Matemática - Exercícios Resolvidos - Sequências_PA

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Seqüências ou Sucessões 
 
Termo Geral PA => rnaan )1(1 −+= 
Soma dos termos de uma PA ⇒ S n = 2
1 naa +
.n 
S i -S p = TM ⇒ Termo Médio ⇒ TM = 
2
1 naa +
 
S p = soma dos números pares S i = soma dos números ímpares 
S p -S i = 
2
.rn
 
 
1. O valor de “K” para que 2K-1, 3K e 3K+2 formem nesta ordem uma PA, é 
igual a: 
Solução: 
(2K-1;3K;3K+2)PA 
3K-(2K-1)=3K+2-3K 
3K-2K+1=2 K=1 r=2 
2. O 15.º termo da PA onde a1 = -7 e r = 3, vale: 
Solução: 
a15 =? a1 = -7 r = 3 
rnaan )1(1 −+= 
a15 = a1+14r ⇒ a15 = -7+14.3 ⇒ a15 = -7+42 
a15 = 35 
3. Qual é a razão de uma PA de 23 termos cujo primeiro termo é 8 e o último 74? 
Solução: 
r=? rnaan )1(1 −+= 
n=23 a1=8 a n = a 23 =74 
a 23 = a1+22r ⇒ 74=8+22r ⇒ r= 22
66
=3 
4. Quantos múltiplos de 7 existem entre 100 e 300? 
Solução: 
PA de r =7 
100 divido por 7 dá resto 2 (100-2=98+7=105), logo, se dividirmos 105 por 7, 
dará resto zero, equivalem ao 1.º termo da seqüência. 
300 divido por 7 dá resto 6 (300-6=294), logo, se dividirmos 294 por 7, dará resto 
zero, equivalem ao último termo da seqüência. 
a1=105 a n =294 r)1n(aa 1n −+= 
294=105(n-1)7 ⇒ 189=(n-1)7 ⇒ n=28 
5. O 20.º termo de uma PA onde a 7 =20 e a13=38, é igual a: 
Solução: 
a 20 =? a 7 =20 a13=38 rnaan )1(1 −+= 
a 20 = a1+19r ⇒a 20 = a 7 +13r ⇒a 20 = a13+7r 
a13= a 7 +6r ⇒ 38=20+6r ⇒ r=3 
a 7 = a1+6r ⇒ 20=a1+6r 
a13= a1+12r ⇒ 38=a1+12r ⇒ subst: 38= a1+12.3⇒ a1=2 
 18=0+6r ⇒ r=3 
a 20 = a1+19r 
a 20 = 2+19.3 
a 20 = 59 
6. Obter 3 números em PA de modo que sua soma seja 18 e seu produto 66 
Solução: 3n.º⇒ (x-r,x,x+r) 
3(x-r)+x(x+r)=18 ⇒ 3x=18 ⇒x=6 
(x-r).x.(x+r)=66 ⇒ (6-r).6.(6+r)=66 ⇒ r=5 (1 , 6 e 11) 
7. A Soma do antecessor com o sucessor do 5.º termo da série dada por 
a n =n
)6n()5n( −− para n∈IN* é: 
Solução: 
a 4 + a 6 =? r)1n(aa 1n −+= 
n=4 n=6 
a 4 =4
)64()54( −−
 a 6 =6
)66()56( −−
 
a 4 =4
)2()1( −−
 a 6 =6
)0()1(
 
a 4 =4 2 a 6 =6 0 
a 4 =16 a 6 =1 
a 4 + a 6 =16+1=17 
8. Se em uma PA a diferença entre o 6.º e o 3.º termos é igual a 12, então, a razão 
vale: 
Solução: 
a 6 -a 3=12 r)1n(aa 1n −+= r=? 
a 6 = a1+5r 
a 3= a1+2r 
12=0+3r ⇒ r=4 
9. O termo geral da seqüência ,...5,
2
7
,2,
2
1
 é: 
Solução: 
a n =? a1= 2
1
 a 2 =2 a 3= 2
7
 a 4 =5 
achando a razão ⇒ a 2 = a1+r ⇒ 2= 2
1
+r ⇒ 
2
14 −
⇒ r=
2
3
 
r)1n(aa 1n −+= ⇒ 2
1
+(n-1). 
2
3
 ⇒
2
1
+
2
3n
-
2
3
 ⇒ 
2
3n
-2 
10. Interpolando-se 2x meios aritméticos entre 2 e 32, e x meios aritméticos entre 
40 e 64, o quociente entre a razão da PA no primeiro caso e a razão do segundo é 
igual a 
3
2
. Sendo assim, as progressões têm, respectivamente: 
Solução: 
2x meios 2 e 32 – r.2x 
x meios 40 e 64 – r.x 
3
2
.
2.
=
xr
xr
 
1.º termo 2.º termo 
a1= 2 a1= 40 
a n = 32 a n = 64 
r.2x= 2 r.x= 3 
r)1n(aa 1n −+= 
34=2+(n-1).2 64=40+(n-1).3 
30=2n-2 24=3n-3 
n=16 n=9 
11. A Soma dos termos de uma PA 2,8,14,... é igual a: 
Solução: 
S12 =? S n = 2
aa n1 +
.n r=6 n=12 
S12 = 12.2
aa 121 




 +
 r)1n(aa 1n −+= 
S12 = 12.2
682





 +
 a12 = a1+11r ⇒ 2+11.6 ⇒ 68 
 
S12 = 420 
12. A Soma dos 20 primeiros termos de uma PA onde a n = 3n-2, vale: 
Solução: 
S 20 =? S n = 2
aa n1 +
.n a n = 3n-2 
S 20 = 20.2
aa 201 




 +
 n=1 ⇒ a1= 3.1-2 =1 
S 20 = 20.2
581





 +
 n=2 ⇒ a 2 = 3.2-2 =4 
S 20 = 590 n=3 ⇒ a 3= 3.3-2 =7 
 (1 ; 4 ; 7) 
13. O 5.º termo da PA, cuja soma dos “n” primeiros termos é dada por n²+2n, é: 
Solução: 
S n = 2
aa n1 +
.n ⇒ S n = n²+2n 
n=1 ⇒ S1= 1²+2.1 ⇒ a1= 3 
n=2 ⇒ S 2 = 2²+2.2 = 8 ⇒ r=2 ⇒ a1+ a 2 = 5 ⇒ a 2 =5 
n=5 ⇒ S 5 = a1+ a 2 + a 3+ a 4 +a5 ⇒ a1=3, a 2 =5, a3=7, a 4 =9 
S 5 = S 4 +a 5 ⇒ 5²+2.5 = 4²+2.4+ a5 ⇒ 35 = 24+ a5 ⇒ a 5=11 
14. A Soma de todos os números naturais entre 100 e 220 tal que o resto da 
divisão de cada um destes números por 5 seja igual a 2, vale: 
Solução: 
(110, 111, ..., 218, 220) 
r=5 ⇒ (112,117, ..., ) logo 112 dividido por 5 dá 22 ⇒ = n 
a1= 112 a n =217 n=22 
S n = 2
aa n1 +
.n ⇒ 
2
217112 +
.22 = 3619 
15. A soma dos vinte primeiros termos de uma PA é -15. Determine a soma do 
sexto termo dessa PA com o décimo quinto. 
Solução: 
S 20 = -15 a 6 + a15 =? 
A soma dos termos externos é igual a soma dos termos eqüidistantes 
S n = 2
aa n1 +
.n ⇒ S 20 = 2
201 aa +
.20 ⇒ -15 = 
2
aa 156 +
.20 ⇒ -1,05 
16. Em uma PA , a 3= 13 e a13= 33. Assim, a soma do 33 primeiros termos é: 
Solução: 
S 33=? a 3= 13 a13= 33 r)1n(aa 1n −+= 
a 3= a1+(3-1).r ⇒ 13 = a1+ 2.r 
a13= a1+(13-1).r ⇒ 33 = a1+12.r 
 
⇒ 20 = 0 +10.r ⇒ r = 2 
13 = a1+ 2.r ⇒ 13 = a1+ 2.2 ⇒ a1= 9 
r)1n(aa 1n −+= ⇒ a 33= a 1 +(n-1).r ⇒ a33 = 9 + (33-1).2 ⇒ 73 
S n = 2
aa n1 +
.n ⇒ S 33 = 2
739 +
.33 ⇒ 1373 
17. Em uma PA o primeiro termo vale 5, a razão vale 4 e a soma do n primeiros 
termos vale 10877, pode-se dizer que n vale: 
Solução: 
a1= 5 r= 4 S n =10877 n=? S n =? 
r)1n(aa 1n −+= ⇒ a n = 5+(n-1).4⇒ a n = 5+4n-4⇒ a n = 4n+1 
S n = 2
aa n1 +
.n ⇒ 10877 = 
2
145 ++ n
.n ⇒ 10877.2 = 5n+4n²+n ⇒ 21754 = 
4n²+6n 
4n²+6n-21754 = 0 ⇒ 2n²+3n-10877 = 0 ⇒ báskara⇒ x = - b ±
a.2
c.a.4b2 +
 
n = -3 ±
2.2
)10877.(2.432 −+
 
⇒
 n = -3 ±
4
)10877.(89 −+
 
⇒
 n = -3 ±
4
870169 +
 
⇒
 
n = -3 ±
4
87025
 
⇒
 n = -3 ±
4
295
 
⇒
 n I = -3 -
4
295
 
⇒
-76,75 
n II = -3 +
4
295
 
⇒
 73 
18. Em uma PA a diferença da soma dos termos pares com a soma dos termos 
ímpares é 24 e o número de termos é o triplo da razão. Sendo “n” o número de 
termos e “r” a razão, valem: 
Solução: 
S p = soma dos números pares S i = soma dos números ímpares 
S p -S i = 
2
.rn
 S p -S i = 24 n = 3.r ⇒ 12 
24= 
2
).3( rr
 
⇒
 3r² = 48 ⇒ r² =16 ⇒ r = ± 4 ⇒ r = 4 
19. A Soma dos 20 primeiros termos de uma progressão aritmética é igual ao 
quíntuplo da soma dos seus 5 primeiros termos. Nestas condições o primeiro 
termo está para a razão, assim como: 
Solução: 
S 20 = 5. S 5 
r
a1
 = ? S n = 2
aa n1 +
.n ⇒ S 20 = 2aa n1 +
.20 ∴ S 5= 2
aa n1 +
.5 
2
aa n1 +
.20 = 5.
2
aa n1 +
.5 ⇒ a1+ a n .4 = 5.( a1+ a n ) ⇒ 4a1+ 4a n = 5a1+ 5a n ⇒ 
a n = a1 ⇒ r)1n(aa 1n −+= ⇒ 4a1+ 4a n [ a1+(20-1).r] = 5a1+ 5a n [ a1+(5-1).r] ⇒ 
4a1+ 4a n [ a1+19.r] = 5a1+ 5a n [ a1+4.r] ⇒ 4a1+ 4a1 +76r = 5a1+ 5a1 +20r⇒ 
8a1+ 6r = 10a1+ 20r⇒ 8a1- 10a1= 20r -76r ⇒ -2a1= -56r ⇒ a1= 28r 
r
a1
 = 
1
28
 
20. Sejam as seqüências de termos gerais A n = 2n+1; B n =2n e C n = a n . b n +1, 
onde n∈IN. O vigésimo termos da seqüência do termo geral C n é: 
Solução: 
n=20 A n = 2n+1 B n =2n C n = a n . b n +1 
C 20 = a 20 . b 21 ⇒ 2.20+1 = 2.21 ⇒ 41.42 = 1722 
21. Sejam M = ab e N = ba dois números formados pelos algarismos a e b. 
Intercalando-se o número zero entre a e b temos um número de três algarismos P = 
a0b. Sabendo-se que M, N e P formam nesta ordem uma PA, a razão vale: 
Solução: 
M = ab ⇒ 10.a + 1.b N = ba ⇒ 10.b + 1.a 
r)1n(aa 1n −+= ⇒ 10.a+b-(10.b+a)= 10.b+a-(10.a+b) ⇒ b= 6.a ⇒ 
a=1⇒ b= 6⇒ M = ab⇒ M = 1.6 ⇒N = ba ⇒N= 6.1 ⇒P = a0b ⇒ P = 1.0.6 
r = 61-16 = 45 ou 106 – 61 = 45 
22. A Soma do 4.º e 8.º termos de uma PA é 20, o 31.º termo é o dobro do 16.º 
termo. Determine a PA. 
Solução: 
r)1n(aa 1n −+= a 4 +a8 = 20 a 31 = 2. a16 a 4 = a1+3.r a8 = a1+7.r 
a1+3.r + a1+7.r = 20 ⇒ 2 a1+ 10.r = 20 ⇒ 30.r = 2 a1 ⇒ 
a1+ 30.r = 2 (a1 +15.r) ⇒ a1= 0 ⇒ r = 2 ⇒ (0, 2, 4, ...)PA 
23. Num hexágono, os ângulos internos estão em PA. A soma, em radianos, do 3.º 
e 4.º termos dessa progressão é: 
Solução: 
Considerar hexágono regular, seus ângulos internos medem cada um 120°, para dois 
termos 120° + 120° = 240° converta para radianos. Para converter um ângulo de 
grau para radiano : multiplicar por pi e dividir por 180 
de radiano para grau : multiplicar por 180 e dividir por pi 
180º ____________ pi 
240º ____________X 
⇒
 
3
4pi
 ou ⇒ a1+a 6 = a 2 + a 5 = a 3 + a 4 
S n = 2
aa n1 +
.n ⇒ S 6 = pi (6-2) = 4pi = a1+a 6 + a 2 + a 5 + a 3 + a 4 ⇒ 3(a3 + a 4 )= 
4pi 
a 3 + a 4 = 3
4pi
 
24. Interpolando-se (colocar entre) 7 meios aritméticos entre 10 e 98, obtem-se 
uma PA cujo termo central é: 
Solução: 
10, __, ___, ___, ___, ___, ___, ___, 98 ⇒dá pra calcular a razão, 7+ 1+ 1 = 9 
 TM tenho o 1.º e o último termo. 
r)1n(aa 1n −+= ⇒ a 9 = a1+ 8.r ⇒ a 9 = 10+ 8.r ⇒ a 9 = 10+ 8.9 ⇒ a9 = 54 
S i -S p = TM ⇒ Termo Médio ⇒ TM = 
2
aa n1 +
 ⇒ 
2
9810 +
 ⇒ 54 
25. A soma dos 18 primeiros termos da PA 1, 4, 7, ...é: 
Solução: 
a1=1 r = 3 
r)1n(aa 1n −+= ⇒ a18 = a1+ 17.r ⇒ 1+ 17.3 ⇒ a18 = 52 
S n = 2
aa n1 +
.n ⇒ S18 = 




 +
2
521
.18 ⇒S18 = 




 +
2
521
.18 ⇒ 477 
26. A Soma de 3 termos de uma PA é 27 e seu produto 720. Com base nisto, 
determine-os: 
Solução : 
a1= x – r a1+ a 2 + a 3 = 27 ⇒ x – r + x + x + r = 27 
a 2 = x 
a 3= x + r 
x = 27 dividido por 3 ⇒ x = 9 
r)1n(aa 1n −+= ⇒ produto= 720 ⇒ (9-r).9.(9+r)= 720 ⇒ r= ± 1 
(8, 9 , 10) e (10, 9, 8) 
27. Em uma PA, a 4 = 12 e a9 = 27. Então, a soma dos 12 primeiros termos é: 
Solução: 
r)1n(aa 1n −+= ⇒ a 4 = a1+3.r= 12 ⇒ a1+3.3= 12 ⇒ a1=3 
 a 9 = a1+8.r= 27 
 0 + 5.r= 15 ⇒ r = 3 
r)1n(aa 1n −+= ⇒ a12 =a1+ 11.r ⇒ 3+11.3 ⇒ a12 = 36 
S n = 2
aa n1 +
.n ⇒ S12 = 2
aa 121+
.12⇒ S12 =3+36.6= 234 
28. O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão 
aritmética pertence ao intervalo: 
Solução: 
Para que a seqüência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos 
satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA): 
(1) -5n = 2 + 3n + r 
(2) 1 - 4n = -5n + r 
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2): 
(1) => r = -5n - 2 - 3n = -8n - 2 
(2) => 1 - 4n = -5n - 8n - 2 => 1 - 4n = -13n - 2 
=> 13n - 4n = -2 - 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3 
Ou seja, -1 < n < 0 
29. Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de 
formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, 
então a30 + a55 é igual a: 
Solução: 
Primeiro, observe que os termos ímpares da seqüência é uma PA de razão 1 e 
primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma 
PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA 
têm como termo geral o seguinte formato: 
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i - 1 
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da 
seqüência, que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte 
forma: 
Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; 
se n é par temos n = 2i ou i = n/2. 
Daqui e de (1) obtemos que: 
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar 
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par 
Logo: 
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 
e 
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 
E portanto: 
a30 + a55 = 22 + 37 = 59 
30. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A 
soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale: 
Solução: 
Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA: 
S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15 
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são eqüidistantes dos 
extremos, uma vez que: 
15 + 6 = 20 + 1 = 21 
E, portanto: 
a6 + a15 = a1 + a20 
Substituindo este valor na primeira igualdade vem: 
20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15 
a6 + a15 = -15/10 = -1,5 
31. Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine 
n tal que Sn é igual a 1456. 
Solução: 
Sabemos que: 
(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912 
Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da 
fórmula do termo geral de uma PA: 
(2) an = 6 + (n - 1).4 = 6 + 4n - 4 = 4n + 2 
Substituindo (2) em (1): 
(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n - 2912 = 0 
Resolvendo a equação do segundo grau obtemos: 
n1 = 26 e n2 = -28 
Como n > 0, a resposta é 26. 
32. As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. 
Calcule essas medidas. 
Solução: 
Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e 
c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que: 
b = a - 6 e c = a - 3 
Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que: 
a2 = b2 + c2 => a2 = (a - 6)2 + (a - 3)2 
Resolvendo os produtos notáveis: 
a2 = a2 - 12a + 36 + a2 - 6a + 9 = 2a2 - 18a + 45 
=> a2 - 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3 
Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz 
claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo: 
a = 15 => b = 15 - 6 = 9 e c = 15 - 3 = 12 
E a PA é: 
(9; 12; 15).