1º Teste Correccao V2

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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE
FACULDADE DE CINCIAS
Departamento de Matemtica e Informtica
Primeiro Teste Licenciaturas em Qu´ımica, Qu´ımica Ambiental e Industrial
Disciplina: A´lgebra Linear 1. Ano, 2. Semestre
Durao: 100 Minutos 01.09.2017
Ateno!!! DESLIGUEM OS TELEMO´VEIS! permitido, somente, o uso de material de escrita
e calculadora. Durante o teste o estudante est proibido de ir aos lavabos, falar com colegas e pedir
emprestado qualquer material. Escreva de um modo suscinto, claro e justifique os passos mais
importantes. Qualquer folha adicional no ser vlida. BOM TRABALHO!!!
Guia˜o de Correcc¸a˜o
1. (1,5 valores) Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz 3 × 4 tais que ABT e´ uma
matriz 5× p. Enta˜o, para que valores de m,n e p, faz sentido esse produto de matrizes.
Resoluc¸a˜o:
Para que o produto ABT seja do tamanho 5× P, temos primeiro que achar o tamanho da
transposta de B, que e´ 4 × 3, no entanto, n = 4 para que esse produto esteja definido,
deste modo, para que cumpra com o pedido m = 5 e p = 3. Por isso ABT esteja definido
naquelas condic¸o˜es e´ necessa´rio que m = 5, n = 4 e p = 3.
2. (1,5 valores) Qual das seguintes igualdades e´ verdadeira para todas matrizes 3× 3, A e
B? Justifique!
(a) (ABT )T −BAT = 03 (b) 2I3 − (A−1A) = (B−1B)
(c) (A+B)(A−B) = A2 −B2 (d) (A+ A−1) + (B +B−1) = 2I
Resoluc¸a˜o:
As igualdades verdadeiras sa˜o, as alineas a, porque pelas proriedades da transposta, isto e´,
(A3×3B3×3)T = (BA)T(3×3); e b, porque o produto de uma matriz inversa pela sua correspon-
dente ou vice-versa e´ igual a matriz identidade e a soma de matrizes identidades, igual ao
multiplo escalar das mesmas.
3. (2,5 valores) Considere a matriz A =
0 0 11 0 0
a b c
 . Determine os valores de a, b, c de
maneira que det(A+ αI) = 0.5− 9α + 2α2 + α3.
Resoluc¸a˜o:
A+ αI =
0 0 11 0 0
a b c
− α
1 0 00 1 0
0 0 1
 =
α 0 11 α 0
a b c+ α

por conseguinte
det(A+ αI) = det
α 0 11 α 0
a b c+ α
 = α ∣∣∣∣α 0b c+ α
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣1 αa b
∣∣∣∣ = b− aα + cα2 + α3.
Portanto,
det(A+ αI) = 0.5− 9α + 2α2 + α3 ⇐⇒ b− aα + cα2 + α3 ⇒

a = 9
b = 0.5
c = 2
1
4. (2,5 valores) Se A =
(
2 1
−1 −2
)
enta˜o, calcule ((2I + A2)−1 · A).
Resoluc¸a˜o:
A2 =
(
2 1
−1 −2
)(
2 1
−1 −2
)
=
(
3 0
0 3
)
2I + A2 =
(
2 0
0 −2
)
+
(
3 0
0 3
)
=
(
5 0
0 5
)
=⇒ (2I + A2)−1 =
(
1/5 0
0 1/5
)
(2I + A2)−1 · A =
(
1/5 0
0 1/5
)(
2 1
−1 −2
)
=
(
2/5 1/5
−1/5 −2/5
)
5. (2,5 valores) Sejam A e B duas matrizes de ordem 3, com valores de entrada reais, tais
que det(2AB−1) = 24 e det(AB) = 3. Sabendo que det(B) > 0, calcule o valor de det(A).
Resoluc¸a˜o:
Usando as propriedades dos determinantes, temos:
{
det(2AB−1) = 24
det(AB) = 3
⇔
{
23 det(A) det(B−1) = 24
det(A) det(B) = 3
⇔
 23 det(A)
1
det(B)
= 24
det(A) det(B) = 3
suponhamos que det(A) = x, det(B) = y, portanto, podemos resolver{
8x · 1
y
= 24
x · y = 3 ⇔
{
x = 3y
y2 = 1
⇔
{ · · ·
y = ±1
Estamos interessados na soluc¸a˜o no caso em que det(B) > 0, neste caso y = 1, assim,
det(A) = 3.
6. (2,5 valores) Sabendo que A =
a b cd e f
g h i
 e det(A) = 5. Calcule
∣∣∣∣∣∣
g h i
−2d −2e −2f
a b c
∣∣∣∣∣∣ .
Resoluc¸a˜o:
Usando a propriedade dos determinantes. “Se B e´ a matriz resultante de A multiplicando
uma linha de A por k ∈ R, enta˜o det(B) = k det(A); e Se B e´ a matriz resultante de A
trocando duas linhas de A, enta˜o det(B) = − det(A).”∣∣∣∣∣∣
g h i
−2d −2e −2f
a b c
∣∣∣∣∣∣ = (−2)
∣∣∣∣∣∣
g h i
d e f
a b c
∣∣∣∣∣∣ = (−1)(−2)
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣ = 2 det(A) = 10.
7. (3,0 valores) Encontre a matriz M, sabendo que (2MT − 3I)−1 =
(
1 −4
0 1
)T
Resoluc¸a˜o:
Seja 2MT − 3I = B, pelas propriedades das matrizes inversas, temos (B−1)−1 = B; e
propriedades das matrizes transpostas temos
(
1 −4
0 1
)T
=
(
1 0
−4 1
)
. Deste modo,
B = (B−1)−1 =
1
1− 0
(
1 0
4 1
)
=
(
1 0
4 1
)
.
Portanto,
2MT − 3I =
(
1 0
4 1
)
.
2
Seja mais uma vez, M =
(
a b
c d
)
, enta˜o
2
(
a b
c d
)T
− 3
(
1 0
0 1
)
=
(
1 0
4 1
)
⇐⇒
(
2a 2b
2c 2d
)T
=
(
4 0
4 4
)
⇐⇒

2a = 4
2b = 0
2c = 4
2d = 4
assim,
MT =
(
2 0
2 2
)
⇐⇒ M =
(
2 2
0 2
)
8. (4,0 valores) Usando o Processo de eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan, calcule a inversa de
A =

−1 2 0 −1
0 −2 4 −1
1 −3 0 2
4 −2 1 1
 .
Resoluc¸a˜o:
Vamos reescrever a matriz A na forma [A|I4], isto e´,
[A|I4] =

−1 2 0 −1 | 1 0 0 0
0 −2 4 −1 | 0 1 0 0
1 −3 0 2 | 0 0 1 0
4 −2 1 1 | 0 0 0 1

O primeiro passo, passa por multiplicar a primeira linha por (−1) ou L1 ← (−1)l1 isto e´
1 −2 0 1 | −1 0 0 0
0 −2 4 −1 | 0 1 0 0
1 −3 0 2 | 0 0 1 0
4 −2 1 1 | 0 0 0 1

Asseguir vamos prosseguir com o processo de eliminac¸a˜o
1 −2 0 1 | −1 0 0 0
0 −2 4 −1 | 0 1 0 0
1 −3 0 2 | 0 0 1 0
4 −2 1 1 | 0 0 0 1
 ∼ [L3 ← l3 + (−1)l1L4 ← l4 + (−4)l1
]
∼

1 −2 0 1 | −1 0 0 0
0 −2 4 −1 | 0 1 0 0
0 −1 0 1 | 1 0 1 0
0 6 1 −3 | 4 0 0 1

∼ [L1 ← (−1/2)l2] ∼

1 −2 0 1 | −1 0 0 0
0 1 −2 1/2 | 0 −1/2 0 0
0 −1 0 1 | 1 0 1 0
0 6 1 −3 | 4 0 0 1
 ∼
 L1 ← l1 + (2)l2L3 ← l3 + (1)l2
L4 ← l4 + (−6)l2
 ∼
∼

1 0 −4 2 | −1 −1 0 0
0 1 −2 1/2 | 0 −1/2 0 0
0 0 −2 3/2 | 1 −1/2 1 0
0 0 13 −6 | 4 3 0 1
 ∼ [L3 ← (−1/2)l3] ∼
∼

1 0 −4 2 | −1 −1 0 0
0 1 −2 1/2 | 0 −1/2 0 0
0 0 1 −3/4 | −1/2 1/4 −1/2 0
0 0 13 −6 | 4 3 0 1
 ∼
 L1 ← l1 + (4)l3L2 ← l2 + (2)l3
L4 ← l4 + (−13)l4
 ∼
3
∼

1 0 0 −1 | −3 0 −2 0
0 1 0 −1 | −1 0 −1 0
0 0 1 −3/4 | −1/2 1/4 −1/2 0
0 0 0 15/4 | 21/2 −1/4 13/2 1
 ∼ [L4 ← (4/15)l4] ∼
∼

1 0 0 −1 | −3 0 −2 0
0 1 0 −1 | −1 0 −1 0
0 0 1 −3/4 | −1/2 1/4 −1/2 0
0 0 0 1 | 14/5 −1/15 26/15 4/15
 ∼
 L1 ← l1 + (1)l4L2 ← l2 + (1)l4
L3 ← l3 + (3/4)l4
 ∼
∼

1 0 0 0 | −1/5 −1/15 −4/15 4/15
0 1 0 0 | 9/5 −1/15 11/15 4/15
0 0 1 0 | 8/5 1/5 4/5 1/5
0 0 0 1 | 14/5 −1/15 26/15 4/15
 = [I4|A−1]
portanto,
A−1 =

−1/5 −1/15 −4/15 4/15
9/5 −1/15 11/15 4/15
8/5 1/5 4/5 1/5
14/5 −1/15 26/15 4/15

“Que ningue´m se engane, so´ se consegue a simplicidade atrave´s de muito trabalho.1”
alexmarime c©, 2017
1Clarice Lispector (1920 — 1977) – Escritora brasileira
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