal que: 40 = 0,7 9 y Π y = 400 7 Assim, a margem de contribuição, expressa como porcentagem do pre- ço de compra, será: 156 Matemática 21 (UFMG) Um televisor estava anunciado por R$ 500,00 para pagamento à vista ou em três prestações mensais de R$ 185,00 cada; a primeira delas a ser paga um mês após a compra. Paulo, em vez de pagar à vista, resolveu depositar, no dia da compra, os R$ 500,00 numa caderneta de poupança, que lhe renderia 2% ao mês, nos próximos 3 meses. Desse modo, ele esperava liquidar a dívida, fazendo retiradas de R$ 185,00 daquela caderneta nas datas de vencimento de cada prestação. Mostre que a opção de Paulo não foi boa, calculando quanto a mais ele teve de desembolsar para pagar a última prestação. 1o mês Θ 500(1 0 0,02) = 510,00 − 185,00 = 325,00 2o mês Θ 325(1 0 0,02) = 331,50 − 185,00 = 146,50 3o mês Θ 146,50(1 0 0,02) = 149,43 185,00 − 149,43 = 35,57 22 (FGV-SP) Um investidor aplicou R$ 5 000,00 a ju- ros simples, à taxa de 40% ao ano. a) Qual o montante, se o prazo da aplicação for de 5 meses? b) Qual o gráfico do montante em função do prazo n da aplicação, expresso em trimestres? b) Como a taxa de juros simples é de 40% ao ano, o que corresponde a 40 4 10% %= ao trimestre, após n > 0 trimestres, o montante será de 5 000 5 000 10 1000 9 9 = 0n (5 000 500n) reais, cujo gráfico está re- presentado a seguir: a) Após 5 meses = 5 12 anos, o montante será de 5 000 5 000 40 100 5 12 5 000 2 500 3 0 9 9 = 0 = R$ 5 833,33. 23 (UEPA) Como medida de segurança contra o desma- tamento, o IBAMA instalou um posto de fiscalização em uma área da Amazônia que fica distante 80 km de uma cidade onde mora um de seus técnicos. Esse técnico vai e volta todo dia ao posto em seu carro, que consome diariamente 16 li- tros exatos de combustível, o que corresponde a 25% da ca- pacidade do tanque do carro. Para atender a uma denúncia de desmatamento, o técnico deverá ir e voltar a uma área distante 280 km de sua cidade. Para tanto, encheu o tanque de combustível de seu carro, que estava vazio. a) Considerando a situação acima, justifique, com base em seus cálculos, se o combustível é suficiente ou não para que o fiscal faça o percurso de ida e volta à cidade de origem. b) Considerando que, no momento do abastecimento, o litro do combustível custava R$ 2,00 e que o pagamen- to seria efetuado em 60 dias, a 2% ao mês de juro sim- ples, qual o valor pago no vencimento? a) Distância diária percorrida = 160 km Consumo de 16 litros e, portanto, rendimento de 10 km/σ. Como 16 litros correspondem a 25% da capacidade do tanque, temos 64 litros de combustível com o tanque cheio, que corresponde a uma autonomia de 640 km. Portanto é suficiente o combustível para o fiscal ir e voltar da sua cidade até o local de desmatamento, que totaliza 560 km. b) 64 litros Ο R$ 2,00 = R$ 128,00 para o abastecimento. Como o paga- mento vai ser efetuado daqui a 2 meses, a 2% de juros simples totalizará R$ 128,00 0 R$ 2,56 0 R$ 2,56 = R$ 133,12. Um capital C triplica quando os juros dele decorrentes forem iguais a 2C. Portanto, 2 2 5 100 2 5 200 80C C t t t= 9 9 Υ = Υ =, , 24 (FGV-SP) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em: a) 75 meses c) 85 meses e) 95 meses b) 80 meses d) 90 mesesX 1 5 000 0 montante (em reais) 2 3 5 500 6 000 6 500 no de trimestres 157 Matemática 25 (ESPM-SP) Um capital de R$ 6 000,00 é aplicado por 4 meses a juros compostos de 2% a.m. Qual é o valor dos juros resultantes dessa aplicação? a) R$ 6 494,40 b) R$ 6 480,00 c) R$ 6 441,60 d) R$ 494,40 e) R$ 480,00 X M = C(1 0 i)t M = 6 000(1 0 0,02)4 Υ M = 6 000 9 1,0824 = 6 494,40 J = 6 494,40 − 6 000 = 494,40 Υ J = R$ 494,40 Você pode usar um dos dados abaixo: 1,024 = 1,0824 1,24 = 2,0736 1,02 9 4 = 4,08 X x x 9 − = − 9 9[( , ) ] ( )104 1 10 000 6 3 100 3 Seja o capital x aplicado a juros compostos de 4% ao mês e (10 000 − x) aplicado a juros simples de 3% ao mês, durante 3 meses. Como o rendimento é o mesmo: x x 9 = − 9( , ) ( )0 124864 10 000 18 100 Portanto, as quantias são R$ 5 900,00 e R$ 4 100,00. 12,4864x = 180 000 − 18x x = 5 904 Investindo um capital x, a 7% de juros mensais, após t (meses) teremos: x 9 (1,07)t 27 (IBMEC) Investindo-se um capital a uma taxa de juros mensais de 7%, em regime de capitalização com- posta, em quanto tempo o capital inicial dobrará? Considere: log 2 = 0,3; log 1,07 = 0,03 a) 10 meses c) 12 meses e) 14meses b) 11 meses d) 13 meses X I) Depois de pagar a primeira parcela de R$ 4 000,00, o valor da dívida passou a ser: 120% 9 R$ 10 000,00 − R$ 4 000,00 = R$ 8 000,00 II) O valor da 2a parcela, a ser paga um ano depois, é: 120% 9 R$ 8 000,00 = R$ 9 600,00 X O preço à vista do produto é, em reais: 1 000 9 (100% − 10%) = 900,00 O preço após 30 dias é, em reais: 1 000 9 (100% − 7,2%) = 928,00 a) Aplicando o valor a ser desembolsado no pagamento à vista a uma taxa de 3% o comprador teria, no final dos 30 dias e em reais: 900 9 (100% 0 3%) = 927,00 b) A opção mais vantajosa para o comprador é pagar à vista, pois se apli- car o dinheiro e pagar 30 dias após, deverá desembolsar R$ 1,00 a mais para completar os R$ 928,00 necessários. 26 (ESPM-SP) Um capital de R$ 10 000,00 foi aplicado do seguinte modo: uma parte a juros simples de 6% ao mês e o restante a juros compostos de 4% ao mês. Depois de 3 meses, as duas aplicações tiveram o mesmo rendi- mento. A maior parte aplicada foi aproximadamente: a) R$ 4 100,00 c) R$ 5 900,00 e) R$ 6 300,00 b) R$ 7 400,00 d) R$ 8 600,00 Para que x 2x9 = Π = = = Π( , ) log log log , , , , 107 2 2 107 0 3 0 031 07 t t Π t = 10 meses 28 (FGV-SP) Fábio recebeu um empréstimo bancário de R$ 10 000,00 para ser pago em duas parcelas anuais, a serem pagas respectivamente no final do primeiro ano e do segundo ano, sendo cobrados juros compostos à taxa de 20% ao ano. Sabendo que o valor da 1a parcela foi R$ 4 000,00, podemos concluir que o valor da 2a foi de: a) R$ 8 800,00 c) R$ 9 200,00 e) R$ 9 600,00 b) R$ 9 000,00 d) R$ 9 400,00 29 (Unesp-SP) O preço de tabela de um determinado produto é R$ 1 000,00. O produto tem um desconto de 10% para pagamento à vista e um desconto de 7,2% para pagamento em 30 dias. Admitindo que o valor a ser de- sembolsado no pagamento à vista possa ser aplicado pelo comprador em uma aplicação de 30 dias, com um rendi- mento de 3%, determine: a) quanto o comprador teria ao final da aplicação; b) qual é a opção mais vantajosa para o comprador, pagar à vista ou aplicar o dinheiro e pagar em 30 dias (justifi- que matematicamente sua resposta). 158 Matemática A uma taxa de 10% ao ano, de juros compostos, temos: I) Após 1 ano Θ dívida de R$ 6 600,00 III) Após 3 anos Θ dívida de R$ 5 500,00 V) Após 5 anos Θ 1 2 3 dívida de R$ 3 300,00 3o pagamento: total da dívida X 31 (FGV-SP) O Sr. Oliveira aplicou R$ 20 000,00 numa caderneta de poupança e R$ 30 000,00 num fundo de ações por 1 ano. Neste período, a caderneta de poupança rendeu 8% e o fundo de ações apenas 2%. a) Qual a taxa de rendimento global do Sr. Oliveira, no período? b) Quanto ele deveria ter aplicado no fundo de ações (mantida a aplicação de R$ 20 000,00 na caderneta de poupança) para que sua taxa global fosse de 6% ao ano? a) A caderneta de poupança rendeu 8% de R$ 20 000,00 = R$ 1 600,00 de juros e o fundo de ações rendeu 2% de R$ 30 000,00 = R$ 600,00 de juros. A taxa de rendimento global foi, portanto: i R R R R = 0 0 = = $ , $ , $ , $ , 1 600 00 600 00 20 000 00 30 000 00 2 200 50 000 = 0,044 = 4,4% b) Sua taxa global de rendimento teria sido 6%, se a quantia x aplicada no fundo de ações tivesse sido tal que: 8 20 000 00 2 20 000 00 6% , %$ ( , ) % 9 0 0 = Π R$ R$ x R x Π 0 0 = Π 1 600 0 02 20 000 0 06, ,x x Π 1 600 0 0,02x = 1 200 0 0,06x Υ x = 10 000,00 Logo: (01) Falso (02) Verdadeiro (04) Verdadeiro (08) Falso; pois R$ 2 260,00 0 R$ 3 050,00 0 R$ 3 300,00 = R$ 8 610,00 (16) Verdadeiro; pois juros da dívida = R$ 2 610,00 correspondem a 43,5% de R$ 6 000,00 Portanto: 02 0 04 0 16 = 22 33 (UFV-MG) Uma pessoa deposita uma quantia em di- nheiro na caderneta de poupança. Sabendo-se que o mon- tante na conta, após t meses, é dado por M(t) = C 9 20,01t, onde C é uma constante positiva, o tempo mínimo para du- plicar a quantia depositada é: a) 6 anos e 8 meses d) 9 anos e 3 meses b) 7 anos e 6 meses e) 10 anos e 2 meses c) 8 anos e 4 meses Para se duplicar a quantia depositada devemos ter: C 9 20,01 9 t = 2 9 C Π 0,01 9 t = 1 Π t = 100 meses = 8 anos e 4 meses I) Preço de venda: R$ 1 000,00 II) Preço da TV para pagamento à vista: 0,96 9 1 000 = R$ 960,00 III) No pagamento em duas parcelas, o cliente: • paga R$ 500,00 no ato; • fica devendo R$ 960,00 − R$ 500,00 = R$ 460,00; • paga R$ 500,00 no mês seguinte e, portanto, paga R$ 40,00 de juros. IV) A taxa de juros mensal cobrada sobre o que o cliente ficou devendo é: 40 460 2 23= Λ Λ0,0869 8,7%. 30 (FGV-SP) Um aparelho de TV é vendido por R$ 1 000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1o como entrada e o 2o um mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% so- bre o preço de R$ 1 000,00. A taxa mensal de juros sim- ples do financiamento é aproximadamente igual a: a) 8,7% b) 7,7% c) 6,7% d) 5,7% e) 4,7%X 32 (UFBA) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 6 000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e saldou a dívida da seguinte maneira: � 2 anos após ter contraído a dívida, pagou R$ 2 260,00; � 2 anos após o primeiro pagamento, pagou mais R$ 3 050,00; � 1 ano após o segundo pagamento, quitou a dívida. Nessas condições, pode-se afirmar: (01) Depois do primeiro pagamento, a pessoa ficou deven- do R$ 4 340,00. (02) Após o segundo pagamento, a dívida correspondia a 50% do valor do empréstimo. (04) No momento em que a pessoa quitou o empréstimo, a dívida correspondia a R$ 3 300,00. (08) O montante pago pelo empréstimo foi igual a R$ 9 000,00. (16) O valor pago pelos juros da dívida correspondeu a 43,5% do valor do empréstimo. IV) Após 4 anos Θ 1 2 3 dívida de R$ 6 050,00 2o pagamento de R$ 3 050,00 saldo devedor: R$ 3 000,00Θ II) Após 2 anos Θ 1 2 3 dívida de R$ 7 260,00 1o pagamento de R$ 2 260,00 saldo devedor: R$ 5 000,00Θ Em questões como a 32, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. 159 Matemática 1 (PUC-RS) A soma dos termos da seqüência numérica (1, −1, 1, −1, 1, ..., (−1)n) com n 7 Μ é: a) −1 c) 1 e) 0 ou 1 b) 0 d) −1 ou 1 X I) Para uma quantia ímpar de termos: SI = 1 0 (−1 0 1) 0 (−1 0 1) 0 (−1 0 1) 0 ... 14243 0 14243 0 14243 0 SI = 1 II) Para uma quantia par de termos: SII = 0 a) a n = n − 3 a1 = 1 − 3 = −2 a2 = 2 − 3 = −1 (não satisfaz) b) a n = 2n2 − 4n a1 = 2 9 12 − 4 9 1 = −2 a2 = 2 9 22 − 4 9 2 = 0 (não satisfaz) c) a n = 4n − 6 a1 = 4 9 1 − 6 = −2 a2 = 4 9 2 − 6 = 2 a3 = 4 9 3 − 6 = 6 (não satisfaz) d) a n = 3n2 − 5n a1 = 3 9 12 − 5 9 1 = −2 a2 = 3 9 22 − 5 9 2 = 2 a3 = 3 9 32 − 5 9 3 = 12 a4 = 3 9 42 − 5 9 4 = 28 Logo, o termo geral é a n = 3n2 − 5n. 4 (Unifor-CE) Considere a seqüência (an), na qual n 7 Μ − {0} e a1 = −2, a2 = 2, a3 = 12, a4 = 28 etc. O termo geral dessa seqüência é um dos que estão dados abaixo. Qual deles? a) an = n − 3 d) an = 3n 2 − 5n b) an = 2n 2 − 4n e) an = 5n 2 − 6 c) an = 4n − 6 X I) Os termos da seqüência a n = 3n 0 2, 1 < n < 5 (n 7 Μ) são: a1 = 3 9 1 0 2 = 5 a2 = 3 9 2 0 2 = 8 a3 = 3 9 3 0 2 = 11 a4 = 3 9 4 0 2 = 14 a5 = 3 9 5 0 2 = 17 II) A soma dos termos que são primos é: a1 0 a3 0 a5 = 5 0 11 0 17 = 33 5 (Unifesp-SP) A soma dos termos que são números pri- mos da seqüência cujo termo geral é dado por an = 3n 0 2, para n natural, variando de 1 a 5, é: a) 10 b) 16 c) 28 d) 33 e) 36X SII = (1 − 1) 0 (1 − 1) 0 (1 − 1) 0 ... 14243 0 14243 0 14243 0 Na seqüência (10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, ..., a30, ..., a55, ...), temos: I) a30 é o décimo quinto termo da PA (8, 9, 10, ...) e vale 8 0 14 9 1 = 22 II) a55 é o vigésimo oitavo termo da PA (10, 11, 12, ...) e vale 10 0 27 9 1 = 37 III) a30 0 a55 = 220 37 = 59 3 (PUC-SP) Os termos da seqüência (10, 8, 11, 9, 12, 10, 13, ...) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n 7 Μ*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 0 a55 é igual a: a) 58 b) 59 c) 60 d) 61 e) 62X De acordo com o enunciado, temos: a1 = 1 a2 = 1 a3 = a2 0 a1 = 1 0 1 = 2 a4 = a3 0 a2 = 2 0 1 = 3 a5 = a4 0 a3 = 3 0 2 = 5 Portanto, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será 5. 2 (Unesp-SP) Os coelhos se reproduzem mais rapida- mente que a maioria dos mamíferos. Considere uma colô- nia de coelhos que se inicia com um único casal de coe- lhos adultos e denote por an o número de casais adultos desta colônia ao final de n meses. Se a1 = 1, a2 = 1 e, para n > 2, an 0 1 = an 0 an − 1, o número de casais de coelhos adultos na colônia ao final do quinto mês será: a) 13 b) 8 c) 6 d) 5 e) 4X M 10 - Progressões 160 Matemática 3 números em PA: x − r, x, x 0 r x − r 0 x 0 x 0 r = 21 Θ 3x = 21 Θ x = 7 6 (PUC-RJ) Três números estão em progressão aritmé- tica. A soma dos três números é 21. Assinale a opção que apresenta o valor correto do termo do meio. a) 2 b) 6 c) 7 d) 5 e) 2 3X 9 (UERN) A seqüência de números positivos (x, x 0 10, x2, ...) é uma progressão aritmética, cujo déci- mo termo é: a) 94 b) 95 c) 101 d) 104 e) 105X PA: (5, 15, 25, ...) a1 = 5; r = 10 a10 = a1 0 9r = 5 0 9 9 10 Ι a10 = 95 x’ = 5 x” = −4 (não convém) (x, x 0 10, x2, ...) Θ PA de números positivos ( )x x x x x0 = 0 Υ − − =10 2 20 0 2 2 x = ±1 9 2 I) Na seqüência (6, 8, 15, 27, 44), temos: a2 − a1 = 8 − 6 = 2 a3 − a2 = 15 − 8 = 7 a4 − a3 = 27 − 15 = 12 a5 − a4 = 44 − 27 = 17 II) Como (2, 7, 12, 17) é uma PA de razão 5, (6, 8, 15, 27, 44) é uma PA de segunda ordem. 7 (UFCE) Uma seqüência de números reais é dita uma progressão aritmética de segunda ordem quando a se- qüência formada pelas diferenças entre termos sucessi- vos for uma progressão aritmética. Assinale a alternati- va na qual se encontra parte de uma progressão aritmé- tica de segunda ordem. a) (0, 5, 12, 21, 23) d) (7, 3, 2, 0, −1) b) (6, 8, 15, 27, 44) e) (2, 4, 8, 20, 30) c) (−3, 0, 4, 5, 8) X 8 (PUC-RJ) Para que a progressão aritmética de razão r = 5 − 2x seja decrescente, x deve assumir valores no intervalo: a) −∃ −, 5 2 c) − 5 2 5 2 , e) 5 2 , 0∃ b) −∃, 5 2 d) − 0∃ 5 2 , X PA decrescente Π r , 0 r = 5 − 2x Logo, 5 − 2x , 0 −2x , −5 9 (−1) 2x . Υ .5 5 2 x x 7 0∃ 5 2 , a) 597 b) 600 c) 601 d) 604 e) 607 f(0) = 1 f(n 0 1) = f(n) 0 3, então f(200) é: 10 (MACK-SP) Se f(n), n 7 Μ, é uma seqüência defi- nida por: 1 2 3 X Como a1 = f(0); a2 = f(1); a3 = f(2), temos: f(200) = a201 Υ a201 = a1 0 200r a201 = 1 0 200 9 3 = 601 f(200) = 601 f(0) = 1 n = 0 Θ f(1) = f(0) 0 3 = 1 0 3 = 4 n = 1 Θ f(2) = f(1) 0 3 = 4 0 3 = 7 n = 2 Θ f(3) = 7 0 3 = 10 (1, 4, 7, 10, ...) PA a1 = 1 r = 3 a3 − a1 = −8 a4 0 a2 = −12 X O primeiro termo dessa progressão é: a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 a3 − a1 = −8 a4 0 a2 = −12 11 (UFRN) Numa progressão artimética de termo ge- ral an, tem-se que 1 2 3 1 2 3 Υ a1 0 2r − a1 = −8 a1 0 3r 0 a1 0 r = −12 1 2 3 Υ 2r = −8 2r1 0 4r = −12 1 2 3 2r = −8 Υ r = −4 e 2a1 0 4(−4) = −12 2a1 = 4 a1 = 2 161 Matemática 14 (Unesp-SP) A Rádio Sinfonia inicia sua programa- ção às 6 h. A programação é formada por módulos musi- cais de 20 minutos, intercalados por mensagens comer- ciais de 2 minutos. Em vista disso, o primeiro módulo musical se iniciará às 6 h (0 minutos após às 6 h), o se- gundo às 6h 22min (22 minutos após às 6 h), e assim por diante. Indique por hn a quantidade de minutos, após às 6 h, em que se iniciará o módulo musical de número n. a) Escreva uma expressão matemática para hn em função de n. b) Uma pessoa sintonizou esta rádio às 9h 30min, quando estava tocando o décimo módulo musical. Determine h10 e quantos minutos a pessoa ouvirá de música, até que se inicie a próxima mensagem comercial. a) As quantidades de minutos, após às 6 h, em que se iniciará cada módulo musical, são os termos da progressão aritmética (0; 22; 44; ...; h n ; ...) onde h n = 0 0 (n − 1) 9 22 Υ h n = 22(n − 1), n 7 Μ*. b) h10 = 22 9 (10 − 1) = 198 min = 3h e 18min. A pessoa que sintoniza a rádio às 9h e 30min (210 minutos após o início das transmissões) perdeu (210 − 198) = 12 min do décimo módulo musical, restando, portanto, 8 min de música até que se inicie a próxi- ma mensagem musical. Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” completos, pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía: a) mais de 300 bolitas d) exatamente 300 bolitas b) pelo menos 230 bolitas e) exatamente 41 bolitas c) menos de 220 bolitas 12 (UFSM-RG) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de “T” (a inicial de seu nome), con- forme a figura: X Cálculo de a10: a10 = a1 0 9r a10 = 5 0 9 9 4 = 41 Cálculo de S10: S10 10 5 41 2 230= 0 =( ) Ele possuía 230 bolitas. PA (5, 9, 13, ..., a10) 1o “T” Θ 5 bolitas 2o “T” Θ 9 bolitas 3o “T” Θ 13 bolitas . . . 1 4 4 2 4 4 3 ... f(n 0 1) = 0 Π 5 2 5 f n( ) f(n 0 1) = f(n) 0 Π 2 5 Π f(n 0 1) − f(n) = 2 5 . A seqüência, (f(1); f(2); f(3); ...; f(101); ...) é uma progressão aritmética de razão r = 2 5 e a1 = f(1) = 5. Portanto, f(101) = a101 = a1 0 100 9 r Π Π a101 = 5 0 100 9 2 5 45= 13 (UFSCar-SP) Uma função f é definida recursiva- mente como f(n 1) 5f(n)0 = 0 2 5 . Sendo f(1) = 5, o valor de f(101) é: a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65X Seja (C n ) = (2π r1; 2π r2; ...; 2π rn; 2π rn 0 1; ...) ? n 7 Μ*, a seqüência dos comprimentos das circunferências de raios r1; r2; ...; rn; rn 0 1; ... respectiva- mente. Como (C n ) é uma progressão aritmética de razão 2, temos: 2 2 2 11 1π − π = Π − = π0 0 r r r r n n n n (constante) e, portanto, a seqüên- cia (r n ) = (r1; r2; ...) dos raios é uma progressão aritmética de razão = π 1 . 15 (MACK-SP) Os comprimentos de uma seqüência de circunferências estão em progressão aritmética de razão 2. Os raios dessas circunferências definem uma: a) progressão aritmética de razão π b) progressão aritmética de razão 2 c) progressão aritmética de razão 1 π d) progressão geométrica de razão 1 π e) progressão geométrica de razão 1 2π X 162 Matemática 16 (UEL-PR) Interpolando-se sete termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se uma progressão arit- mética cujo termo central é: a) 45 b) 52 c) 54 d) 55 e) 57X termo central: a5 a5 = a1 0 4r = 10 0 4 9 11 Ι a5 = 54 7 termos (10, , 98) a1 = 10 a1 0 8r = a9 a9 = 98 10 0 8r = 98 n = 9 8r = 88 r = ? r = 11 1 4 2 4 3 a3 0 a8 = 18 Υ a1 0 2r 0 a1 0 7r = 18 Como a1 = r, temos: a 1 18 11 = 19 (UFSC) Qual a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética na qual o primeiro termo é igual à razão e a3 0 a8 = 18? S10 18 11 180 11 10 2 90= 0 9 = a 10 18 11 10 1 18 11 180 11 = 0 − 9 =( ) a) Os múltiplos inteiros de 9 compreendidos entre 100 e 1 000 formam uma progressão aritmética de primeiro termo 108, último termo 999 e razão 9. Sendo n a quantidade de termos desta progressão, tem-se: 999 = 108 0 (n − 1) 9 9 Π n = 100 b) Entre 100 e 1 000, existem: I) 100 múltiplos de 9, conforme item anterior. II) múltiplos de 15: (105, 120, 135, ..., 990) 990 = 105 0 (n − 1) 9 15 Π n = 60 III) múltiplos simultaneamentede 9 e 15: (135, 180, 225, ..., 990) Θ r = 45 990 = 135 0 (n − 1) 9 45 Π n = 20 Assim, entre 100 e 1 000 existem 100 0 60 − 20 = 140 múltiplos intei- ros de 9 ou 15. 17 (Fuvest-SP) Responda: a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1 000? b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1 000? a n = 4n − 7, ? n 7 Μ* a1 = −3; a2 = 1; a3 = 5; ... A seqüência (−3, 1, 5, ...) é uma PA cujo 1o termo é −3 e a razão é 4. a20 = a1 0 19r = −3 0 19 9 4 = 73 18 (UFAL) O termo geral de uma seqüência é an = 4n − 7, ? n 7 Μ − {0}. A soma dos vinte primeiros termos dessa seqüência é: a) 720 b) 700 c) 670 d) 640 e) 580X S20 3 73 20 2 700= − 0 9 =( ) 20 (UFPA) A soma de uma PA de oito termos é 16 e a razão é −2. Então, o sexto termo é: a) −5 b) −4 c) −3 d) −2 e) −1X Cálculo de a6: a6 = a1 0 5r = 9 0 5 9 (−2) Υ a6 = −1 16 = 4(a1 0 a8) a1 0 a8 = 4 a1 0 a1 0 7r = 4 Υ 2a1 0 7(−2) = 4 2a1 = 18 Ι a1 = 9 De acordo com os dados: S8 = 16 r = −2 1 2 3 S a a 8 1 8 8 2 = 0 9( ) 21 (UFPel-RS) Numa Olimpíada de Matemática, envol- vendo alunos de 2o grau, foi proposto o seguinte problema: “Em certa progressão aritmética, a soma dos termos de or- dem ímpar é 140 e a soma dos termos de ordem par é 161; a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é 43. Calcule o número de termos dessa progressão aritmética. S a a n n n n n = 0 9 Υ = 9 Υ = ( )1 2 301 43 2 14 a1 0 a3 0 a5 0 ... 0 an − 1 = 140 a2 0 a4 0 a6 0 ... 0 an = 161 a1 0 an = 43 S n = 301 1 2 30 163 Matemática A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 lugares a mais que a anterior. Se forem convidadas 800 pessoas para assistir a um even- to e todas comparecerem, a) ficarão vagos 140 lugares. b) ficarão vagos 64 lugares. c) faltarão 44 lugares. d) faltarão 120 lugares. e) não sobrarão nem faltarão lugares. 25 (Fatec-SP) Um auditório foi construído de acordo com o esquema abaixo: X S18 8 76 18 2 = 0 9 = ( ) 756 (capacidade do auditório) 800 − 756 = 44 lugares faltando. Número de assentos por fila: (8, 12, 16, 20, ...) PA onde: a1 = 8; r = 4 e a18 = a1 0 17r = 8 0 17 9 4 = 76 Seja a PA (x − 2r, x − r, x, x 0 r, x 0 2r). Então, (x − 2r) 0 (x − r) 0 x 0 (x 0 r) 0 (x 0 2r) = 15 Π Π 5x = 15 Π x = 3. (3 − 2r) 9 (3 − r) 9 3 9 (3 0 r) 9 (3 0 2r) = 0 e r é inteiro positivo, r = 3. Portanto, a PA é (−3; 0; 3; 6; 9) e o 2o termo da PA é zero. 22 (UFSCar-SP) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o produto desses termos é zero. Sen- do a razão da PA um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa seqüência vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4X Palco 1a fila 8 lugares 2a fila 12 lugares a1 = log2 3; n = 4; S4 = log2 5 184; r = ? a1 0 a2 0 a3 0 a4 = log2 5 184 log2 3 0 log2 3 0 r 0 log2 3 0 2r 0 log2 3 0 3r = log2 5 184 4 log2 3 0 6r = log2 (26 9 34) 4 log2 3 0 6r = 6 0 4 log2 3 Υ r = 1 23 (UNI-RIO) Considere uma progressão aritmética de 4 elementos cujo primeiro elemento é log2 3. Sabendo-se que a soma destes elementos é log2 5 184, determine a razão desta seqüência. 24 (UFCE) A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 150. O 8o termo desta PA é: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 Como a8 = a1 0 7r Υ a1 = a8 − 7r a15 = a8 0 7r S a a 15 1 15 15 2 150= 0 9 = ( ) X Então S a r a r a a15 8 8 8 8 7 7 15 2 2 15 2 150 10= − 0 0 9 = 9 = Υ = ( ) 0,343434... = 0,34 0 0,0034 0 0,000034 0 ..., que é a soma dos termos da PG (0,34; 0,0034; 0,000034; ...) de 26 (PUC-RS) A razão da PG cuja soma é 0,343434... é: a) 1 1 000 b) 1 100 c) 1 10 d) 10 e) 100X razão 1 100 . 164 Matemática 27 (UENF-RJ) Dois corredores vão se preparar para par- ticipar de uma maratona. Um deles começará correndo 8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distân- cia em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa distância em 1 km. A prepara- ção será encerrada no dia em que eles percorrerem, em quilômetros, a mesma distância. Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serão percorridas pelos dois corredores durante todos os dias do período de preparação. a n 1442443 8 0 (n − 1) 9 2 = 17 0 (n − 1) 9 1 Ε n = 10 Portanto, no 10o dia. II) Distância percorrida pelo corredor 1: S km10 8 26 10 2 170= 0 9 = ( ) III) Distância percorrida pelo corredor 2: S km' ( ) 10 17 26 10 2 215= 0 9 = Logo, a soma das distâncias será: S10 0 Sδ10 = 170 0 215 = 385 km I) Corredor 1: (8 km; 10 km; 12 km; ...) PA de razão 2 e a1 = 8 Corredor 2: (17 km; 18 km; 19 km; ...) PA de razão 1 e b1 = 17 Para que a preparação seja encerrada, devemos ter: b n 144424443 A quantidade de tábuas na pilha, em função do número de vezes em que se repetiu a operação descrita, é dada pela seqüência (a n ) = (1; 2; 4; 8; ...), uma progressão geométrica de razão 2. Após a nona operação, a quantidade de tábuas na pilha é a9 = 1 9 28 = 256. A altura da pilha será de 256 9 0,5 cm = 128 cm = 1,28 m. Determine, ao final de 9 dessas operações, a) quantas tábuas terá a pilha. b) a altura, em metros, da pilha. 29 (Unesp-SP) Várias tábuas iguais estão em uma ma- deireira. A espessura de cada tábua é 0,5 cm. Forma-se uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já houveram sido colocadas anteriormente. pilha na 1a vez pilha na 2a vez pilha na 3a vez 28 (UFSCar-SP) Numa progressão geométrica, o primei- ro termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros termos é 3 900, pode-se afirmar que x5 5 2− , é igual a: a) 1 25 b) 1 5 c) 1 d) 5 e) 25X Π = Π =5 3 900 156 5 325 13 x x A progressão geométrica de primeiro termo 5x e razão 5 é (5x; 5x 0 1; 5x 0 2; 5x 0 3; ...). A soma dos quatro primeiros termos dessa progressão é 3 900 e, portanto: 5x 0 5x 0 1 0 5x 0 2 0 5x 0 3 = 3 900 Π Π 5x(1 0 5 0 25 0 125) = 3 900 Π Assim sendo: 5 5 5 5 625 13 5 1 5 2 3 3 x x− = = 9 = 30 (Unicap-PE) Os números que representam, em graus, os ângulos internos de um quadrilátero estão em progressão geométrica de razão 2. Qual o valor, em graus, do menor dos ângulos internos? Sejam ε, ψ, υ e τ os ângulos internos do quadrilátero. Portanto: ε 0 ψ 0 υ 0 τ = 360). Como (ε, ψ, υ, τ) é PG de razão 2, temos: ε 0 2ε 0 4ε 0 8ε = 360) 15ε = 360) Π ε = 24) 165 Matemática 33 (PUC-SP) Numa progressão geométrica, a diferen- ça entre o 2o e o 1o termo é 9 e a diferença entre o 5o e o 4o termo é 576. O 1o termo da progressão é: a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 9X (II) : (I) Θ q3 = 64 Ι q = 4 Substituindo em (I), vem: a1(4 − 1) = 9 Ι a1 = 3 a2 − a1 = 9 a5 − a4 = 576 1 2 3 a1q − a1 = 9 a1q4 − a1q3 = 576 1 2 3 Υ a1(q − 1) = 9 (I) a1q3(q − 1) = 576 (II) 1 2 3 34 (Cesesp-PE) Uma alga cresce de modo que a cada dia ela cobre uma superfície de área igual ao dobro da coberta no dia anterior. Se esta alga cobre a superfície de um lago em 100 dias, assinale a alternativa correspondente ao nú- mero de dias necessários para que duas algas da mesma espécie da anterior cubram a superfície do mesmo lago. a) 50 dias c) 98 dias e) 43 dias b) 25 dias d) 99 diasX Depois de n dias, essas duas algas cobriram uma área de: a n = a1 9 qn − 1 = 2x 9 2n − 1 = x 9 2n Fazendo a n = a100 Υ x 9 2n = x 9 299 Υ n = 99 Duas algas levarão 99 dias para cobrir a superfície do lago. 1o dia: 2x 2o dia: 4x 3o dia: 8x . . . 1 4 4 2 4 4 3 (2x, 4x, 8x, ...) PG a1 = 2xq = 2 No 100o dia, a área coberta será: a100 = a1 9 q99 = x 9 299 Para duas algas, teremos: Seja x a área coberta por uma alga no 1o dia. a1 = x q = 2Υ (x, 2x,4x, 8x, ...) PG Então: 2x — área coberta no 2o dia 4x — área coberta no 3o dia 8x — área coberta no 4o dia 14 2 4 3 31 (UEPG-PR) Sabe-se que o número de bactérias em um meio de cultura duplica de hora em hora. Se ao final da 1a hora existem 2 bactérias nesse meio, qual o número de bactérias ao final de 10 horas? a) 1 024 c) 2 048 e) 1 023 b) 5 130 d) 2 046 X Ao final da 10a hora: a10 = a1 9 qn − 1 = 2 9 210 − 1 = 2 9 29 = 210 a10 = 1 024 1a hora: 2 bactérias 2a hora: 2 9 2 = 4 bactérias 3a hora: 4 9 2 = 8 bactérias . . . 1 4 4 2 4 4 3 Υ (2, 4, 8, ...) PG a1 = 2q = 2 a1 a3a2 32 (UFU-MG) Considere an o termo geral de uma pro- gressão geométrica de razão 1 2 e primeiro termo 1. Pode- mos afirmar que a representação gráfica dos pontos (n, an) no plano cartesiano, em que n 7 Μ, está contida no gráfico de uma função: a) quadrática c) linear b) exponencial d) logarítmica a a q a a n n n n n n n= 9 Υ = 9 Υ = 7 Μ− − − 1 1 1 11 1 2 2 , Esta representação está contida no gráfico de uma função exponencial. X (equivalente a uma função y = 21 − x Θ f exponencial) Graficamente: x n a n 0 2 1 1 2 1 2 3 1 4 4 1 8 1 0 2 1 a n 2 3 4 n 1 2 1 4
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