Aula_05_ planos e direções cristalográficas

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Fundamentos de Cristalografia 
 
(Direções e Planos cristalográficos) 
 
Deformação em metais envolve deslizamento de 
planos atômicos. 
O deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e 
direções de maior densidade atômica. 
Por que estudar cristalografia? 
Módulo de elasticidade  Fe ccc (E)  na direção da diagonal do 
cubo do que na direção da aresta. 
 
Permeabilidade magnética. 
Índice de refração. 
Variam com a direção 
cristalográfica 
Devido à variação de 
empacotamento dos átomos 
Posições Atômicas 
Determinar as posições atômicas 
• As posições 
são representadas 
por números 
inteiros ou não, 
separados por 
vírgulas. 
Determinar as posições atômicas 
• As posições 
são representadas 
por números 
inteiros ou não, 
separados por 
vírgulas. 0, 0, 0 
1, 0, 0 
0, 1, 0 
0, 0, 1 
1, 0, 1 
0, 1, 1 
1, 1, 0 
1, 1, 1 
1/2, 1/2, 0 
1/2, 0, 1/2 
1/2, 1/2, 1 
1/2, 1, 1/2 
1/2, 1/2, 1/2 
 Direções versus Posições cristalográficas 
Para indicarmos uma direção cristalográfica... 
• Desenhamos um vetor-direção ou uma linha unindo 2 
pontos a partir de uma origem. 
y 
x 
1,1,0 
0,0,0 
z 
O 
R 
• Observamos as coordenadas 
do ponto. 
•Essas são os índices da direção. 
• Os índices são representados 
entre colchetes [ ], sem 
vírgulas. 
• Os índices da direção OR 
são [110]. 
Outro exemplo: 
Direção [100] 
y 
x 
1,0,0 
0,0,0 
z 
O 
S 
y 
x 
z 
O 
T 
Quando as coordenadas são 
frações: 
• Devemos reduzi-las 
a um número 
inteiro. 
b 
c 
a 
Projeção sobre 
o eixo y (b) 
Projeção sobre 
o eixo x (a/2) 
(1/2 , 1, 0) 
• OT  (1/2, 1, 0). 
Multiplicando por 
2  [120] 
Também podem existir índices 
negativos 
b 
c 
a 
y 
x 
z 
-a 
-y 
P 
Direção [110] 
• É representado pela colocação de uma barra 
sobre o índice. 
• Exemplo: [1 1 0], componente na direção -y. 
O 
Determinar as direções cristalográficas 
Determinar as direções cristalográficas 
Família de direções - <hkl> 
• Quando ao longo das direções o espaçamento entre 
os átomo e o número de átomos forem os 
mesmos, tem-se direções cristalograficamente 
equivalentes. Estas são designadas por FAMÍLIA. 
<100> = [100], [010], [001], [010], [001], [100] 
z 
y 
x 
• Direções 
correspondentes 
ao eixos 
cristalográficos x, -
x, y,-y, z e -z. 
Direções para o sistema CCC 
• No sistema CCC os 
átomos se tocam ao 
longo da diagonal do 
cubo, que 
corresponde a família 
de direções <111>. 
• Então, a direção 
<111> é a de maior 
empacotamento 
atômico. 
Direções para o sistema CFC 
• No sistema CFC os 
átomos se tocam ao 
longo da diagonal da 
face, que 
corresponde a família 
de direções <110>. 
• Então, a direção 
<110> é a de maior 
empacotamento 
atômico. 
 
Densidades atômicas e iônicas lineares 
EXERCÍCIOS 
1. Calcular a DAL para as direções [100], [011] e [111], considerando as 
estruturas CS, CCC e CFC. 
2. Para a estrutura do NaCl, CsCl e BaTiO3, determinar a DIL na direção 
[101] 
METAIS 
CERÂMICAS 
[100] 
[111] 
[011] 
Direção mais compacta para a CS = <100> 
[011] = [110] 
[111] 
[100] 
Direção mais compacta para a CCC = <111> 
[111] 
[100] 
[011] = [110] 
Direção mais compacta para a CFC = <110> 
Planos cristalográficos 
Planos cristalográficos 
• Para identificar planos cristalográficos utilizamos 
os índices de Miller. 
• Índices de Miller são definidos como sendo os 
inversos das interseções fracionárias que o plano 
faz com os eixos cristalográficos x, y e z 
coincidentes com 3 arestas não paralelas da 
célula unitária cúbica. 
• Os índices de Miller são representados entre 
parênteses, sem vírgulas: ( ). 
z 
x 
y 
Plano yz ► intercepta 
perpendicularmente o eixo x 
Plano xy ► intercepta 
perpendicularmente o eixo z 
Plano xz ► intercepta 
perpendicularmente o eixo y 
Como determinar os índices 
de Miller? 
z 
y 
x 
(i) Esse plano intercepta os eixos 
x,y e z às distâncias 1, , . 
(ii) Vamos tomar os inversos 
dessas interseções que são 
1, 0, 0. 
(iii) Logo, os índices de Miller 
deste plano são (100). 
Plano (100) 
, ½,  
 
1/, 1/(½), 1/ 
 
0, 2, 0 
 
(0 2 0) 
, 1,  
 
1/, 1/1, 1/ 
 
0, 1, 0 
 
(0 1 0) 
, , 1 
 
1/, 1/, 1/1 
 
0, 0, 1 
 
(0 0 1) 
, , 1/3 
 
1/, 1/, 1/(1/3) 
 
0, 0, 3 
 
(0 0 3) 
1/3, ,  
 
1/(1/3), 1/, 1/  
 
3, 0, 0 
 
(3 0 0) 
1, ,  
 
1/1, 1/, 1/  
 
1, 0, 0 
 
(1 0 0) 
2/3, 1/2,  
 
1/(2/3), 1/(1/2), 1/  
 
3/2, 2, 0 
 
3, 4, 0 
 
(3 4 0) 
1, 1,  
 
1/1, 1/1, 1/  
 
1, 1, 0 
 
(1 1 0) 
1/2, 1/2, 1/2 
 
2/1, 2/1, 2/1 
 
2, 2, 2 
 
(2 2 2) 
1, 1, 1 
 
(1 1 1) 
•  Quando as intersecções com os eixos não são óbvias, 
deve-se deslocar o plano até obter as intersecções corretas. 
• Exemplos: 
 
• O plano (010) é o plano que corta o eixo y em 1 e o eixo x e z 
no , ou seja;1/, 1/1, 1/  (010) 
 
• O plano (110) é o plano que corta o eixo de x e y em 1 e z no 
, ou seja; 1/1, 1/1, 1/  (110). 
 
• O plano (111) é o plano que corta o eixo x, y e z em 1, ou 
seja; 1/1, 1/1, 1/1  (111) 
 
• O plano (100) é o plano que corta o eixo x em 1, y e z no , 
ou seja; 1/1, 1/, 1/  (100) 
RESUMO 
• Da mesma forma que temos uma 
família de direções, temos também 
uma família de planos. 
• Família de planos – contém todos os 
planos que são cristalograficamente 
equivalentes, ou seja, que possuem 
o mesmo empacotamento atômico. 
Sistema CCC 
 A família de planos 
{110} é a de maior 
densidade atômica. 
Conhecido por plano 
compacto ou denso. 
 Isto porque os 
planos contêm o 
maior número de 
átomos. 
Sistema CFC 
 A família de planos 
{111} é a de maior 
densidade atômica. 
 Isto porque os 
planos contêm o 
maior número de 
átomos. 
Resumo 
Posições atômicas = , , 
Direções atômicas = [ ] 
Família de direções = < > 
Plano = ( ) 
Família de planos = { } 
Densidades atômicas e iônicas planares 
EXERCÍCIOS 
1. Calcular a DAP para os planos (010) e (101), considerando as estruturas 
CS, CCC e CFC. 
2. Para a estrutura do NaCl, CsCl e BaTiO3, determinar a DIP no plano (011) 
METAIS 
CERÂMICAS 







2nm
íons
planodoárea
íonsdenúmero
DIP
planodoárea
planonoátomosdetotalárea
DAP 
DAP(010) cs = 78%
 DAP(010) ccc = 59%
 DAP(010) CFC = 78%
 
DAP(101) cs = 55%
 DAP(101) ccc = 83%
 DAP(101) CFC = 55%
 
DIP(011) NaCl ≈ (4,4 Cl
- + 4,4 Na+)/ nm2 
DIP(011) CsCl ≈ (4,3 Cl
- + 4,3 Cs+)/ nm2 
DIP(011) BaTiO3
 ≈ (4,6 Ba+ + 4,6 O- + 4,6 Ti+)/ nm2